杭州二中高一数学每周一练_3

浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷一､选择题（每小题5分，共50分）1.计算等于（）C. D.2.设2t a b =+，21s a b =++，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s ≥ C.t s < D.t s≤3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，7BC =，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN =（ ）A.2B.5C.72 D.324.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A.(45π+B.36πC.63πD.2169π+5.已知两直线1120a x b y ++=和2220a x b y ++=的交点是()3,4，则过两点()()1122,,A a b B a b ､的直线方程是（）A.340x y +=B.430x y +=C.3420x y ++=D.4320x y ++=6.设x ，y ，0z >，14a x y =+，14b y z =+，14c z x =+，则a ，b ，c 三个数（ ）A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于47.将正整数排成下表则在表中数字2020出现在（ ）A.第44行第85列B.第45行第85列C.第44行第84列D.第45行第84列8.若存在正实数y ，使得154xy y x x y=−+，则实数x 的最大值为（ ） A.15 B.54C.1D.4 9.如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG CF ､.下列结论：（1）ABG AFG ≅ ；（2）BG GC =；（3）AG ∥CF ；（4）3FGC S = .其中正确结论的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 10.()()()()()()()()333333332131412020121314120201−−−−++++ 的值最接近（ ） A.12 B.23 C.34 D.45二､填空题（每小题5分，共25分）11.tan45cos60−= __________.12.方程()()22120x a x a +−+−=的一个根比1大，一个根比1小，则实数a 的取值范围是__________. 13.函数15()22y x =+<<的最大值是__________.14.在等腰ABC 中，A B =，点D 在线段AC 上，且2CD DA =，若2tan 5ABD ∠=，则tan A =__________.15.设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b −=，则1a b −<；②若111b a −=，则1a b −<；1−，则1a b −<；④若331a b −=，则1a b −<. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三､解答题（每小题10分，共40分）16.解方程：4326736760x x x x +−−+=17.对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()ff x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”.（1）求证；若x 为()f x 的“不动点”，则x 为()f x 的“稳定点”；（2）若()()21,f x ax a x =−∈∈R R ，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}()(){},A x f x x B xf f x x ====∣∣，且A B =，求实数a 的取值范围. 18.如图，圆1O 和圆2O 相交于点A B ､，半径1O B ､半径2O B 所在直线分别与圆2O ､圆1O 相交于点E F ､，过点B 作EF 的平行线分别与圆1O ､圆2O 相交于点M N ､.证明：MN AE AF =+.19.现有重量为1，2，4，8，16的砝码各一个，有一个天平，在每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入砝码的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，问这样的放法共有多少种？参考答案一､选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n .因为2441936=，2452025=，所以2017出现在第45行上.又由2020193684−=，故2017出现在第84列，故选D8.【答案】A 【解析】转化154xy y x x y =−+为()224510xy x y x +−+=，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可.9.【答案】B【解析】（1）AB AD AF == ，AG AG =，90B AFG ∠∠== ，()Rt Rt ABG AFG HL ∴≅ ；故（1）正确（2）123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =−. 在Rt ECG 中，根据勾股定理，得()()222642x x −+=+，解得3x =，363BG GC ∴==−=.故（2）正确（3）CG BG = ，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴ 是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=. 又Rt Rt ABG AFG ≅ ；AGB AGF ∠∠∴=，2AGB AGF AGB ∠∠∠+=18022FGC GFC GCF GFC GCF ∠∠∠∠∠=−=+==AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG ∴∥CF ；故（3）正确.（4）2EF = ，3GF =，故331185525FGC GCE GCE GF S S S GC EC GE ===×⋅= .故（4）错误.∴正确的个数有3个.故选：B .10.【答案】B【解析】由立方和､立方差公式得：()()32111n n n n −−++，()()()()()()322111111121n n n n n n n ++=+++−++=+++ . 所以()()()()()2332111111221n n n n n n n n n n −++−−==++++++. ()()()()()()()()()3333333333333333213141202011213120191202012131412020121314120201−−−−−−−=×××××−++++++++ ()()3311220181123202012020194520219201920202021××=×××××−=××−×× ()()222201920202020122202020201220202020132019202020213202020213202020201×++++++=×=×=×××××+ 222220202020121213202020203202020203++ =×=×+≈ ++ 故选：B . 二､填空题 11.【答案】1212.【答案】21a −<< 13.【答案】14.【答案】215.【答案】①④三､解答题 16.（221167360x x x x++−−= ，1t x x =−，32t =，83−；2x =，12−，3−） 17.（1）解：若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）A ≠∅ ，21ax x ∴−=有实根，14a ∴≥− 又A B ⊆，所以()2211a ax x −−=，即3422210a x a x x a −−+−=的左边有因式21ax x −−，从而有()()222110ax x a x ax a −−+−+= A B = ，2210a x ax a ∴+−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根.若2210a x ax a +−+=没有实根，则34a <；若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=.由此解得12x a=−，再代入得111042a a +−=，由此34a = 故a 的取值范围是13,44 −. 18.【解析】试题分析：根据平角得R A S ､､三点共线，根据同弦所对角相等得F R S E ､､､四点共圆.根据四点共圆性质得MRB FRA ∠∠=，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+. 试题解析：解：延长12BO BO ､分别与圆1O ､圆2O 相交于点R S ､，连结RM RF RB SA SE SN AB ､､､､､､.则90BAR BAS ∠∠== ，所以R A S ､､三点共线 又90RFS SER ∠∠== ，于是F R S E ､､､四点共圆. 故MRF MBF EFB ERS ∠∠∠∠===，从而MRB FRA ∠∠=，因此MB FA =，同理NB AE =.所以MN AE AF =+.证法二：连接1FO ，2EO ，那么我们易得等腰12O BF O EB ∼ .故我们有21BF BO BO BE ⋅=⋅，那么由相交弦定理的逆定理，我们有1O ，2O ，E ，F 四点共圆.从而我们有2221190O BN O FE O O E O BA ∠∠∠∠===− ， 故我们有22AO E BO N ∠∠=.从而AE BN =，同理AF BM =，即证明了MN AE AF =+.19.答案：是9*7*5*3*1945=，这算个组合计数题.分类讨论是比较困难的.最好的方法是分步原理，但不是很好想，但我觉得也有学生可能可以猜到这个答案.做法如下：将所有的位置分为：1左，1右；2左，2右；3左，3右；4左，4右；5左，5右.k左表示第k次放在天平左边，k右同理.那么我们先来看1这个砝码，你会发现对它的要求是不放在1右都可以.从而右9种选择.再看2这个砝码，若1这个砝码是第k次放，那么2这个砝码不能是第k次放，去掉一个位置，然后不能在去掉1这个砝码后放在右边，故还要去掉一个位置，故有7种可能……类似的考虑4，8，16……关键想法是考虑总共有10个位置，要将5个砝码放到这10个位置满足一定条件，然后砝码的顺序很重要.必须先考虑1.事实上也可以想象成归纳.。

杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟. （2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效. 一、选择题.（5分×6=30分）1.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b +++++的值为（ ） A.6B.7C.9D.102.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.若质数a ，b 满足2940a b −−=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A.4B.7C.4或7D.4.5或6.54. ()62121110121110102x x a x a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅++，则12108642a a a a a a +++++=（ ） A.-32B.0C.32D.645.若四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足()()20122012201220122012ac ad −−=，()()20122012201220122012bc bd −−=，则()()20122012ab cd −的值为（ ）A.-2012B.-2011C.2012D.2011二、填空题（6分×8=48分）6.设下列三个一元二次方程：24430x ax a +−+=；()211?0x a x a +−++=；22230x ax a +−+=，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是___________.7.如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿450方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米.8.点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2y x =于P ，Q 两点.若点A 的坐标为()0,1，且60PBQ ∠=°，则所有满足条件的直线PQ 的函数解析式为：___________.9.111005−>成立的正整数n 的值的个数等于___________.10.如图，四边形ABCD 中，AB BC CD ==，78ABC ∠=°，162BCD ∠=°.设AD ，BC 延长线交于E ，则AEB ∠=____________.11. D 是ABC △的边AB 上的一点，使得3AB AD =，P 是ABC △外接圆上一点，PB 使得ADP ACB ∠=∠，则PBPD的值___________.三、解答题.（12分×6=72分）12.已和x ，y ，z 均为非负数，且满足142x y z y z =+−=−−. （1）用x 表示y ，z ；（2）求222u x y z =−+的最小值.13、由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone 手机二6月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. （1）一月Iphone6手机每台售价为多少元?（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s 手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s 每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金a 元，而Iphone6s 按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值?14.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=°，D 、E 是边AB 上的两点，3AD =，4BE =，45DCE ∠=°，则ABC △的面积是多少?15.若直线l ：3y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B .坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数ky x=的图象上.（1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）将直线l 绕点A 逆时针旋转角()045θθ<<°°，得到直线l ′，l ′交y 轴于点P ，过k 点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数k y x =的图象交于点Q ，当四边形APQO ′的面积为9θ的值. 16.已和关于x 的方程()()221331180m x m x −−−+=有两个正整数根（n 是整数）. ABC △的三边a 、b 、c 满足：c =，2280m a m a +−=，2280m b m b +−=. 求：（1）m 的值； （2）ABC △的面积.17.如图ABC △为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是ABD △和ACD △的外接圆的直径，连结EF ，求证：tan EFPAD BC∠=.