福建省厦门外国语学校2015届高三数学(理)能力训练三 Word版含答案

福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（ ）． A ．1Z B ．2Z C ．3ZD ．4Z2． 已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-3． 已知A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值． 若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29 D ．365． 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）． A ．1π B ．2π C ．3πD ．126． 已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（ ）．A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表第1题图第4题图第5题图xy Z 3Z 1Z 4O Z 2示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658． ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若cos 2cos A bB a==，则角C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9． 若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）． A ．2B ．3C ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（ ）．xy –1–2–3112345Oxy –1–2–3112345OABCD11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）． A ．423-B ．31-C ．31+D ．312．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l 的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （ ）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为 ★★★ ．14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ．15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ． 16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数 列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变xyP'Q'QPO第19题图化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤ (Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos 2e x x f x x x g x x x =-=-，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，13．2- 14．32 15．36+ 16．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ····························································· 1分 依题意得11a =，22a =． ····································································································· 2分 所以2q =， ···························································································································· 3分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ············································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ······················································································· 5分 所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ·········· 错误！未找到引用源。

2022-2023学年福建省厦门外国语学校高一上学期期末数学冲刺卷试题（A ）一、单选题1．设集合={|02}A x x ≤≤，={|1}B x x ≤则=A B （ ） A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[]0,1D ．[]1,2【答案】B【分析】利用数轴画出图像，取并集即可. 【详解】依题意，画出数轴，如图所示，由数轴可知：{}|2A B x x ⋃=≤， 故选：B.2．已知函数2()=ln(1+93)+1f x x x ，则1(lg5)+(lg )=5f f （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据函数解析式可知：()()2f x f x +-=，因为1lg lg55=-，代入进而求解即可.【详解】因为函数2()=ln(1+93)+1f x x x 的定义域为R ，则有22()()193)1193)1ln122f x f x x x x x +-=+++++=+=， 又1lg lg55=-，所以1(lg5)+(lg )=(lg5)+(lg5)25f f f f -=，故选：D . 3．“31+1x >”是“5x <” 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】解分式不等式，得到12x -<<，从而判断出“31+1x >”是“5x <” 充分不必要条件. 【详解】31+1x >变形为20+1x x ->，即()()120x x +-<，解得：12x -<<， 因为125x x -<<⇒<，当5x <⇒12x -<<，故“31+1x >”是“5x <” 充分不必要条件. 故选：A4．设0.7=5a ，=sin 2b ，6=log 0.2c ，则a b c ，，的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】A【分析】以0和1为桥梁，分别比较a b c ，，与0，1的大小关系，即可得到答案. 