定积分的应用

1．求平面图形的面积（i）曲线围成的曲边梯形面积是.事实上，由所求平面图形面积S分布在区间[a,b]上.（1）选取，.（2）.注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.（ii）特别地围成的平面图形面积S为.（iii）同理所围成的平面图形面积S为.（iv）特别地所围成的平面图形面积S为.如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公式.求平面图形的步骤：（1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。

2．根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。

例1 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。

解由即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直线，曲线及直线所围成（图5-7），其面积.本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1及S2，分别计算S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。

例2计算曲线及直线所围成的平面图形面积。

解曲边形如图5-8所示，故有注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。

图5-8 图5-9例3计算椭圆所围成的平面图形面积。

解由于椭圆关于Ox轴及Oy轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形面积S（图5-9）. 由，解得，故上半椭圆的方程是从而特别地，当时，得圆的面积注：计算平面图形面积时，尽可能利用图形的对称性，以简化计算。

例4求曲线所围成平面图形的面积.解解此方程，得当即时，y1及y2才有实数值。

设则所求的面积为注：利用几何意义知表示半个圆面的面积。

2．求曲边扇形的面积曲线与射线围成的曲边扇形的面积，证所求的面积分布在区间上。

（1）取（把dS看成扇形面积）（2）例1由下列极坐标方程式所表曲线围成的面积S，方程中的（1）（双纽线）；（2）（心脏形线）；（3）（三叶线）；解（1）由图形关于x轴与y轴对称，只需计算第一象限面积S1，再乘以4即可，由在第一象限时，，知，即S1看成与所围成，故（2）由图形关于x轴对称，在第一，二象限，当时，需求，知，故所求面积为.（3）由图形知，所求面积S为第一象内面积S1的3倍，由时，要求，由于，知，即时，，于是例2变为极坐标，求曲线（笛卡尔叶形线）（a>0）围成的面积。

解由代入方程有当时，，且当时，所以曲线位于第一象限围成的面积，即为所求的面积。

3．立体的体积（a）设Ω为一空间立体，它夹在垂直于Ox轴的两平面x=a与x=b之间（a），在区间[a,b]上任意一点x处，作垂直于Ox轴的平面，它截得立体Ω的截面面积，显然是x的函数，记为A（x）连续，，则立体的体积V为证所求的立体V分布在[a,b]上（1）取区间（2）（b ）曲线（连续），Ox轴及直线x=a, x=b所围成的曲边梯形绕Ox轴旋转而成的旋转体的体积Vx 为证把旋转体看成夹在两平行平面x=a, x=b之间，那么在[a,b]上任意一点x处作平行两底面的平面与立体相截，截面积为因此同理，曲线，Oy轴及直线y=c, y=d所围成的曲边梯形绕Oy轴旋转而成的旋转体的体积Vy 为（c）曲线（连续）Ox轴及直线x=a, x=b所围成的曲边梯形绕y轴旋转所成立体的体积Vy为证所求的立体Vy分布在区间[a,b]上（1）取，由是的高阶无穷小，知是的线性主部，即（2）（3）例1 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积（1）绕Ox轴（2）绕Oy轴解（1）（2）例2.求曲线与x轴围成的封闭图形绕旋转所得的旋转体的体积。

解该曲线于x轴交于，由该平面图形关于y轴对称。

且曲线上点到的距离为曲线上点到的距离为于是4．旋转体的侧面积及表面积求由连续曲线轴及直线所围平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的侧面面积（图5-28）。

将所求旋转体的侧面积看成分布在区间上。

（1）选取区间，把该区间的侧面积看成上底半径为，下底半径为，母线为曲线弧长的圆台的侧面积，因此，由圆台侧面积公式有即又可简单地看作一圆柱体的侧面积，该圆柱体的底圆半径为，高（2）得微分（3）计算积分注意：圆柱体的高不能看成，否则，由于一般情况下不为0（当时，），即因此，我们计算的近似值时，要利用已知的关系，尽可能的精确。

例1. 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。

解设切点为，则过原点的切线方程为再以点代入，解得，则上述切线方程为由曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积由直线段绕z轴旋转一周所得到的旋转面的面积因此，所求旋转体的表面积为.例2. 求曲线绕Ox轴旋转所成曲面的面积.解.例3.计算半径为R的球面的面积（图5-30）。

解半径为R的球面可以看成圆所围成的平面图形绕x轴旋转所形成旋转体的侧面积。

由于，于是5．平面曲线的弧长若给定曲线弧的方程为，其中，在上连续，且，则曲线弧是可求长的。

其弧长s可表示为（1）若曲线方程由给出，这时代入（式1），得曲线弧的长为（2）若曲线方程由给出，这时代入（式1），得曲线弧的长为（3）若曲线方程由给出，把极坐变换化为参数方程由于于是弧长微分公式若选定点为度量弧长的起点。

为弧上一点，设弧的长为s，显然弧长s是t的函数这里规定：当时，s取正值；当时，s取负值。

则当t增加时s也增加，因此是严格增函数。

对积分上限求导，得从这里也可以看出是增函数，改写成微分形式，即得弧长的微分公式若曲线方程则若曲线方程则若曲线方程则由于所以它的几何意义是：当自变量x增加到时，相应的曲线段增量的切线长（图5-31）例1. 计算圆的周长。

解将圆的方程化成参数方程则例93 计算曲线的弧长。

解所求曲线的弧长为例2 计算内摆线的周长。

解法一由于曲线关于x轴及y轴对称，所以，只需计算第一象限内曲线的长，再乘以4即得所求。

不妨设，得解法二把曲线化为参数方程在第一象限的参数，于是因此6．定积分在物理中的应用（仅适合数学一、二）①液体的静压力在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压力，这类问题也可用定积分进行计算。

例95 一圆柱形水管半径为1m，若管中装水一半，求水管阀门一侧所受的静压力。

解取坐标系如图5-32，此时变量x表示水中各点深度，它们的变化区间是，圆的方程为由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等。

要计算所求的压力，可按公式压力=压强×面积计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理学知识，有，其中是水的密度，是重力加速度。

因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式。

但是，如果将闸门分成若干个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强可看成不变。

从而1．选取深度小区间，在此小区间闸门所受到的压力为，则2．得微分3．定积分②功：例96 设有一直径为20m的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。

解本题要计算克服重力所作的功。

要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面。

由此可见对不同深度x的单位质点所需作的功不同，而对同一深度x的单位质点所需作的功相同。

因此如图5-33建立坐标系，即Oy轴取在水平面上，将原点置于球心处，而Ox轴向下（此时x表示深度）。

这样，半球形可看作曲线在第一象限中部分绕Ox轴旋转而成的旋转体，深度x的变化区间时。

因同一深度的质点升高的高度相同，故计算功时，宜用平行于水平面的平面截半球面成的许多小片来计算。

1．选取区间，相应的体积所以抽出这层水需作的功其中是水的密度，是重力加速度。

2．得微分3．例1. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。

已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉。

现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N×1m=1J；m, N, s, J分别表示米，牛顿，秒，焦耳。

②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

）解作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功其中是克服抓斗自重所作的功；是克服缆绳重力所作的功；为提出污泥所作的功。

由题意知将抓斗由x处提升到处，克服缆绳重力所作的功为从而在时间间隔内提升污泥需作功为将污泥从井底提升至井口共需时间，所以因此，共需作功③引力。