附加题（同分优先）：18.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心，AP 为半径作A ，A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作B ，B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M .求证：MP 分别与A 和B 相切.参考答案一、选择题1-5BDCAA二、填空题6. 12a ≥或32a ≤− 7.508.如图，分别过点P ，Q 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D . 设点A 的坐标为()0,t ，则点B 的坐标为()0,t −.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+，并设P ，Q 的坐标分别为(),P P x y ，(),Q Q x y .由2,23y kx t y x =+=得2203x kx t −−=， 于是32P Q x x t =−，即23P Q t x x =−.于是()()22222222333322223333p p p Q p p Q p p Q Q Q Q p Q Q Q px t x x x x x x y t x BC BD y t x x t x x x x x x +−−+=====−++−−.又因为P Q x PCQD x =−，所以BC PC BD QD=. 因为90BCP BDQ ∠=∠=°，所以BCP BDQ ∽△△， 故ABP ABQ ∠=∠.（2）设PC a =，DQ b =，不妨设0a b ≥>， 由（1）可知30ABP ABQ ∠=∠=°，BC =，BD =，所以2AC =−，2AD =.因为PC DQ ∥，所以ACP ADQ ∽△△.于是PC AC DQ AD =，即a b =所以a b +.由（1）中32p Q x x t =−，即32ab −=−，所以32ab =，a b +，于是可求得2a b==将b =代入223y x =，得到点Q的坐标12. 再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k =. 所以直线PQ的函数解析式为1y x +.9.1008015 10.21°11.解：连接AP ，∵APB ∠与ACB ∠是 AB 所对的圆周角，∴APB ACB ∠=∠， ∵ADP ACB ∠=∠，∴APB ACB ADP ∠=∠=∠， ∵DAP DAP ∠=∠，∴APB ADP ∽△△，∴APAD PD AB AP PB ==，∴()233AP AD AB AD AD AD =⋅=⋅=，∴PB AP PDAD==.三、解答题.12.（1）32y x =−，23z x =−+ （2）当32x =时，min 12u =− 13.（1）一月Iphone4每台售价为4500元 （2）有5种进货方案（3）当100a =时（2）中所有方案获利相同 14. 36ABC S =△15.（1）9y x=− （2）15θ=°16.（1）2m =（2）1ABC S =△ 17.证明：如图，连接ED ，FD .∵BE 和CF 都是直径，∴ED BC ⊥，FD BC ⊥， ∴D ，E ，F 三点共线，连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴ABC AEF ∽△△. 作AH EF ⊥，重足为H .又∵AP BC ⊥，DF BC ⊥，∴四边形APDH 是矩形，∴AH PD =， ∵ABC AEF ∽△△，∴EF AHBC AP=， ∴EF PD BC AP=，∴tan PD EFPAD AP BC ∠==.18.证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作CE AB ⊥，DF AB ⊥， 垂足分别为E ，F∴CE DF ∥，90AEC ∠=°，90BFD ∠=°. ∵AB 是O 的直径，∴90ACB ADB ∠=∠=°， 又∵CAB ∠是ACB △和AEC △的公共角. ∴ACB AEC ∽△△. ∴::AC AB AE AC =即22·PA AC AE AB ==，同理22·PB BD BF AB ==. 两式相减可得()22PA PB AB AE BF −=−，∴()()()22PA PB PA PB PA PB AB PA PB −=+−=−，∴AE BF PA PB −=−，即PA AE PB BF −=−， ∴PE PF =，∴点P 是线段EF 的中点， ∵M 是CD 的中点，∴MP 是直角梯形CDEF 的中位线， ∴MP AB ⊥，∴MP 分别与A 和B 相切.。

2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ）A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√1778．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝4，P 为棱B 1C 1的中点，Q 为棱BB 1上的动点，平面APQ 与棱A 1C 1交于点R ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得A 1Q ⊥APB ．线段C 1R 长度的取值范围是[0，2]C ．当点Q 与点B 重合时，四棱锥C ﹣AQPR 的体积为16D ．设截面AQPR ，△APR ，△APQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 12S 2S 3∈[4，92]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于 ．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 ． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．20．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，面P AC ⊥面ABC ，AP ⊥PC ，PC ＝2BC ＝2，∠ACP ＝∠ACB ＝45°． （1）求证：BC ⊥BP ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，面ABC ⊥面BCC 1B 1，且B 1C ⊥AB ，点D 为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →解：∵PA →−PB →+AB →=BA →+AB →=0→． 故选：C ．2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A 错误， 对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或者m ⊂α，故B 错误，对于C ，若α⊥β，α⊥γ，不能得到β∥γ，例如正方体一个顶点处的三个平面分别为α，β，γ，故C 错误，对于D ，若m ∥α，m ⊥β，则由面面垂直的判定可知，α⊥β，故D 正确， 故选：D ．3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π解：如图，作AD ∥BC ，在Rt △ADE 中， AD =√AE 2−ED 2=√52−(5−2)2=4， 即圆台的高为4，则该圆台的体积为V =13π（22+52+2×5）×4＝52π． 故选：D ．4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：点A （﹣2，4），B （1，a ）， BO →=（﹣1，﹣a ），BA →=（﹣3，4﹣a ），若∠ABO 为钝角，则BO →，BA →不共线，且BO →•BA →＜0， ∴3+a （a ﹣4）＜0，且a ﹣4≠3a ，∴1＜a ＜3． 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：∵a cos B ＝c ，∴由正弦定理得：sin A cos B ＝sin C ， ∴sin A cos B ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝0，∴A =π2．又∵△ABC 是直角三角形⇔A =π2或B =π2或C =π2．∴“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件． 故选：B ．6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确解：对于A ：当点Q 为AC 1中点时，直线D 1Q 即直线D 1B ，与BB 1共面，故A 错误；对于B ：当BP =95时，△CBP 与△C 1CB 相似，CP ⊥BC 1， 所以CP ⊥AD 1，因为CP ⊂面BCC 1B 1，C 1D 1⊥面BCC 1B 1， 所以CP ⊥C 1D 1，又因为C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1⊂面AC 1D 1，AD 1⊂面AC 1D 1， 所以CP ⊥面AC 1D 1，D 1Q ⊂面AC 1D 1， 所CP ⊥D 1Q ，故B 正确；对于C ：长方体中C 1D 1⊥面BCC 1B 1，CP ⊂面BCC 1B 1 所以对任意点P ，CP ⊥C 1D 1， 而D 1Q 与C 1D 1不平行，所以不存在点Q 使得对任意点P ，CP ⊥D 1Q ，故C 错误； 对于D ：B 选项正确，故D 错误， 故选：B ．7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ） A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√177解：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4， 所以BC =√AB 2+AC 2=5，sin B =ACBC =45， 因为BD CD=AB AC=34，又BD +CD ＝5，所以解得BD =157，在△ABD 中，又∠BAD ＝45°， 由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157√22=AD45，解得AD =12√27， 在△ADE 中，AE ＝2，∠EAD ＝45°，由余弦定理可得DE 2＝AE 2+AD 2﹣2AE •AD •cos ∠EAD ，可得DE 2＝22+（12√27）2﹣2×2×12√27×√22=14849， 所以DE =2√377． 故选：A ．8．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]解：设正四面体棱长为a ，球半径为R ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝3π，r =√3， 设PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 中心，且球心在PH 上， 连接CH ，并延长与AB 交于点G ，连接OG ，OD ，DH ， PH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PH ⊥AB ，AB ⊥GC ， ∵PH ∩GC ＝H ，∴AB ⊥平面OGC ， ∵OG ⊂平面OGC ，∴AB ⊥OG ，HC =23×√32a =√33a ，PH =√a 2−(33a)2=√63a ， 则R 2＝（√63a −R ）2+（√33a ）2，解得R =√64a ，当截面过球心时，R =√3，此时棱长最短，故R =√64a =√3，a ＝2√2， 当OD ⊥截面时，棱长最长，此时OD 2＝OG 2+GD 2＝OH 2+GH 2+GD 2＝（√612a ）2+（√36a ）2+（a 4）2， 解得OD =√34a ，∴R 2＝3+（√34a ）2＝（√64a ）2，解得a ＝4． 综上，a 的取值范围是[2√2，4]． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →解：对于A ，由a →⋅c →=b →⋅c →，得c →⋅(a →−b →)=0， 则a →=b →或c →⊥(a →−b →)，选项A 错误；对于B ，a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞，当a →，b →反向时，a →⋅b →=−|a →||b →|，选项B 错误； 对于C ，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2， 化简可得a →⋅b →=0，则a →⊥b →，选项C 正确；对于D ，若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →⊥c →，b →⊥c →，则a →∥b →，选项D 正确． 故选：CD ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE解：对于选项A ，连接BD ，∵DD 1＝BB 1，DD 1∥BB 1，∴四边形B 1D 1DB 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥B 1D 1，故A 正确； 对于选项B ，连接A 1B ， ∵BF ⊥平面ABB 1A 1∴BF ⊥AB 1， 又∵A 1B ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面A 1BF ， ∴AB 1⊥A 1F ，故B 正确；对于选项C ，连接BD ，AC ，AB 1，CB 1，∵DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BD 1D ， ∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1， ∵AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面B 1EF 不成立，故C 错误； 对于选项D ，若D 1F ∥平面A 1DE ，又∵平面A 1DE ∩平面AD 1F ＝LG ，∴D 1F ∥LG ， ∵L 是线段AD 1的中点， ∴LG 是△AD 1F 的中位线， ∴G 是线段AF 的中点， 又∵E 是线段AB 的中点，∴EG 是△ABF 的中位线，∴EG ∥BC ， 又∵AD ∥BC ，∴EG ∥AD ， 这与EG ∩AD ＝D 相矛盾， 故假设不成立，故D 错误． 故选：AB ．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)解：对于A ，因为B =π4，1＜b ＜√2，所以c sin B ＜b ＜c ，则△ABC 有两解，A 正确； 对于B ，因为B ∈(π2，π)，b ＞√2，所以△ABC 有且仅有一解，B 错误； 对于C ，由{0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2得π6＜C ＜π4，则sinC ∈(12，√22)，因为asinA =csinC，所以sinA=asinCc∈(√24a，12a)，D正确；对于D，因为A+B＝2C，所以C=π3，又因为asinA =bsinB=csinC=√2√32=2√63，所以a=2√63sinA，b=2√63sinB，则a+b=2√63sinA+2√63sinB=2√63sinA+2√63sin(2π3−A)=2√63(32sinA+√32cosA)=2√2sin(A+π6 )，由0＜A＜2π3，得π6＜A+π6＜5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+b取得最大值2√2，C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝4，P为棱B1C1的中点，Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1交于点R，则下列说法中正确的是（）A．