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三角函数公式及常见题型

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三角函数背诵

一、根本公式

1、角度与弧度、三角函数值

角度 0° 30° 45° 60° 90°

弧度

0 6 4 3 2

sin

0 12 22 32

1

cos

1

32 22 12

0

tan

0

33

1 3

不存在

2.三角函数在各象限内的正负

口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.〞

sin cos tan〔cot〕

3.同角三角函数根本关系式

平方关系：22sin1cos 商的关系：sintancos

例题：1、已知12sin13，并且是第二象限角，求cos,tan.

2、已知cos2sin，求〔1〕cos2sin5cos4sin

4.诱导公式

口诀：“奇变偶不变，符号看象限。〞

例：1.化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(

3.假设cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)的值．

二、三角函数的性质

〔1〕三角函数的图象及性质

函数 sinyx cosyx tanyx + +

——+

+ + + ————．22coscossin2sin2⑵y 图象

定义域 R R |,2xxkkZ

值域 [1,1] [1,1] R

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

有界性 sin1x cos1x 无界函数

最小正

周期 2 2 

2,222()32,222()kkkZkkkZ增区间减区间 2,2()2,2()kkkZkkkZ增区间减区间 ,22()kkkZ增区间

对称轴 ()2xkkZ ()xkkZ 无对称轴

对称

中心 ,0kkZ ,02kkZ ,02kkZ

maxmin221;221xkkZyxkkZy时，时， maxmin21;211xkkZyxkkZy时，时，

〔2〕其它变换：(0,0)A

函数 sinyAx cosyAx tanyAx o  32

2 y

o o

2 

32 y

x

2 2 x  32

x 2

无最值 最值 单

调

区

间 定义域 R R 22|,2kxxkZ

值域 [,]AA [,]AA R

奇偶性 kkZ时是奇函数,

2kkZ时是偶函数。 2kkZ时是奇函数,kkZ时是偶函数。 kkZ时是奇函数

有界性 sinAxA cosAxA 无界函数

最小正

周期 2 2 

4242,22()42432,()22kkkZkkkZ增区间减区间 22,()22,kkkZkkkZ增区间减区间 2222,22()kkkZ增区间

对称轴 22()2kxkZ ()kxkZ 无对称轴

对称

中心 ,0kkZ 22,02kkZ 2,02kkZ

maxmin422;422kxkZyAkxkZA时，时，y maxmin2;(2)kxkZyAkxkZA时，时，y

三、图像平移变换

1、先相位变换 周期变换 振幅变换〔先平移后伸缩〕

sinyx sinyx：把sinyx图象上全部的点向左〔0〕 或向右〔0〕平移个单位。

sinyx：把sinyx图象上各点的横坐标伸长无最值 最值 单

调

区

间 〔01〕或缩短〔1〕到原来的 1倍,纵坐标不变。

sinyAx：把sinyx图象上各点的纵坐标伸长〔1A〕或缩短〔01A〕到原来的A倍,横坐标不变。

2、先周期变换

相位变换 振幅变换〔先伸缩后平移〕

sinyx sinyx：把sinyx图象上各点的横坐标伸长〔01〕或缩短〔1〕到原来的1 倍,纵坐标不变。

sinyx：把sinyx图象上全部的点向左〔0〕或向右〔0〕平移个单位.

sinyAx：把sinyx图象上各点的纵坐标伸长〔1A〕或缩短〔01A〕到原来的A倍,横坐标不变。

例：

四、三角恒等变换

1、两角和与差的三角函数公式：

sin()sincoscossin,cos()coscossinsin,tantantan()1tantan。

2、二倍角公式

sin22sincos；

2222cos2cossin2cos112sin；

3、降幂公式

4.化一公式〔辅助角公式〕

其中：2222cos,sinababab

例：1设函数23()3cossincos2fxxxx，求()fx的最小正周期和单调递增区间

2.已知函数2()2cos2sincos1(,0)fxxxxxR的最小正周期是2

〔1〕求()fx的解析式 〔2〕当[0,]12x时，求()fx的最值

五、解三角形

1． 内角和定理：

在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC

2． 面积公式:1sin2ABCSabC 1sin2bcA

=1sin2caB

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：RCcBbAa2sinsinsin (解三角形的重要工具)

形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2 (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2222cosabcbcA

2222cosbcacaB (解三角形的重要工具)

形式二：cosAbcacb2222 ； cosBcabac2222 ； cosC=abcba2222

例题：

1、在△ABC中，bcosA＝acosB，试推断三角形的形状.

方法1：利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA＝acosB ∴22222222bcaacbbabcac

∴222222bcaacb ∴22ab ∴ab

故此三角形是等腰三角形.

方法2：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA＝acosB 又b＝2RsinB，a＝2RsinA

∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0

∴sin〔A－B〕＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π

∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.

2、在ABC△中，5cos13A，3cos5B．

〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕设5BC，求ABC△的面积．

六、向量 1、概念：

特别提示：

1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.

2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.

