圆和方程预习提纲

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程xa2ybr 221.求标准方程的方法——关键是求出圆心a,b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 xyrr0 222过原点 xayba2b2a2b20 圆心在x轴上xayr22222rr0 0 圆心在y轴上 xybr222圆心在x轴上且过原点 xaya222a0b02圆心在y轴上且过原点 xybb2222与x轴相切 xaybb222b0 a0 与y轴相切 xayba与两坐标轴都相切 xayba二、一般方程xyDxEyF0DE4F0 22222222ab01.AxByCxyDxEyF0表示圆方程则A=B≠0A=B≠0C=0C=0D2+E2-4AF>022DEF>0 + -4AAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.D2+E2-4F>0常可用来求相关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBPB=BN=BC-r =BM=BC+rminmax（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值Pmin= PmaxA=A=rr C C思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点r（2）相切只有一个公共点=0d=r （3）相交有两个公共点>0d。

高三数学导学提纲27．圆的方程复习目标1．了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三点等）2．掌握圆的标准方程和一般方程，理解它们之间的关系并能进行互化，会根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程基础知识1．圆的方程：（1）标准方程 （2）一般方程2．求圆方程的一般方法：基础训练1．过点O （0，0），A （1，0），B （0，1）三点的圆的方程是2．以直线01243=+-y x 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆方程是___________3．过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x – 2y – 3 = 0上的圆的方程是_________ _4．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为；以原点为圆心，且在直线3x + 4y + 15 = 0上截得的弦长为8的圆的方程是__________________.5．已知圆的方程为x 2 + y 2 – 6x – 8y = 0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.6．已知圆和直线x – 6y – 10 = 0相切于点（4，-1），且经过点（9，6），则圆的方程为____________________.典型例题例1、求与x 轴相切，圆心在直线3x – y = 0上，且被直线x – y = 0截得的弦长为27的圆的方程.例2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆。

（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程。

例3、设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件（1），（2）的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小的圆的方程。

例4、已知曲线C ：x 2 + y 2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0.（1）求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；（2）证明当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C 与y 轴相切，求m 的值.高三数学（理）作业27班级_______________ 学号__________ 姓名______________1．若方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0（D 2 + E 2 – 4F > 0）所表示的曲线关于直线y = x 对称，那么必有2．已知A （0，1），B （p ，q ）（p 2 > 4q ），则以AB 为直径的圆与x 轴的交点的横坐标一定是二次方程__________________的两根.3．点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2 + y 2 = 1逆时针方向运动32π到达Q 点，则Q 的坐标为________________.4．圆心在直线2x – y – 7 = 0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，-4），B （0，-2），则圆C 的方程为________________________________.5．圆x 2 + y 2 – ax + 2y + 1 = 0关于直线y – x + 1 = 0对称的圆的方程是x 2 + y 2 = 1，则实数a 的值是________________.6．某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需要一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．7．已知圆C ：(x + 1)2 + (y – 1)2 = 4和直线l ：x – y – 5 = 0. 求⊙C 上到l 的距离最近和最远的点的坐标.8．已知实数x、y满足方程x2 + y2 + 2y – 3 = 0. （1）求x + y的最大值和最小值；（2）求x2 + y2的最大值和最小值.。

7.6 圆的方程课时安排3课时从容说课圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.●课题§7.6.1 圆的方程（一）●教学目标（一）教学知识点圆的标准方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的标准方程；2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.培养学生的思维素质；3.提高学生的思维能力.●教学重点已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.●教学难点根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.●教学方法引导法引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.●教具准备投影片两张第一张：§7.6.1 A第二张：§7.6.1 B例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01 m）.●教学过程Ⅰ.课题导入我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？Ⅱ.讲授新课（打出投影片§7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.［师］整理此式，可得到……［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2.［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……［生］x 2+y 2=r 2.［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.下面，我们看一些例子.［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.解：已知圆心是C （1，3），∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.由点到直线距离公式，可得r =516)4(3734132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=25256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此直线斜率即可.解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴k =-11k . ∵k 1=00x y .∴k =-00y x .∴经过点M 的切线方程是：y -y 0=-00y x (x -x 0),整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又∵点M （x 0,y 0)在圆上，∴x 02+y 02=r 2.∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.可看出上面方程也同样适用.（打出投影片§7.7.1 B)［例3］这是一实际应用例子.分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52∴圆方程为：x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y ＞0∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.Ⅲ.课堂练习［生］课本P 77,练习1，2，3，4.1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；解：x 2+y 2=9.（2）圆心在点C （3，4），半径是5；解：（x -3）2+(y -4)=5.(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=252.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求圆的方程.解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =14347022=+.∴圆方程为：x 2+y 2=196.3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解：利用例2结论可得：切线方程为2x +6y =10.4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求：（1）斜率等于1的切线的方程.（2）在y 轴上截距是2的切线的方程.解：（1）设切点坐标为M (x 0,y 0)则k OM =-1=0x y又∵x 02+y 02=1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222222220000y x y x 或∴切线方程为y ＋22=x -22或y -22=x +22即:y =x ±2.（2）设切点M （x 0,y 0），切线与y 轴交点B （0，2）则：k OM ·k BM =-1 即00002x y x y -⋅=-1x 02+y 02-2y 0=0又∵x 02+y 02=1(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ［例3］ ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +2.Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2.最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 81习题7.6 1,2,3,4.(二）1.预习内容：课本P 77～792.预习提纲：（1）圆的一般方程有何特点？（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？●板书设计§7．6．1 圆的方程（一）一、圆的标准方程［例1］［例2］。