存在点Q，使得A1Q⊥APB．线段C1R长度的取值范围是[0，2]C．当点Q与点B重合时，四棱锥C﹣AQPR的体积为16D．设截面AQPR，△APR，△APQ的面积分别为S1，S2，S3，则S12S2S3∈[4，92]解：∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），A1（4，0，4），B1（0，4，4），P（0，2，4），设点Q （0，4，a ），R （b ，0，4），其中0≤a ≤4，0≤b ≤4，对于A ，若存在点Q ，使得A 1Q ⊥AP ，且A 1Q →=（﹣4，4，a ﹣4），AP →=（﹣4，2，4）， A 1Q →⋅AP →=16+8+4（a ﹣4）＝0，解得a ＝﹣2，不合题意，故A 错误； 对于B ，设AR →=mAP →+n AQ →，其中m ，n ∈R ，即（b ﹣4，0，4）＝m （﹣4，2，4）+n （﹣4，4，a ）， 即{−4m −4n =b −42m +4n =04m +an =4，可得b =16a−8+4，∵0≤a ≤4，则﹣8≤a ﹣8≤﹣4， ∴b =16a−8+4∈[0，2]，故B 正确；对于C ，当点P 与点B 重合时，a ＝0，b ＝1， 此时R 为A 1C 1的中点，如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，则AB ∥A 1B 1，且A 1B 1＝AB ， ∴P 、R 分别为B 1C 1、A 1C 1的中点，则PR ∥A 1B 1，且PR =12A 1B 1，∴PR ∥AB ，且PR =12AB ，同理C 1R ∥AC ，且C 1R =12AC ，C 1P ∥BC 且C 1P =12BC ， ∴PR AB=C 1P BC=C 1R AC=12，∴几何体ABC ﹣RPC 1为三棱台，S △ABC =12AC ×BC =8，S △C 1PR =12C 1P ⋅C 1R =2， V ABC−GEC 1=13(S △ABC +S △C 1PR +√S ABC S △RPC 1)•CC 1=13×14×4=563， V C−RPC 1=13S △RPC 1⋅CC 1=13×2×4=83， ∴V C−ARPQ =V ABC−RPC 1−V C−RPC 1=16，故C 正确； 对于D ，AP →=(−4，2，4)，AQ →=(−4，4，a)，则点Q 到直线AP 的距离为d 1=√|AQ →|2−(|AP →⋅AQ →||AP →|)2=√5a 2−68a−13，AR →=（b ﹣4，0，4），则R 到直线AP 的距离为d 2=√|AR →|2−(|AR →⋅AP →||AP →|)2=4√5a 2−68a−13(8−a)， ∴S 2S 3=d 2d 1=48−a， ∴S 12S 2S 3=(S 2+S 3)2S 2S 3=S 2S 3+S 3S 2+2=48−a +8−a4+2，令t ＝8﹣a ，0≤a ≤4，则t ∈[4，8]， 则y =4t +t4+2， 由双勾函数的性质知y =4t +t4+2在t ∈[4，8]上单调递增， 则当t ＝4时，y min ＝4，当t ＝8时，y max =92， ∴S 12S 2S 3∈[4，92]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= √39 ． 解：易知|a →|=√42+32=5，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=5×2×12=5， 则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25+10+4=√39． 故答案为：√39．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于710．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 连接DF ，取BC 的中点E ，连接EF ，EA ，所以异面直线BD 和AF 所成角就是∠EF A ，设棱长为2，可得EF ＝BD =√1+4=√5，AF =√1+4=√5，AE =√4−1=√3， 所以cos ∠EF A =5+5−32×√5×√5=710．故答案为：710．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 √217． 解：由AD ＝BD ＝3得∠ABD ＝∠BAD ， 设∠ABD ＝∠BAD ＝θ，则∠BDC ＝2θ， △ABC 中，由正弦定理得BC sinθ=AC sin∠ABC，所以BC =4sinθsin π3=8√33sin θ， △BDC 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2+CD 2﹣2BD •CD •cos2θ， 即64sin 2θ3=10﹣6cos2θ＝10﹣6（1﹣2sin 2θ），故sin 2θ=37=sin 2A ， 由A 为三角形内角得sin A =√217．故答案为：√217． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 3√6−1 ．解：以A ，B ，C ，D 为顶点构造棱长为2的正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，由对称得PB ′＝PB 1，PB 1+PQ ＝PB ′+PQ ， 因为E 是DD 1上的动点，F 是下底面上的动点，则△D 1EF 是直角三角形，Q 是EF 中点，且EF ＝2，故QD 1＝1， 所以PB ′+PQ 取最小值时，D 1，Q ，P ，B ′四点共线， 则D 1B′=3√6，此时PB 1+PQ =3√6−1， 故答案为：3√6−1，四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．解：（1）因为在菱形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝AB ，EC ＝2DE ， 所以DF FB=DE AB=13，由平面向量基本定理，可得AF →=AD →+DF →=AD →+14DB →=AD →+14(AB →−AD →)=14AB →+34AD →，所以λ=14，μ=34；（2）∵P 是线段BC 的中点，∴AP →=AB →+BP →=AB →+12AD →，∴AF →⋅AP →=(14AB →+34AD →)⋅(AB →+12AD →)=14AB →2+38AD →2+78AB →⋅AD →=14×4+38×4+78×2×2×12=1+32+74=174． 18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．（1）证明：方法一：连接CE 交AC 1于点G ，连接CD 交BC 1于点H ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，BB 1∥CC 1， ∴EG GC =EC 1AC =12，∴DH HC=BD CC 1=12，∴EG GC=DH HC，DE ∥HG ，又∵EF ⊄面ABC 1，HG ⊂面ABC 1， ∴直线EF ∥平面ABC 1．方法二：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 取B 1C 1中点F ，连接DF ，EF ，∵D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点， ∴DF ∥BC 1，EF ∥A 1B 1，∴EF ∥AB ，又∵DF ⊄面ABC 1，BC 1⊂面ABC 1，EF ⊄面ABC 1，AB ⊂面ABC 1， ∴DF ∥面ABC 1，EF ∥面ABC 1，又∵DF ∩EF ＝F ，∴面DEF ∥平面ABC 1． ∵DE ⊂面DEF ，∴直线DE ∥平面ABC 1． （2）解：∵直线DE ∥平面ABC 1，∴V D−ABC 1=V E−ABC 1，又点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，设为h B =√3，∴V E−ABC 1=V B−AEC 1=13S △AEC 1⋅ℎB =13×12×1×√3×√3=12．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．解：（1）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ， 由正弦定理，可得：sin C tan A ＝2sin A sin C ， 则cosA =12，又0＜A ＜π，∴A =π3；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD •cos ∠ADC ， 在△ABD 中，AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ， ∵CD ＝BD ，∠ADC ＝π﹣cos ∠ADB ，∴AC 2+AB 2＝2AD 2+2BD 2，∴(2c)2+c 2=2⋅√72+2BD 2，∴BC 2＝10c 2﹣28， 在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =c 2+(2c)2−2c ⋅2c ⋅12， ∴BC 2＝3c 2＝10c 2﹣28，∴c ＝2， ∴S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =2√3．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AP⊥PC，PC＝2BC＝2，∠ACP＝∠ACB＝45°．（1）求证：BC⊥BP；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（1）证明：过P作PH⊥AC交AC于H，连接HB，∵PH⊥AC，面P AC⊥面ABC，面P AC∩面ABC＝AC，∴PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∵∠ACP＝45°，∴CH=PC⋅sin∠ACP=√2，在△BCH中，HB=√CH2+BC2−2CH⋅BC⋅cos45°=1，∴CH2＝BC2+BH2，∴BC⊥BH，又∵PH∩HB＝H，∴BC⊥面PHB，∴BC⊥BP．（2）解：方法一：过H作HD⊥AC交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，−√2，0)，C(0，√2，0)，P(0，0，√2)，B(√22，√22，0)， ∴PC →=(0，√2，−√2)，PB →=(√22，√22，−√2)， 设面PBC的一个法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则n →1⋅PB →=n →1⋅PC →=0，{√22x 1+√22y 1−√2z 1=0√2y 1−√2z 1=0，∴n →1=(1，1，1)，∵PC →=(0，√2，−√2)，PA →=(0，−√2，−√2)，设面P AC 的一个法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则n →2⋅PA →=n →2⋅PC →=0，{√2y 2−√2z 2=0−√2y 2−√2z 2=0，∴n →2=(1，0，0)， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=1√3⋅1=√33． 方法二：过H 作HM ⊥PB ，HN ⊥PC ，∵BC ⊥面PHB ，∴面PBC ⊥面PBH ， 又∵HM ⊥PB ，面PBC ∩面HPB ＝PB ， ∴HM ⊥面PBC ，∴∠MNH 即为二面角A ﹣PC ﹣B 的平面角， 在△PBH 中，PH =√2，HB ＝1，PH ⊥HB ，∴HM =√63，在△PHC 中，PH =HC =√2，PH ⊥HC ，∴HN ＝1， ∴sin ∠MNH =HMHN =√63，∴cos ∠MNH =√33．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．（本题满分为14分）解：（1）在△ABD 中，由BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos θ，得BD 2＝14﹣6√5cos θ，又cos θ=−√55，∴BD ＝2√5．∵θ∈（π2，π）， ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−(−√55)2=2√5， 由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，得：2√52√5=3sin∠ADB ，解得：sin ∠ADB =35， ∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB =π2，且CD =BD =2√5，∴cos ∠ADC ＝cos （∠ADB +π2）＝﹣sin ∠ADB =−35，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cos ∠ADC ＝（√5）2+（2√5）2﹣2×√5×2√5×(−35)=37， 解得：AC =√37．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣6√5cos θ，S ABCD ＝S △ABD +S △BCD =12×3×√5×sinθ+12BD 2=7+3√52×sinθ−3√5cos θ ＝7+3√52（sin θ﹣2cos θ）＝7+152sin （θ﹣φ），此时，sin φ=25，cos φ=15，且φ∈(0，π2)， 当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cos θ=25，sin θ=15， ∴BD 2＝14﹣6√5cos θ＝14﹣6√5×5)=26，即BD =√26． 答：（1）当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；（2）草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为√26百米．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，面ABC⊥面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．（1）证明：∵AB⊥AC，∴作AH⊥BC交BC于点H．∵AH⊥BC，面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1＝BC，∴AH⊥面BCC1B1，∴AH⊥B1C，又∵B1C⊥AB，∵AH∩AB＝A，∴B1C⊥面ABC．（2）解：∵AB⊥AC，AB⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴AB⊥面AB1C，AB⊂面ABB1A1，∴面ABB1A1⊥面AB1C．过点C作CE⊥AB1，交直线AB1于点E．则CE⊥面ABB1A1．∴直线CD与面ABB1A1所成角即∠CDE，∵B1C⊥面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，B1C⊥面A1B1C1，∴B1C⊥A1B1．又AB＝1，AC=√3，BB1＝3，∴BC＝2，B1C=√5，AB1=2√2，CD=√212，CE=√304．∴sin∠CDE=√7014，即直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值为√7014．。

浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1. 设a>b>0，下列各数小于1的是（）A.2a−bB.(ab )12 C.(ab)a−b D.(ba)a−b2. 若a>1，0<b<1，则下列不等式中正确的是（）A.a b<1B.b a>1C.log a b<0D.log b a>03. 若a>b>c，a+2b+3c=0，则（）A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.a|b|>c|b|4. 若集合M={y|y=x2, x∈Z}，N={x∈R|3x−1x−9≤1}，则M∩N的真子集的个数（）A.7B.8C.15D.165. 函数y=√log12(x2−1)的定义域是（）A.[−√2, −1)∪(1, √2]B.(−√3, −1)∪(1, √2)C.[−2, −1)∪(1, 2]D.(−2, −1)∪(1, 2)6. 设函数f(x)={2x+1,x≥1x2−2x−2,x<1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1)∪[1, +∞)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)∪[1, +∞)7. 在R上定义运算：x∗y=x(1−y)，若不等式(x−y)∗(x+y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（）A.−12<y<32B.−32<y<12C.−1<y<1D.0<y<28. 设变量x，y满足约束条件{x−y+2≥0，x−5y+10≤0，x+y−8≤0，则目标函数z=3x−4y的最大值和最小值分别为()A.3，−11B.−3，−11C.11，−3D.11，39. 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}，则平面区域B＝{(x+y, x−y)|(x, y)∈A}的面积为（）A.2B.1C.12D.1410. 已知向量m→=(a−2b, a)，n→=(a+2b, 3b)，且m→，n→的夹角为钝角，则在aOb平面上，点(a, b)所在的区域是（）A. B. C. D.二、填空题若1<α<3，−4<β<2，则α−|β|的取值范围是________．已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是________．若关于x的方程x2+ax+a2−1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．已知x、y满足不等式组{y≥xx+y≤2x≥a，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=________．已知数列{a n}，新数列a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，则a n=________．三、解答题关于x的不等式{x2−x−2>02x2+(2k+5)x+5k<0的整数解的集合为{−2}，求实数k的取值范围．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序．己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时．又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元．根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？设数列{a n}的首项a1＝a≠14，且a n+1={12a n(n)a n+14(n)，记b n＝a2n−1−14(n＝1, 2, 3…)．（1）求a2，a3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，（1）求a1、d满足的不等关系；（2）求a4的最大值．参考答案与试题解析浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】由指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象和性质进行判断．【解答】解：y=a x(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1，当0<a<1，x>0时，0< y<1．∵a>b>0，∴a−b>0，ab >1，0<ba<1由指数函数性质知，D成立．故选D．2.【答案】C【考点】不等式性质的应用指数式、对数式的综合比较不等式比较两数大小【解析】取a=2，b=13，用特殊值分别代入四个备选答案，能够得到正确答案．【解答】解：取a=2，b=13，则a b=213>1，故A不正确．b a=(13)2<1，故B不正确．log a b=log213<0，故C正确．log b a=log132<0，故D不正确．故选C．3.【答案】A【考点】不等式的概念与应用【解析】根据a+2b+3c=0和>b>c，得a>0，c<0，然后进行判断即可．【解答】解：因为a>b>c，a+2b+3c=0，所以a>0，c<0，又b>c，a>0，故A正确．故选A．4.【答案】A【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】分别求出M，N集合，求出M∩N，确定元素的个数，进而确定真子集的个数．【解答】解：若集合M={y|y=x2, x∈Z}={0, 1, 4, 9, 16...}；N={x∈R|3x−1x−9≤1}={x|−4≤x<9}；故M∩N={0, 1, 4}，真子集的个数为23−1=7故选A．5.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法对数的运算性质【解析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2−1>0，且x2−1≤1；解可得答案．【解答】解：{x2−1>0log12(x2−1)≥0⇔{x2>1x2−1≤1⇔{x2>1x2≤2⇔{x>1或x<−1−√2≤x≤√2⇔−√2≤x<−1或1<x≤√2．∴y=√log12(x2−1)的定义域为[−√2, −1)∪(1, √2]．答案：A6.【答案】B【考点】其他不等式的解法【解析】分x0≥1和x0<1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．【解答】当x0≥1时，f(x0)＝2x0+1，代入不等式得：2x0+1>1，解得：x0>0，此时x0的范围为x0≥1；当x0<1时，f(x0)＝x02−2x0−2，代入不等式得：x02−2x0−2>1，解得：x0>3或x0<−1，此时x0的范围为x0<−1，综上，x0的取值范围是(−∞, −1)∪[1, +∞)．7.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立，即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立，构造函数g(x)=x2−x+1，只要y2−y<g(x)min即可【解答】解：由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立设g(x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34所以，g(x)min=34所以y2−y<34解可得，−12<y<32故选：A8.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x−4y=0，平移直线观察最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如图所示，可知当直线z =3x −4y 平移到点B(5, 3)时， 目标函数z =3x −4y 取得最大值3； 当直线z =3x −4y 平移到点A(3, 5)时， 目标函数z =3x −4y 取得最小值−11. 故选A ． 9.【答案】 B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 对数的运算性质【解析】求平面区域B ＝{(x +y, x −y)|(x, y)∈A}的面积为可先找出B 中点的横纵坐标满足的关系式，故可令x +y ＝s ，x −y ＝t ，平面区域A ＝{(x, y)|x +y ≤1, 且x ≥0, y ≥0}得出s 和t 的关系，画出区域求面积即可． 【解答】令x +y ＝s ，x −y ＝t ，由题意可得平面区域B ＝{(s, t)|s ≤1, s +t ≥0, s −t ≥0}， 平面区域如图所示S △OAB ＝2×1÷2＝1 10.【答案】 A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 数量积表示两个向量的夹角 【解析】由m →，n →的夹角为钝角，知m →⋅n →<0，再转化为向量的坐标关系，从而得a 与b 的不等关系，由此关系可得不等关系表示的平面区域． 【解答】解∵ m →，n →的夹角为钝角， ∴ m →⋅n →<0，得(a −2b, a)⋅(a +2b, 3b)=a 2−4b 2+3ab =(a +4b)(a −b)<0， ∴ {a +4b >0a −b <0…①，或{a +4b <0a −b >0…②．以a 为横坐标，b 为纵坐标，则不等式组①表示直线a+4b=0右上方与直线a−b=0左上方的公共区域，不等式组②表示直线a+4b=0左下方与直线a−b=0右下方的公共区域，故选：A．二、填空题【答案】−3<α−|β|<3【考点】不等式的基本性质不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】∵ 4<β<2，∴ 0≤|β|<4．∴−4<−|β|≤0．∴−3<α−|β|<3．【答案】a b2+ba2≥1a+1b【考点】不等式比较两数大小【解析】用作差法比较它们的大小即可．【解答】解：因为ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b)(1b2−1a2)=(a+b)(a−b2)a2b2．∵a+b>0，(a−b)2≥0，∴(a+b)(a−b2)a2b2≥0，∴ab2+ba2≥1a+1b．故答案为：ab2+ba2≥1a+1b．【答案】−1<a<1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】先看二次函数的开口方向，利用0的函数值的符号确定a的范围．【解答】令f(x)＝x2+ax+a2−1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)<0，即a2−1<0，∴−1<a<1．【答案】13【考点】简单线性规划【解析】由题意大致确定a的取值，作出平面区域，由图找到最大值与最小值，从而解出a．【解答】解：依题意可知a <1．作出可行域如图所示，z =2x +y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由{x =a y =x 得A(a, a)，由{x +y =2y =x 得B(1, 1)．∴ z max =3，z min =3a ．∴ a =13． 故答案为13．【答案】32(1−13n ) 【考点】等比数列的性质 【解析】利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可得出结论． 【解答】解：∵ 数列a 1，a 2−a 1，a 3−a 2，…，a n −a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，∴ a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=a n =1−13n 1−13，∴ a n =32(1−13n )． 故答案为：32(1−13n )． 三、解答题【答案】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【考点】二元一次不等式组 【解析】由已知不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0我们易给出x 2−x −2>0的解集为{x|x <−1或x >2}，而方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．我们分类讨论−k 和−52的关系，又由不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解的集合为{−2}，我们不难求出实数k 的取值范围． 【解答】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52． ①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【答案】每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润． 【考点】求线性目标函数的最值 【解析】先设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为P 千元，根据题意抽象出x ，y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P =15x +20y ，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可． 【解答】解：设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为p ，目标函数为：p =15x +20y试卷第11页，总12页则{4x +8y ≤80002x +y ≤1300x ≥0y ≥0作出可行域：把直线l:3x +4y =0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点B ，此时p =15x +20y 取最大值，解方程{4x +8y =80002x +y =1300得B 的坐标为(200, 900)．p =15×200+20×900=21000．【答案】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18； a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116，猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【考点】 数列递推式 等比数列的性质 【解析】（1）利用数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n)，代入计算，可求a 2，a 3； （2）计算数列{b n }的前几项，猜想数列{b n }是等比数列，再利用递推式进行证明即可． 【解答】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18；试卷第12页，总12页a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116， 猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．【考点】等差数列的性质 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得a 1+2d ≤3，综上可得a 1、d 满足的不等关系．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，可得a 4的最大值． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．。

