2022年中考数学二轮复习专题：旋转

2022年数学中考试题汇编图形的旋转一、选择题1.(2022·湖南省益阳市)如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC=B′C′，②AC//C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′=∠ACC′，正确的有( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④2.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C′.在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )A. 25π+24B. 5π+24C. 25πD. 5π3.(2022·内蒙古自治区包头市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )A. 3√3B. 2√3C. 3D. 24.(2022·广西壮族自治区南宁市)如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′⏜的长是( )A. 2√33π B. 4√33π C. 8√39π D. 10√39π5.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为( )A. 2πB. 2√2C. 2π−4D. 2π−2√26.(2022·天津市)如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是( )A. AB=ANB. AB//NCC. ∠AMN=∠ACND. MN⊥AC7.(2022·贵州省遵义市)在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，则a+b的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 38.(2022·湖南省娄底市)如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是( )A. √3π18B. √318C. √3π9D. √399.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.10.(2022·湖南省娄底市)下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.11.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.12.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.13.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.14.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.15.(2022·湖南省)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.16.(2022·上海市)有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为( )A. 6B. 9C. 12D. 15二、填空题17.(2022·青海省西宁市)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=______．18.(2022·湖北省随州市)如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF.如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)，使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H.则∠BHD的度数为，DH的长为．19.(2022·吉林省)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为______度．(写出一个即可)20.(2022·辽宁省盘锦市)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连接BB′，若AA′=1，则△BB′D的面积是______．21.(2022·湖南省永州市)如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点．若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为______．三、解答题22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(2,3)，C(1,2)．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．23.(2022·吉林省)图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．24.(2022·江苏省常州市)如图，点A在射线OX上，OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA’，那么点A’的位置可以用(a,n°)表示．(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A’的位置可以表示为______；(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3,74°)表示，连接A’A、A’B.求证：A’A=A’B．25.(2022·湖北省武汉市)如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图(1)中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG//BC；(2)在图(2)中，P是边AB上一点，∠BAC=α.先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．26.(2022·四川省广安市)数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．(规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形)，1.【答案】B【解析】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC=B′C′.故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′=50°．∵∠CAB=20°，∴∠B′AC=∠BAB′−∠CAB=30°．∵∠AB′C′=∠ABC=30°，∴∠AB′C′=∠B′AC．∴AC//C′B′.故②正确；③在△BAB′中，AB=AB′，∠BAB′=50°，∴∠AB′B=∠ABB′=12(180°−50°)=65°．∴∠BB′C′=∠AB′B+∠AB′C′=65°+30°=95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC=AC′，∠CAC′=50°，∴∠ACC′=12(180°−50°)=65°．∴∠ABB′=∠ACC′.故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B．2.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴Rt△ABC所扫过的面积=90⋅π×102360+12×6×8=25π+24，故选：A．3.【答案】C【解析】解：连接AA′，如图，∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =2， ∴AC =√3BC =2√3，∠B =60°， ∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C ， ∴CA =CA′，CB =CB′，∠ACA′=∠BCB′， ∵CB =CB′，∠B =60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′=60°，∴∠ACA′=60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A 作AD ⊥A′C 于点D ，∴CD =12AC =√3，∴AD =√3CD =√3×√3=3， ∴点A 到直线A′C 的距离为3， 故选：C ． 4.【答案】B【解析】解：根据题意可得， AC′//B′D ，∵B′D ⊥AB ，∴∠C′AD =∠C′AB′+∠B′AB =90°， ∵∠C′AD =α，∴α+2α=90°，∴α=30°，∵AC =4，∴AD =AC ⋅cos30°=4×√32=2√3， ∴AB =2AD =4√3，∴BB′⏜的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33．【解析】解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC=AD，∠CAD=30°，∴∠BOC=60°，∠ACE=(180°−30°)÷2=75°，∴∠BCE=90°−∠ACE=15°，∴∠BOE=2∠BCE=30°，∴∠EOC=90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE=4，∴OE=OC=2√2，∴S阴影=S扇形OEC−S△OEC=90π×(2√2)2360−12×2√2×2√2=2π−4，故选：C．6.【答案】C【解析】解：A、∵AB=AC，∴AB>AM，由旋转的性质可知，AN=AM，∴AB>AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB//NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC=∠MAN，∠ABC=∠ACN，∵AM=AN，AB=AC，∴∠ABC=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM=∠CAM=∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；【解析】解：∵点A(a,1)与点B(−2,b)关于原点成中心对称，∴a =2，b =−1，∴a +b =1，故选：C ．8.【答案】A【解析】解：作AD ⊥BC 于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，AD 和BE 交于点O ，如图所示，设AB =2a ，则BD =a ，∵∠ADB =90°，∴AD =√AB 2−BD 2=√3a ， ∴OD =13AD =√33a ， ∴圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是：π×(√33a)2×122a⋅√3a2=√3π18， 故选：A ． 9.【答案】C【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B .不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C .既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D .是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C ．10.【答案】D【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；B .不是中心对称图形，故此选项不合题意；C .不是中心对称图形，故此选项不合题意；D .是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．11.【答案】D【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B .不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．12.【答案】D【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．13.【答案】C【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．14.【答案】C【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．15.【答案】C【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．16.【答案】C【解析】解：A.正6边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B.正9边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C.正12边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D.正15边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．17.【答案】3√3−3【解析】解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=6，∴AC=3，BC=3√3，∠CAB=60°，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠C′AE=45°，∴AC=AC′=C′E=3，BC=B′C′=3√3，∴B′E=B′C′−C′E=3√3−3．先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC=AC′=C′E=3，BC=B′C′=3√3，即可解答．18.【解析】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF=∠BAD=90°，∴∠DAF=∠BAE，∵AFAD =AEAB=12，∴AFAE =ADAB，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF=∠ABE，∵∠DOH=∠AOB，∴∠DHO=∠BAO=90°，∴∠BHD=90°，∵AF=3，AE=4，∠EAF=90°，∴EF=√32+42=5，∵EF⊥AD，∴12⋅AE⋅AF=12⋅EF⋅AJ，∴AJ =125，∴EJ =√AE 2−AJ 2=√42−(125)2=165， ∵EJ//AB ，∴OJ OA =EJ AB ，∴OJOJ+125=1658， ∴OJ =85， ∴OA =AJ +OJ =125+85=4， ∴OB =√AB 2+AO 2=√42+82=4√5，OD =AD −AO =6−4=2，∵cos∠ODH =cos∠ABO ，∴DH OD =AB BO ， ∴DH 2=4√5， ∴DH =4√55． 故答案为：90°，4√55． 19.【答案】72(答案不唯一)．【解析】解：360°÷5=72°，则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合，故答案为：72(答案不唯一)． 20.【答案】3√34【解析】解：如下图所示，设A′B′与BD 交于点O ，连接A′D 和AD ，∵点D 为BC 的中点，AB =AC ，∠ABC =30°，∴AD ⊥BC ，A′D ⊥B′C′，A′D 是∠B′A′C′的角平分线，AD 是∠BAC ，∴∠B′A′C′=120°，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠B′A′D=60°，∵A′D=AD，∴△A′AD是等边三角形，∴A′A=AD=A′D=1，∵∠BA′B′=180°−∠B′A′C′=60°，∴∠BA′B′=∠A′AD，∴A′B′//AD，∴A′O⊥BC，∴A′O=12A′D=12，∴OD=√1−14=√32，∵A′B′=2A′D=2，∵∠A′BD=∠A′DO=30°，∴BO=OD，∴OB′=2−12=32，BD=2OD=√3，∴S△BB′D=12×BD×B′O=12×√3×32=3√34．先证明△A′AD是等边三角形，再证明A′O⊥BC，再利用直角三角形30°角对应的边是斜边的一半分别求出A′B′和A′O，再利用勾股定理求出OD，从而求得△BB′D的面积．21.【答案】(2,−2)【解析】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°如图所示，则A′(2,−2)，则旋转后A点坐标变为：(2,−2)，故答案为：(2,−2)．22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为(−4,−6)；【解析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)把A、B、C的坐标都乘以−2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了轴对称变换．23.【答案】解：(1)作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD//BC且AD= BC，∴四边形ABCD为矩形，符合题意．24.【答案】(1)解：由题意，得A′(a,n°)，∵a=3，n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；(2)证明：如图：∵A′(3,74°)，B(3,74°)，∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA=OB=3，∴∠A′OB=∠AOB−∠AOA′=74°−37°=37°，∵OA′=OA′，∴△AOA′≌△BOA′(SAS)，∴A′A=A′B．25.【答案】解：(1)如图(1)中，点F，点G即为所求；(2)如图(2)中，线段AH，点Q即为所求．26.【答案】解：图形如图所示：【解析】利用轴对称图形，中心对称图形的性质，画出图形即可．本题考查利用作图设计图案，等边三角形的判定和性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

旋转与相似（2）1．如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，如图1，使它的斜边与BD交于点H，一条直角边与CD交于点G．（1）请适当添加辅助线，通过三角形相似，求出的值；（2）连接GH，判断GH与AF的位置关系，并证明；（3）如图2，将三角板旋转至点F恰好在DC的延长线上时，若AD＝3，AF＝5．求DG的长．2．将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E ＝45°）．点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC＝2．（1）求证：△ADC∽△APD；（2）求△APD的面积；（3）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否会随着α的变化而变化，如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．3．问题背景：如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD 分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC 边恰好经过点A，探究PA，PB，PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM 上一点，连接AF，DF，DF交BN于点E，若B，E两点恰好关于直线AF对称．（1）证明△BEF是等边三角形；（2）若DE＝6，BE＝2，求AF的长．4．（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．5．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8．点D、E分别为BC、AB上一点，且DB＝AB，BE＝6．连接DE，将△BDE绕着点B逆时针旋转得到△BD'E'．（1）如图1，E'D'⊥AB于点F，交ED于点G．求EG的长度；（2）如图2，E'在CB的延长线上，延长DE交AE'于点H，连接HB，求证：HE+HE'＝BH；（3）如图3，点P为D'E'的中点，过点P作PM⊥ED于点M，交AC于点N．若CD＝1，当PM取得最大值时，直接写出四边形CDMN的面积．7．如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，点D为边BC上一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，取AD的中点M，连接CM，ME．（1）填空：CM与ME的数量关系为，∠CME的度数为．（2）将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请就图（2）给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△BDE绕点B在平面内自由旋转，且BC＝3，BD＝1，请直接写出线段CM的最大值和最小值．8．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，将边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α．分别过A，C作直线BB′的垂线，垂足分别是E，F，连接B′C交直线AF于点Q．（1）如图1，当α＝45°时，△AEF的形状为；（2）当0°＜α＜360°时，①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②在旋转过程中，当线段AE＝1时，请直接写出CF的长．9．特例感知（1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证BE＝AF；探索发现（2）如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；类比迁移（3）如图3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．10．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜ON＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；（2）若将△AOM绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；②填空：当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，BN＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段ED，且ED交线段BC于点G．（1）如图1，线段ED与BD的数量关系是，＝．（2）如图2，作∠CDE的平分线DM交BC于点H，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；②求出的值．12．如图①，B是线段AC上一点，△ABD与△BCE均为等边三角形，连接AE、CD．（1）求证：AE＝CD；（2）如图②，若△BCE′与△BCE关于AC所在直线对称，连接AE′，AE′与CD还相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，AE′与BD相交于点F，CD与BE′相交于点G，连接FG．试判断△FBG的形状，并说明理由．。

考点三十四：图形的旋转聚焦考点☆温习理解一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质〔1〕对应点到旋转中心的距离相等。

〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质〔1〕关于中心对称的两个图形是全等形。

〔2〕关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

〔3〕关于中心对称的两个图形，对应线段平行〔或在同一直线上〕且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