A初三数学《圆》知识提纲（修改版）(何老师归纳)一、圆的有关性质一：圆的相关概念：1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径）⑴ 动态定义: 一条线段OA 绕着它的一个端点O 在平面内旋转一周时，另一个端点A 所形成的图形叫圆⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

3： 弦心距：圆心到弦的距离4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：BAC 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着：BC⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）5：同圆：同一个圆叫同圆等圆：圆心不相同，半径相等的圆； 同心圆：圆心相同，半径不等的圆。

6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h ）＝半径(r)±弦心距(d)7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数8 ：圆心角：顶点在圆心的角圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形二：点与圆的位置关系:1：点在圆内 ⇒ d<r ⇒ 点C 在圆内2：点在圆上 ⇒ d=r ⇒ 点B 在圆上 3：点在此圆外 ⇒ d>r ⇒ 点A 在圆外三：重要定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

几何表达式举例：∵ AB 过圆心,CD ⊥AB ∴ CE DE =推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CEDE = ④⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。

第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？ ；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一：设两圆相交于点A ，B ， 则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示， 设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆的定义从运动的观点来看，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是圆的半径，设M(x，y)是C上的任意一点，点M在C上的条件是|CM|＝r.2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．注：几种特殊形式的圆的标准方程：3设点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，C(a，b)为圆心，则：点P在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2|PC|＝r；点P在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2|PC|＞r；点P在圆内(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2|PC|＜r.1．圆心是(－3,4)，半径为5的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案：D2．点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )． A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定 答案：A解析：把P (m 2，5)代入x 2＋y 2得m 4＋25，显然m 4＋25＞24，∴点在圆外． 3．经过两点A (－1,4)、B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程是( )． A ．x 2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －1)2＋y 2＝10 C ．x 2＋(y －1)2＝10 D ．(x ＋1)2＋y 2＝10 答案：C4．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以AB 为直径的圆的方程为__________________． 答案：(x －1)2＋(y ＋3)2＝29解析：由AB 的中点确定圆心，由|AB |2确定圆的半径．5．(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过原点，则a 、b 、r 应满足的条件是__________________． 答案：a 2＋b 2＝r 26．求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． 解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.。

九年级上册数学圆知识点提纲九年级上册数学圆知识点提纲：
1. 圆的定义：圆是由与一个点距离相等的所有点组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径。

3. 圆的性质：
- 半径相等的两个圆是同心圆。

- 圆心到圆上任意点的距离都相等。

- 在同一个圆中，相等弧所对的圆心角相等。

- 圆的正中弦等于半径的两倍。

- 弦长相等的两个弦所对的圆心角相等。

- 弧上的角等于它所对的弦上的角。

4. 圆周角：
- 定义：以圆心为顶点的角叫做圆周角。

- 圆周角的度数等于它所对的弧所对应圆心角的度数。

- 圆周角的弧度等于它所对的弧所对应圆心角的弧度。

5. 弧长和扇形面积：
- 弧长：弧所对的圆心角的度数/弧度数与圆周长的比例。

- 扇形面积：扇形所对的圆心角的度数/弧度数与圆的面积的比例。

6. 切线与切点：
- 切线：与圆只有一个公共点的直线。

- 切点：切线与圆的唯一公共点。

7. 弧度制：
- 弧度：圆的半径与弧长之间的比值。

- 圆周角等于360°，也等于2π弧度。

8. 相交弧与相交角：
- 相交弧：两条弧在圆上的交点的两端组成的较短的部分。

- 相交角：以圆心为顶点的两条弧所对的圆心角。

这些是九年级上册数学中圆的主要知识点提纲，希望能够帮助到你！。

高中数学必修2第四章圆与方程知识点两圆的位置关系.设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:4.1.1圆的标准方程2 2 21、圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2 2 22、点M(x),y0)与圆(x a) (y b) r的关系的判断方法:(1)当J I r1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当1r1r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当i 1Ar：2I I r1r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当i 1 Iq r21时，圆C1与圆C2内切；(5)当1| r, r2| 时，圆C1与圆C2内含;4.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2(1)(X。