浙江省杭州市某校高一（上）周练数学试卷（4）一、选择题（每小题3分）2014.101. 已知a =1.70.3，b =0.93.1，c =log 20.9，下列关系正确是（ ） A.c >a >b B.a >c >b C.c >b > D.a >b >c2. 设指数函数f(x)=a x (a >0, a ≠1)，则下列等式中不正确的是（ ） A.f(x +y)=f(x)⋅f(y) B.f(x −y)=f(x)f(y)C.f(nx)=[f(x)]n (n ∈Q)D.f(xy)n =[f(x)]n [f(y)]n (n ∈N +)3. 为了得到函数y =3×(13)x 的图象，可以把函数y =(13)x 的图象（ ） A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度4. 已知函数y =f(x)的定义域为[0, 1]，则函数y =f(x +a)+f(x −a)(0<a <12)的定义域为（ ） A.φ B.[a, 1−a] C.[−a, 1+a] D.[0, 1]5. 已知f(x)=e x −e −x2，则下列正确的是（ ）A.奇函数，在R 上为增函数B.偶函数，在R 上为增函数C.奇函数，在R 上为减函数D.偶函数，在R 上为减函数6. 方程a |x|=x 2(0<a <1)的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.2个7. 函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x >0，满足f(x)>1的x 的取值范围（ ） A.(−1, 1)B.(−1, +∞)C.{x|x >0或x <−2}D.{x|x >1或x <−1}8. 若函数y =a x +b −1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A.0<a <1，且b >0 B.a >1，且b >0 C.0<a <1，且b <0 D.a >1，且b <09. 设函数f(x)(x ∈R )为奇函数，f(1)=12，f(x +2)=f(x)+f(2)，则f(5)=( )A.0B.1C.52D.510. 对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ={a,a −b ≤1b,a −b >1 ．设函数f(x)＝(x 2−2)⊗(x −1)，x ∈R ．若函数y ＝f(x)−c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A.(−1, 1]∪(2, +∞)B.(−2, −1]∪(1, 2]C.(−∞, −2)∪(1, 2]D.[−2, −1] 二、填空题（每小题3分）当a >0且a ≠1时，函数f(x)=a x−2−3必过定点________．定义运算：a ⊗b ={a(a ≤b)b(a >b)，则函数f(x)=2x ⊗2−x 的值域为________．函数f(x)=3√−x 2+4x−3的值域为________．计算：25⋅(log 47+log 249)⋅ln 2ln 7=________．f(x)=a −x 2+2x+3(0<a <1)的单调增区间是________．已知7a =11b =A ，且1a +1b =3，则A =________．不等式(12)x2+ax <(12)2x+a−2恒成立，则a 的取值范围是________．三、解答题（9+10+10+10+10）（1）化简(a 85⋅b −65)−12⋅√a 45÷√b 35(a >0, b >0)；（2）求log2.56.25+lg1100+ln√e+21+log23的值．（1）已知f(x)=23x−1+m是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数y＝|3x−1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x−1|＝k无解？有一解？有两解？已知函数f(x)=22x−52⋅2x+1−6，其中x∈[0, 3]，（1）求f(x)的最大值和最小值；（2）若实数a满足：f(x)−a≥0恒成立，求a的取值范围．已知函数f(x)=a x−1a x+1(a>0且a≠1)（1）求f(x)的定义域和值域（2）判断f(x)的奇偶性，并证明；（3）当a>1时，若对任意实数m，不等式f(m2+km)+f(k−m−1)>0恒成立，求实数k的取值范围．已知函数f(x)，当x，y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．（1）求f(0)，并判断f(x)的奇偶性；（2）如果x>0时，有f(x)<0，试判断f(x)在R上的单调性，并给出证明；（3）在（2）的条件下，若f(1)=−12，试求f(x)在区间[−2, 6]上的最大值和最小值．参考答案与试题解析浙江省杭州市某校高一（上）周练数学试卷（4）一、选择题（每小题3分）2014.10 1.【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵ a =1.70.3，b =0.93.1，c =log 20.9， ∴ a >1，0<b <1，c <0． ∴ a >b >c ． 故选：D ． 2.【答案】 D【考点】指数函数的性质 【解析】利用指数幂的四则运算法则去判断． 【解答】解：A ．f(x +y)=a x+y ，f(x)⋅f(y)=a x ⋅a y =a x+y ，所以A 正确． B ．f(x −y)=a x−y =f(x)f(y)，所以B 正确．C ．f(nx)=a nx =(a x )n =[f(x)]n ，所以C 正确．D ．[f(xy)]n =(a xy )n =(a x )n (a y )=[f(x)]n ⋅f(y)，所以D 错误． 故选D ． 3.【答案】 D【考点】指数函数的图象 【解析】将题目中：“函数y =3×(13)x ”的式子化成y =(13)（x−1），对照与函数y =(13)x 的关系即可得． 【解答】解：∵ 函数y =3×(13)x 化成：y =(13)（x−1）,∴ 可以把函数y =(13)x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y =3×(13)x 的图象． 故选D ． 4.【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解答】解：∵ 函数y =f(x)的定义域为[0, 1]， ∴ 由{0≤x +a ≤10≤x −a ≤1，得{−a ≤x ≤1−a a ≤x ≤a +1，∵ 0<a <12，∴ 1<a +1<32，−12<1−a <1则1−a <a +1，∴ 不等式组的解为a ≤x ≤1−a ，则函数y =f(x +a)+f(x −a)(0<a <12)的定义域为[a, 1−a]， 故选：B 5.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断 【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】 解：f(x)=e −x −e x2=−e x −e −x2=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵ y =e x 是增函数，y =e −x 是减函数，则y =e x −e −x2是增函数，故选：A 6.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y =a |x|(0<a <1)和y =x 2的图象，观察图象，可知方程a |x|=x 2(0<a <1)的解的个数． 【解答】解：在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y =a |x|(0<a <1)和y =x 2的图象， 观察图象，可知方程a |x|=x 2(0<a <1)的解的个数有两个．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分x≤0和x>0两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解．【解答】解：当x≤0时，f(x)>1即2−x−1>1，2−x>2=21，∴−x>1，x<−1，当x>0时，f(x)>1即x 12>1，x>1，综上，x<−1或x>1，故选D．8.【答案】C【考点】指数函数的性质【解析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b−1<0，且0<a<1，∴0<a<1，且b<0．故选C．9.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f(1)=12，对f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=−1，得f(1)=f(−1)+f(2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)，于是f(2)=2f(1)=1，令x=1，得f(3)=f(1)+f(2)=32，于是f(5)=f(3)+f(2)=52．故选C．10.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据定义的运算法则化简函数f(x)＝(x2−2)⊗(x−1)，的解析式，并画出f(x)的图象，函数y＝f(x)−c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y＝f(x)，y＝c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】∵a⊗b={a,a−b≤1b,a−b>1.，∴函数f(x)＝(x2−2)⊗(x−1)={x 2−2,−1≤x≤2x−1,x<−1x>2，由图可知，当c∈(−2, −1]∪(1, 2]函数f(x)与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是(−2, −1]∪(1, 2]，二、填空题（每小题3分）【答案】(2, −2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由式子a0=1可以确定x=2时，f(2)=−2，即可得答案．解：因为a0=1，故f(2)=a0−3=−2，所以函数f (x)=a x−2−3必过定点(2, −2). 故答案为：(2, −2).【答案】(0, 1]【考点】函数的值域及其求法【解析】化简函数解析式f(x)=2x⊗2−x={2x，x≤02−x，x>0，从而写出值域．【解答】解：由题意，f(x)=2x⊗2−x={2x，x≤02−x，x>0；故函数的值域为(0, 1]．故答案为：(0, 1]．【答案】[1, 3]【考点】函数的值域及其求法【解析】利用配方法求得0≤−x2+4x−3≤1，从而求值域．【解答】解：∵−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∴0≤−x2+4x−3≤1；∴0≤√−x2+4x−3≤1；故1≤3√−x2+4x−3≤3；故答案为：[1, 3]．【答案】1【考点】对数的运算性质【解析】由于log47+l0g249=log2√7+log249=log2752=52log27，ln2ln7=log72，而log27⋅log72=1，问题解决了．【解答】解：∵log47+log249=log2√7+log249=log2752=52log27，ln2ln7=log72，∴25⋅(log47+log249)⋅ln2ln7=25⋅52log27⋅log72=1．故答案为：1．【答案】【考点】指数式与对数式的互化 【解析】令u =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则u(x)在(1, +∞)单调递减；而函数y =a u (0<a <1)单调递减，利用复合函数的单调性即可得出． 【解答】解：令u =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则u(x)在(1, +∞)单调递减； 而函数y =a u (0<a <1)单调递减，∴ f(x)=a −x 2+2x+3(0<a <1)的单调增区间是(1, +∞)． 故答案为：(1, +∞)． 【答案】√773【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数与对数式的互化、运算法则即可得出． 【解答】解：∵ 7a =11b =A ， ∴ a =lg Alg 7，b =lg Alg 11， ∵ 1a+1b=3，∴ lg 7lg A +lg 11lg A=lg 77lg A=3，∴ A =√773． 故答案为：√773． 【答案】 (−2, 2) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y =(12)x 这个函数的单调性转化．转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可． 【解答】解：由题意，考察y =(12)x ，是一个减函数∵ (12)x2+ax<(12)2x+a−2恒成立∴ x 2+ax >2x +a −2恒成立∴ x 2+(a −2)x −a +2>0恒成立 ∴ △=(a −2)2−4(−a +2)<0 即(a −2)(a −2+4)<0 即(a −2)(a +2)<0故有−2<a<2，即a的取值范围是(−2, 2)故答案为(−2, 2)三、解答题（9+10+10+10+10）【答案】解：（1）原式=a 85×(−12)+45b−65×(−12)−35=1．（2）原式=log2.52．52+lg10−2+12ln e+2×2log23=2−2+12+2×3=132．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】（1）利用指数的运算法则即可得出．（2）利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：（1）原式=a 85×(−12)+45b−65×(−12)−35=1．（2）原式=log2.52．52+lg10−2+12ln e+2×2log23=2−2+12+2×3=132．【答案】因为3x−1≠0⇒x≠0．故函数定义域为{x|x≠0}．因为函数为奇函数，故有f(−1)＝−f(1)⇒23−1−1+m=−(231−1+m)⇒m＝1．所以所求常数m的值为1；因为函数的零点即为对应两个函数图象的交点．所以把研究零点个数问题转化为研究图象交点个数．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x−1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x−1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x−1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）先求出函数的定义域，再利用奇函数的定义，代入一对相反变量即可直接求常数m 的值；（2）先取绝对值画出对应图象，再利用函数的零点即为对应两个函数图象的交点把y ＝k 在图象上进行来回平移看交点个数即可找到结论． 【解答】因为3x −1≠0⇒x ≠0．故函数定义域为{x|x ≠0}．因为函数为奇函数，故有f(−1)＝−f(1)⇒23−1−1+m =−(231−1+m)⇒m ＝1．所以所求常数m 的值为1；因为函数的零点即为对应两个函数图象的交点．所以把研究零点个数问题转化为研究图象交点个数．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x −1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x −1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x −1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．【答案】∵ f(x)＝(2x )2−5⋅2x −6(0≤x ≤3)， 令t ＝2x ，∵ 0≤x ≤3， ∴ 1≤t ≤8所以有：f(x)=ℎ(t)=t 2−5t −6=(t −52)2−494(1≤t ≤8)所以：当t ∈[1,52]时，ℎ(t)是减函数；当t ∈(52,8]时，ℎ(t)是增函数； ∴ f(x)min =ℎ(52)=−494，f(x)max ＝ℎ(8)＝18．∵ f(x)−a ≥0恒成立，即a ≤f(x)恒成立， 所以：a ≤f(x)min =−494．即a ≤−494【考点】复合函数的单调性 【解析】（1）设t ＝2x ，利用换元法，将求已知函数的最值问题，转化为求关于t 的二次函数求最值问题，最后利用配方法求二次函数最值即可；（2）f(x)−a ≥0恒成立，即a ≤f(x)恒成立，只需a 小于或等于f(x)的最小值，利用（1）的结论即可得a 的取值范围． 