1.中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．1.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．名师点睛☆典例分类考点典例一、识别中心对称图形【例1】〔2022.山东潍坊，第4题，3分〕以下汽车标志中不是中心对称图形的是〔〕【答案】B考点：中心对称图形.【点睛】此题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．【举一反三】1．〔2022·黑龙江绥化〕.以下图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知， A既是轴对称图形又是中心对称图形；B是轴对称图形但不是中心对称图形； C不是轴对称图形，是中心对称图形； D既是轴对称图形也是中心对称图形. 应选：B考点：1.轴对称图形;2.中心对称图形2.〔2022·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭〕以下汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕A． B． C． D．【答案】C．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．考点典例二、旋转的性质应用【例2】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，那么点B 转过的路径长为〔 〕A ．3πB ．33πC ．23π D ．π 【答案】B ．【解析】考点：旋转的性质；弧长的计算．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B 转过的路径形状是解题关键．通常在解决此类问题时要注意：(1)抓住旋转中的“变〞与“不变〞；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．【举一反三】1.〔山东德州第6题，3分〕如图，在△ABC 中，∠CAB =65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，那么旋转角的度数为〔 〕A ．35° B．40° C．50° D．65°【答案】C ．【解析】试题分析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．应选C．考点：旋转的性质．2.〔2022.山东菏泽第8题，3分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．假设点B的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为〔〕A．〔﹣1 B．〔﹣2 C．〔，1〕 D．〔，2〕【答案】A．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．一次函数图象上点的坐标特征．考点典例三、与旋转有关的作图【例3】.〔2022·辽宁丹东〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)〔每个方格的边长均为1个单位长度〕.〔1〕请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；〔2〕将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.【答案】〔1〕画图参见解析；〔2〕画图参见解析，路径长为5π.考点：1.轴对称作图；2.旋转作图；3.求弧长.【点睛】此题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【举一反三】(2022·湖北衡阳，23题，分)〔本小题总分值6分〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A〔3，2〕、B〔3，5〕、C〔1，2〕．〔1〕在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；〔2〕把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．【答案】〔1〕△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下图；〔2〕①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为〔6，2〕．【解析】试题分析：〔1〕关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；〔2〕①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.试题解析：〔1〕△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下图；〔2〕①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；②∵A〔3，2〕、B〔3，5〕∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，∴B2的坐标为〔6，2〕．考点：点的坐标；图形的变换—旋转；作图—图形变化类课时作业☆能力提升一、选择题1. 〔2022.山东莱芜第1题，3分〕在以下四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】B考点：轴对称图形和中心对称图形2.以下图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )【答案】D ．【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．试题解析：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A 选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B 选项错误；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故C 选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故D 选项正确．应选：D ．考点：中心对称图形；轴对称图形．3.〔〔2022遂宁〕在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．【解析】试题分析：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，应选C ．考点：中心对称图形．4. 〔2022绵阳〕如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD =5，BD =6，CD =4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，那么∠CDE 的正切值为 ．【答案】【解析】试题分析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵△ABD 绕A 点逆时针旋转得△ACE ，∴AD =AE =5，∠DAE =∠BNAC =60°，CE =BD =6，∴△ADE 为等边三角形，∴DE =AD =5，过E 点作EH ⊥CD 于H ，如图，设DH =x ，那么CH =4﹣x ，在Rt △DHE 中，2225EH x =-，在Rt △DHE 中，2226(4)EH x =--，∴222256(4)x x -=--，解得x =85，∴EH==8715，在Rt △EDH 中，tan ∠HDE =EH DH=858=CDE的正切值为考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A ′B ′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，那么AA′的长为〔〕A．6 B．C．．3【答案】A．【解析】试题分析：利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．试题解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，∴AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠CAA′=∠A′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．应选：A．考点：旋转的性质．6.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．假设B=60°，那么CD的长为〔〕A．0.5 B．1.5 C D．1【答案】D．由旋转的性质得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．应选：D．考点：旋转的性质．7. (2022.天津市，第11题，3分)如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.假设∠ADC=60°，∠ADA′=50°，那么∠DA′E′的大小为( )〔A〕130°〔B〕150°〔C〕160°〔D〕170°【答案】C.考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360°.8.〔2022·辽宁沈阳〕如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．假设正方形ABCD3AK= ．【答案】233-． 【解析】 试题分析：连接BH ，如下图：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴∠BAH =∠ABC =∠BEH =∠F =90°，由旋转的性质得：AB =EB ，∠CBE =30°，∴∠ABE =60°，在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH =BH ，AB =EB ，∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH 〔HL 〕，∴∠ABH =∠EBH =12∠ABE =30°，AH =EH ，∴AH =AB •tan ∠ABH =333⨯=1，∴EH =1，∴FH =31-，在Rt △FKH 中，∠FKH =30°，∴KH =2FH =2(31)-，∴AK =KH ﹣AH =2(31)1--=233-；故答案为：233-．考点：旋转的性质．二、填空题9．如图，把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D.假设∠A ′DC ＝90°，那么∠A ＝【答案】55°．考点：旋转的性质．10. .(2022.上海市，第18题，4分)在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．【答案】434【解析】试题分析：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CFAE ⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，AF =8DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠=，故45E ∠=，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(84DE EF DF =-=--=. 考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.11.如图，在正方形ABCD 中，AD ＝1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′，此时A ′D ′与CD 交于点E ，那么DE 的长度为【答案】2-【解析】试题分析：利用正方形和旋转的性质得出A ′D=A ′E ，进而利用勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE 的长即可．试题解析：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA ′E=90°，∴∠DEA ′=45°，∴A ′D=A ′E，∵在正方形ABCD 中，AD=1，∴AB=A ′B=1，∴，∴A ′-1，∴在Rt △DA ′E 中，DE=2sin 45DA =︒'- 考点：旋转的性质．12.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF ＝45°，△ECF 的周长为4，那么正方形ABCD 的边长为 ．【答案】2.【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠EAF ′=45°，进而得出△FAE ≌△EAF ′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF ′=FC+BC+BF ′=4，得出正方形边长即可．试题解析：将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF ′位置，由题意可得出：△DAF ≌△BAF ′，∴DF=BF ′，∠DAF=∠BAF ′，∴∠EAF ′=45°，在△FAE 和△EAF ′中AF AF FAE EAF AE AE ='⎧∠=∠'=⎪⎨⎪⎩，∴△FAE ≌△EAF ′〔SAS 〕，∴EF=EF ′，∵△ECF 的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF ′=FC+BC+BF ′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．。