【详解】因为700.51=5a >=，所以1a >； 因为π2π2<<，所以0sin 21<<； 因为66=log 0.20log 1c <=，所以0c <. 所以a b c >>. 故选：A5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深23CD =-，锯道2AB =，则图中ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）A ．32πB ．233πC ．33πD ．33π【答案】B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得； 【详解】解：设圆的半径为r ，则(23OD r CD r =-=-，112AD AB ==， 由勾股定理可得222OD AD OA ，即(22231r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =， 所以3AOB π∠=，因此22132223233MBBAOB S S Sππ=-=⨯⨯=弓形扇形故选：B6．三个数sin1.5sin 2sin3.1,cos 4.1cos5cos6,tan 7tan8tan9⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，值为负数的个数有个（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】计算出题目中角度的终边所在象限，根据三角函数的性质确定符号即可. 【详解】0 1.5,02,0 3.1,sin1.5sin 2sin3.10πππ<<<<<<∴> ；3334.1,cos 4.10,52,62,cos50,cos60222ππππππ<<<<<<<>> ， cos4.1cos5cos60∴< ；55527,83,93,tan 70,tan80,tan 90222ππππππ<<<<<<∴><< ， tan7?tan8?tan90> ；只有一个负数，故选：B.7．若函数()y f x =的值域是1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,4]3 B ．17[2,]4 C ．1017[,]34 D ．17[4,]4【答案】B【分析】根据对勾函数的单调性求值域.【详解】令()1,43f x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则11()()y f x t f x t =+=+， 由对勾函数的性质可知：1y t t =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,4上单调递增，故当1t =时，1y t t=+取得最小值，最小值为112+=，又当13t =时，110333y =+=，当4t =时，117444y =+=，故1()()()F x f x f x =+的值域为172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B8．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 以下结论错误的是（ ）A ．()1D D <B ．函数()y D x =不是周期函数C ．()()1D D x = D ．函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，因为(2)0,(1)1D D ==，所以()()21D D <，所以A 正确，对于B ，对于任意非零有理数T ，若x 为任意有理数，则x T +也为有理数，所以()()1D x T D x +==，若x 为任意无理数，则x T +也为无理数，所以()()0D x T D x +==，所以任意非零有理数T ，x 为实数，都有()()D x T D x +=，所以有理数T 为函数的周期，所以B 错误，对于C ，当x 为有理数时，()()(1)1D D x D ==，当x 为无理数时，()()(0)1D D x D ==，所以()()1D D x =，所以C 正确，对于D ，对于任意12,R x x ∈，且12x x <，若12,x x 都为有理数或都为无理数，则12()()D x D x =，若1x 为有理数，2x 为无理数，则12()1()0D x D x =>=，若1x 为无理数，2x 为有理数，则12()0()1D x D x =<=，所以函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数，所以D 正确， 故选：B二、多选题9．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >；B ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤； C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+；D ．若0a b >>，且ln ln a b =，则2a b +的最小值为【答案】AC【解析】根据不等式的性质，可判断A 的正误；根据含一个量词的命题否定的定义，可判断B 的正误；利用作差法可比较a mb m++和a b 的大小，可判断C 的正误；根据对数的性质，结合基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为22am bm >，所以20m >，左右同除2m ，可得a b >，故A 正确；对于B ：命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤，故B 错误；对于C ：因为0b a >>，0m >，所以()()()0()()a m a a m b a b m m b a b m b b m b b m b ++-+--==>+++，所以a m ab m b+>+，故C 正确；对于D ：因为0a b >>，且ln ln a b =，所以ln ln a b =-，即ln ln 0a b +=， 所以ln 0ab =，解得1ab =，所以2a b +≥当且仅当2a b =，即2a b ==0a b >>矛盾，所以2a b +> 无最小值，故D 错误.故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握不等式的性质，并灵活应用，易错点为：在应用基本不等式时，需注意取等条件，即当且仅当“a b =”时等号成立，若不满足a b =，则基本不等式不能取等号，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.11．若函数2()cos 2sin f x x x =+在区间π[,]3θ-的最大值为2，则θ的可能取值为（ ）A ．0B ．π3C ．2π3D ．π【答案】CD【分析】由题意可得2()2(sin 1)f x x =--，从而可得所以当sin 1x =时，()2max f x =，又因为π[,]3x θ∈-，所以必有ππ[,]23θ∈-成立，结合选项，即可得答案.【详解】解：因为222()cos 2sin sin 2sin 12(sin 1)f x x x x x x =+=-++=--， 所以当sin 1x =时，即π2π+,Z 2x k k =∈，()2max f x =，又因为π[,]3x θ∈-，所以ππ[,]23θ∈-，所以θ的可能取值为2π,π3. 