a) (y°b)2>r2，点在圆外2 2 2(2)(X。

a) (y o b) =r2，点在圆上2(3)(X。

a) (y o b)2<r2，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：x2y2 Dx Ey F02、圆的一般方程的特点：2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0. ②没有xy这样的二次项.(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x, y, z)，x、y、z轴上的坐标J IR丿M711J_z分别是P、Q、R在x、y、O八2xP M'(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.2 2 D 设直线I : ax by c 0，圆C : x y Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(，2直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1 )当d r时，直线I与圆C相离；(2)当d r时，直线I与圆C相切；(3)当d r时，直线I与圆C相交；2、有序实数组(x, y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的―)到2坐标，记M (x, y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做(3)解出a , b , r 或D , E , F ,代入标准方程或一般方程.圆与圆的位置关系圆的一般方程也含有三个待定的系数 D , E , F ,因此必须具备三个独立条件，才能确③ 当|R — r|<d<R + r 时，两圆相交；④当d=|R — r|时，两圆内切；⑤当d<|R — r|时, 两圆内含.3、方程的大致步骤是:空间直角坐标系(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程;空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长.常用对称点坐标:(2)根据条件列出关于a , b , r 或D , E , F 的方程组;、知识概述 1、圆的标准方程圆心为(a , b)，半径为r 的圆的标准方程为(x — a)2+ (y — b)2=r 2.由于圆的标准方程中含有三个参数 a, b , r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个 圆.2、圆的一般方程对于方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0.二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导. 2、注意圆的一般方程成立的条件.3、利用待定系数法求圆的方程.例 4、已知曲线 C : X 2+ y 2 + 2kx + (4k + 10)y + 10k + 20=0,其中 k= — 1. (1) 求证：曲线C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2) 证明：曲线C 过定点；⑶若曲线C 与x 轴相切，求k 的值.判断直线I 与圆C 位置关系的两种方法：-4F(1)当D 2 + E 2— 4F>0时，方程表示以 二 ：为圆心、；为半径的圆.此时方程就叫做圆的一般方程.⑵当D 2 + E 2— 4F=0时，方程表示一个点① 判断直线I 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线 I 与圆C 有公共点.有两组实数解时，直线I 与圆相交；有一组实数解时，直线I 与圆相切； 无实数解时，直线I 与圆C 相离.② 判断圆C 的圆心到直线I 的距离d 与圆的半径长r 的关系.如果d<r ，直线与 圆相交；如果d=r ,直线I 与圆相切；如果d>r ,直线I 与圆C 相离.(3)当D 2 + E 2— 4F<0时，方程不表示任何图形.即圆的一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F=0 (D 2+ E 2 —4F>0)设圆C 1的半径为R ,圆C 2的半径是r ,圆心距为d ,则①当d>R + r 时，两圆相离；②当d=R + r 时，两圆外切;定一个圆.点P (x , y, z)关于x 轴对称：点P i (x, - y, - z);点P (x ,y, z)关于y 轴对称：点P2 (- x, y, - z);点P (x ,y, z)关于z 轴对称：点P3 (- x, - y, z);点P (x , y, z)关于平面xOy对称：点P4 (x, y, - z);点P (x ,y , z)关于平面yOz对称：点P5 (- x , y , z);点P (x ,y , z)关于平面xOz对称：点P6 (x, —y , z);点P (x , y , z)关于原点成中心对称：点P7 (-x, —y, —z) 空间两点间的距离公式空间点厂〔一」「一、：上二-■间的距离是I祸I二Jg-勺尸十5 十（孔-习『。