2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《旋转型相似》专题综合训练（附答案）一．选择题1．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（）A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB2．如图，∠1＝∠2＝∠3，AC，DE交于M，图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BB′：CC′等于（）A．c：b B．a：b C．c：a D．b：c5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．B．C．D．3二．填空题7．如图，已知∠1＝∠2，当＝时，△ABC∽△ADE．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM．以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F．若△MDF的面积是△MEF面积的倍，则CM的长为．9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝；其中正确的结论有．（写出所有正确结论的序号）．10．如图，AB＝4，AC＝，∠DAB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，ED⊥AD交AB于E，则DE的长是．11．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．12．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝．三．解答题13．感知：如图①，点D是等边△ABC的边AB上的一点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，易证BD＝AE（不用证明）；探究：如图②，点D是Rt△ABC的边AB上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，猜想BD与AE的数量关系，并说明理由；应用：在（2）的条件下，当BD＝1，AB∥CE时，则四边形ABCE的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．15．如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．16．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．17．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE ＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE．（1）如图1，∠AED＝°；（2）连接CE交直线AB于点F，直线CE交BD于点H．①如图2所示，试说明∠DBA＝∠ECA；②设∠ABC＝α，旋转的角度∠CAE＝β（0°＜β＜360°），当α、β满足什么关系时，△BCF 是等腰三角形．19．如图1，P是四边形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，PD，BD，∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝DB，∠APB＝135°．（1）求证：△BCD∽△APD．（2）若P A＝，PB＝．求PC的长．（3）如图2，∠ABD＝∠PCD＝∠APB＝120°，CP＝CD，AB＝DB，请直接写出P A，PB，PC之间的数量关系．20．在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D′、E两点．如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况．（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD′和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明；（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM：MC＝2：5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明．21．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．22．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB＝∠C′AC，AB′＝AB，AC′＝AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴＝．故选：A．2．解：∵∠2＝∠3，∠AME＝∠DMC，∴△AME∽△DMC，∴∠ACD＝∠AED，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴，∠B＝∠ADE，即，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AMD＝∠EMC，∴△AMD∽△EMC．∴图中相似三角形共有4对．故选：B．3．解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故选：C．4．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，∴BB′：CC′＝AB：AC＝c：b，故选：A．5．解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：C．6．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．二．填空题7．解：添加条件＝后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，又∵＝，∴△ADE∽△ABC．即△ABC∽△ADE．故答案为：．8．解：如图，过点D作DG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC﹣AG＝8﹣4＝4，∵△MDF的面积是△MEF面积的倍，∴FM•DG＝×FM•EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°，∴＝tan∠DEM＝tan30°＝，∵∠DMG+∠MDG＝90°，∠DMG+∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH，∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG+MG＝4+1＝5，故答案为：5．9．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝＝，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∵MP•MD＝MA•ME，∴＝，∵∠AMP＝∠DME，∴△DEM∽△APM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠EAC＝180°﹣（∠DAE+∠CAB）＝90°，∴∠EAC＝∠APC，∵∠ACP＝∠ACM，∴△CP A∽△CAM，∴＝，∴CA2＝CP•CM，∴2CB2＝CP•CM，故③正确；设BE与AC相交于点F，∵△BAE∽△CAD，∴∠ACD＝∠ABE，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠CPB＝∠CAB＝45°，∴sin∠CPB＝，故④错误，所以，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．10．解：连接EC，∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∠DAB＝∠DBC＝30°，∴，△ADE∽△BDC，∵∠ADB＝∠ADE+∠EDB，∠EDC＝∠BDC+∠EDB，∴∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，∠ABD＝∠ECD，∵∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBC+∠ECB+∠EBD＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AB＝4，∴EC＝，∵AC＝，∴AE＝＝，∴DE＝AE＝．11．解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③12．解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF（SAS），∴AF＝BF，∴AC＝AF+CF＝BF+CF，∵BF＝11cm，CF＝3cm，∴AC＝14cm，故答案为：14cm．三．解答题13．解：探究：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴，即AE＝2BD．应用：∵BD＝1，∴AE＝2BD＝2，∵△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝90°，∵AB∥CE，∴∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝4，AC＝，∠BCE＝90°，∴四边形ABCE为直角梯形，且BC＝AC＝，∴AB＝＝3，∴＝．故答案为：．14．（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，∴∠AEB＝∠EDF；（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，∵sin∠FCB＝＝，∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，∴BG越大则sin∠FCB的值越大，∵BG≤FB，∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，此时sin∠FCB＝＝＝，∴sin∠FCB的最大值为；（3）证明：如图3，∵AB2＝AE•BC，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠EAB＝90°，∴△ABC∽△EAB，∴∠ACB＝∠EBA，∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，∴∠BTC＝90°，∴BE⊥AC，∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF，∴A、F关于BE对称，∴AF⊥BE，∴点F在线段AC上．15．（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．16．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．17．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．18．解：（1）90°；（2）①由旋转的性质可知，旋转中心为A点，B与D，C与E分别为对应点，∴AB＝AD，AC＝AE，旋转角∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠DBA＝∠ECA；②如图1，BF＝CF，β＝2α，如图2，BC＝BF，β＝180°﹣α，如图3，BC＝CF，β＝360°﹣4α，如图4，BC＝BF，β＝360°﹣α．19．（1）证明：∵∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝BD，∴△PCD与△ABD都是等腰直角三角形，∴∠CDP＝∠BDA＝45°，∴，∴∠CDB＝∠PDQ，∴△BCD∽△APD；（2）解：∵△BCD∽△APD，∴∠APD＝∠BCD，，∴BC＝，∵∠CPD+∠BP A＝45°+135°＝180°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴∠BCD+∠BPC＝180°，∴∠DCP+∠BCP+∠BPC＝180°，∴90°+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∴1＝PC2，∴PC＝（负值舍去），（3）解：，理由如下：如图，过点C作CE⊥PD于点E，则∠CED＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝＝＝30°，∴DP＝2DE，∴cos∠CDE＝cos30°＝，∴，同理，AB＝BD，∠ABD＝120°，∴∠BDA＝30°，，∴，∠BDA＝∠CDP，∴∠PDA＝∠CDB，∴△PDA∽△CDB，∴＝，∠APD＝∠BCD，∴BC＝，∵∠APB+∠CPD＝120°+30°＝150°，∴∠BPC+∠APD＝360°﹣（∠APB+∠CPD）＝360°﹣150°＝210°，∴∠BPC+∠BCD＝∠BPC+∠BCP+∠DCP＝∠BPC+∠BCP+120°，∴∠BPC+∠BCP+120°＝210°，∴∠BPC+∠BCP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∵BC，∴．20．解：（1）连接PB．∵四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，∴CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，即∠ABP＝∠ACB＝45°，又∵∠FPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠FPB＝∠CPE，即△PBF≌△PCE，∴PD′＝PE；（2）MD：ME＝2：5．过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，则MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形．∵∠B＝90°，∴▱BFMH是矩形，即∠FMH＝90°，MF＝BH，∵BH：HC＝AM：MC＝2：5，而HC＝MH，∴＝2：5，∵∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，∴∠DMF＝∠EMH．因为∠FD＝∠MHE＝90°，∴△MDF∽△MHE，∴＝＝2：5．21．解：（1）AD＝BE；AD⊥BE．由题可得：CE＝CD；CB＝CA；∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE．（2）BE＝AD；AD⊥BE；证明如下：由题可得：CE＝CD；CB＝CA，∴，又∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB∽△DCA，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC；又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°即：AD⊥BE；（3）结论成立，仍然证△ECB∽△DCA，得到BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，图3：由∠CP A+∠CAP＝90°，得∠BPF+∠CAP＝90°，又∠EBC＝∠CAD∴∠BPE+∠EBC＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE；图4：由题可知：∠CAD+∠BAF＝120°又∠EBC＝∠CAD∴∠BAF+∠EBC＝120°而∠CBA＝30°，∴∠BAF+∠FBA＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE图5：由∠CPB+∠EBC＝90°，得∠APE+∠EBC＝90°，又∠EBC＝∠CAD，∴∠CAD+∠APE＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE．22．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∠OAN＝∠B＝45°；又∵∠BOM＝∠AON＝90°﹣∠AOM，∴△MBO≌△NAO，∴AN：BM＝1：1＝1．（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO＝∠MBO，又∵∠BOM＝90°﹣∠AOM，∠AON＝90°﹣∠AOM∴∠BOM＝∠AON∴△MBO∽△NAO，∴AN：BM＝AO：BO＝tan∠B＝tan60°＝．。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点19 图形的轴对称、平移与旋转考点总结一、轴对称图形与轴对称如果一个图形沿着某条直线对折如果两个图形对折后，这两个图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称如果一个图形绕某一点旋转180°后能与如果一个图形绕某点旋转180°后平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•保定模拟）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，∴AB+AD＝10，由翻折可知：EB＝DE，∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，故选：C．2．（2021•河北模拟）点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，则（）A．A'点落在△ABC内B．A'点落在△ABC外C．A'点落在BC边上，且A'B＞A'CD．A'点落在BC边所在的直线上，且A'B＞A'C【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，AD=12AB，可证△ADE∽△ABC，可得点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，由折叠的性质可得点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC，即可求解．【解答】解：∵点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，∴DE∥BC，AD=12AB，∴△ADE∽△ABC，∴点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，∵沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，∴点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC∴点A'在直线BC上，A'B'＞A'C'，故选：D．3．（2021•海港区模拟）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：A．是轴对称图形，但有两条对称轴，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，并且只有一条对称轴，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（2021•路南区二模）如图为大众汽车的图标，是轴对称图形，则下列关于对称轴条数的说法中，正确的是（）A．有无数条B．有4条C．有2条D．有1条【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：该图案只有1条纵向的对称轴．故选：D．5．（2021•河北模拟）如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据平移的性质：对应点所连的线段平行且相等．【解答】解：如图，由平移的性质得，AD∥BE，AD∥CF，BE∥CF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，共六对．故选：D．6．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【分析】利用平移规律进而得出答案．【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C （0，﹣1），∴F（0+3，﹣1+2），即F（3，1），故选：D．7．（2013•宽甸县二模）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应．若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣1）C．（﹣3，0）D．（﹣1，3）【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：B．（2021•石家庄模拟）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，8．当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．9．（2021•开平区一模）如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（）A．3 B．2√2C．3√2D．√2【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．【解答】解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，∴AC＝2√2cm，CF=√2cm，∴AF＝AC﹣CF=√2cm，故选：D．10．（2021•河北模拟）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中．点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上．将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD 的平移过程可能是（）A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据要求作出图形，判断即可．【解答】解：如图，观察图象可知，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后点O成为新正方形的对称中心．故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•南皮县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．（1）若P是AC的中点，则DB＝√7；（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为√32+1 ．【分析】（1）利用勾股定理求出PB，可得结论．（2）过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．分别求出FH，DF，可得结论．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=√3BC＝2√3，∵P是AC的中点，∴CP=12AC=√3，∴BP=√BC2+CP2=√22+(√3)2=√7，由旋转的性质可知，BD＝BP=√7，故答案为：√7．（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，∴EF＝DE•tan30°=√33，DF＝2EF=2√3 3，∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2−√33=2−√33，∵DH∥BC，∴HF BC=AF AB ， ∴HF 2=2−√334， ∴HF ＝1−√36．∴DH ＝HF +DF =√32+1，故答案为：√32+1． 12．（2021•路北区二模）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，BC ＝2，D 是AB 上的动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接BE ．（1）点C 到AB 的最短距离是 √3 ；（2）BE 的最小值是 √3−1 ．【分析】（1）如图，过点C 作CK ⊥AB 于K ，解直角三角形求出CK ，可得结论．（2）将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．首先证明四边形CKJH 是正方形，推出点E 在直线HJ 上运动，求出BJ ，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：（1）过点C 作CK ⊥AB 于K ，在Rt △CBK 中，∵BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴CK ＝BC •sin60°=√3，∴点C 到AB 的最短距离是√3．故答案为：√3．（2）如图，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．∵∠DCE ＝∠KCH ＝90°，∴∠DCK ＝∠ECH ，∵CD ＝CE ，CK ＝CH ，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，∵BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK=√3，∴BJ＝KJ﹣BK=√3−1，∴BE的最小值为√3−1，故答案为：√3−1．13．（2021•路北区一模）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了150 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是√3+√2．【分析】如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．【解答】解：第一次滚动正方形旋转了240°﹣90°＝150°．如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．易知EH＝EA2=√12+12=√2，在△AEF中，∵AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴AE=√3，∴AH＝AE+EH=√3+√2．∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为√3+√2．故答案为：150，√3+√214．（2021•迁西县模拟）如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为24 cm2．【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（6﹣2）cm，宽为（4﹣1）cm，∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×（6﹣2）（4﹣1）＝24（cm2），故答案为：24．15．（2021•保定模拟）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（﹣9，﹣5）．【分析】根据f，g两种变换的定义解答即可．【解答】解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故答案为：（﹣9，﹣5）．三．解答题（共3小题）16．（2021•河北模拟）已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°绕点A旋转一定的角度a （0°＜a＜180°）得到△AB′C′．（1）如图1，边B′C′交边AC于点D．①求证：BB′＝CC′；②当B′C′恰好垂直AC时，点B走过的路径长为43π；（2）如图2，边B′C′与边BC交于点P，AB′与BC交于点E，B′，C′与AC交于点F．若a＝90°，求∠APB的度数．【分析】（1）①由旋转的性质可得AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，可得∠BAB'＝∠CAC'，由“SAS”可证△ABB'≌△ACC'，可得BB'＝CC'；②由等腰三角形的性质可求∠B'AD＝∠C'AD＝60°，由弧长公式可求解；（2）由“AAS”可证△ABE≌△AC'F，△B'EP≌△CFP，可得AE＝AF，EP＝PF，由“SAS”可证△APE≌△APF，可得∠APF＝∠APB＝45°．【解答】（1）①证明：∵△ABC绕点A旋转一定的角度a（0°＜a＜180°）得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，∴∠BAB'＝∠CAC'，∵AB＝AC，∴AB＝AB'＝AC＝AC'，∴△ABB '≌△ACC '（SAS ），∴BB '＝CC '；②∵B ′C ′垂直AC ，AB '＝AC '，∴∠B 'AD ＝∠C 'AD ＝60°，∴∠BAB '＝60°，∴点B 走过的路径长=60×π×4180=43π， 故答案为43π． （2）∵AB ＝AB '＝AC ＝AC '，∴∠B ＝∠B '＝∠C ＝∠C '＝30°，∵a ＝90°，∴∠BAE ＝∠C 'AF ＝90°，∴∠AEB ＝∠AFC ＝60°，∴△ABE ≌△AC 'F （AAS ），∴AE ＝AF ，∴B 'E ＝CF ，∵∠B 'EP ＝∠AEB ＝∠AFC '＝∠CFP ＝60°，∴∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°＝∠BPC '，∠AEP ＝∠AFP ＝120°，∵∠C ＝∠B '，∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°，B 'E ＝CF ，∴△B 'EP ≌△CFP （AAS ），∴EP ＝PF ，又∵∠AEP ＝∠AFP ＝120°，AE ＝AF ，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APF ＝∠APB ＝45°．17．（2021•海港区模拟）如图，C 、D 、E 三点在线段AB 上，且AC ＝CE ＝ED ＝DB ＝1，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），点A 的对应点为点A 1.同时将线段DB 绕点D 按逆时针方向旋转β度（0＜β＜360），点B 的对应点为点B 1，连接A 1D 和B 1C ．（1）若β＝α（如图1），A 1D 和B 1C 的交点为F ．①求证：△A 1CD ≌△B 1DC ．②求证：△FCD 为等腰三角形．（2）若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，α＝ 120° ．【分析】（1）①通过SAS 即可证明△A 1CD ≌△B 1DC ；②由△A 1CD ≌△B 1DC ，得∠A 1DC ＝∠B 1CD ，从而△FCD 为等腰三角形；（2）由全等可知∠A 1CD ＝∠B 1DC ，得180°﹣α＝β﹣180°，再由β＝2α，代入即可．【解答】（1）证明：①∵β＝α即∠ACA 1＝∠BDB 1，∵∠ACA 1+∠A 1CD ＝∠BDB 1+∠B 1DC ＝180°，∴∠A 1CD ＝∠B 1DC ，在△A 1CD 和△B 1DC 中，{A 1C =B 1D∠A 1CD =∠B 1DC CD =DC，∴△A 1CD ≌△B 1DC （SAS ）；②∵△A 1CD ≌△B 1DC ，∴∠A 1DC ＝∠B 1CD ，∴FC ＝FD ，∴△FCD 为等腰三角形；（2）解：根据题意，若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，如图，∴∠A1CD＝∠B1DC，∴180°﹣α＝β﹣180°，∵β＝2α，∴180°﹣α＝2α﹣180°，∴α＝120°，故答案为：120°．18．（2021•桥东区二模）如图，在等边△ABC中，AC＝6，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）到线段AM的位置，连接BM，BM与AC交于点N，点P为BM上一点，且BP：MP＝1：2，连接PC．（1）若α＝40°，则∠ABM＝40 °；（2）当α＝60°时，请判断△AMN与△CBN是否全等，并求此时PN的长度；（3）在AC绕点A逆时针旋转的过程中，PC的长是否存在最小值？若存在，则直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可知∠BAM＝100°，AB＝AM，从而得出∠ABM的度数；（2）通过AAS可证△AMN≌△CBN，得BN＝MN，从而证明AN⊥BM，可求出BM＝6√3，由BP：MP＝1：2，即可求出PN的长；（3）在AB上取一点O，使BO＝2，连接OP，OC，过点O作OH⊥BC于H，通过△OBP∽△ABM，得OP=13AM＝2，求出OC的长，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AC ＝AB ，∵∠MAN ＝α＝40°，∴∠BAM ＝∠BAC +∠MAN ＝60°+40°＝100°，∵AM ＝AC ，∴AM ＝AB ，∴∠ABM =12×(180°−100°)=40°， 故答案为：40；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝6，∵α＝∠NAM ＝60°，∴∠NAM ＝∠NCB ，∵AM ＝AC ，∴AM ＝BC ，在△AMN 和△CBN 中，{∠ANM =∠CNB∠NAM =∠NCB AM =CB，∴△AMN ≌△CBN （AAS ），∴BN ＝MN ，∴AN ⊥BM ，∵∠BAC ＝60°，∴∠ABN ＝90°﹣60°＝30°，∴AN =12AB =12×6=3，在Rt △ANB 中，BN =√AB 2−AN 2=√6−32=3√3，∴BM ＝2BN ＝6√3，∵BP MP =12，∴BP BM =13，∴BP =13BM =6√3×13=2√3，∴PN ＝BN ﹣BP ＝3√3−2√3=√3；（3）如图，在AB 上取一点O ，使BO ＝2，连接OP ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵BO AB =BP BM =13，∠OBP ＝∠ABM ， ∴△OBP ∽△ABM ，∴OP =13AM ＝2，在Rt △OBH 中，BH ＝1，OH =√3，∴CH ＝5，由勾股定理得OC =√OH 2+CH 2=2√7，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值为2√7−2，∴PC 的长存在最小值，最小值为2√7−2．。