故选：CD.12．已知函数()()f x x ∈R 满足()(4)9(2)f x f x f =-+，又(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022f =，则（ ）A ．()f x 关于=2x 对称B ．(43)(44)(45)2022f f f ++=-C ．1(1)+33f x -关于点(3,3)对称D ．1(1)+33f x -关于点(1,3)对称【答案】AC【分析】对于A ，将2x =代入()(4)9(2)f x f x f =-+中可求得(2)0f =，然后进行判断，对于B ，由(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称和选项A ，可得()f x 的周期，从而可求得结果，对于CD ，由函数图象变换结合对称判断.【详解】对于A ，将2x =代入()(4)9(2)f x f x f =-+，得(2)(2)9(2)f f f =+，解得(2)0f =， 所以()(4)f x f x =-，所以()f x 的图象关于=2x 对称，所以A 正确， 对于B ，因为(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，所以()f x 的图象关于点(0,0)对称，所以()()f x f x =--，(0)0f =， 因为()(4)f x f x =-，所以()(4)(4)f x f x f x =-=--，所以(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--， 所以()(8)f x f x =-，所以()f x 的周期为8， 所以(44)(485)(4)(0)0f f f f =+⨯===，(45)(386)(3)(3)(1)2022f f f f f =-+⨯=-=-=-=-， (43)(385)(3)(1)2022f f f f =+⨯===，所以(43)(44)(45)0f f f ++=，所以B 错误，对于CD ，因为1(1)3f x -的图象是由()f x 的图象向右平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到，再将其向上平移3个单位可得1(1)33f x -+的图象，所以1(1)33f x -+的图象关于点(3,3)对称，所以C 正确，D 错误，故选：AC三、填空题13．14281log 8(3()16-++=__________.【答案】5π3+【分析】根据对数的运算、指数的运算求解即可. 【详解】11404412813log 8(3()3321()153π4π31ππ23632---⎡⎤++++⎢⎥⎣⎛⎫+-=++-=++=+ ⎪⎝⎭⎦.故答案为：5π3+.14．函数9sin 2y x =-的单调递增区间是__________. 【答案】π3ππ,π,Z 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】整体法求解()sin 2f x x =的单调递减区间即可.【详解】9sin 2y x =-的单调递增区间，即()sin 2f x x =的单调递减区间， 令π3π22π,2π,Z 22x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3ππ,π,Z 44x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，故9sin 2y x =-的单调递增区间为π3ππ,π,Z 44x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：π3ππ,π,Z 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦15．在一段时间内，某地的某种动物快速繁殖，此动物总只数的倍增期为18个月，那么100只野兔增长到10万只野兔大概需要__________年.(lg20.3010,lg30.4771)== 【答案】15【分析】根据题意列出指数方程，利用对数运算计算出结果.【详解】由题意得：设100只野兔增长到10万只野兔大概需要x 年， 则12181002100000x⨯=，解得：2321000x=， 两边取对数，2lg 2lg100033x==， 因为lg 20.3010≈， 所以15x ≈. 故答案为：1516．已知函数22,1()2ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a 取值范围为__________.【答案】57,33∞⎤⎛⎫⋃+⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦【分析】画出()f x 的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】12221,1,1()2ln(1),1ln(1),1x x x x f x x x x x -⎧+⎧+≤≤⎪⎪==⎨⎨->⎪⎩⎪->⎩()12f =，由()ln 12x -=解得2e 1x =+. 画出()f x 的图象如下图所示， 令()f x t =，由图象可知()y f x =与y t =有两个公共点时，01t <≤或2t >；()y f x =与y t =有一个公共点时，0=t ； ()y f x =与y t =有三个公共点时，12t <≤.依题意，22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4， 对于函数()223h t t at =-+，由于()2003h =≠，()h t 的两个零点12,t t ，全都在区间(]0,1或区间()2,+∞，或一个在区间(]0,1一个在区间()2,+∞，所以()()2228Δ4033012200321103a a a h h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=-+≥⎩或()2228Δ403322224203a a a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪=-+>⎪⎩或()()()2228Δ4033200321103224203a a h h a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪=>⎪⎨⎪=-+≤⎪⎪⎪=-+<⎩，解得26533a <≤或∅或73a >，所以a 的取值范围是2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 故答案为：2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【点睛】研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数()f x 的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.四、解答题17．