高二数学 7.6圆的方程(第三课时)大纲人教版必修7、6、3 圆的方程（三）●教学目标（一）教学知识点圆的参数方程、（二）能力训练要求1、理解圆的参数方程、2、熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程、3、理解参数θ的意义、4、理解圆心不在原点的圆的参数方程、5、能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程、6、可将圆的参数方程化为圆的普通方程、●教学重点圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为：(θ为参数）圆心在(a,b)、半径为r的圆的参数方程为：(θ为参数）●教学难点参数方程的概念如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 (*)并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组（*）叫做这条曲线的参数方程、●教学方法创造教学法引导学生用创新思维去寻求新规律、●教具准备投影片两张第一张：7、6、3 A第二张：7、6、3 B●教学过程Ⅰ、课题导入［师］上两节课，学习了圆的两种形式的方程，请同学们回顾一下、（师生共同完成以下活动）若以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径、若D2+E2-4F＞0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，称其为圆的一般方程、这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点，即：（1）x2和y2的系数相同，不等于0；（2）没有xy这样的二次项、［师］请同学们深思，圆是否还可用其他形式的方程来表示呢？（打开多媒体课件或投影片7、7、3 A)Ⅱ、讲授新课［师］下面请同学们仔细观察这一过程、点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，设∠P0OP=θ、［师］（提问）：观察到了什么？［生甲］当θ确定时，点P在圆O上的位置也随之确定、［生乙］当θ变化时，点P在圆O上的位置也随之变化、［师］总之，我们看到，点P 的位置与旋转角θ有密切的关系，正如刚才两位同学所讲、不妨，我们研究一下它们的具体关系、若设点P的坐标是(x,y)，不难发现，点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数，即①并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x,y）都在圆O 上、看来，这一方程也可表示圆、那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程、其中θ是参数、若圆心为O（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O，半径为r 的圆按向量ν=(a,b)平移得到的、（打出投影片7、6、3 B)不难求出，圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为：(θ为参数）②若将方程组②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x-a)2+(y-b)2=r2、进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三种形式的方程来表示，且它们均可以互化、其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程、对于参数方程，一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即③并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数、它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数、注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系、［师］下面我们来看如何应用圆的参数方程来处理一些相关问题、［例］如图所示，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）、点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型、解：设点M的坐标是(x,y)、∵圆x2+y2=16的参数方程为：又∵点P在圆上，∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆、Ⅲ、课堂练习课本P81练习1，2、1、填空：已知圆O的参数方程是(0≤θ＜2π）(1)如果圆上点P所对应的参数θ=，则点P的坐标是、（2）如果圆上点Q的坐标是（-），则点Q所对应的参数θ等于、解析：(1)由得(2)由(0≤θ＜2π）得∴θ=、答案：（1）（）（2）2、把圆的参数方程化成普通方程：（1） (2)解：(1)由得∵sin2θ+cos2θ=1∴即：(x-1)2+(y+3)2=4、(2)由得又∵sin2θ+cos2θ=1∴（x-2)2+(y-2)2=1、［生］（板演）：3、经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程、解：设M（x,y)为线段PQ的中点，∵圆x2+y2=4的参数方程为：又∵点P为圆上任一点∴可设点P 的坐标为(2cosθ,2sinθ)则Q点的坐标为（2cosθ,０)由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：消去参数θ,可得：（)2+y2=1即]+y2=1、［师］（讲评）：欲解决此问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，以便寻求解题途径、此题也可不必将圆的参数方程写出，可直接应用圆的标准方程、另解：设线段PQ中点为M （x,y)，据题意可得Q点坐标为(x,0)，由线段中点坐标公式可得P点坐标为(x,2y)又∵点P为圆上任一点∴x2+(2y)2=4即+y2=1、Ⅳ、课时小结通过本节学习，要了解圆的参数方程，以及圆的标准方程、一般方程、参数方程的关系，能熟练地互化，且可根据不同形式方程的特点灵活选取应用，以便恰当解决相关问题、另外，还需了解参数方程及普通方程的相关概念、Ⅴ、课后作业（一）课本P82习题7、79，10、（二）1、预习内容：课本P83～862、预习提纲：（1）本章的主要内容有哪些？（2）试寻本章的知识结构图、●板书设计7、6、3圆的方程（三）一、圆的参数方程二、例题讲解复习回顾(0≤θ＜2π＝课时小结。

九年级下册数学圆知识点提纲数学是⼀门很重要的学科，我们从⼩学到⾼中都会系统的去学习数学中的各个内容。

你肯定需要数学知识点提纲吗?下⾯⼩编给⼤家分享⼀些九年级下册数学圆知识点提纲，希望能够帮助⼤家，欢迎阅读!九年级下册数学圆知识点提纲1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆⼼的距离⼩于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆⼼的距离⼤于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆⼼，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知⾓的两边距离相等的点的轨迹，是这个⾓的平分线8、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹，是和这两条平⾏线平⾏且距离相等的⼀条直线9、定理不在同⼀直线上的三点确定⼀个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧。

12、推论2：圆的两条平⾏弦所夹的弧相等13、圆是以圆⼼为对称中⼼的中⼼对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦⼼距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦或两弦的弦⼼距中有⼀组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半17、推论：同弧或等弧所对的圆周⾓相等;同圆或等圆中，相等的圆周⾓所对的弧也相等18、推论：半圆(或直径)所对的圆周⾓是直⾓;90°的圆周⾓所对的弦是直径19、推论：如果三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形20、定理：圆的内接四边形的对⾓互补，并且任何⼀个外⾓都等于它的内对⾓21、①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r22、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论：经过圆⼼且垂直于切线的直线必经过切点25、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆⼼26、切线长定理：从圆外⼀点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆⼼和这⼀点的连线平分两条切线的夹⾓27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切⾓定理：弦切⾓等于它所夹的弧对的圆周⾓29、推论：如果两个弦切⾓所夹的弧相等，那么这两个弦切⾓也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的⼀半是它分直径所成的两条线段的⽐例中项32、切割线定理：从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项33、推论：从圆外⼀点引圆的两条割线，这⼀点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点⼀定在连⼼线上35、①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)36、定理：相交两圆的连⼼线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有⼀个外接圆和⼀个内切圆，这两个圆是同⼼圆39、正n边形的每个内⾓都等于(n-2)×180°/n40、定理：正n边形的半径和边⼼距把正n边形分成2n个全等的直⾓三⾓形41、正n边形的⾯积Sn=pr/2p表⽰正n边形的周长，r为边⼼距42、正三⾓形⾯积√3a2/4a表⽰边长43、如果在⼀个顶点周围有k个正n边形的⾓，由于这些⾓的和应为360°，因此k(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R/18045、扇形⾯积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/2外公切线长=d-(R+r)数学学习思维⽅法1.⽐较法通过对⽐数学条件及问题的异同点，研究产⽣异同点的原因，从⽽发现解决问题的⽅法，叫⽐较法。