2022年中考数学复习：旋转综合体专项训练1．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A ，B 的对应点分别是点D ，E ．(1)如图①，当点E 恰好在AC 边上时，连接AD ，求①ADE 的度数；(2)如图①，当60α=时，若点F 为AC 边上的动点，当①FBC 为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明2．综合与实践问题：如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，GF ⊥CD ，垂足为F ．证明与推断(1)①四边形CEGF 的形状是 ；②AGBE的值为 ； 【探究与证明】(2)在图1的基础上，将正方形CEGF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，并说明理由；【拓展与运用】(3)如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF 在旋转过程中，AG 和GE 的位置关系是 ．3．若①ABC ，①ADE 为等腰三角形，AC ＝BC ，AD ＝DE ，将①ADE 绕点A 旋转，连接BE ，F 为BE 中点，连接CF ，DF ．(1)若①ACB ＝①ADE ＝90°，如图1，试探究DF 与CF 的关系并证明； (2)若①ACB ＝60°，①ADE ＝120°，如图2，请直接写出CF 与DF 的关系．4．在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点A ，点)(0),30B m m AOB >∠=︒．以点O 为中心，逆时针旋转OAB ，得到OCD ，点,A B 的对应点分别为,C D ．记旋转角为α．(1)如图①，当点C 落在OB 上时，求点D 的坐标；(2)如图①，当45α=︒时，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点D 的坐标（直接写出结果即可）．5．如图，30HAB ∠=︒，点B 与点C 关于射线AH 对称，连接AC ．D 点为射线AH 上任意一点，连接CD ．将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接BE ．（1）求证：直线EB 是线段AC 的垂直平分线；（2）点D 是射线AH 上一动点，请你直接写出ADC ∠与ECA ∠之间的数量关系．6．已知如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，△BAC=α（α>90︒），F 为BC 中点，D 为BC 延长线上一点，以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转α得到线段AE ，连接CE ，DE ．(1)补全图形并比较△BAD 和△CAE 的大小； (2)用等式表示CE ，CD ，BF 之间的关系，并证明；(3)过F 作AC 的垂线，并延长交DE 于点H ，求EH 和DH 之间的数量关系，并证明．7．一副三角尺（分别含30°，60°，90°和45°，45°，90°）按如图所示摆放，边OB ，OC 在直线l 上，将三角尺ABO 绕点O 以每秒10°的速度顺时针旋转，当边OA 落在直线l 上时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．（1）如图，①AOD ＝ °＝ ′； （2）当t ＝5时，①BOD ＝ °； （3）当t ＝ 时，边OD 平分①AOC ；（4）若在三角尺ABO 开始旋转的同时，三角尺DCO 也绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO 停止旋转时，三角尺DCO 也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使①AOC ＝2①BOD ，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG①ADG；∠的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（2）求PAG（3）当12∠=∠时，求直线PE的解析式（可能用到的数据：在Rt中，30°内角对应的直角边等于斜边的一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，等腰Rt①ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD=．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR①BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：①BDE①①RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有①BPF为定值，并证明．10．在①ABC中，AB＝AC，①BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，BD＝2，且①BAD＝30°，AD＝；（2）如图2，当点D在①ABC的外部，且满足①BDC﹣①ADC＝45°，求证：BD AD；（3）如图3，若AB ＝4，当D 、E 分别为AB 、AC 的中点，把①DAE 绕A 点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°）直线BD 与CE 的交点为P ，连接P A ，直接出①P AB 面积的最大值 ．11．已知：①ABC 为等边三角形，且AB ＝4，点D 在直线BC 上运动，线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE 和BE ，直线AE 交直线BC 于点F ． （1）如图，当点D 在点C 左侧时，求证：CD ＝BE ；（2）若①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍，直接写出线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，若点E 关于直线AD 的对称点为点G ，连接DG 交线段AC 于点M ，DE 交线段AB 于点N ，连接MN ，直接写出线段MN 的长．12．已知在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ＝（1）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接写出点B ，C 的坐标； （2）如图2，过点C 作①MCN ＝45°交AB 于点M ，N ，且AM =1，求MN 的长度；（3）如图3，过点C 作①MCN ＝45°，当点M ，N 分布在点B 异侧时，线段AM ，BN 和MN 满足怎样的数量关系？并给予证明．13．如图，在①ABC 中，AC ＝ BC ，①ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ①BD 于E ．（1）求证：①CAE ＝①CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；①用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．14．把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0360α︒<<︒）．（1）如图1，BD 与EC 的数量关系是___________，BD 与EC 的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中BD 和EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BE 上时，BEC ∠=___________． （4）当旋转角α=__________时，ABD △的面积最大．15．如图，在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，矩形BDEF 的边BF ＝1，BD ＝2，矩形BDEF 可以绕点B 在平面内旋转，连接AE 、BE 、CD ． （1）证明：①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，求CD 的长；（3）设AE 的中点为M ，连接FM ，直接写出FM 的最大值．16．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点A 的坐标为()5,0，点B 的坐标为()0,3，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图①，当点D 落在线段BE 上时，连接AB ，AD 与BC 交于点H ． ①求证：ADB AOB ≅△△； ①求点H 的坐标．（3）点K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE 得面积，直接写出S 的取值范围．17．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6,8,10PA PB PC ===，若将PAC △绕点A 顺时针旋转后得到P AB '△，（1）求旋转角的度数；（2）求点P 与点P '之间的距离； （3）求APB ∠的度数．18．如图在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y 34=-x +b 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，OA ＝4，①OBA 的外角平分线交x 轴于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）点P 是线段BD 上一点（不与B 、D 重合），过点P 作PC ①BD 交x 轴于点C ，设点P 的横坐标为t ，△BCD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC 的延长线交y 轴于点E ，当PC ＝PB 时，将射线EP 绕点E 旋转45°交直线AB 于点F ，求F 点坐标．19．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线AC 上一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ，连接BE ，AF ，CF ．（1）求证：B ，C ，F 三点共线；（2）若点G 为BE 的中点，连接AG ，求证：2AF AG =．20．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，△BCD=α°，△ABC+△ADC=180°，AC、BD交于点E．将△CBA 绕点C顺时针旋转α°得到△CDF（点B、A的对应点分别为点D、F）．（1）画出旋转之后的图形（不要求写画法，保留画图痕迹）；（2）求证：△CAB=△CAD；（3）若△ABD=90°，AB=3，BD=4，△BCE的面积为1S，△CDE的面积为2S，求1S:2S的值．参考答案：1．解：①将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到①DEC，E点在AC上，①CA=CD，①ECD=①BCA=30︒，(180︒−30︒)=75︒，①①CAD=①CDA=12又①①DEC=①ABC=90︒，①①ADE=90°-75︒=15︒；(2)①FBC=30︒时，四边形BFDE为平行四边形，①①FBC=①ACB=30︒，①①ABF=①A=60︒，①BF=CF=AF，①ABF是等边三角形，①BF=AB，①将ABC绕点C顺时针旋转60︒得到DEC，①DE=AB，BCE是等边三角形，①DEC=①ABC=90︒，①①CBE=①BEC=60︒，①①EBF=①EBC-①FBC=30︒，①①DEB+①EBF=180︒，①DE=BF，//DE BF，①四边形BFDE为平行四边形．2．①正方形；．理由：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°，∴EG ＝EC ，∴四边形CEGF 是正方形，∵AC BC ,，∴AG ＝AC ﹣CGBC ﹣EC ，∴AG BE(2)结论：AG ，理由：如图2中，连接CC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC由①得四边形GECF 是正方形，∴∠GEC ＝∠ECF ＝90°，GE ＝EC ，∴△EGC 为等腰直角三角形．∴CG CE∴AC CG BC EC=∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CG BE EC∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ；(3)如图3中，连接CG ，∵∠CEF ＝45°，点B 、E ，∴∠BEC ＝135°．∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°．∴∠AGF ＝∠AGC +∠CGF ＝135°+45°＝180°，∴点A ，G ，F 三点共线，∴∠AGE ＝∠AGF ﹣∠EGF ＝180°﹣90°＝90°，∴AG ⊥GE ，故答案为：AG ⊥GE ．3．(1)DF =CF 且DF ①CF ；延长CF 至点M ，使CF =FM ，连接ME ，MD ，CD ，延长DE 交CB 延长线于点N ，如图1，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM=BC=AC，①FME=①FCB，①BC①EM，①①N=①MEN，在四边形ACND中，①ACB=①ADE=90°，①①N+①CAD=360°-（①ACB+①ADE）=180°，又①①MEN+①MED=180°，①①MED=①CAD，又AD=DE，EM=AC，①①MED①①CAD（SAS），①DM=DC，①MDE=①CDA，①①MDC=①NDC+①MDE=①NDC+①CDA=①ADE=90°，①①DCM为等腰直角三角形，①点F是CM中点，CM=CF，DF①CF；①DF=12(2)DF①CF且CF；延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，如图2，①BF=EF，CF=FM，①BFC=①EFM，①①BFC①①EFM（SAS），①EM =BC =AC ，①FME =①FCB ，①BC //EM ，①①N =①NER ，①①ACB =60°，①①ACN =120°，①①ADE =120°，①①ADN =60°，①①N +①CAD =360°-（①ACN +①ADN ）=180°，①①DER +①DEM =180°，①①DEM =①CAD ，又 AD =DE ，EM =AC ，①①MED ①①CAD （SAS ），①DM =DC ，①MDE =①CDA ，①①DCM 为等腰三角形，①①CDM =①ADE =120°，①F 是CM 的中点，①DF ①CF①60CDF ∠=︒①30DCF ∠=︒①CD =2DE由勾股定理得，222CE DE CD +=①2224CE DE DE +=解得，CF （负值舍去）①DF ①CF 且CF ．4．(1)如图，过点D 作DE OA ⊥，垂足为E ．① 0A ，B m ）0m （＞），① AB OA ⊥，OA =AB m =．① 30AOB ∠=︒，① 22OB AB m ==．在Rt OAB 中，由222OA AB OB +=，得2234m m +=．解得1m =．① 1AB =，2OB =．① OCD 是由OAB 旋转得到的，① 2OD OB ==，30DOC AOB ∠=∠=︒．① 60DOE DOC BOA ∠=∠+∠=︒．① 9030ODE DOE ∠=︒-∠=︒．① 112OE OD ==． 在Rt OED 中，DE =① 点D 的坐标为（．(2)如图，过点C 作CT OA ⊥，垂足为T ．由已知，得45COT ∠=︒．① 9045OCT COT ∠=︒-∠=︒．① OT CT=．① OCD是由OAB旋转得到的，① OC OA==在Rt OTC△中，由222T TO C OC+=，得OT CT=① 点C的坐标为．(3)如图①中，过点D作DJ①OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．①①DOC=30°，①COT=45°，①①DOJ=75°，①①ODJ=90°-75°=15°，①KD=KO，①①KDO=①KOD=15°，①①OKJ=①KDO+①KOD=30°，①OK=DK=2m，KJ，①OD2=OJ2+DJ2，①22=m2+（2m）2，解得m=，①OJ DJ①D⎫⎪⎪⎝⎭．5．（1）证明：连接AE，DB，CB①点B 与点C 关于射线AH 对称，30HAB ∠=︒ ①CD BD =，AC AB =①30HAB HAC ∠∠==︒①260CAB HAC ∠∠==︒①ABC 为等边三角形，60ACB ∠=︒ ①60DCE ∠=︒①DCE ACD ACB ACD ∠∠∠∠-=- ECA DCB ∠=∠①在ECA △和DCB 中，EC DC ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()ECA DCB SAS ≅△△①BD EA =①DC BD EC ==，①AE EC =又AB BC =①EB 垂直平分AC（2）分两种情况来讨论：第一种情况，如图，当点D 在ABE △内部时：①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠+∠=︒+∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒+∠第二种情况，如图，当点D 在ABC 外部时： ①点B 与点C 关于射线AH 对称，①90CFA ∠=︒①90ADC CFA DCB DCB ∠=∠-∠=︒-∠ ①ECA DCB ∠=∠①90ADC ECA ∠=︒-∠6．如图，即为补全的图形，根据题意可知BAC DAE α∠=∠=，①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠．(2)由旋转可知AD AE =，①在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()BAD CAE SAS ≅，①BD CE =．①BD BC CD =+，①CE BC CD =+．①点F 为BC 中点，①2BC BF =，①2CE BF CD =+，即2CE CD BF -=．(3)如图，连接AF ，作AN DE ⊥，①AB=AC ，F 为BC 中点，①90AFD ∠=︒，12FAB FAC α∠=∠=． 根据作图可知90AND ∠=︒，①180AFD AND ∠+∠=︒，①A 、F 、D 、N 四点共圆，①AFN ADN ∠=∠．①AD AE =，AN DE ⊥，①EN DN =，11(180)9022AFN ADN DAE α∠=∠=︒-∠=︒-． ①11909022AFN FAC αα∠+∠=︒-+=︒． ①90AFH FAC ∠+∠=︒，且点H 在线段DE 上，①点H 与点N 重合，①EH DH =．7．（1）①180AOD AOB COD ∠=︒-∠-∠，3045AOB COD ∠=︒∠=︒，，①10510560=6300AOD '∠=︒=⨯．故答案为：105，6300；（2）当5t =时，即三角尺ABO 绕点O 顺时针旋转了51050⨯︒=︒，如图，ABO 即为旋转后的图形．由旋转可知50BOM ∠=︒，①180180455085BOD COD BOM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为85；（3）当三角尺绕点O 顺时针旋转到如图所示的ABO 的位置时，边OD 平分①AOC ．①224590AOC COD ∠=∠=⨯︒=︒，①90AOM ∠=︒①90903060BOM AOB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ①60610t ==； 故答案为：6；（4）①当边OA 落在直线l 上时停止运动时， ①180150=1510t -≤． 当OA 和OC 重合时，即有10418030t t +=︒-︒， 解得：757t =． ①当757t ≤时，1801030415014AOC t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当757t >时，1030418014150AOC t t t ∠=+︒+-︒=-︒． 当OB 和OD 重合时，即有10418045t t +=︒-︒， 解得：13514t =①当13514t ≤时，1801045413514BOD t t t ∠=︒--︒-=︒-， 当13514t >时，1045418014225BOD t t t ∠=+︒+-︒=-︒． ①可根据2AOC BOD ∠=∠分类讨论，①当13514t ≤时，有15014=2(13514)t t ︒-︒-， 解得：607t =，符合题意； ①当13575147t <≤时，即有150142(14225)t t ︒-=-︒ 解得：1007t =，符合题意； ①当757t >时，即有141502(14225)t t -︒=-︒解得：150157t =>，不符合题意舍； 综上，可知当607t =或1007t =时，2AOC BOD ∠=∠． 8．（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩ ①AOG ①ADG （HL ）．（2）在Rt ①ADP 和Rt ①ABP 中，AD AB AP AP=⎧⎨=⎩ ΔΔADP ABP ∴≅（HL ）， 则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠；又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒，PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+．