已知幂函数22+1()=(2+2)m f x m m x -在(0,)+∞上是减函数 (1)求()f x 的解析式(2)若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围. 【答案】(1)2()f x x -= (2)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解； （2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域.【详解】（1）由题意可得22+21210m m m ⎧-=⎨+<⎩，解得32m =-，故2()f x x -=.（2）由（1）可知：221()f x x x-==的定义域为{}|0x x ≠，由f f <，则0，解得12a <<，∵幂函数()f x 在(0,)+∞312a <<，∴a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.18．已知5sin (5)cos ()cos ()2().37sin ()cos ()sin ()222f ππααπααπππααα+-+=-++ (1)化简();αf(2)若1()3f α=，求223sin 4sin cos 5cos αααα-+的值.【答案】(1)()tan f αα=- (2)6【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）根据已知求得tan α，利用同角三角函数关系，齐次化，弦化切，化简即可求得原式的值.【详解】（1）由已知5sin(5)cos()cos()2()37sin()cos()sin()222f ππααπααπππααα+-+=-++，所以()()()()()sin sin cos ()tan cos sin cos f αααααααα-⋅⋅-==--⋅-⋅-.（2）由（1）知()tan f αα=-，所以1tan 3α=-，所以2222223sin 4sin cos 5cos 3sin 4sin cos 5cos sin cos αααααααααα-+-+=+ 223tan 4tan 56tan 1ααα-+==+. 19．设函数21y mx mx =--．(1)若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；(2)若命题：∃x ∈R ，y ≥0是假命题，求m 的取值范围；(3)若对于[]1,3x ∈，2(1)3y m x >++恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)0m >或4m <-(2)(]4,0-(3)5m <-【分析】（1）根据函数21y mx mx =--有两个零点，得到方程210mx mx --=有两个不同的实数根，然后得到20Δ40m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解方程即可； （2）根据命题：R x ∃∈，0y ≥是假命题，得到R x ∀∈，0y <是真命题，然后分类讨论0m =和0m ≠两种情况，列方程求解即可；（3）利用分离参数的方法，把对于[]1,3x ∈，()213y m x >++恒成立转化为min 4m x x ⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用函数单调性求最小值即可.【详解】（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，所以20Δ40m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得0m >或4m <-. （2）若命题：R x ∃∈，0y ≥是假命题，则R x ∀∈，0y <是真命题，即210y mx mx =--<在R 上恒成立，当0m =时，10-<，成立；当0m ≠时，20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<； 综上所述，m 的取值范围为(]4,0-.（3）若对于[]1,3x ∈，()213y m x >++恒成立，即240x mx ++<在[]1,3x ∈上恒成立， 则4m x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，故只需min 4m x x ⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可， 因为函数()4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[)1,2上递增，[]2,4上递减，()15f =-，()1333f =-，()()13f f <，所以()()min 15f x f ==-，故5m <-.20．已知实数0x >，0y >，且222()(R).xy x y a x y a =+++∈(1)当0a =时，求24x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值；(2)当12a =时，求x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值.【答案】(1)最小值为3+x y ==(2)最小值为4，此时2x y ==.【分析】（1）变形得到11122x y+=，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此时,x y 的值； （2）变形得到()()262xy x y x y =+++，利用()24x y xy +≤得到关于()()()22322x y x y x y ++≤++，求出x y +的最小值及此时,x y 的值.【详解】（1）0a =时，2xy x y =+，因为0,0x y >>， 所以11122x y +=，故()2242411233122x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+=+++≥++ ⎪⎝⎭+当且仅当2x y y x =，即x y == （2）12a =时，()22122xy x y x y =+++， 变形为()()2242xy x y x y =+++，即()()22622xy xy x y x y =++++，()()262xy x y x y =+++， 其中()2362x y xy +≤， 故()()()22322x y x y x y ++≤++， 因为0,0x y >>，解得：4x y +≥，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以x y +的最小值为4，此时2x y ==.21．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合()()0112kt m c t kV-=-，其函数图像如图所示，其中V 为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合()22kt c t c -=⋅，其中c 为停药时的人体血药浓度.