【解答】∵ f(x)＝(2x )2−5⋅2x −6(0≤x ≤3)， 令t ＝2x ，∵ 0≤x ≤3， ∴ 1≤t ≤8所以有：f(x)=ℎ(t)=t 2−5t −6=(t −52)2−494(1≤t ≤8)所以：当t ∈[1,52]时，ℎ(t)是减函数；当t ∈(52,8]时，ℎ(t)是增函数； ∴ f(x)min =ℎ(52)=−494，f(x)max ＝ℎ(8)＝18．∵ f(x)−a ≥0恒成立，即a ≤f(x)恒成立， 所以：a ≤f(x)min =−494． 即a ≤−494【答案】解：（1）∵ ∀x ∈R ，都有a x >0，∴ a x +1>1，故函数f(x)=a x −1a x +1(a >0且a ≠1)的定义域为实数集R ． ∵ f(x)=a x −1a x +1=a x +1−2a x +1=1−2a x +1，而a x >0，∴ a x +1>1，∴ 0<1a x +1<1，∴ 0<2a x +1<2，∴ −2<−2a x +1<0，∴ −1<1−2a x +1<1．即−1<f(x)<1．∴ 函数f(x)的值域为(−1, 1)．（2）函数f(x)在实数集R 上是奇函数．下面给出证明．∵ ∀x ∈R ，f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−a x −1a x +1=−f(x)，∴ 函数f(x)在实数集R 上是奇函数．（3）∵ 函数f(x)在实数集R 上是奇函数，∴ 不等式f(m 2+km)+f(k −m −1)>0，∴ f(m 2+km)>−f(k −m −1)=f(m +1−k)．下面证明a>1时，函数f(x)=1−2a x+1在实数集R上单调递增．∀x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−2a x1+1−(1−2a x2+1)=2(a x1−a x2)(a x1+1)(a x2+1)，∵a>1，∴a x1+1>0，a x2+1>0，a x1−a x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在实数集R上单调递增．∴由不等式f(m2+km)>f(m+1−k)，可得m2+km>m+1−k，即m2+(k−1)m+k−1>0．∵上式对于任意实数m都成立，∴△<0，∴(k−1)2−4(k−1)<0，k2−6k+5<0．解得1<x<5．∴不等式k2−6k+1<0的解集为(1, 5)．即实数k的取值范围为(1, 5)．【考点】指数函数综合题【解析】（1）对于任意实数x，都有a x>0，即可得到函数f(x)的定义域；由f(x)=1−2a x+1，即可求出值域．（2）任取实数x，都有f(−x)=−f(x)，可得此函数的奇偶性．（3）先证明函数f(x)在实数集R上的单调性，进而可把m2+km及k−m−1解放出来，进而可求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，都有a x>0，∴a x+1>1，故函数f(x)=a x−1a x+1(a>0且a≠1)的定义域为实数集R．∵f(x)=a x−1a x+1=a x+1−2a x+1=1−2a x+1，而a x>0，∴a x+1>1，∴0<1a x+1<1，∴0<2a x+1<2，∴−2<−2a x+1<0，∴−1<1−2a x+1<1．即−1<f(x)<1．∴函数f(x)的值域为(−1, 1)．（2）函数f(x)在实数集R上是奇函数．下面给出证明．∵∀x∈R，f(−x)=a−x−1a−x+1=1−a x1+a x=−a x−1a x+1=−f(x)，∴函数f(x)在实数集R上是奇函数．（3）∵函数f(x)在实数集R上是奇函数，∴不等式f(m2+km)+f(k−m−1)>0，∴f(m2+km)>−f(k−m−1)= f(m+1−k)．下面证明a>1时，函数f(x)=1−2a x+1在实数集R上单调递增．∀x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−2a x1+1−(1−2a x2+1)=2(a x1−a x2)(a x1+1)(a x2+1)，∵a>1，∴a x1+1>0，a x2+1>0，a x1−a x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在实数集R上单调递增．∴由不等式f(m2+km)>f(m+1−k)，可得m2+km>m+1−k，即m2+(k−1)m+k−1>0．∵上式对于任意实数m都成立，∴△<0，∴(k−1)2−4(k−1)<0，k2−6k+5<0．解得1<x<5．∴不等式k2−6k+1<0的解集为(1, 5)．即实数k的取值范围为(1, 5)．【答案】解：（1）令x=y=0得f(0)=0，再令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)，所以f(−x)=−f(x)，又x∈R，所以f(x)为奇函数．（2）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)，有f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)，又∵x2−x1>0，∴f(x2−x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上是减函数．（3）由（2）知f(x)为在[−2, 6]上为减函数．∴f(x)max=f(−2)=−f(2)=−2f(1)=1，f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(−12)=−3．【考点】奇偶性与单调性的综合函数的值域及其求法抽象函数及其应用【解析】（1）赋值法：令x=y=0可求得f(0)，再令y=−x即可判定其奇偶性；（2）任取x1，x2∈R，且x1<x2，f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)，由x>0时，有f(x)<0可得f(x2)与f(x1)的大小关系，由单调性定义即可判定单调性；（3）由（2）知f(x)为在[−2, 6]上为减函数，从而可判断其最值在端点处取得，再由f(1)=−12及已知条件即可得到答案；【解答】解：（1）令x=y=0得f(0)=0，再令y=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)，所以f(−x)=−f(x)，又x∈R，所以f(x)为奇函数．（2）任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)+f(x2−x1)，有f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)，又∵x2−x1>0，∴f(x2−x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上是减函数．（3）由（2）知f(x)为在[−2, 6]上为减函数．∴f(x)max=f(−2)=−f(2)=−2f(1)=1，f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(−1)=−3．2。

杭州二中高一数学每周一练数列（一）一.填空题1. 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，则此数列为________．2. 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则此三个数为_________．3．数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列．若a n =b n ,则n 的值__________4．关于等差数列{}n a ，有下列四个命题：（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数；（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；（3）数列{k a n }也是等差数列；（4）数列{a 2n }也是等差数列. 其中是真命题的个数为________.5．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为______.6．已知数列{}n a 的前n 项和为：①2n ；②2n ＋6；③n 2；④n 2-1；⑤n 2＋2n ；⑥n 2＋n ＋1；⑦n 3；⑧0．在上述各数列中构成等差数列的有__________个．7.在等差数列{}n a 中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为_______. 8.若数列{}n a 为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为_____. 9．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_______. 10. 设数列{}n a 的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n 则 ___ 11.在等差数列{}n a 中，(1)已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= (2) S 4=6,S 8=20,则S 16= (3)S 3=S 8,S 2=S n ,则n=12.打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时．13.在项数为n 的等差数列{}n a 中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n 项之和为240，则n= ．14．已知数列{}n a 的通项公式a n =n n +⋯++21 ,b n =11+n n a a ,则{b n }的前n 项和为 ．二.解答题:15.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n ．16.已知等差数列{}n a ,a 1=29,S 10=S 20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．17.已知f(x )=x 2-2(n+1)x +n 2+5n-7,(1)设f(x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列． (2)设f(x )的图像的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．18. 数列{}n a 中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n , 满足S n 2=a n (Sn －21) (1)求S n 的表达式；(2)设b n = 12 n S n,求数列{b n }的前n 项和T n 。

浙江省杭州第二中学等五校2024届数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图，ABC 中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =（ ）A ．1122AB AC + B ．1233AB AC + C ．1133AB AC +D ．2133AB AC +3．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．94．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（ ）A ．200B ．180C ．128D ．1625．下列结论正确的是（ ）． A ．若，则 B ．若，则 C ．若，，则D ．若，则6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2D ．3log 57．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<8．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A ．23B ．1C ．2D ．639．函数 ()sin 2x f x = 的最小正周期是( ) A ．2π B ．πC ．2πD ．4π10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且33ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．22B ．23C ．4D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第五周周测班级姓名学号总分：100分时间：60分钟一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P⊆C R QD. Q⊆C R P2.函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2x的图象（）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度3.若a=e0.5，b=sin0.2，则a、b、c的大小关系为（）A. b＞a＞cB. a＞b＞cC. c＞a＞bD. b＞c＞a4.函数y=x cosx+sin x在区间[-π，π]的图象大致为（）A. B. C. D.5.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为（）A. 4cm2B. 8cm2C. 4cm2D. 8cm26.已知，若的值为（）A. B. C. D.7.如图，在高为20m的楼顶A处观察前下方一座横跨河流的桥BC，测得桥两端B，C的俯角分别为60°，45°，则桥的长度为（）A. mB. 10mC. 20-mD. 20-10m8.如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，则•=（）A. B. C. 3 D.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标可以是（）A. (1，5)B. (5，-5)C. (-3，-5)D. (5，5)10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值可以是（）A. 1B. 3/2C. 2D. 5/411.设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则下列说法正确的有（）A. z1与z2的夹角是直角B. z1与z2的夹角是锐角C. |z1－z2|＝.D. |z1－z2|=2.12.已知a，b为正实数，则下列判断中正确的个数是（）A. 若，则；B. 若，则的最小值是10；C. ；D. 函数的最小值为1．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知复数（i是虚数单位），则z的虚部是．14.函数y=log a（x+2）-5恒过定点______．15.若实数x，y满足，且，则的最小值为__________．16.如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量、、满足=x+y（x，y∈R），则4x+y的值为______．四、解答题（本大题共3小题，共28分）17.已知向量=(6,2),=(-3,k).(1)若(-),求k的值;(2)若与所成的角是钝角,求k的取值范围.18.已知函数，其最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=g（x），求函数y=g（x）在区间上的值域.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，（1）若a=（-1）c，求角A的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故B正确．此题只要求出x2＜4的解集{x|-2＜x＜2}，画数轴即可求出此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2.【答案】D【解析】解：函数的图象向右平移个单位，可得到函数y=cos2x的图象，故选：D．