（3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠，又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；∴在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+∴222(2)3OG OG =+ 解得OGG ∴点坐标为0)，3CG =在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+∴222(2)CG CG PC =+， ∴3PC =，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．①如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，GM ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．9．（1）如图，（2）DR ①BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD ∴是等腰直角三角形BD DR ∴=∴①BDE ①①RDF ；（2）如图，当24PB AB ==时，使得对于任意的点D ，总有①BPF 为定值，证明如下，ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==BC ∴=DC =设DE a =，则CD =，①BDE ①①RDF ,DR BD ∴==，FR BR a == ABC 是等腰直角三角形，45EBD ∴∠=︒DR BC ⊥45BRD ∴∠=︒BDR ∴是等腰直角三角形，42BR a ∴==-()4422PR BP BR a a ∴=-=--=①BDE ①①RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值10．证明：（1）如图1，将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，连接DE ，①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①①ABC ＝45°，①将①ABD 沿AB 折叠，得到①ABE ，①①ABD ①①ABE ，①AE ＝AD ，BE ＝BD ，①ABE ＝①ABD ＝45°，①BAD ＝①BAE ＝30°，①①DBE ＝90°，①DAE ＝60°，且AD ＝AE ，BE ＝BD ，①①ADE 是等边三角形，DE =，①AD ＝DE =故答案为：（2）如图2，过点A 作AE ①AD ，且AE ＝AD ，连接DE ，①AE ①AD ，①①DAE ＝①BAC ＝90°，①①BAE ＝①DAC ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，①①BAE ①①CAD （SAS ）①①ACD＝①ABE，①①ACD+①DCB+①ABC＝90°，①①DCB+①ABC+①ABE＝90°，①①BOC＝90°，①AE＝AD，AE①AD，①DE=，①ADE＝45°，①①BDC﹣①ADC＝45°，①①BDC＝①ADC+45°＝①EDC，且DO＝DO，①DOB＝①DOE＝90°，①①DOB①①DOE（ASA）①BD＝DE，①BD=；（3）如图3，连接PC交AB于G点①①DAE绕A点旋转①AD=AE，AB=AC,①①DAE=①BAC=90°①①DAB=①EAC①①DAB①①EAC①①DBA=①ECA①①PGB=①AGC①①BPC=①GAC=90°①①BPC为直角三角形①点P在以BC中点M为圆心，BM为半径的圆上，连接PM交AB所在直线于点N，当PM①AB时，点P到直线AB的距离最大，①①BAC=90°①A 、P 、B 、C 四点共圆①PM ①AB ，①N 是AB 的中点①M 是BC 的中点①MN =122AC = ①AB ＝AC ＝4，①CB =22442，①BM =PM =12BC =，①PN ＝2 ，①点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PN ＝2 ． ①①P AB的面积最大值为12AB ×PN ＝4． 11．（1）证明：ABC 是等边三角形60,BAC AB AC ∴∠=︒=线段DA 绕着点D 顺时针旋转60°得到线段DE ， 60,DAE DA DE ∴∠=︒=ADE ∴是等边三角形DAC DAE CAE BAC CAE EAB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠ 即DAC EAB ∠=∠∴ADC AEB △≌△∴CD BE =（2）ABC 是等边三角形，AB ＝4，则60BAC ∠=︒过点A 作AM BC ⊥，则1302BAH BAC ∠=∠=︒ Rt ABH 中，122BH AB ==AH ∴=142ABC S ∴=⨯⨯△①ABC 的面积等于①ABF 面积的4倍ABF S ∴=△11sin 60422ABF S BF AB =⋅⨯︒=⨯=△ 1BF ∴= ①当F 点在B 点的左侧时，如图，60ACB ABC ∠=∠=︒120ACD ∴∠=︒ADC AEB △≌△ADC AEB ∴∠=∠，BE DC =60ABC ∠=︒60EBF ABE ABC ∴∠=∠-∠=︒60FBE FCA ∴∠=∠=︒又AFC EFB ∠=∠AFC EFB ∴∽FB BE FC AC∴= 4,1AC BC AB BF ====413FC ∴=-=14433FB AC BE FC ⋅⨯∴=== 43CD EB ∴==①当F 点在B 点的右侧时，如图，ADC AEB △≌△60ACD EBA ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒18060EBF ABC ABE ∴∠=︒-∠-∠=︒BE AC ∴∥FEB FAC ∴∽FB BE FC AC∴= 1,4,145FB AC FC BC BF ===+=+=45FB AC BE FC ⨯∴== 45CD EB ∴==综上所述CD 的长为43或45（3）如图，点E 关于直线AD 的对称点为点G ，ADE 是等边三角形60ADE ADG ∴∠=∠=︒，AE AD =AEN ADM ∴∠=∠60=︒60,60MAD DAB CAB EAB DAB DAE ∠+∠=∠=︒∠+∠=∠=︒MAD NAE ∴∠=∠MAD NAE ∴=AM AN ∴=60MAN ∠=︒AMN ∴是等边三角形MN AN ∴=由（2）可得45BE =，FEB FAC ∽ 445525EF BF BF AF FC BC BF ∴====+过点A 作AH BC ⊥，则AH =,2CH HB ==，3HF HB BF =+=AF ∴=425EF AF ∴==AE AF EF ∴=-==60,ABE AEN EAB NAE ∠=∠=︒∠=∠∴BEA ENA ∽BE BA EN EA∴= 则BE EA EN BA ⨯=60,ADN ABE AND ENB ∠=∠=︒∠=∠ADN EBN ∴∽AD AN EB EN∴= 即AN EB EN AD ⨯= BE EA AN EB BA AD ⨯⨯∴= EA AD AN AB⨯∴=AE AD =,4AB =2926142500AN ⎝⎭∴== 即92612500MN =12． 解：（1）如图1，过点C 作CD ①x 轴于D ，①在①ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC＝①4AB = ，①点B （4，0），①CD ①AB ，①AD ＝CD ＝12AB ＝12×4＝2，①点C 的坐标为（2，2）；（2）如图，把①ACM 绕点C 逆时针旋转90°得到①BCM ′，连接M ′N ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，45AM BM CM CM CAM CBM ACM BCM '''==∠=∠=︒∠=∠'、、，，①454590M BN ABC CBN ∠'=∠+∠'=︒+︒=︒ ，①①MCN ＝45°，①90904545M CN BCN BCM BCN ACM MCN ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ， ①MCN M CN ∠=∠' ，在①MCN 和①M ′CN 中，①CM CM MCN M CN CN CN ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①MCN M CN SAS '≌（）， ①MN M N =' ，在Rt M NB ' 中，222BM BN M N +='' ，①222AM BN MN += ，1AM =，①3MN BN AB AM +=-=，1BM '= ，设MN x =，则BN =3x -，()22213-x x ∴+=，解得：53x =， 53MN ∴=； （3）AM 2+BN 2＝MN 2，证明如下：如图3，把①BCN 绕点C 顺时针旋转90°得到ACN ' ，①90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，①①ABC 是等腰直角三角形，①①CAB ＝①CBA ＝45°，由旋转的性质得，135AN BN CN CN CAN CBN '='=∠'=∠=︒，， ， ①1354590MAN ∠'=︒-︒=︒，①点N '在y 轴上，①①MCN ＝45°，①904545MCN ∠'=︒-︒=︒，①MCN MCN ∠=∠' ，在①MCN 和①MCN ′中，①CN CN MCN MCN CM CM =''⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()MCN MCN SAS ≅' ，①MN MN =' ，在Rt AMN ' 中，222AM AN MN +''= ，①222AM BN MN +＝ ．13．（1）如图1，①90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，①90ACB AEB ∠=∠=︒，又①12∠=∠，①CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；①EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又①AC CB =，CAE CBD ∠=∠，①ΔΔACM BCE ≌，①CM CE =，ACM BCE ∠=∠，又①90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒，①90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒，①ME =，又①射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且90AEF ∠=︒，①EF AE AM ME BE ==+=.14．解：（1）如图：BD 与EC 的数量关系是相等，理由如下：,AB AC AD AE ==，AB AD AC AE ∴-=-，BD EC ∴=；BD 与EC 的位置关系是垂直，理由如下：AB AC ⊥， 又点,D E 分别在,AB AC 上，BD EC ⊥；（2）成立：理由分别如下：如图：根据旋转的性质可得：,,AD AE AB AC BAD CAE ==∠=∠， ()ABD ACE SAS ∴≌，BD EC ∴=，作BD 的延长线交EC 于点F ，交AC 于点G ，如下图：由ABD ACE SAS △≌△()可知，ABD ACE ∠=∠，AGB FGC ∠=∠，AGB FGC ∴∽，90GAB GFC ∴∠=∠=︒，GF CF ∴⊥，即BD EC ⊥；（3）当点D 在线段BE 上时，90BAD BAC DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，90CAE DAE DAC DAC ∠=∠-∠=︒-∠，BAD CAE ∴∠=∠，又AB AC =，AD AE =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，180135ADB AEC ADE ∴∠=∠=︒-∠=︒，451354590BEC AEC ∴∠=∠-︒=︒-︒=︒；（4）由题意知，点D 的轨迹在以A 为圆心，AD 为半径的圆， 在ABD ∆中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD ∆的面积最大， 故如图所示，当AD AB ⊥时，ABD ∆的面积最大，∴旋转角为90︒或270︒，故答案为：90︒或270︒．15．解：（1）在Rt ①ABC 中，BC ＝4，AC ＝2，①ACB ＝90°，AB ∴=在Rt ①BDE 中，BF ＝1，BD ＝2，BE ∴=121tan ,tan 242ED AC EBD ABC BD BC ∴∠==∠=== EBD ABC ∴∠=∠EBD ABD ABC ABD ∴∠-∠=∠-∠ABE CBD ∴∠=∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBD ；（2）当A 、E 、F 三点共线时，分两种情况讨论： ①90AED ∠=︒，如图，在Rt ①AFB 中，222AB BF AF =+21(2)20AE ∴++=2(2)19AE ∴+=2AE ∴=①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴= ①如图，90AFB ∠=︒在Rt ①AFB 中，22220119AF AB BF =-=-=AF ∴=2AE AF EF ∴=+=EBD ABC ∠=∠90EBF ABC ∴∠+∠=︒EBF ABC FBC DBF FBC ∴∠+∠+∠=∠++∠24AB BE BC BD ===∴①ABE ①①CBDAE CD ∴=CD ∴=综上所述，CD =CD =（3）如图，延长EF 至点G ，使得EF =FG ，连接BG ，此时①BEG 是等腰三角形， 当G B A 、、三点共线，此时FM 最大//BD GEG DBA ∴∠=∠9090180DBA FBD GBF G FBD GBF ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒， 此时，G B A 、、三点共线，F M 、分别是BE 、AE 的中点，FM ∴是①EGA 的中位线，111==()222FM AG AB BG ∴+==16．解：（1）如图①中，(5,0)A ，(0,3)B ，5OA ∴=，3OB =，四边形AOBC 是矩形，3AC OB ∴==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，5AD AO ∴==，在Rt ADC 中，4CD ，1BD BC CD ∴=-=，(1,3)D ∴．（2）①如图①中，由四边形ADEF 是矩形，得到90ADE ∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由（①）可知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，()Rt ADB Rt AOB HL ∴≌．①如图①中，由ADB AOB ∆≅∆，得到BAD BAO ∠=∠，又在矩形AOBC 中，//OA BC ，CBA OAB ∴∠=∠，BAD CBA ∴∠=∠，BH AH ∴=，设AH BH m ==，则5HC BC BH m =-=-，在Rt AHC 中，222AH HC AC =+，2223(5)m m ∴=+-，175m ∴=， 175BH ∴=， 17(5H ∴，3)． （3）如图①中，当点D 在线段BK 上时，DEK ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯=当点D 在BA 的延长线上时，①D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯=． 17．解：（1）∵P AB ∆'由PAC ∆绕点A 旋转得到，∴P AB PAC ∆≅∆'，∴P AB PAC ∠=∠'，P A PA '=，∵60BAC PAC PAB ∠=∠+∠=︒，∴60P AB PAB ∠+∠='︒，即：60P AP ∠='︒，∴旋转角度数为60︒；（2）如图所示，连接P P '，∵60P AP ∠='︒，P A PA '=，∴P AP ∆'为等边三角形，∴6P P PA '==,即点P 与点P '之间的距离为6；（3）在P PB ∆'中，由（1）得：10P B PC ='=，6P P '=，8PB =，∴222P B P P PB ''=+，∴P PB ∆'为直角三角形，∴90P PB ∠='︒，由（1）得60APP ∠='︒，∴150APB P PB APP ∠=∠+='∠'︒，∴APB ∠的度数为150︒．18．（ 1 ）①OA ＝4，①A （4，0），把A （4，0）代入34y x b =-+， 得：b ＝3，过点D 作DH ①AB 于点H ，则DH ＝DO ，BH ＝BO ，①当x ＝0时，y ＝3，①B （0，3），①OA ＝4，BO ＝BH ＝3，在Rt OAB 中，①5AB ，AD ＝DO +OA ＝DH +4， ①1122ABD S AD OB AB DH =⋅⋅=⋅⋅， ①()1143522DH DH ⨯+⨯=⨯⋅， 解得：DH ＝6，①OD ＝6，①点D 的坐标为（﹣6，0），（2）过点P 作PE ①OD 于点E ，则△DPE ①①DBO ，①点P 在直线BD 上，且点P 的横坐标为t ，①DE ＝t +6，①OD ＝6，OB ＝3，在Rt OBD △中，BD ==①①DPE ①①DBO ， ①DP DE DB DO =，66t +，解得：)6DP t =+， ①PC ①BD ， ①①PDC ①①ODB ， ①PC DP OB OD=，①)6236t PC +=，①)6PC t =+，①)()1115154566=22884BCD S BD PC t t t =⋅⋅=⨯+=++； （3）作PH 垂直于x 轴于点H ，设射线EP 绕点E 逆时针旋转45°交x 轴于点K ，顺时针旋转45°交x 轴于点G ．①①BPC ＝90°，①BOC ＝90°①B ，P ，C ，O 四点共圆，①PC PB =,①45PCB PBC ∠=∠=︒，①①POC ＝①PBC ＝45°，①90PHO ∠=︒,①45HPO POC ∠=∠=︒,①PH ＝HO ，①DH ＝6﹣HO ＝6﹣PH ，①DHP DOB ∽, ①663PH DO PH BO -==， 得PH ＝2，①HC ＝CO ＝1，①OE ＝2，①点(0,2)E -,①①KEP ＝①DBC ，①PEB ＝①BDC ，①①KEP +①PEB ＝①DBC +①BDC ，即①KEO ＝①BCO ，①OE ：GK ＝CO ：BO ＝1：3，①GK ＝6，①K （﹣6，0），设直线KE 的解析式为：y kx b =+，则62y k b b =-+⎧⎨-=⎩，解得：132k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，， ①直线KE 为：y 13=-x ﹣2， 联立方程组：123334y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得x ＝12，y ＝﹣6，①F 1（12，﹣6），①①KEP +①PEG ＝90°，①①DEG ＝90°，①①OEG ＝①ODE ，①OG ：OE ＝OE ：OD ＝1：3，①OG 23=； ①G （23，0）， 设直线EG 的解析式为：y mx n =+， 则20=32m n n⎧+⎪⎨⎪-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩， ①直线EG 的解析式为：y ＝3x ﹣2， 联立方程组：32334y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得x 43=，y ＝2， ①F 2（43，2）， 综上所述：F 的坐标为（12，﹣6）或（43，2）． 19．证明：（1）①四边形ABCD 是菱形，①ABC ＝60°， ①AB ＝BC ＝AD ＝CD ，①ADC ＝①ABC ＝60°，①①ADC 是等边三角形，①AD ＝AC ＝AB ＝BC ，①①ACB 是等边三角形，①①ACB ＝①ACD ＝60°，①①ADC ＝①EDF ＝60°，①①ADE ＝①CDF ，①将线段DE 绕点D 逆时针旋转60︒，点E 的对应点为F ， ①DE DF =,在①ADE 和①CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADE ①①CDF （AAS ），①60DCF DAE ∠=∠=︒,①180DCF BCD ∠+∠=︒，①B ，C ，F 三点共线；（2）如图，过点B 作BH ①AC ，交AG 的延长线于点H ，①BH ①AC ，①①H ＝①GAE ，①ABH ＋①BAC ＝180°，①①ABH ＝120°＝①ACF ，①点G 为BE 的中点，①BG ＝GE ，在①AGE 和①HGB 中，H GAE AGE BGH BG GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AGE ①①HGB （AAS ），由（1）得AE CF =,①AE ＝BH ＝CF ，AG ＝GH ＝12AH ，在①ABH 和①ACF 中，AB AC ABH ACF BH CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABH ①①ACF （SAS ），①AF ＝AH ，①AF ＝2AG ．20．（1）如图①CDF 即为旋转之后的图形；（2）证明：由旋转旋转可知：①CAB ①①CFD ，①①CDF =①CBA ，①F =①CAB ，CA =CF ，①①CBA +①CDA =180°，①①CDF +①CDA =180°，①A 、D 、F 三点共线，①AC =CF ，①①F =①CAD ，①①CAB =①CAD ；（3）过点E 作EM ①AF 于点M ，过点C 作CN ①BD 于点N ， ①①ABE =①AME =90°，在①ABE 和①AME 中，EAB EAM ABE AME AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ①①ABE ①①AME （AAS ），①AM =AB =3，BE =ME ，①①ABD =90°，AB =3，BD =4，①5AD ==,①DM =2，设BE EM x ==，则4DN x =-,①()222x 24x +=-，解得 1.5x =，①BE =1.5，DE =2.5， ①12113::225S S BE CN DE CN =⋅⋅=.。