（1）求出函数()1c t 的解析式；（2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48)【答案】（1）()411612t c t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0t ≥；（2）所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.【解析】（1）根据图象可知，两个点()4,8，()8,12在函数图象上，代入后求解参数，求()1c t ；（2）由（1）求()115c t ≤中t 的范围；求得()2c t 后，再求()24c t ≥中t 的范围.【详解】（1）由条件可知，600V =，由图象可知点()4,8，()8,12在函数图象上，则()()40801286001212600k k m k m k --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相除得()44284122122123312k k k k ------=⇔=--， 解得：14k =，02400m =，所以函数()411612t c t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0t ≥ ； （2）44151612151216t t --⎛⎫-≤⇒-≤ ⎪⎝⎭，得4412216t --≥=，解得：016t ≤≤，所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射； 14k = ()1422t c t c -∴=⋅，由题意可知 15c =， ()42152tc t -∴=⋅，当41524t -⋅≥，得44215t -≥， 即224lg15log 2log 15241544lg 2t t t -≥⇒-≥-⇒-≥- 得lg 3lg 5lg 3lg 21224lg 24lg 2t t +-+-≥-⇒-≥-， 解得：07.7t ≤≤，所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够读懂题意，并根据题意，通过代点的方法求两个函数的解析式，第二个关键就是计算，本题的计算要求比较高，注意指对运算技巧.22．已知函数2()2x b g x x a+=+，(1,1)x ∈-，从下面两个条件中任选一个条件，求出a ，b 的值，并解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数2()(2)4f x x a x =--+，()f x 在定义域[1,1]b b -+上为偶函数；②已知函数()(0)f x ax b a =+>在[]1,2上的值域为[]2,4；(1)选择______，求a ，b 的值；(2)证明()g x 在(1,1)-上单调递增；(3)解不等式(1)(2)0g t g t -+<.【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析；(3)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；（2）利用单调性的定义即证；（3）利用奇函数的定义可得()g x 为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.【详解】（1）选①：因为()f x 在[1,1]b b -+上是偶函数，则202a -=，且(1)(1)0b b -++=， 所以2a =，0b =；选②：当0a >时，()f x 在[]1,2上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩， 得2a =，0b =；（2）由①或②得2()22x g x x =+，(1,1)x ∈-，任取12,(1,1)x x ∈-，且1211x x -<<<，则 ()()()()()()21121212222212122122222222x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++ ∵1211x x -<<<，则210x x ->，1210x x -<， ∴()()120g x g x -<，即()()12g x g x < 则()g x 在(1,1)-上单调递增.（3）∵2()22x g x x =+，(1,1)x ∈-， 又()()222x g x g x x --==-+， ∴()g x 为奇函数，由()()120g t g t -+<，得()()21g t g t <-， 又因为()g x 在()1,1-上单调递增， 则12111121t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<， 所以10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

2023-2024学年第二学期七年级阶段考试卷数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．可以直接使用2B 铅笔作图．一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．）1. 下列各数中，是无理数的是（）A. B. 0 C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查无理数的概念，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数的概念判定解答即可．解：、0和是无理数，故选：D ．2. 如图，直线a ，b 相交，，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了邻补角和对顶角知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．根据图形及可求出和的值，进而能得出的值．解：由图形可得：，．故选：C ．3. 如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A 的坐标为，点B 的坐标为，则点C 的坐标为（）的1-321-321130∠=︒23∠+∠50︒70︒100︒130︒1130∠=︒2∠3∠23∠+∠23180150∠=∠=︒-∠=︒23100∴∠+∠=︒()1,0-()1,1-A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点A 的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．解：如图，点的坐标为．故选：A ．4. 用符号表示“4的平方根是”，正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查平方根，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据的平方根是可．解：4的平方根是，用数学式子表示为：，故选：D ．()0,1()1,0()1,1()1,1-()1,0-B ()1,1-C ()0,12±2=±4==4±2=±()0a a ≥2±2=±5. 已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．解：∵二元一次方程组的解是，∴，∴，∴二元一次方程组的解为：，∴，，，，故*表示的方程可能是；故选：C ．6. 