3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. 4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.〔平行向量〕

5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2．向量的线性运算

①、向量的加法：〔首尾相接，起点指向终点〕ABBCAC

〔1〕定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

〔2〕法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

②、向量的减法：〔起点相同，连接终点，箭头指向被减向量〕ABACCB

〔1〕定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

〔2〕法则：____三角形法则_______

③、实数与向量的积：

〔1〕定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.

〔2〕运算律：λ〔μa〕=〔λμ〕a， 〔λ+μ〕a=λa+μa， λ〔a+b〕=λa+λb.

3．平面向量的坐标运算

〔1〕 假设11(,)axy，22(,)bxy，则ab=1212(,)xxyy，

ab= 1212(,)xxyy 2211axy

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

〔2〕 假设),(11yxA，),(22yxB，则AB2121,xxyy

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 〔3〕假设(,)axy和实数，则a(,)xy

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

〔4〕．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中ba

a∥b (b0)的充要条件是12210xyxy〔外积等于内积〕

4、平面向量数量积

〔1〕．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则_∠AＯB＝θ〔０≤θ≤π〕叫a与b

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三角函数公式经典题型

三角函数公式经典题型

三角函数公式经典题型

1. 正弦函数与余弦函数的基本关系

问题描述：

已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，且0 ≤ Θ ≤ π/2，求解以下问题：

a) sin^2Θ + cos^2Θ = ?

b) sin(90° - Θ) = ?

解答：

a) 根据三角函数的基本关系，正弦函数与余弦函数满足 sin^2Θ

+ cos^2Θ = 1，所以答案为 1。

b) 根据余弦函数的定义，cos(90° - Θ) = sinΘ，因此 sin(90° - Θ)

= sinΘ。

2. 三角函数的和差公式

问题描述：

已知角度Θ和φ的正弦值分别为sinΘ和sinφ，余弦值分别为cosΘ和cosφ，求解以下问题：

a) sin(Θ ± φ) = ?

b) cos(Θ ± φ) = ?

解答：

a) 根据正弦函数的和差公式，sin(Θ ± φ) = sinΘ cosφ ± cosΘ

sinφ。

b) 根据余弦函数的和差公式，cos(Θ ± φ) = cosΘ cosφ ∓ sinΘ

sinφ。

3. 三角函数的倍角公式

问题描述：

已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：

a) sin 2Θ = ?

b) cos 2Θ = ?

解答：

a) 根据正弦函数的倍角公式，sin 2Θ = 2sinΘ cosΘ。

b) 根据余弦函数的倍角公式，cos 2Θ = cos^2Θ - sin^2Θ。

4. 三角函数的半角公式

问题描述：

已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：

a) sin(Θ/2) = ?

b) cos(Θ/2) = ?

解答：

a) 根据正弦函数的半角公式，sin(Θ/2) = ±√((1 - cosΘ)/2)。

b) 根据余弦函数的半角公式，cos(Θ/2) = ±√((1 + cosΘ)/2)。

以上是三角函数公式的经典题型解答。希望对您有帮助！

三角函数公式大全高中数学

三角函数公式大全高中数学

三角函数公式及练习

【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(

,

2的正弦、余弦、正切)；

2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.

【要点梳理】

要点一：诱导公式

诱导公式一：sin(2)sink



，cos(2)cosk



，tan(2)tank



，

其中kZ

诱导公式二：sin()sin



，cos()cos



，tan()tan



，

其中kZ

诱导公式三：sin()sin



，cos()cos



，tan()tan



，其中

kZ

诱导公式四：sin()sin



，cos()cos



，tan()tan



，其

中kZ

诱导公式五：sincos

2







，cossin

2







，其中kZ

诱导公式六：sincos

2







，cossin

2







，其中kZ

要点诠释：

(1)要化的角的形式为



90k

(k

为常整数)；

(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；

(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sincoscos

444xxx







；cossin

44xx







.

要点二：诱导公式的记忆

记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k



(k

为常整数)的三角函

数值：当k

为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k

为偶数时，函数名不变，然后

的三

角函数值前面加上当视

为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型

(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.

①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；

②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三

高中数学 三角函数

高中数学 三角函数

高中数学：三角函数

一、概述

三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。

二、三角函数的定义

三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。这些函数的定义如下：

1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）

2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r

3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长

三、三角函数的基本性质 1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。正切函数的周期性稍有不同，为 π。

2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。

3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位 π/2。

4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。

四、三角函数的实际应用

三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：

1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。

2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。 3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。

4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

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引言

三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及 的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。 2． 近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。 （ 1 ）关于三角函数的图象 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。 （ 2 ）求值题 这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。如 2002 年（ 15 ）题。 （ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题 （ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。如 2001 年（ 7 ）题。 （ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。 （ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合） 今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话， 应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。 二、复习策略 1、 近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查，重点已转移到对基础和基本技能的考查上。所以复习中用好教材、打好基础犹为重要。（ 1 ）一定要掌握好三角函数的图象，特别是 的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。（ 2 ）熟知三角函数的基本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法。（ 3 ）熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。