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践 问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题． 动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作： 第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ． （1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ． 实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________． 将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________． （2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由． 拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上． （1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明； （2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ， 连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积． （3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________； （2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ． （1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ． （1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°； （2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值； （3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度； （Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ． （1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值． （2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值． 【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）； （3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

备战2022最新中考数学考点专题训练——专题五：图形的旋转1．在图中，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为．2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝°．6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x 轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2022最新的横坐标为．7．已知一个直角三角板PMN，∠MPN＝30°，MN＝2，使它的一边PN与正方形ABCD的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为．8．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，∠DAE ＝45°，将△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有．（填序号）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△CAD；③EA平分∠CEF；④BE2+DC2＝DE2．9．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB'C′，则CC′＝．10．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转次，每次旋转度形成的．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是．12．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，则点B 的对应点的坐标为．13．如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为．14．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有．15．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为度．16．将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为．17．如图，点D是等边△ABC内一点，将△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，连接BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE的度数为．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝度．19．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝2，则PP′＝．20．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为．21．如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将△ABO绕OA中点C逆时针旋转90°得到△A′B′O′，则A′的坐标为．22．如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝°．23．已知A，B，O三点不共线，点A，Aʹ关于点O对称，点B，Bʹ关于点O对称，那么线段AB与AʹBʹ的关系是．24．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为度．25．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．27．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O 按顺时针方向旋转90°，得到△AB10，那么点A1的坐标为．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt △AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．29．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是．30．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．31．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，将△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△COD．设AO 的中点为E，CD中点为P，AO＝a，连接EP，当θ＝°时，EP长度最大，最大值为．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．33．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为．备战2022最新中考数学考点专题训练——专题五：图形的旋转参考答案1．在图中，是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的，它的旋转角为．【答案】解：∵图形是基本图案多边形ABCDE旋转而成的，而根据图形知道旋转形成的图形是一个正六边形，∴它的旋转角为60°．2．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是．【答案】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252……3，∴点A2019的坐标为（，﹣）．故答案为（，﹣）．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．【答案】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若AC＝1，AB＝3，则BC′＝．【答案】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，∴AC′＝AC＝1，∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2．故答案为2．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝°．【答案】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝140°，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴∠CDE＝∠B＝70°，BC＝CD，∴∠B＝∠BDC＝70°，∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100．6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x 轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2022最新的横坐标为．【答案】解：由图象可知点B2022最新在第一象限，∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴B2022最新（10100，4）．∴点B2022最新横坐标为10100．故答案为101007．已知一个直角三角板PMN，∠MPN＝30°，MN＝2，使它的一边PN与正方形ABCD的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为．【答案】解：∵∠MPN＝30°，MN＝2，∴AD＝MN•cot∠MPN＝2×cot30°＝2×＝2，①如图1，当点F在BC上，点N不在BC上时，根据旋转的性质AF＝AM，在Rt△ABF和Rt△ADM中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL），∴BF＝DM，又∵BF＝BC﹣CF，DM＝CD﹣CM，∴CF＝CM＝CD﹣DM＝2﹣2；②如图2，△PMN绕点P顺时针旋转90°时，点F、B都在直线BC 上时，根据旋转的性质，BF＝MN＝2，所以，CF＝BC+BF＝2+2，综上所述，CF的长为（2﹣2）或（2+2）．故答案为：（2﹣2）或（2+2）．8．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，∠DAE ＝45°，将△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有．（填序号）①∠EAF＝45°；②△ABE∽△CAD；③EA平分∠CEF；④BE2+DC2＝DE2．【答案】解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，∴∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF，而∠DAE＝45°，∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴△DAE≌△FAE，∴∠DEA＝∠FEA，即EA平分∠CEF；∴EF＝ED，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴BE2+DC2＝DE2，∴①③④正确，故答案为①③④．9．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB'C′，则CC′＝．【答案】解：连接CC′，如图所示．由旋转，可知：AC＝AC′，∠CAC′＝60°，∴△ACC′为等边三角形，∴CC′＝AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝，∴CC′＝．故答案为：．10．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转次，每次旋转度形成的．【答案】解：如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，故答案为：7；45．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是．【答案】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70°．12．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，则点B 的对应点的坐标为．【答案】解：如图，∵△OA′B′是由△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到，∴OA′＝OA，A′B′＝AB，且A′B′⊥OA′，∵OA＝2，AB＝1，∴OA′＝2，A′B′＝1，∴点B′（﹣2，1），即点B的对应点的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．13．如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为．【答案】解：根据旋转的性质可知，∠ACB＝∠A′CB′＝45°，那么旋转角度的大小为∠ACA′＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135°．14．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴∠EAP＝∠BAC＝45°，AP＝BC＝CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE＝CF．正确；②由①知，△AEP≌△CFP，∴∠APE＝∠CPF．正确；③由①知，△AEP≌△CFP，∴PE＝PF．又∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；④只有当F在AC中点时EF＝AP，故不能得出EF＝AP，错误；⑤∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF＝S△AEP+S△APF＝S△CPF+S△BPE＝S△ABC．正确．故正确的序号有①②③⑤．15．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为度．【答案】解：连接PP′．根据旋转的性质，得：∠P′AB＝∠PAC．则∠P′AB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，即∠PAP′＝60°．故答案为：60．16．将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为．【答案】解：将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点在x轴的正半轴上，到原点的距离为1，因而该点的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．17．如图，点D是等边△ABC内一点，将△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，连接BE，若∠AEB＝45°，则∠DBE的度数为．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BDC以点C为中心顺时针旋转60°，得到△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CAE+∠AEB＝∠CBE+∠BCA，即∠CBD+45°＝∠CBE+60°，∴∠CBD﹣∠CBE＝60°﹣45°＝15°，即∠DBE＝15°．故答案为：15°．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝度．【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ABC＝65°，由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，∴∠ECB＝50°，∴∠θ＝50°，故答案为：50．19．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝2，则PP′＝．【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∵△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，∴∠PBP′＝∠ABC＝90°，PB＝P′B＝2，∴△PBP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝2．故答案为2．20．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为．【答案】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD中，tanB＝＝，∴tanB′＝tanB＝．故答案为．21．如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将△ABO绕OA中点C逆时针旋转90°得到△A′B′O′，则A′的坐标为．【答案】方法一：解：如图过A'作O'B'的垂线交y轴于点N，∵点A到OB的距离是2，∴点A'到O'B'的距离A'M＝2，故A'N＝MN﹣A'M＝OB﹣A'M＝3﹣2＝1，由勾股定理得OA＝2，∴A'C＝OC＝，由勾股定理OA'＝，在Rt△OA'N中，用勾股定理得ON＝3，∴A'（1，3）．方法二：解：过点C作直线l平行于x轴，分别过点A、A'作AM⊥l、A'N⊥l，垂足分别为M、N，如图2所示，∵∠ACA′＝90°，∴∠ACM+∠A′CN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠CAM＝∠A′CN，在Rt△ACM和Rt△A′CN中，∵∠CAM＝∠A′CN，AC＝A′C，∴△ACM≌△A′CN，A′N＝CM，CN＝AM，∵点C为OA中点，A点坐标为（4，2）∴AM＝×2＝1，CM＝＝2，∴A′点纵坐标为2+1＝3，∵点A到OB的距离是2，∴点A'到O'B'的距离是2，∵OB＝3，∴A′点横坐标为3﹣2＝1，∴A'（1，3）．22．如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝°．【答案】解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，∵点D正好落在BC边上，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠EAB＝20°．故答案为：20．23．已知A，B，O三点不共线，点A，Aʹ关于点O对称，点B，Bʹ关于点O对称，那么线段AB与AʹBʹ的关系是．【答案】解：∵点A′与点A关于点O对称，点B′与点B关于点O对称，∴线段AB与A′B′关于点O对称．∴AB∥A′B′，且AB＝A′B′故答案为：平行且相等．24．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为度．【答案】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD，∴∠DOB＝70°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°，故答案为：30．25．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的度数为．【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B＝180°，∴∠DA′B＝180°﹣50°＝130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE＝30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝130°+30°＝160°．故答案为160°．26．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．【答案】解：将△AMB逆时针旋转90°到△ACF，连接NF，∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，在△MAN和△FAN中∴△MAN≌△FAN，∴MN＝NF，∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°，∵CF＝BM＝1，CN＝3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，故答案为：．27．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O 按顺时针方向旋转90°，得到△AB10，那么点A1的坐标为．【答案】解：把点A绕点O顺时针旋转90°可得A1的坐标为（1，3）．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt △AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．【答案】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．∵B′E⊥EC，∴∠AB′E＝30°，∴AE＝3，∴根据勾股定理得出：B′E＝＝3，∴EC＝AE+AC＝6，∴B′C＝＝＝3．故答案为：3．29．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是．【答案】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故答案是：30°．30．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．【答案】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．31．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，将△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△COD．设AO 的中点为E，CD中点为P，AO＝a，连接EP，当θ＝°时，EP长度最大，最大值为．【答案】解：∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝2a，∵△AOB绕顶点O顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜＜180°）得到△COD，∴CD＝AB＝2a，连结OP，∵CD中点为P，∴OP＝CD＝a，如图1，PE＜OE+OP，点P、O、E共线时，如图2，Q为AB的中点，∵PE＝OE+OP，∴PE的最大值为0.5a+a＝1.5a．∵QA＝QO，∴∠AOQ＝∠A＝60°，∴∠POQ＝120°∴旋转角θ＝120°．故答案为120，1.5a．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是．【答案】解：连接AE，如图所示：由旋转变换的性质可知，∠ADE＝∠CDG，AD＝BC＝DE＝17，AB ＝CD＝DG＝15，由勾股定理得，CE＝＝＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，则AE＝＝＝3，∵＝，∠ADE＝∠CDG，∴△ADE∽△CDG，∴＝＝，解得，CG＝，故答案为：．33．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为．【答案】解：作AC⊥x轴于C，∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），∴AC＝2，BC＝3+1＝4，把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，∴点A′的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．。

