2020年中考数学复习第23章旋转(专题复习讲义)

旋转及综合专题一、旋转有关定义1、定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、假如图形上的点 P 经过旋转变成 P ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

13、（ 1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直均分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。

4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形对于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形的对称点叫做对于中心的对称点。

5、（ 1）对于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心均分；（2）对于中心对称的两个图形是全等图形。

6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如旋转后的图形能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

二、旋转有关结论如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转角到AB1C1。

点 B 和点 B1为对应点，点 C 和 C1为对应点。

结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直均分线的交点，也即对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心。

如图，线段BB1的垂直均分线l1、线段CC1的垂直均分线l2都经过旋转中心点A 。

利用这个结论我们能够利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。

因为对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心，所以只需求出两组对应点所连线段的垂直均分线分析式，而后联立刻可求出旋转中心坐标。

结论 2：对应点与旋转中心所组成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。

如图，ABB1和 ACC1均为等腰三角形，BAB1CAC1。

第1页/共11页结论 3：对应点与旋转中心所组成的三角形均相像。

如图，BAB 1 ∽ CAC 1 。

结论 4：旋转前、后图形全等。

如图，ABCAB 1C 1 。

示例 1：已知 A( 3,2)、O(0,0) ，将线段 OA 绕点 P 旋转获得线段 O 1 A 1 ，此中 O 1 ( 1, 1) 、 A 1 ( 3, 4) ， O 1 为点 O 的对应点， A 1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。

旋转一、知识梳理定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 o 转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转．这个点 o叫旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．练习：1．时钟的时针在不停地转动，从上午 6 时到上午 9 时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午 9 时到上午 10 时呢？旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．应用例1下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出△OAB 旋转后的图形△O A’ B’吗？中心旋转问题1 如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD．把△OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？中心对称与一般的旋转的联系和区别？联系：中心对称和一般的旋转都是绕着某一点进行旋转；区别：中心对称的旋转角度都是180°，一般的旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．中心对称的性质（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形如图，将平行四边形ABCD 绕它的两条对角线的交点 O旋转 180°，你有什么发现？定义如果一个图形绕一个点旋转 180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区分中心对称和中心对称图形的概念二、课堂达标检测1．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．直角B ．等边三角形C ．直角梯形D ．两条相交直线3．在线段，等腰梯形，平行四边形，矩形，正五角星，圆，正方形，等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A.3个B.4个 A.3个 B.4个C.5个D.6个 4.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．5.已知点P（-b,2）与点Q（3,2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是______。

人教版九年级数学第23章旋转中心对称讲义探求点1(高频考点) 中心对称的概念情形激疑观察课本图23.2-1,你有什么发现?知识解说(1)像这样,把一个图形绕着某一点旋转180°，假设它可以和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。

(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。

留意(1)中心对称是旋转的一种特殊状况，是旋转角为180°的旋转,所以它具有旋转的一切性质。

(2)读法和内容与轴对称相似，读作关于某点对称，或图形某某与图形某某中心对称，了解和运用时结合轴对称知识了解。

(3)中心对称的性质与旋转的性质相相似，是旋转性质的变化，主要变化在于对应点在一条直线上，旋转角是固定的180°。

(4)中心对称的性质是中心对称运用的中心，是作图的基础。

典例剖析例1 :如图,Rt∆ABC与Rt∆AB′C′关于A点中心对称,∠C=30°。

(1)指出图中的对称点、对称中心；(2)指出图中相等的线段；(3)求∠C′的度数。

解析依据中心对称的概念，确定对称点，然后确定对应线段，再依据性质知道对应线段相等，对应角相等。

答案(1)B与B′,C与C′,A与A是对称点，A是对称中心；(2)相等的线段有：AB=AB′，BC=B′C′，AC=AC′；(3)∠C′=∠C=30°.方法指点依据中心对称的定义剖析图形，找出对称点，确定对应关系，再依据性质判别各对应量之间的关系。

类题打破1 如以下图:四边形ABCD和四边形AB′C′D′关于A点中心对称。

(1)指出图中的对应关系；(2)假定AB=3cm,能求出哪条线段的长?答案(1)B与B′,C与C′,D与D′,A 与A是对称点，A 是对称中心，其中线段BC与B′C′,CD与C′D′,AD与AD′，AB与AB′是对应线段，∠DAB与D′AB′，∠D与∠D′，∠B与∠B′，∠DCB与∠D′C′B′是对应角。