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵a=e0.5＞e0=1，b=sin=sin∈（0，1），c=log20.2＜log21=0，∴a、b、c的大小关系为a＞b＞c．故选：B．利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、三角函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于基础题．先判断函数的奇偶性，再利用f（π）的符号确定选项．【解答】解：y=f（x）=x cosx+sin x，则f（-x）=-x cosx-sin x=-f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x=π时，y=f（π）=πcosπ+sinπ=-π＜0，故排除B，故选：A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱台的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可．【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，所以棱台的斜高为：=cm．所以棱台的侧面积是：4××=8cm2．故选：D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，属于简单题．通过，得到关于α的三角函数，求出sinα，然后求出cosα，利用两角和的正切求解，可得选项．【解答】解：因为，所以cos2α+sinα（2sinα-1）=,所以,所以sinα=，因为，所以cosα=-，tanα=-,所以=,故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】设垂足为D，则tan60°=，tan45°=，求出BD，CD，可得桥的长度．本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．【解答】解：设垂足为D，则tan60°=，tan45°=，∴BD=m，CD=20，∴BC=（20-）m，故选：C．8.【答案】A【解析】解：∵AD⊥AB，∴．∴cos＜＞=cos∠ADB=，∵，，∴=（）•====•||×||×cos＜＞=•||×||×===．故选：A．由AD⊥AB，知cos＜＞=cos∠ADB=，由，，知=（）•====，由此能求出其结果．本题考查平面向量数量积的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，根据平行四边形，分三种情况由向量相等的坐标运算求解即可.【解答】解：设A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，第四个顶点为D．①若这个平行四边形为□ABCD，则，∴D(-3，-5)；②若这个平行四边形为□ACDB，则，∴D(5，-5)；③若这个平行四边形为□ACBD，则，∴D(1，5)．综上所述，D点的坐标可以为(1，5)，(5，-5)，(-3，-5)．故选ABC10.【答案】BD【解析】【分析】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，属于基础题目.求出b sin A根据三角形解的个数得出a的取值范围即可.【解答】解：如图,b=2,A=,垂线段=b sin A=1,若△ABC有两个解，则1< a<2.故选BD.11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了复数的几何意义，复数的模的运算，属于中档题.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，结合题意依次判断各个选项的正误即可. 【解答】解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝. ,故C正确，D错误.画出图形可以知道构成以z1，z2为邻边的正方形，,故A正确，B错误.故选AC.12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题.运用不等式的性质判断A，运用基本不等式判断BCD.【解答】解：为正实数，,故A正确；=（）（）=5+,当且仅当a=,b=时取得“=”，故B错误；∵,,∴，当且仅当a=b=1取等号，故C正确；=，当且仅当，即a=0时取等号，而a>0，所以y>1，不能取等号，所以D不正确．故选：AC．13.【答案】-2【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【解答】解：,所以z的虚部是-2，故答案为-2.14.【答案】（-1，-5）【解析】解：令x+2=1，解得：x=-1，故y=log a（-1+2）-5=-5，故函数过（-1，-5），故答案为：（-1，-5）．根据对数函数的性质求出函数过的定点即可．本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．15.【答案】4【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算和利用基本不等式求最值，属于基础题.先根据对数的运算性质求出xy=2，再根据基本不等式求出最小值即可.【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2xy=1=log22，∴xy=2，∴==（x-y）+≥2=4，当且仅当x=1+，y=-1时取等号，∴的最小值为4，故答案为4．16.【答案】7【解析】解：作出如图直角坐标系，设方格正方形的边长为单位长度1，可得=（1，3），=（3，-2），=（4，3）∵=x+y（x，y∈R），∴，将方程组中两式相加，可得4x+y=7故答案为：7将题中的4×4的方格放入如图坐标系，并设小方格边长是1，可得向量、、的坐标形式，根据=x+y建立关于x、y的方程组，解之即可得到4x+y的值．本题给出4×4的方格纸中的向量量、、，在已知它们的线性关系情况下求4x+y之值，着重考查了平面向量线性运算的坐标表示的知识，属于基础题．17.【答案】（1）由题意,得()=0,即54+2(2-k)=0,解得k=29.（2）与所成的角是钝角,<0,即6(-3)+2k<0,解得k<9.由,得6k+6=0,k=-1,k的取值范围是k<9且k-1.【解析】本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题，考查学生的计算能力；(1)由向量数量积()=0,列方程即可求解.(2)根据是钝角,可得<0,由向量数量积6(-3)+2k<0,解得k<9.再根据,得6k+6=0,k=-1,从而即可求解。

2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x 2x +2−xB ．y =xcos2x2x +2−x C ．y =1−x 22x +2−x D ．y =sin2x 2x +2−x 4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．7166．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ7．已知x ＞0，y ＞0，且3x +1y=1，则2x +y +xy 的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．138．若关于x 的方程(x+1)2x+m(x−1)2x 2+1=5恰有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1＜0＜x 2＜x 3，其中m ∈R ，则x 1+x 2+x 3的值为（ ） A ．32B ．12C ．1D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数11．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（ ） A ．f （x ）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k ∈Z B ．f （x ）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3] C ．将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到f （x ）的图象D ．f （x ）在[π6，π2]上单调递减12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 ．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 ． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值； （2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y ∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中△OAB ）养殖观赏鱼，且∠OAB =θ(0＜θ＜π2)，点H 在线段AB 上，且OH ⊥AB ．线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．21．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos x ﹣a ，x ∈(π2，π)．（1）讨论函数f （x ）的零点个数；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2，试证明：11−tanx 1tanx 2≤tanx 1tanx 2−3．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）解：∵y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，y =−1x 在（0，+∞）上单调递增，∴函数f(x)=lnx −1x在（0，+∞）上单调递增，又f （1）＝ln 1﹣1＝﹣1＜0，f （2）＝ln 2−12=ln 2﹣ln √e ＞0，∴由零点存在性定理得函数f(x)=lnx −1x的零点所在的大致区间是（1，2），故选：A ．2．设函数f （x ）＝sin （x +θ），则“cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）＝sin （x +θ）为偶函数，则θ＝k π+π2（k ∈Z ），故cos θ＝0，反之亦然，故cos θ＝0”是“f （x ）为偶函数”的充分必要条件． 故选：C ．3．下列四个函数中的某个函数在区间[−π2，π2]上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）A ．y =x 3−x2x +2−xB ．y =xcos2x 2x +2−xC ．y =1−x 22x +2−xD ．y =sin2x 2x +2−x 解：由偶函数定义可得y =1−x 22x +2−x 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ； 当0＜x ＜1时，x 3﹣x ＜0，y =x 3−x2x +2−x ＜0．排除A ； 当x =π2时，y =sin(2×π2)2π2+2−π2=0．排除D ；y =xcos2x 2x +2−x 为奇函数，且当0＜x ＜π4时，y =xcos2x 2x +2−x ＞0， 当x =π2时，y =π2⋅cos(2×π2)2π2+2−π2=−π22π2+2−π2＜0．B 均符合题给特征． 故选：B ．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系．第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝．）A ．3B ．4C ．5D ．6解：设所在扇形圆心角为α，中周对应的半径为r 步，则外周对应的半径为（r +5）步， 则{αr =92α(r +5)=122，解得α＝6，r =463，所以扇形的圆心角为6．故选：D ． 5．已知cos(θ−π12)=34，则sin(2θ+π3)=（ ） A ．−716B ．−18C ．18D ．716解：已知cos(θ−π12)=34，则cos(2θ−π6)=2cos 2(θ−π12)−1=18， 则sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=18．故选：C ．6．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，x 1，x 2是f （x ）的两个零点，若x 2＝4x 1，则下列不为定值的量是（ ）A ．φB ．ωC ．ωx 1D ．ωx 1φ解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ），ω＞0的周期为2πω，令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈Z，所以x=kπ+π2−φω，即x=2kπ+π−2φ2ω，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜π2，所以0＜φ＜π2，x1=π−2φ2ω，x2=3π−2φ2ω，又x2＝4x1，所以3π−2φ2ω=4×π−2φ2ω，所以φ=π6，ωx1=π−2φ2ω•ω=π2−φ=π2−π6=π3，ωx1φ=π3π6=2，∴不为定值的量是ω．故选：B．7．已知x＞0，y＞0，且3x +1y=1，则2x+y+xy的最小值为（）A．9B．10C．12D．13解：因为x＞0，y＞0，且3x +1y=1，两边同时乘以x，可得xy=x﹣3，所以2x+y+xy=2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（3x+1y）﹣3＝9+1+3yx+3xy−3≥7+2√3yx⋅3xy=13，当且仅当3yx=3xy，即x＝y＝4时取等号，所以2x+y+xy的最小值为13．故选：D．8．若关于x的方程(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，则x1+x2+x3的值为（）A．32B．12C．1D．2解：依题意可知x≠0，由(x+1)2x+m(x−1)2x2+1=5整理得x+1x+m﹣3﹣2m•1x+1x=0，①即关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，令t＝x+1x，则t≤﹣2或t≥2，则①转化为：t+m﹣3﹣2m⋅1t=0，即t2+（m﹣3）t﹣2m＝0，Δ＝（m﹣3）2+8m＝m2+2m+9＞0，根据对勾函数的性质可知t ＝x 1+1x 1=−2是方程t 2+（m ﹣3）t ﹣2m ＝0的一个根，此时x 1＝﹣1， 所以（﹣2）2+（m ﹣3）×（﹣2）﹣2m ＝0，m =52，所以t 2−12t ﹣5＝0，解得t ＝﹣2或t =52，所以x 2，x 3是方程x +1x =52的根，即x 2−52x +1＝0的根，所以x 2+x 3=52，所以x 1+x 2+x 3＝﹣1+52=32．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ）A ．设α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角B ．√3sinα+cosα=2sin(α+π3)C ．在△ABC 中，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，则O 是△ABC 的重心 D ．