2022年人教版初中数学9年级上册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一、选择题1．（2020•德州）如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°2.如图，在等腰直角△ABC 中，B=90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于（）.A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，如果一个四边形ABCD 旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（）个．A、1B、2C、3D、4第2题第3题第4题4．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC 绕点O 旋转180°旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（）.A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5.如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为().A.B.C.D.6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.A．90°B．60°C．45°D．30°第5题第6题7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是().A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是().A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)二.填空题9.正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.10.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_________．11．（2020•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．第12题第13题第14题14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．15.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．第15题第16题16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．三综合题17．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．18.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．20.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．2．【答案】 B.【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.2题图5题图3．【答案】C.【解析】旋转中心的点分别是点D,点C,和线段DC 的中点.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】，∴ADPB s'四边形=332=63⨯∴3=1-3s 阴影.6．【答案】 C.【解析】旋转的角度应该是45°的倍数.7．【答案】 B.8.【答案】 A.【解析】逆时针旋转90°，点A′在第二象限，利用三角形全等可得.二、填空题9.【答案】12O.10.【答案】21-；【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC ′=∠C ′=45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD=BC=1，AF=FC ′=AC ′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：21-.11．【答案】31+.【解析】如图，连接AM ，由题意得：CA=CM ，∠ACM=60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AM=CM ，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC ，CM=AM ，∴BM 垂直平分AC ，∴BO=AC=1，OM=CM •sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．12．【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由△ABF≌△ADE，得到AF=AE,∠BAF=∠DAE,即△AEF 是等腰直角三角形.12题图13题图13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs=△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】25.【解析】∵AE=2231+=10=AE′，∴EE′=102=25⨯.15．【答案】(b+1,1-a).【解析】因为AC=b，BC=a-1,所以BD=b，A′D=a-1,又因为点B(1,0),所以OD=b+1,A′D=a-1,因为点A′在第四象限，所以点A′（b+1，a-1）.16．【答案】80°.三.解答题17.【解析】解：（1）A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）关于x 轴的对称点分别为A 1（3，﹣2），B 1（3，﹣5），C 1（1，﹣2），如图所示，（2）①∵A （3，2）、B （3，5）、C （1，2），∴AB=3，AC=2，BC=，∵，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴∠CAB=90°，∵AC 与AC 2的夹角为∠CAC 2，∴旋转角为90°；②∵AB=AB 2=3，∴CB 2=AC+AB 2=5，∴B 2的坐标为（6，2）．18.【解析】证明：将△ABP 沿逆时针旋转至△ACQ 的位置，则有△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ，∠APB=∠AQC，BP=CQ．∵∠APB=∠APC，∴∠APC=∠AQC．连结PQ．则有∠1=∠2，∴∠APC-∠2=∠AQC-∠1，即：∠3=∠4，即在△CPQ 中，有CP=CQ．∴BP=CQ.∴BP=CP．19.【解析】，(1)AE 与BF 平行且相等，∵ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC 与△FEC 关于C 点中心对称，∴AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE 为平行四边形，∴；(2)∵AC=CF，∴S △BCF =S △ABC =3，∵BC=CE，∴S △ABC =S △ACE =3，∴S △CEF =S △BCF =3，∴S □ABFE =3×4=12(cm 2)．(3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE 为矩形，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴AB=BC=CA,∴AF=BE,∴平行四边形ABFE 为矩形.20.【解析】（1）①S 阴影=②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理O点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2020•裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形ABCD中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DBE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．∴BC=AE，BD=DE，∠DAE=∠DCB,∴△BDE为等边三角形．∴BE=BD．∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．∴∠BAE=90°．∵在Rt△BAE中，，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【答案与解析】(1)如图，DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图:∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠1+∠2=∠2+∠3∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE∴DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.举一反三：【变式】（2020•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，求AK的长？【答案与解析】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：233 .6.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.求证：．【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵△ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴AB=AC，将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到∴∴，，，,∴,连结，则在中，,∴①,又∵,∵.又∵,∴在与中,.∴②,∴由①②得：.【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2020•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A ．（，1）B ．（1，﹣）C ．（2，﹣2）D ．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30°B．45°C．60°D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A 1(6，1)向左平移4个单位到达点A 2的位置，再向上平移3个单位到达点A 3的位置，△A 1A 2A 3绕点A 2逆时针方向旋转900，则旋转后A 3的坐标为().A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二.填空题9.（2020•扬州）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ．若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF=．10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C、F 两点之间的最小距离为_________cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17.如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF19.（2020•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合.4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形. 5．【答案】C.【解析】△BDC为正三角形，所以△FDC为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），故选B7．【答案】D.8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F 是DE 的中点，∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】32；【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC﹣AF，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在Rt△BP′P 中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE 绕点D 沿顺时针方向旋转180°至△CDG 位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG 中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，∴∠A ′BA=60°，A ′B=AB ，AP=A ′C ∴△A ′BA 是等边三角形，∴A ′A=AB=BA ′=2，在△AA ′C 中，A ′C ＜AA ′+AC ，即AP ＜6，则当点A ′A 、C 三点共线时，A ′C=AA ′+AC ，即AP=6，即AP 的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ．以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A'P'B ．则A'B=AB=BC=4，PA=P ′A ′，PB=P ′B ，∴PA+PB+PC=P ′A ′+P'B+PC ．∵当A'、P'、P 、C 四点共线时，（P'A+P'B+PC ）最短，即线段A'C 最短，∴A'C=PA+PB+PC ，∴A'C 长度即为所求．过A'作A'D ⊥CB 延长线于D ．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt △A'DC 中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.。