2020春人教版九级数学第23章《旋转》寒假复习知识点及复习题知识点一轴对称与轴对称图形1．轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够_________，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 _________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_________，对应线段_______，对应角_______．4．简单的轴对称图形(1)线段是轴对称图形， _______________________是它的一条对称轴．(2)角是轴对称图形， ___________________是它的对称轴．(3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形_____________、底边上的中线、 ___________重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．知识点二图形的平移与旋转1．图形的平移(1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．(2)平移的性质①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且_______；对应线段平行(或在一条直线上)且_______，对应角_______．2．图形的旋转(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个_______按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为 _________，转动的角称为_________．(2)旋转的性质①旋转不改变图形的形状和大小；②对应点到旋转中心的距离_______；③任意一组对应点与 _________的连线所成的角都等于旋转角；④对应线段 _____，对应角_______．知识点三中心对称与中心对称图形1．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ______，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．2．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转 ______，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．复习练习题1.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′.若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是( )A ．55° B．60° C ．65° D．70°3．如图，若将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，则顶点B 的对应点B 1的坐标为( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(4，－2)D ．(2，－4)4.如图，直线y ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )5．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为( )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)6．如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( )A.32B.33C.62D.3－627.中国古代建筑中的窗格图案实用大方，寓意吉祥．以下给出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，那么点A 的对应点A 1的坐标为( )A ．(4，3)B ．(2，4)C ．(3，1)D ．(2，5)9．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B′D′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．10.如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为___．。

第二十三章旋转---图形的旋转一、学习目标1.掌握旋转的定义以及相关概念；理解旋转的基本性质；利用性质解决相关问题。

2.能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形。

3.继续利用旋转的性质解决相关问题。

二、知识精讲知识点1：图形的旋转⑴定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.⑵旋转的三个要素：①旋转中心：图形旋转的固定点②旋转方向：（顺时针旋转或逆时针旋转）③旋转角度：（图形中任一边开始的位置（始边）与旋转后位置（终变）之间的夹角）⑶旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等.⑷旋转作图步骤：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角.作图的步骤：①连接图形中的每一个关键点（一般是各个顶点）与旋转中心；②把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；③在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④连接所得到的各对应点（一般用虚线）。

【例1】（1）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是_______________．（2）如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图________；图①按顺时针方向至少旋转______________度可得图③．⑶如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，若AF＝１２AB，则可通过_________（填“平移”、“旋转”、“轴对称”）变换，使△ABE变换到△ADF 的位置；且线段BE、DF的数量关系是_________________．（4）在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）【例2】（1）如图所示，在正方形网格中，图○1是由图○2经过旋转变换得到的，其旋转中心是点_________（填A 或B 或C ）。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80°C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE答案：C分析：利用旋转的性质得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故选项A、D一定成立；∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，故选C．小提示：本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（）A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°答案：A分析：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=1AD，2∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=360°-60°=300°，故选：A ．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3、已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（ ）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm答案：B分析：分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊥CD ，AB ＝96cm ，∴AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ），如图1，∵OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝√OA 2−AM 2＝√502−482＝14（cm ），∴CM ＝OC +OM ＝50+14＝64（cm ），∴AC＝√AM2+CM2＝√642+482＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50−14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝√AM2+CM2＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．小提示：本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．4、已知点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标（）A．(−3,2)B．(2,−3)C．(3,2)D．(−2,−3)答案：B分析：根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．解：点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(2,−3)，故选：B．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．5、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：DAB=5，然后在分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA′=4cm，则CE的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm答案：B分析：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=1A′B，进而可求解CE的长．2解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90∘，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD=A′D=1AB，2∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△AB A′的中位线，∴DE=1A′B，2∵AB=14cm，BA′=4cm，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．小提示：本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．7、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．8、如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据旋转的定义进行分析即可解答解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．小提示：本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.9、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.10、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．填空题11、如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °答案：55分析：根据旋转的性质可得∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 解：∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C∴∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，∵∠A ′DC =90°，∴∠A ′=55°∴∠A =55°．所以答案是：55小提示：本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．12、在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−√33x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点．将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°，得到射线AN ．点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．（1）△BCD 周长的最小值是____________________；（2）当△BCD 的周长取得最小值，且BD =53√2时，△BCD 的面积为__________．答案： 4√2 43分析：（1）可作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．连接C 1C 2．利用两点之间线段最短，可得到当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长．（2）根据（1）的作图可知四边形AC 1CC 2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD ＝90°．利用勾股定理得到CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2，因为CB +CD ＝4√2﹣5√23，可推出CB •CD 的值，进而求出三角形的面积．（1）∵直线y ＝−√33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点，把y =0代入，解得x =2√3，把x =0代入，解得y =2，∴点C 的坐标为（2√3，0），点A 的坐标为（0，2）．∴AC ＝√22+(2√3)2=4．作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．由轴对称的性质，可知CD ＝C 1D ，CB ＝C 2B ． ∴CB +BD +CD ＝C 2B +BD +C 1D ＝C 1C 2连接AC 1、AC 2，可得∠C 1AD ＝∠CAD ，∠C 2AB ＝∠CAB ，AC 1＝AC 2＝AC ＝4．∵∠DAB ＝45°，∴∠C 1AC 2＝90°．连接C 1C 2．C 1C 2=√42+42=4√2，∵两点之间线段最短，∴当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长． ∴△BCD 的周长的最小值为4√2．所以答案是：4√2．（2）根据（1）的作图可知四边形AECF 的对角互补，其中∠DAB ＝45°，因此，∠C 2CC 1＝135°． 即∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝135°，∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+2∠BCD ＝270°①，∵∠BC 2C ＝∠BCC 2，∠DCC 1＝∠DC 1C ，∠BC 2C +∠DC 1C +∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝180°， ∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+∠BCD ＝180°②，①-②得，∠BCD ＝90°．∴CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2=509，∵CB +CD ＝4√2﹣5√23=7√23，（CB +CD ）2＝CB 2+CD 2+2CB •CD ，∴2CB •CD ＝（CB +CD ）2-（CB 2+CD 2）= (7√23)2−509=163∴S=12⋅CB⋅CD=43．所以答案是：43小提示：本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．13、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．14、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．答案：7√2；分析：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，∵O是正方形DBCE的对称中心，∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，∴∠AOC=∠FBO，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO，在△AOC和△FOB中，{∠AOC=∠FOBAO=FO∠ACO=∠FBO，∴△AOC≌△FOB（ASA），∴AO=FO，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×√22=7√2．故答案为7√2．小提示：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．15、如图，在正方形网格中，格点ΔABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.解答题16、如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．答案：(1)图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）(2)图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）分析：（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；（1）如图所示，△OA1B1即为所求，由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．小提示：本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．17、已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．(1)如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．答案：(1)证明见解析(2)等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF分析：（1）由角平分线可知∠ABD=∠CBD，由平行可知∠BDE=∠ABD，可得∠CBD=∠BDE，DE=BE= AF，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF是菱形，D,E,F是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵DE∥AB∴∠BDE=∠ABD∴∠CBD=∠BDE∴DE=BE=AF∵DE∥AF，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形．（2）解：由（1）知四边形ADEF是平行四边形∴EF∥AC∵△ABC是等边三角形∴∠EFB=∠C=∠B=60°∴BE=EF=DE∴四边形ADEF是菱形∴AF=BF,BE=CE,CD=AD∴D,E,F是等边三角形的中点∴BG⊥EF,BD⊥EF∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF．小提示：本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18、如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．答案：(1)16°(2)DL＝EN+GM，见解析分析：（1）根据题意易求出∠BDC=53°．在图②中连接BD．根据旋转结合正方形性质即得出BD=DE= DG，∠DCB=90°．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出∠BDC=∠CDG=53°，从而可求出∠CDE的大小，进而即可求出∠BDE的大小，即旋转角．（2）在图③中，过点G作GK//BM，交DE于K，由正方形的性质可得出∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．又易证GK⊥DN，即得出∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，从而得出∠EDN＝∠DGK，由此可证明△DKG≌△END(ASA)，得出EN＝DK．由GK//ML，KL//GM，可判定四边形KLMG是平行四边形，得出结论GM＝KL，从而即可证明DL=EN+GM．（1）由图①知，∠BDC=90°−∠CDG=90°−37°=53°，如图②，连接BD，根据旋转和正方形性质可知BD=DE=DG，∠DCB=90°．∴∠BDC=∠CDG=53°，∴∠CDE=90°−∠CDG=90°−53°=37°，∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=53°−37°=16°，∴旋转角为16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：如图③，过点G作GK//BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．∵GK//BM，DN⊥BM，∴GK⊥DN，∴∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END(ASA)，∴EN＝DK，∵GK//ML，KL//GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL=DK+KL=EN+GM．小提示：本题考查正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，综合性较强．正确的做出辅助线以及利用数形结合的思想是解题关键．。