九年级上册数学圆知识点总结提纲数学不是教出来的，是悟出来的，是自学出来的。

数学不是看会的，是算会的。

学数学最重要的就是解题能力，同时上课要认真听讲、课后做匹配练习，学会以不变应万变。

下面是整理的九年级上册数学圆知识点提纲，仅供参考希望能够帮助到大家。

九年级上册数学圆知识点提纲一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点、直线、圆和圆的位置关系1.点和圆的位置关系①点在圆内=&gt;点到圆心的距离小于半径;②点在圆上=&gt;点到圆心的距离等于半径;③点在圆外=&gt;点到圆心的距离大于半径。

2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.直线和圆位置关系的性质和判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：①直线l和⊙O相交=&gt;d&gt;;②直线l和⊙O相切=&gt;d=r;③直线l和⊙O相离=&gt;d&gt;r。

圆与方程预习提纲1．圆的标准方程：2．圆的一般方程：3．直线与圆的位置关系的判断：4．圆与圆的位置关系的判断：圆与方程教案例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。

例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。

例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。

例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。

例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程.例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。

例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。

例9：已知一圆与y 轴相切，圆心在直线l ：x －3y = 0上，且被直线y ＝x 截得的弦AB 长为27 ，求圆的方程。

例10：求过三点O （0，0）、M 1（1，1）、M 2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.例11：已知一曲线是与两个定点O （0，0）、A （3，0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.例12：已知曲线C ：（1＋a ）x 2＋（1＋a ）y 2－4x ＋8ay ＝0，（1）当a 取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点；（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值。

例13：已知圆x 2 + y 2＝1，求过点P （a ，b ）的圆的切线方程。

例14：已知圆方程为x 2 + y 2－4x －2y －20＝0，（1）斜率为－43的直线l 被圆所截线段长 为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A 和B ，使它们到直线l ：4x ＋3y ＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。

必修二 第四章 圆与方程复习提纲一：圆的方程。

（1）标准方程（几何式）： （圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程（代数式）：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心 半径提示：求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。

定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x (2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。

求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．二：点与圆的位置关系的判断方法，),(00y x P ，r b a 半径圆心),,(：若 ，则点P 在圆上；若 ,则点P 在圆外；若 ,则点P 在圆内；三：直线与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离d 和圆r 的半径的大小关系来判断。

(1) 相交⇔ （2）相切⇔ （3）相离⇔ 适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。

利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。

（2）代数法：由直线与圆的方程联立消元得到 ,然后由判别式△来判断。

(1) 相交⇔ （2）相切⇔ （3）相离⇔ 利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

四：圆与圆的位置关系判断方法：（1）几何法：两圆的连心线长为l ，圆1C 的半径1r 与圆2C 的半径2r ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当 时，圆1C 与圆2C 相离；2）当 时，圆1C 与圆2C 外切；3）当 时，圆1C 与圆2C 相交；4）当 时，圆1C 与圆2C 内切；5）当 时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。

圆的方程自主复习提纲 主备人:MR He一、重要结论回顾1.圆的三种方程：标准方程、一般式方程、直径式方程2.点与圆的位置关系● 若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，则0<⋅；若原点O 在以AB 为直径的圆上，则0=⋅OB OA ；若原点O 在以AB 为直径的圆的外部，则0>⋅OB OA ；（解析几何练习5:19）● 已知AB 为圆的直径，若AOB ∠为直角，则0=⋅；若AOB ∠为锐角，则,0>⋅且B O A 、、三点不共线；若AOB ∠为钝角，则,0<⋅OB OA 且B O A 、、三点不共线；（解析几何练习4：23）3.圆中的重要结论：垂径定理+勾股定理（弦的中垂线必过圆心）4.圆的最值问题研究：圆外一点(或圆外直线)到圆距离的最大值和最小值；5.几何意义解题专题（1）形如b x a y ++的最值研究转化为斜率的取值范围； （2）形如22)()(b y a x -+-的最值研究转化为两点间距离的取值范围；（3）形如ny mx ±的最值研究转化为直线纵截距的取值范围.6.到平面两个定点距离等于常数k （0>k ）的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）7.直线与圆的位置关系的判断：几何法；过圆外和圆上一点求圆的切线方程问题； 过直线和圆的交点的圆系方程的思想8.高考热点问题：点的存在性问题9.圆和圆位置关系的判断：几何法；两圆的相交弦方程如何求？弦长怎么求？10.过圆与圆交点的圆系方程的思想（注意局限性，最后需要检验）11.过圆内一定点P 的弦长的最大值和最小值分别是什么？圆心角的最大值和最小值问题你会了么？若弦与圆C 交于B A 、两点，则ABC ∆面积什么时候最大？12.初中所学一些结论：相交弦定理、切割线定理二、重要题型回顾1.解析几何练习4 解答题17、21、22（3）（研究方法和思路很重要）2.解析几何练习4 轨迹方程问题14、19、203.圆的综合问题：多总结、多思考，勤交流（解析几何5:20）。