|(a →⋅b →)c →|≤|a →||b →||c →|解：对于A ：由于α是第一象限角，故2kπ＜α＜2kπ+π2，（k ∈Z ），故kπ＜α2＜kπ+π4，（k ∈Z ），当k ＝0时，0＜α2＜π4，当k ＝1时，π＜π2＜5π4，故α2为第一或第三象限角，故A 正确；对于B ：√3sinα+cosα=2sin(α+π6)，故B 错误；对于C ：在△ABC 中，设点D 为AB 的中点，若点O 满足OA →+OB →+OC →=0→，整理得OC →=−OA →−OB →，即OC →=−2OD →，则O 是△ABC 的重心，故C 正确；对于D ：由于|a →⋅b →|≤|a →||b →|，所以|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|，故D 正确． 故选：ACD ．10．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x }＝[x ]﹣x ，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数{x }的值域为[﹣1，0]B ．函数[{x ）]的值域为{﹣1，0}C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是减函数解：对于A ，若{x }＝﹣1，即[x ]﹣x ＝﹣1，所以x ＝[x ]+1∈Z ，所以[x ]＝[[x ]+1]＝[x ]+1，矛盾，故A 错误；对于B，当x∈Z时，则{x}＝0；当x∉Z时，﹣1＜[x]﹣x＜0，所以[{x}]＝﹣1，所以函数[{x）]的值域为{﹣1，0}，故B正确；对于C，{x+1}＝[x+1]﹣（x+1）＝[x]+1﹣（x+1）＝[x]﹣x，所以函数{x}是周期函数，故C正确；对于D，取x＝1，则{1}＝[1]﹣1＝0，{2}＝[2]﹣2＝0，所以函数{x}不是减函数，故D错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A．f（x）图象的对称中心为(kπ2−π6，1)k∈ZB．f（x）在[−π12，π6]上的值域为[√3+1，3]C．将函数y＝2sin2x+1的图象向左平移π6个单位长度得到f（x）的图象D．f（x）在[π6，π2]上单调递减解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，可得f（x）的图象关于点（−π6，1）对称，即有−π6ω+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+π6ω，k∈Z，由对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，可得f（x）在x=−5π12处取得最小值，所以−5π12ω+φ＝2mπ−π2，m∈Z，即有π6ω−5π12ω＝（2m﹣k）π−π2，即有ω＝4（k﹣2m）+2，k﹣2m∈Z，因为ω＞0，|φ|＜π2，又ω能取最小值，所以k﹣2m＝0，可得ω＝2，则φ＝kπ+π3＜π2，解得k＝0，φ=π3，所以f（x）＝2sin（2x+π3）+1，由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π12，k∈Z，即有f（x）的对称轴方程为x=kπ2+π12，k∈Z，故A错误； 当x ∈[−π12，π6]时，2x +π3∈[π6，2π3]，可得sin （2x +π3）∈[12，1]，则f （x ）的值域为[2，3]，故B 错误； 将函数y ＝2sin2x +1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝2sin （2x +π6）+1的图象，故C 正确；当x ∈[π6，π2]时，2x +π3∈[2π3，4π3]是f （x ）的减区间，故D 正确．故选：CD ．12．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（ ）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．x +y 的最大值为1+√33C ．BP →⋅BC →最大值为9D ．BO →⋅DO →=1解：对于选项A ，∵AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，∴OA =OD =DC =13AC ，∴BD →=BC →+CD →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=13BA →+23BC →，故A 正确；对于选项B ，∵BP →=xBA →+yBC →，∴(cosα−12，sinα−3√32)=(−32(x −y)，−3√32(x +y))，∴sinα−3√32=−3√32(x +y)， ∴x +y =−2√39sinα+1， 又∵α∈[π，2π]， ∴当α=3π2时，x +y 取得最大值2√39+1，故B 错误； 对于选项C ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则A(−1，0)，B(12，3√32)，C(2，0)，∵点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上， ∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，且在x 轴的下半部分， 设P （cos α，sin α），α∈[π，2π]，则BP →=(cosα−12，sinα−3√32)，BC →=(32，−3√32)，BA →=(−32，−3√32)，∴BP →⋅BC →=32cosα−34−3√32sinα+274=3cos(α+π3)+6，又∵α∈[π，2π]，∴α+π3∈[4π3，7π3]， ∴当α+π3=2π时，BP →⋅BC →取得最大值9，故C 正确； 对于选项D ，∵BO →=BC →+CO →=BC →+23CA →=BC →+23(BA →−BC →)=23BA →+13BC →，∴BD →⋅BO →=(13BA →+23BC →)⋅(23BA →+13BC →)=29BA →2+29BC →2+59BA →⋅BC →=2+2+59×3×3×12=132，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝tan x 的定义域为 {x |x ≠k π+π2，k ∈Z } ．解：根据正切函数y ＝tan x 的定义知，其定义域为{x |x ≠k π+π2，k ∈Z }．故答案为：{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．14．若a ＝sin1，b ＝ln sin1，c ＝e sin1，则三数a ，b ，c 中最小数为 b ． 解：因为0＜sin1＜sin π3＜1，ln sin1＜ln 1＜0，e sin1＞e 0，所以0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1， 所以最小的数是b ． 故答案为：b ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→⋅n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP →在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣2，﹣2），P 1（2，1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 17√1313． 解：由题意得，P 1P 2→=（﹣3，2），所以与P 1P 2→垂直的向量n →可取为（2，3），即直线l 的一个法向量为n →=（2，3）， 又PP 1→=（4，3），所以点P 到直线l 的距离d =|PP 1→⋅n →||n →|=8+9√4+9=17√1313．故答案为：17√1313． 16．对于非空集合M ，定义Φ(x)={0，x ∉M 1，x ∈M，若A ={x|sinx ≥√22}，B ＝（a ，2a ），且存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，则实数a 的取值范围是 （π8，3π4）∪（9π8，+∞） ．解：A ＝{x |sin x ≥√22}＝{x |π4+2k π≤x ≤2k π+3π4，k ∈Z }， 存在x ∈R ，ΦA （x ）+ΦB （x ）＝2，即存在x ∈R ，ΦA （x ）＝1且ΦB （x ）＝1， 即存在x ∈R ，使得x ∈A 且x ∈B ， 即A ∩B ≠∅，显然a ＞0，①当0＜a ＜π4时，则2a ＞π4，即有π8＜a ＜π4；②当π4≤a ＜3π4时，显然满足A ∩B ≠∅； ③当a ≥3π4时，则2a ＞9π4，即有9π8＜a ＜11π4； ④当a ≥11π4时，2a ﹣a ＝a ＞2π，满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．故答案为：（π8，3π4）∪（9π8，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为(45，y 0)，且α∈(3π2，2π)． （1）求cos α，sin α的值；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)的值． 解：（1）∵α∈(3π2，2π) ∴y 0＜0，∵(45)2+y 02=1， ∴y 0=−35，∴sin α＝y 0=−35，cos α＝x 0=45；（2）cos(π+α)+cos(π2+α)sin(π2−α)⋅tan(π−α)=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα) 由（1）知：sin α=−35，cos α=45，所以tan α=−34，所以=−cosα−sinαcosα⋅(−tanα)=−45+3545×34=−1535=−13．18．（12分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→(x ，y∈R)，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy中的坐标．（1）设OM →=(0，3)，ON →=(4，0)，求OM →⋅ON →的值； （2）若OP →=(3，4)，求|OP →|的大小．解：（1）由题意知，OM →=3e 2→，ON→=4e 1→，所以OM →⋅ON →=12e 1→⋅e 2→=12cos60°=6．（2）因为OP →=(3，4)， 所以OP →=3e 1→+4e 2→，所以|OP →|2=(3e 1→+4e 2→)2=9|e 1→|2+24e 1→⋅e 2→+16|e 2→|2=25+24cos60°=37， 所以|OP →|=√37．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值．解：（1）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量m →=(c ，a −b)，n →=(sinB −sinC ，sinA +sinB)，m →⊥n →，因为m →⊥n →，所以m →⋅n →=(c ，a −b)⋅(sinB −sinC ，sinA +sinB)=0，即c （sin B ﹣sin C ）+（a ﹣b ）（sin A +sin B ）＝0，故c （b ﹣c ）+（a ﹣b ）（a +b ）＝0， 整理得到a 2＝b 2+c 2﹣bc ，即cosA =12，又A ∈（0，π），故A =π3，则角A 的大小为π3；（2）若a ＝2，△ABC 的周长为l ，面积为S ，由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即4＝b 2+c 2﹣bc ， 所以4＝（b +c ）2﹣3bc ，即bc =13[(b +c)2−4]，因为S =12bcsinA =√34bc ，l ＝b +c +2，所以S l =√3bc 4(b+c+2)=√3[(b+c)2−4]12(b+c+2)=√312(b +c −2)，又bc ≤(b+c)24（当且仅当b ＝c 时取等号），所以4=(b +c)2−3bc ≥(b+c)24（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以b +c ≤4（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），所以S l =√312(b +c −2)≤√312×(4−2)=√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号），即Sl 的最大值为√36（当且仅当b ＝c ＝2时取等号）． 20．（12分）如图所示，有一条“L ”形河道，其中上方河道宽√2m ，右侧河道宽√6m ，河道均足够长．现过点D修建一条栈道AB，开辟出直角三角形区域（图中△OAB）养殖观赏鱼，且∠OAB=θ(0＜θ＜π2)，点H在线段AB上，且OH⊥AB．线段OH将养殖区域分为两部分，其中OH上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤．（1）当养殖区域面积最小时，求θ的值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼，在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围．解：（1）如图，过D作DM，DN垂直于OA，OB，垂足分别为M，N，则DM=ON=√2，DN=OM=√6，AM=DMtanθ=√2tanθ，BN=DNtanθ=√6tanθ，养殖观赏鱼的面积S△OAB=12OA⋅OB=12(√6+√2tanθ)(√2+√6tanθ)=2√3+1tanθ+3tanθ，由θ∈(0，π2)可得tanθ＞0，则1tanθ+3tanθ⩾2√3，当且仅当tanθ=√33即θ=π6时取等号，故θ=π6时，S△OAB最小=4√3；（2）由∠AOB=∠OHA=π2，可得∠BOH＝θ，则AH=OHtanθ，BH=OHtanθ，OB=OHcosθ，由题意BH+OB⩾AH，则tanθ+1cosθ⩾1tanθ⇔sinθ+1cosθ⩾cosθsinθ⇔(sinθ+1)sinθ⩾cos2θ=1−sin2θ，则sinθ⩾1−sinθ⇔sinθ⩾1 2，则θ∈[π6，π2)．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：11−tanx1tanx2≤tanx1tanx2−3．解：（1）由f（x）＝sin2x﹣cos x﹣a，x∈(π2，π)，得f（x）＝﹣cos2x﹣cos x﹣a+1，令f（x）＝0，则cos2x+cos x＝﹣a+1，当x∈(π2，π)时，t＝cos x∈（﹣1，0），则t2+t∈[−14，0)，所以t2+t＝﹣a+1，所以﹣a+1≥0或−a+1＜−14，解得a≤1或a＞54时，t2+t＝a+1无解；−a+1=−14，即a=54时，t2+t＝a+1仅有一解；−14＜−a+1＜0，即1＜a＜54时，t2+t＝a+1有两解，综上，当a≤1或a＞54时，f（x）无零点；当a=54时，f（x）有一个零点；当1＜a＜54时，f（x）有两个零点．（2）证明：令t1＝cos x1，t2＝cos x2，f（x）有两个零点，则t1，t2为t2+t＝a+1两解，所以t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，所以cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，由x1，x2∈(π2，π)，可得cos x1＜0，cos x2＜0，所以2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，所以cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，由x2∈(π2，π)，可得3π2−x2∈(π2，π)，cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，由y＝cos x在(π2，π)递减，可得x1＜3π2−x2，所以π＜x1+x2＜3π2⇒cos(x1+x2)＜0．令λ=1−tanx1tanx2=cosx1cosx2−sinx1sinx2cosx1cosx2=cos(x1+x2)cosx1cosx2＜0，即证1λ≤1−λ−3=−λ−2，即证λ2+2λ+1≥0，显然λ2+2λ+1≥0成立，故原式成立．。