合作探究探究点1 旋转的概念情景激疑时钟上的秒针不停地转动，小小风车带给我们许多童年的欢乐，这些现象有什么共同特点？知识讲解把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，假如图形上的点P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做对应点.注意〔1〕图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因此旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形可以重合，这是判断旋转的关键。

〔2〕旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。

〔3〕旋转的范围是平面内的旋转，否那么有可能旋转成立体图形，因此要注意此点。

典例剖析例1 如图，△QAB绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：〔1〕旋转中心是什么？旋转角是什么？〔2〕经过旋转，点A、B分别挪动到什么位置？解析根据定义，围绕旋转的点为旋转中心，对应点与旋转中心相连的线段的夹角都是旋转角。

答案〔1〕旋转中心是O，∠AOE、∠BOF 都是旋转角.〔2〕经过旋转，点A和点B分别挪动到点E和点F的位置.方法指导要充分理解旋转概念的含义，结合图形变换前后的关系找出对应点，从而确定旋转角及其对应点的变化。

类题打破1 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB’C'的位置，使CC’//AB，那么旋转角的度数为〔〕°°°°解析∵CC’//AB，∴∠ACC'=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，∴AC=AC',∴∠CAC'=180°-2∠ACC’=180°-2×65°=50°，∴∠CAC’=∠BAB'=50°.应选C.答案 C探究点2 旋转的性质情景激疑把手中的三角板贴在白纸上，描出内部的三角形，然后围绕一点〔点出此点〕转动一定角度，再描出内部的三角形，测量出对应点和旋转中心所连线段的长度，比拟旋转角的大小并观察验证两三形的关系，你能得到什么结论？知识讲解旋转的性质：〔1〕对应点到旋转中心的间隔相等。