电磁感应中的动力学问题

电磁感应中的动力学问题

【动力学问题的规律】

1. 动态分析：求解电磁感应中的力学问题时，要抓好受力

分析和运动情况的动态分析，导体在拉力作用下运动，切割磁感线产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化，周而复始地循环，当循环结束时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。

2. 两种状态的处理：

当导体处于平衡态——静止状态或匀速直线运动状态时，处理的途径是：根据合外力等于零分析。

当导体处于非平衡态——变速运动时，处理的途径是：根据牛顿第二定律进行动态分析，或者结合动量的观点分析.

3. 常见的力学模型分析：

类型 “电—动—电”型 “动—电—动”型

示

意

图

棒ab长为L，质量m，电阻R，导轨光滑，电阻不计

棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计

分

析 S闭合，棒ab受安培力RBLEF，此时mRBLEa，棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流I↓→安培力F=BIL↓→加速度a↓，当安培力F=0时，a=0，v最大。 棒ab释放后下滑，此时singa，棒ab速度v↑→感应电动势E=BLv↑→电流REI↑→安培力F=BIL↑→加速度a↓，当安培力sinmgF时，a=0，v最大。

运动形式 变加速运动 变加速运动

最终状态 匀速运动BLEvm 匀速运动22mLBsinmgRv

4. 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是

“先电后力”，即：先做“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；

再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；

然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；

最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型．

【例1】 如图所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L＝ m，导轨平面与水平面间夹角θ＝37°，N、Q间连接一个电阻R＝ Ω，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B＝ T．将一根质量为m＝0.050 kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝，当金属棒滑行至cd处时，其速度大小开始保持不变，位置cd与ab之间的距离s＝2.0 m．已知g＝10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝.求：

(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；

(2)金属棒到达cd处的速度大小；

(3)金属棒由位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量．

突破训练1 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是 ( )

A．导体棒MN的最大速度为2mgRsin θB2L2

B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsin θ

C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsin θ

D．导体棒MN所受重力的最大功率为m2g2Rsin2 θB2L2

【例2】 如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，

磁感应强度B的大小为5 T，磁场宽度d＝0.55 m，有一边长L＝0.4 m、质量m1＝0.6 kg、电阻R＝2 Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量为m2＝0.4 kg的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝求：

(1)线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少

(2)当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x多大

(3)在(2)问中的条件下，若cd边恰离开磁场边界PQ时，速度大小为2 m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量为多少

审题指导 1.线框abcd未进入磁场时，线框沿斜面向下加速，m2沿水平面向左加速，属连接体问题．

2．ab边刚进入磁场时做匀速直线运动，可利用平衡条件求速度．

3．线框从开始运动到离开磁场的过程中，线框和物体组成的系统减少的机械能转化为线框的焦耳热．

解析

突破训练2如图所示，光滑斜面的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，ab边的边长为l1，bc边的边长为l2，线框的质量为m，电阻为R，线框通过绝缘细线绕过光滑的定滑轮与一重物相连，重物质量为M.斜面上ef线(ef平行底边)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的ab边始终平行于底边，则下列说法正确的是

( )

A．线框进入磁场前运动的加速度为Mg－mgsin θm

B．线框进入磁场时匀速运动的速度为Mg－mgsin θRBl1

C．线框做匀速运动的总时间为B2l21Mg－mgRsin θ

D．该匀速运动过程产生的焦耳热为(Mg－mgsin θ)l2

突破训练3 如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒从ab位置获得平行于斜面、大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′位置，滑行的距离为s，导体棒的电阻也为R， 与导轨之间的动摩擦因数为μ.则 ( )

A．上滑过程中导体棒受到的最大安培力为B2l2vR

B．上滑过程中电流做功发出的热量为12mv2－mgs(sin θ＋μcos θ)

C．上滑过程中导体棒克服安培力做的功为12mv2

D．上滑过程中导体棒损失的机械能为12mv2－mgssin θ

【例3】 如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导轨与定值电阻R1和R2相连，且R1＝R2＝R，R1支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨粗糙接触且始终接触良好．现将导体棒ab从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的34.已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：

(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；

(2)如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生的电热是多少

(3)导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电荷量为q，求这段距离是多少

注意：双棒类运动模型问题分析：

如图所示，质量都为m的导线a和b静止放在光滑的无限长水平导轨上，两导轨间宽度为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感强度为B，现对导线b施以水平向右的恒力F，求回路中的最大电流.

【剖析】

突破训练4 (多选题)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为21.用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后( )

A．金属棒ab、cd都做匀速运动

B．金属棒ab上的电流方向是由b向a

C．金属棒cd所受安培力的大小等于2F/3

D．两金属棒间距离保持不变

课后练习

1．如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 .在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝ ( )

A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W

C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W

2．如图甲所示，电阻不计且间距L＝1 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端接一阻值R＝2 Ω的电阻，虚线OO′下方有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，现将质量m＝0.1 kg、电阻不计的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，金属杆在下落的过程中与导轨保持良好接触且始终水平．已知杆ab进入磁场时的速度v0＝1 m/s，下落0.3 m的过程中加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示，g取10 m/s2，则 ( )

A．匀强磁场的磁感应强度为1 T

B．杆ab下落0.3 m时金属杆的速度为1 m/s

C．杆ab下落0.3 m的过程中R上产生的热量为 J

D．杆ab下落0.3 m的过程中通过R的电荷量为 C

3．在如图所示倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L.一质量为m、电阻为R、边长为L2的正方形导体线圈，在沿平行斜面向下的拉力F作用下由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ时，恰好做匀速直线运动，下列说法中正确的有(重力加速度为g) ( )

A．从线圈的ab边刚进入磁场Ⅰ到线圈dc边刚要离开磁场Ⅱ的过程中，线圈ab边中产生的感应电流先沿b→a方向再沿a→b方向

B．线圈进入磁场Ⅰ过程和离开磁场Ⅱ过程所受安培力方向都平行斜面向上

C．线圈ab边刚进入磁场 Ⅰ 时的速度大小为4Rmgsin θ＋FB2L2

D．线圈进入磁场Ⅰ做匀速运动的过程中，拉力F所做的功等于线圈克服安培力所做的功

4.图中EF、GH为平行的金属导轨，其电阻可不计，R为电阻，C为电容器，AB为可在EF和GH上滑动的导体横杆．有匀强磁场垂直于导轨平面．若用I1和I2分别表示图中该处导线中的电流，则当横杆AB( )

A．匀速滑动时，I1＝0，I2＝0

B．匀速滑动时，I1≠0，I2≠0

C．加速滑动时，I1＝0，I2＝0

D．加速滑动时，I1≠0，I2≠0

5．如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20 m，电阻R＝1 Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻均忽略不计，整个装置处于磁感应强度B＝ T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得外力F与时间t的关系如图所示．求

(1)杆的质量m和加速度a的大小；

(2)杆开始运动后的时间t内，通过电阻R电量的表达式(用B、l、R、a、t表示)．