§4.1圆的标准方程【教学目标】1．知识与技能掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆心坐标、半径，并会通过标准方程判断点与圆的位置关系。

2．过程与方法通过阅读课本，学习用待定系数法求圆的标准方程,用圆的标准方程解决实际问题,3．情感、态度与价值观进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

【预习任务】1. 阅读课本p118-p120，完成下列任务(1)写出圆的定义 .(2)已知圆心坐标为（a,b）、半径为r的圆的标准方程为。

若圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=2, 则此圆的圆心坐标为、半径为。

.(3)点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系有种，如何判断？(4)确定一个圆的最基本要素是①②2.研究例2、例3,然后总结出求圆的标准方程的两种方法.①②。

【自主检测】1.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系：①(x-a)2+(y-b)2＞r2，点在圆②(x-a)2+(y-b)2= r2，点在圆③(x-a)2+(y-b)2＜r2，点在圆2.填表:几种特殊位置的圆的方程轴相切【组内互检】已知圆心坐标为（a,b）、半径为r的圆的标准方程为 .若圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=2, 则此圆的圆心坐标为、半径为 .圆的一般方程【教学目标】1．知识与技能掌握圆的一般方程，圆的一般方程与标准方程的互化,待定系数法求圆的一般方程；2．过程与方法通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,学习圆的一般方程以及求圆心坐标和半径的方法，学习待定系数法求圆的一般方程。

3．情感、态度与价值观通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力。

【预习任务】1.阅读课本p121-p122，完成下列任务（1）将圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=20化为圆的一般方程。