类型四 与旋转有关的探究题【典例1】如图1，在ABC 中，90,1A AB AC ∠=︒==+，点D ，E 分别在边,AB AC上，且1AD AE ==，连接DE ．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，如图2，连接,,CE BD CD ．（1）当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；（2）如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ； （3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【典例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、点C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系；(2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．【典例3】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【典例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBADCE G图1FBADCEG图2FB ACE图3D【典例5】如图1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结 QE 并延长交射线BC 于点F.（1）如图2，当BP=BA 时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=32，设BP=，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于的函数关系式． x x 图2ABE QPF C 图1ACBEQF P【典例6】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D 作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．类型四 与旋转有关的探究题【典例1】如图1，在ABC中，90,1A AB AC ∠=︒==+，点D ，E 分别在边,AB AC上，且1AD AE ==，连接DE ．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<，如图2，连接,,CE BD CD ．（1）当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；（2）如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ； （3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BCDα的度数为135︒【解析】 【分析】（1）利用 “SAS ”证得△ACE ≅△ABD 即可得到结论；（2）利用 “SAS ”证得△ACE ≅△ABD ，推出∠ACE=∠ABD ，计算得出2+，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）根据题意：AB=AC ，AD=AE ，∠CAB=∠EAD=90︒， ∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90︒， ∴∠CAE=∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD(SAS)， ∴CE=BD ；（2）根据题意：AB=AC ，AD=AE ，∠CAB=∠EAD=90︒，在△ACE和△ABD中，AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≅△ABD(SAS)，∴∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠AEC=90︒，且∠AEC=∠FEB，∴∠ABD+∠FEB=90︒，∴∠EFB=90︒，∴CF⊥BD，∵1，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，∴2+，2+，∴BC= CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；（3）BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，BCD的面积取得最大值，如图：∵∵1，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90︒，DG⊥BC于G，∴AG=12，∠GAB=45︒，∴1+=DAB=180︒-45︒=135︒，∴BCD的面积的最大值为：)114522222BC DG⎛⎫⋅==⎪⎪⎝⎭，旋转角α135=︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【典例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、点C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系；(2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC ＝6，请直接写出BQ 的长．【答案】解：(1)CP ＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接OQ ，①由旋转可知，PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°， 在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ， ∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)，(2)成立，理由如下： 如解图②，连接OQ ，图②由旋转知PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°， ∵在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ，∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)， ∴CP ＝BQ ； (3)BQ ＝6－22. 【解法提示】在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝6， ∴BC ＝AC ·tan A ＝2，如解图③，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，③∴∠OHB ＝90°＝∠BCA ，∴OH ∥AC ， ∵O 是AB 中点，∴CH ＝12BC ＝22，OH ＝12AC ＝62，∵∠BPO ＝45°，∠OHP ＝90°， ∴∠BPO ＝∠POH ，∴PH ＝OH ＝62，∴CP＝PH－CH＝62－22＝6－22，连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝6－22.【典例3】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D 在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．【答案】：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°. ∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=21BC．又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=21BC=AC.∴△ADC为正三角形．①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．【典例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【答案】解：（1）CG=EG （2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG ．证明：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，D G=DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ． ∴ AG=CG ．在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ， ∴ △DMG ≌△FNG ． ∴ MG=NG在矩形AENM 中，AM=EN ． 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵ AM=EN ， MG=NG ， ∴ △AMG ≌△ENG ． ∴ AG=EG ． ∴ EG=CG ．（3）（1）中的结论仍然成立．【典例5】如图1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结 QE 并延长交射线BC 于点F.（1）如图2，当BP=BA 时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；FBADCE G图1 FBADCEG图2FB ACE图3DF B ADCE G M NN图 2FBADCE 图3③G（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=32，设BP=，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于的函数关系式．【答案】解: （1）=∠EBF 30° QFC ∠= 60° （2）QFC ∠=60°不妨设BP ＞3AB , 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ=∠ABP=90°分 ∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030︒+︒=60°(事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30°在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF=2cos30BG=︒ ∴EF=2∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE ＋EF 2x =+ 过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+（x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+【典例6】将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过点D 作DE 垂直于直线BB ′，垂足为点E ，连接DB ′，CE ．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB ′的形状为 ，连接BD ，可求出的值为 ；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请x x x 图2ABE QP F C 图1ACBEQFP说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，证得△ABB'是等边三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．证明△BDB'∽△CDE，得出．（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，则△DEB'是等腰直角三角形，得出，证明△B'DB ∽△EDC，由相似三角形的性质可得出．②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D＝B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．∴＝+1＝+1＝+1＝+1＝3．若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴＝1．综合以上可得＝3或1．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【典例7】如图1，已知ABC EBD △≌△，90ACB EDB ∠=∠=︒，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的EBD △绕点B 顺时针方向旋转，当CBE ∠小于180︒时，得到图2，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG CB ⊥，垂足为点G ．当ABC ∠的大小发生变化，其它条件不变时，若EBG BAE ∠=∠，6BC =，直接写出AB 的长．【答案】(1)AF=EF ；(2)成立，理由见解析；(3)12 【解析】 【分析】(1) 延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(2)证明原理同(1)，延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，证明△ACF ≌△EDG ，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF ；(3)补充完整图后证明四边形AEGC 为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解． 【详解】解：(1)延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示∵ABC EBD △≌△， ∴DE=AC ，BD=BC ，∴∠CDB=∠DCB ，且∠CDB=∠ADF ， ∴∠ADF=∠DCB ， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠ADF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE ， 又延长DF 使得FG=DC ， ∴FG+DF=DC+DF ， ∴DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACF ≌△EDG(SAS)， ∴GE=AF ，∠G=∠AFC ， 又∠AFC=∠GFE ， ∴∠G=∠GFE ∴GE=EF ∴AF=EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF ； (2)仍旧成立，理由如下：延长DF 到G 点，并使FG=DC ，连接GE ，如下图所示 设BD 延长线DM 交AE 于M 点，∵ABC EBD △≌△， ∴DE=AC ，BD=BC ，∴∠CDB=∠DCB ，且∠CDB=∠MDF ， ∴∠MDF=∠DCB ， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠MDF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE ， 又延长DF 使得FG=DC ， ∴FG+DF=DC+DF ， ∴DG=CF ，在△ACF 和△EDG 中，AC ED ACF EDG CF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACF ≌△EDG(SAS)， ∴GE=AF ，∠G=∠AFC ， 又∠AFC=∠GFE ，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF；(3)如下图所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AE//CG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四边形AEGC为矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB BC==．212故答案为：12．【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．。

中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。

在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。

2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。

最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。

3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。

这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。

二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。

对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。

2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。

旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。

三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。

通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。

2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。

向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。

3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。

通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。

四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。

通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。

2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。

通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。

3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。

热点09 图形变换（旋转、翻折、平移）【考纲解读】1．了解：什么是图形的平移；平移的条件；什么是旋转；中心对称和中心对称图形的概念，能区分两个概念；轴对称图形的概念2．理解：平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质3．会：正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形4．掌握：平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质5．能：能准确利用平移作图；能掌握中心对称的性质，能用轴对称的性质正确作图【命题形式】1．从考查的题型来看，本知识点主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题. 2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图【限时检测】A 卷（建议用时：60分钟）1．（2021·江苏盐城市·中考真题）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·浙江丽水市·中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A ，B ，C ，D 的坐标分别是 (−1，b )，(1，b )，(2，b )，(3.5，b )，平移y 轴右侧的一盏灯笼，使得y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）A ．将B 向左平移4.5个单位B ．将C 向左平移4个单位C ．将D 向左平移5.5个单位D ．将C 向左平移3.5个单位3．（2021·山西中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·湖北黄石市·中考真题）如图，ABC V 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC V 绕A 点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C 的坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-5．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，，，M 是BC 上的点，且．将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点处，折痕为MN ，则线段PA 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在方格纸中，将Rt AOB △绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到Rt A O B ¢¢△，则下列四个图形中正确的是（）7AB =9BC =2CM =C¢A ．B ．C ．D ．8．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转55°得到ADE V ，若70E Ð=°且AD BC ^于点F ，则BAC Ð的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°9．（2020·四川中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ¢¢△．此时恰好点C 在A C ¢¢上，A B ¢交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3410．（2020·青海中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为_____．13．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，把ABC V 沿AB 边平移到111A B C △的位置，图中所示的三角形的面积1S 与四边形的面积2S 之比为4∶5，若4AB =，则此三角形移动的距离1AA 是____________．14．（2021·青海中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．15．（2020·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把沿PE 折叠，得到，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．16．（2021·重庆中考真题）如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．17．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为____________cm ．18．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44´与66´的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．PFE V PBE△（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（23中．19．（2021·安徽中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC V 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC V 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90°得到221A B C △，画出221A B C △．20．（2020·湖北武汉市·中考真题）在58´的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90°，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE °Ð=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．21．（2020·天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC V 的顶点,A C 均落在格点上，点B 在网格线上，且53AB =．（Ⅰ）线段AC 的长等于___________；（Ⅱ）以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若,P Q 分别为边,AC BC 上的动点，当BP PQ +取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,P Q ，并简要说明点,P Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．22．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图1，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，D 为ABC V 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（1）求证：BD CE =，BD CE ^；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC Ð=°，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．【限时检测】B 卷（建议用时：60分钟）1．（2021·辽宁大连市·中考真题）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，BAC a Ð=，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90°得到A B C ¢¢V ，点B 的对应点B ¢在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ¢¢Ð的度数为（ ）A ．aB ．45a -°C ．45a °-D ．90a°-2．（2021·河北中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．73．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ¢¢，当A B ¢¢恰好经过点D 时，△B ¢CD 为等腰三角形，若B B ¢＝2，则A A ¢＝（ ）A B ．C D 4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q ¢，连接OQ ¢，则OQ ¢的最小值为( )ABCD5．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（）AB ．C ．D6．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB V 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE Ð=°，则OBA Ð的度数为______．7．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，，P 为AD 上一个动点，连接ABCD :AD AB =E F AD BC EF A B A ¢B ¢AA ¢CD G EF AG2312BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ，当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平面内扫过的面积为_____．8．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y轴的正半轴上，30ABO Ð=°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO V 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．9．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝3，将△ABC 平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1的中点，PQ 的最小值等于_____．10．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD Y 绕点A 逆时针旋转到AB C D ¢¢¢Y 的位置，使点B ¢落在BC 上，B C ¢¢与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB ¢===，则CE 的长为________．11．（2020·广东广州市·中考真题）如图，正方形ABCD 中，ABC D 绕点A 逆时针旋转到AB C ¢¢D ，AB ¢，AC ¢分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ×的值为_______．13．（2019·辽宁营口市·中考真题）如图，ABC V 是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为________．14．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为：()2,0A -，()1,2B ，()1,2C -．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为______．15．（2021·海南中考真题）如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．ABCD 6,8AB AD ==D ¢EF AD ¢DD ¢16．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．17．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，ABC V 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为()4,4A ，()1,1B ，()4,1C ．（1）画出与ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；（2）将ABC V 绕点1O 顺时针旋转90°得到222A B C △，2AA 弧是点A 所经过的路径，则旋转中心1O 的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留p ）．18．（2021·山东中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC内部的一动点ABCD 3AB =4=AD E F BC CD EF AE ^ECF △EF EC F ¢△AC ¢BE =AEC ¢VAE（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为 ；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．19．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点M 是BC 上的一点，1cm BM =，2cm CM =，将ABM V 绕点A 旋转后得到ACN △，连接MN ，则AM =___________cm ．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD 中，,,AB AD a CB CD AB BC ===^于点B ，AD CD ^于点D ，点P 、Q 分别是AB AD 、上的点，且PCB QCD PCQ Ð+Ð=Ð，求APQ V 的周长．（结果用a 表示）.（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD ，,60,75,2AD CD ADC ABC AB BC =Ð=°Ð=°==，求四边形ABCD 的面积．。