2019-2020年高二数学 7.6圆的方程(第二课时)大纲人教版必修●教学目标（一）教学知识点圆的一般方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.提高学生解题能力.●教学重点圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征：（1）x2和y2的系数相同，不等于0；（2）没有xy这样的二次项.圆心坐标（），半径R为.●教学难点方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（）;(2)当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形；(3)当D2+E2-4F＞0时，方程表示一个圆.●教学方法讨论法与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律.●教学过程Ⅰ.课题导入上节课，我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下：［生］以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2.［师］圆的标准方程的特点是很直观地可求出圆心坐标和半径.同学们是否想过将这一方程展开后会是什么样子呢？［生］将上式展为：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.［师］由于a、b、r均为常数.不妨设，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,则，此方程可写成下面的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①那么，是不是形如①的方程表示的曲线就是圆呢？［生甲］是.［生乙］不是.［生丙］不一定是.［师］下面我们来讨论一下.首先，我们应该明确.若形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程应该可求出圆心和半径.由圆的标准方程，我们可很快捷地求出圆心和半径，此方程与圆的标准方程可互化与否也就意味着此方程表示的曲线是否一定是圆，我们将①的左边配方，看情况如何？［生］配方后整理得：44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② ［师］不难看出，此方程与圆的标准方程的关系.（1）当D 2+E 2-4F ＞0时，表示以（-，-）为圆心、为半径的圆；（2）当D 2+E 2-4F =0时，方程只有实数解x =-，y =-，即只表示一个点（-，-）;（3）当D 2+E 2-4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2+E 2-4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的表示圆的方程称为圆的一般方程.圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：（1）x 2和y 2的系数相同，且不等于0；（2）没有xy 这样的二次项.但要注意：以上两点是二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的必要条件，但不是充分条件.看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D 、E 、F 就可以了. 下面，我们结合一些例题来探讨如何确定圆的一般方程.［例］求过三点O （0，0），M （1，1），N （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0∵O 、M 、N 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F解此方程组，可得：F =0,D =-8,E =6.∴所求圆的方程为：x 2+y 2-8x +6y =0由r =得r =5.由得圆心坐标为（4，-3）.［或将x 2+y 2-8x +6y =0左边配方化为圆的标准方程，（x -4)2+(y +3)2=25,从而求出圆的半径r =5，圆心坐标为(4,-3).］［师］请同学们考虑如何先求出圆心坐标和半径，再求出圆的方程.［生甲］设圆心坐标P(x,y)，根据圆的定义，可得｜OP｜=｜PM｜=｜PN｜.即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2可解得P(4,-3)，｜OP｜=5点P（4，-3）为圆心.圆的半径为5.［生乙］先求出OM中点E（，），MN中点F（，），再写出OM的垂直平分线PE的直线方程：y-=-（x-）①MN的垂直平分线PF的直线方程：y-=-3(x-) ②联立①②得解之得则点P（4，-3）为PE、PF的交点，即为圆心，｜OP｜=5，即为圆的半径.［师］上述方法均完全正确，希望同学们都能积极思考.［例］已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合P={M｜}.即,整理得：x2+y2+2x-3=0所求曲线方程即为：x2+y2+2x-3=0.将其左边配方，得(x+1)2+y2=4.∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如图所示：Ⅲ.课堂练习［生］回答：1.下列方程各表示什么图形？（1）x2+y2=0;［生甲］此方程表示一个点O（0，0）.（2）x2+y2-2x+4y-6=0;［生乙］∵x2+y2-2x+4y-6=0可化为:(x-1)2+(y+2)2=11∴此方程表示以点（1，-2）为圆心，为半径的圆.（3）x2+y2+2ax-b2=0［生丙］∵x2+y2+2ax-b2=0可化为：(x+a)2+y2=a2+b2∴此方程表示以(-a,0)为圆心，为半径的圆.2.求下列各圆的半径和圆的坐标：(1)x2+y2-6x=0即(x-3)2+y2=9圆心为（3，0），半径为3.(2)x2+y2+2by=0即x2+(y+b)2=b2圆心为（0，-b），半径为｜b｜.（3）x2+y2-2ax-y+3a2=0即(x-a)2+(y-a)2=a2圆心为(a, a),半径为｜a｜.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先要掌握圆的一般方程.其次，还应注意圆的一般方程与圆的标准方程的互化问题.最后，应根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程，以便快捷解决相关问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P82习题7.6 5,6,7,8.（二）1.预习内容：课本P79～812.预习提纲：（1）何为圆的参数方程？（2）怎样确定圆的参数方程？（3）圆的参数方程中的参数有何几何意义？（4）圆的参数方程与圆的普通方程如何互化？●板书设计2019-2020年高二数学 8.3双曲线及其标准方程(第一课时)大纲人教版必修2课时从容说课双曲线是平面解析几何中又一重要曲线，掌握好双曲线的定义及其标准方程是应用双曲线知识解决实际问题的基础，同时也是对运动、变化和对立统一观点的进一步认识.本节对双曲线及其标准方程的处理，是以学生自学为主，通过与椭圆及其标准方程的对照比较，掌握双曲线的定义及其标准方程，教师作必要的指导并强调“动点P到两上定点F1、F2的距离差绝对值|MF1|-|MF2|=±2a(a>0)”是“点M轨迹是双曲线”的必要不充分条件.本节的难点是分清双曲线标准方程的两种不同形式，教学中以问题的形式强调：哪个二次项系数的正数，焦点就在哪个轴上.求双曲线的标准方程时，例2采用了待定系数法，例3则是根据双曲线的定义求得的，教学中提醒学生体会这两种方法的适用条件.●课题§8.3.1 双曲线及其标准方程（一）●教学目标（一）教学知识点1.双曲线及其焦点、焦距的定义.2.双曲线的标准方程及其求法.3.双曲线中a、b、c之间的关系.（二）能力训练要求1.使学生掌握双曲线的定义.2.使学生掌握双曲线的标准方程及其推导方法.3.使学生理解怎样的双曲线，其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定其焦点的位置.4.使学生掌握a、b、c之间的关系.（三）德育渗透目标使学生通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较，双曲线与椭圆a、b、c关系的比较，掌握两种曲线的定义、标准方程及a、b、c关系的区别，并认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效方法.●教学重点1.双曲线的定义.2.双曲线的标准方程.3.双曲线中a、b、c之间的关系.●教学难点双曲线的标准方程●教学方法指导学生自学法学生在前面学过椭圆的有关内容，对于双曲线的内容只要与椭圆对照比较，教师再因势利导给予必要的提示、点拨与帮助，学生完全可以自学掌握.●教具准备投影片三张第一张：课本P105例1（记作§8.3.1 A）第二张：课本P106例2（记作§8.3.1 B）第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.3.1 C）Ⅰ.课题导入［师］前面我们学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的距离定义.［生］平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点的距离叫椭圆的焦距.（学生作答，教师板书）［师］好，椭圆的标准方程是怎样的？［师］ (a＞b＞0)或(a＞b＞0)（学生作答，教师板书）［师］怎样的椭圆其方程为标准方程？［生］中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆其方程为标准方程.（学生作答，教师板书）［师］标准方程所表示的椭圆其图形有什么特征？［生］标准方程所表示的椭圆其中心在原点，焦点在坐标轴上.（学生作答，教师板书）［师］你能根据椭圆的标准方程确定其焦点究竟在哪个坐标轴上吗？［生］哪个二次项的分母大，焦点就在相应的哪个坐标轴上.（学生作答，教师板书）［师］求椭圆的标准方程，关键是什么？［生］关键是确定a、b的值.（学生作答，教师板书）［师］好，同学们对椭圆部分的基本内容掌握得很好，下面我们再来研究另外一种二次曲线——双曲线（板书课题）.Ⅱ.讲授新课［师］课下，我们带着问题预习了双曲线及其标准方程一节，同学们利用5分钟时间再看一下课本，把我们提出的问题进一步搞清楚.（学生看书，教师巡视）［师］好，请同学们回答一下，双曲线的定义是怎样的？［生］平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距（学生回答，教师板书）.（若学生回答不严密，表述不清楚可看着课本读，或者学生从与椭圆的定义的对照中，已发现了两者定义的相同与不同之处，表述已不成问题）［师］与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？［生］两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.（若学生回答不完全，教师要给予提示）［师］好！但有一个问题想请同学们解释一下，椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？［生］只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.（学生根据预习情况，可以答出来，若答不出来，请学生在课本上找一找）［师］可见双曲线有两支，丢掉任何一支都不是完整的双曲线，那么，双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|F1F2|呢？［生］如果差的绝对值即常数等于|F1F2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|F1F2|，那么无轨迹.（如果学生答不来，教师可对学生作演示，启发学生明白这个道理，清楚这个约束条件是非常必要的）［师］好，双曲线的标准方程是怎样的呢？［生］ (a＞0,b＞0)或(a＞0,b＞0)［师］与椭圆的标准方程比较，有什么区别？［生］椭圆的标准方程中等式的左边是两项的和，双曲线的标准方程中，等式的左边是两项的差.［师］还有呢？（学生观察，之后有一学生作答）［生］椭圆中，a、b均为正，大小关系一定.双曲线中a、b均为正，大小关系不定.［师］双曲线标准方程是怎样建立起来的？［生］以两个定点所在直线为x轴或y轴，以两个定点的中点为原点建立直角坐标系求出来的.［师］这两个定点的中点实质上就是双曲线的中心（为什么是中心将在双曲线的简单几何性质中研究），因此我们可以说：中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线，其方程为标准方程.（板书）请同学们考虑一下，标准方程所表示的双曲线，其图形有什么特征？［生］标准方程所表示的双曲线，其中心在原点，焦点在坐标轴上（学生回答，教师板书）.［生］根据双曲线的标准方程，谁能确定焦点究竟在哪个坐标轴上？（学生观察思考、困惑，不知该怎样作答）［师］对于椭圆的标准方程，哪个二次项的分母大，焦点就在哪个相应的轴上，类比看看，该怎样表述呢？（仍无人回答）不要仅从大小上看（学生豁然开朗）［生］哪个二次项系数是正的，焦点就在相应的哪个轴上.（板书）［师］好，请注意：焦点始终在与双曲线相交的那个轴上.求双曲线标准方程的关键是什么？［生］关键是确定a、b的值.［师］好，下面我们来看两个例子.（打出投影片§8.3.1 A）教师读题分析：这是一道清楚轨迹类型的题目，根据题意设出方程，确定a、b的值即可.（学生在黑板上板书，教师讲解）［师］再看这样一例（打出投影片§8.3.1 B）教师读题分析：这显然也是一道清楚轨迹类型的问题，同样根据题意设出方程，确定a、b的值即可，但这个题与例1所不同的是a、c的值不是直接可知，那么该怎样确定a、b的值呢？［生］因为P1、P2两点都在双曲线上，并且坐标已知，所以由一个点的坐标，即可确定a、b的一个关系，两个式子联立即可得a2、b2的值.（学生经过预习，这个道理对于绝大多数同学是可以明白的）［师］好，下面同学们合上课本，自己将这个题目的解答过程写一下.（请一位学生在黑板上做，教师给予评讲）［师］注意：本题是用待定系数法来解的，根据题意得到的关于待定系数a、b的方程组是一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程时，利用换元法可以将它化为二元一次方程组求解；也可以将a2、b2分别整体作为未知数，直接化为分式方程组来解.Ⅲ.课堂练习1.课本P107练习1、42.写出课本P105页上方程①的简化过程.答案：由-=±2a∴=±2a+∴x2+2cx+c2+y2=4a2+x2-2cx+c2+y2±4a∴4cx-4a2=±4a∴c2x2+a4-2a2cx=a2x2+a2c2-2a2cx+a2y2∴(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴上（2）焦点为（0，-6）、（0，6），经过点（2，-5）（3）焦点在x轴上，经过点（-）、（）答案：（1）(2)(3)Ⅳ.课时小结本节课我们学习了双曲线及其焦点、焦距的定义，双曲线的标准方程以及方程中a、b、c三者之间的关系，同学们要与椭圆对照，比较其异同点进行掌握（对照板书进行强调，强调定义、标准方程），a、b、c三者之间的关系，特别是不同点，强调怎样的曲线其方程为标准方程；强调标准方程表示的曲线的特征；强调焦点位置的确定方法，指出焦点始终在与双曲线相交的坐标轴上；强调求双曲线标准方程的关键.Ⅴ.课后作业（一）课本P108习题8.3 1、2、3（二）1.预习内容：课本P106例32.预习提纲：（1）在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，说明了什么？（2）根据题意怎样确定爆炸点的位置？为什么？（3）如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在怎样的曲线上？3.思考题（1）已知方程表示双曲线，求m的取值范围.（课本P107练习3）（2）方程表示双曲线吗？若是，其中心在哪里？焦点坐标是什么？若不是，说明理由.●板书设计。