已知点轴，且，则点N 的坐标是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据轴，可求得点N 的横坐标，再根据，即可求得点N 的纵坐标．解：∵轴，∴点N 的横坐标是，1*x y +=⎧⎨⎩2x y a =-⎧⎨=⎩1x y -=-28x y +=-27x y -=-2313x y +=-a 1*x y +=⎧⎨⎩2x y a =-⎧⎨=⎩21a -+=3a =23x y =-⎧⎨=⎩235-=--=-x y 22234x y +=-+⨯=()22237x y -=⨯--=-()2322335x y +=⨯-+⨯=27x y -=-(3,2),∥--M MN y 2MN =(3,0)-(1,2)--(3,0)-(3,4)--(1,2)--(5,2)--(3,2),∥--M MN y 2MN =(3,2),∥--M MN y 3-∵，∴点N 的纵坐标是或0，∴点N 的坐标是或，故选：C ．7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x 尺，绳索长y 尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．解：设竿长x 尺，绳索长y 尺，由题意得，，故选：A ．8. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据假命题的判断方法，只要找到满足题设条件，而不满足题设结论的a ，b 值即可．本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键．解：当，时，，2MN =4-(3,0)-(3,4)--552x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩525x y x y =+⎧⎨-=⎩552x y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩552x y x y+=⎧⎨-=⎩5x y +=52y x -=552x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩a b >22a b >1a =-0b =0a =1b =-2a =1b =2a =1b =-a b >22a b >0a =1b =-()22220011a b ===-=，根据有理数的大小比较法则可知：则此时满足，但不满足，因此，“若，则”是假命题；故选：．9. 用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A 的坐标为，则点B 的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设长方形的长边长为a ，短边长为b ，根据点A 的横坐标的绝对值为3个长边加上1个短边，纵坐标为1个长边加上1个短边减去2个短边列出方程组求出a 、b 的值即可得到答案．解：设长方形的长边长为a ，短边长为b ，∵，∴，解得，∴点B 的横坐标为，纵坐标为，即，故选D ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，正确列出方程组求出长方形长边和短边的长是解题的关键．10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（）0101>-<，a b >22a b >a b >22a b >B ()14,6-()1,7-()1,7-()2,10-()2,10-()14,6A -31426a b a b b +=⎧⎨+-=⎩82a b =⎧⎨=⎩2-2810+=()2,10B -ABCDA. 1B. 1.2C.D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，结合已知条件，求得正方形的边长范围是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求得答案．解：设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意，得，，故，，∴∴选项A 不符合题意；∴∴，∴选项B、D 不符合题意；∴正方形的边长可能为，故选：C ．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11. 点（﹣1，﹣2）在第_____象限．【答案】三【解析】【分析】根据各象限内的点的坐标特征判断即可.点（﹣1，﹣2）在第三象限．故答案为：三．【点睛】此题考查的是平面直角坐标系内的点，掌握各象限内的点的坐标特征是解决此题的关键.12. 如图，一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果，那么1-ABCD a b c 25a =21c =a =1c =1b <<1b +>1.21 2.2+=<11-+=ABCD b =45︒125∠=︒2∠=_____．【答案】##20度【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，先根据直角三角板的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．如图，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．13. 在平面直角坐标系中，点O 为原点，，，则的面积为______．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查的是坐标系中三角形面积的求法，需要准确对点位进行标注，并根据公式进行求解即可．首先在坐标系中标出A 、B 两点坐标，由于A 点在x 轴上，所以面积较为容易计算，根据三角形面积的计算公式，即可求出的面积．解：过B 点作垂直x 轴于D点，如图所示，20︒3∠a b ∥23∠∠=1345∠+∠=︒125∠=︒320∠=︒220∠=︒20︒()6,0A ()4,2B OAB OAB BD则，∴．故答案为：6．14. 根据如表回答下列问题x 23.123.223323.423.523.623.723.823.9533.61538.24542.89547.56552.25556.96561.69566.44571.21（1）的算术平方根是______；（2）满足的整数n 有______个．【答案】①. ②. 10【解析】【分析】（1）根据表格给的对照表即可求出；（2）由表格找到，，列出不等式，找出整数，558，559，560，561，562，563，564，565，566，的10个值即可，解：（1）由表中数据可得：算术平方根是，（2）∵，，∴，∴，558，559，560，561，562，563，564，565，566，共10个，故答案为：10．15. 已知关于x 、y 的方程组的解满足，则______．【答案】的2BD =1162622AOB S OA BD =⋅=⨯⨯= 2x 552.2523.623.8<<23.5223.6556.96=223.8566.44=556.96566.44n <<557n =552.2523.5223.6556.96=223.8566.44=556.96561.69n <<557n =34432x y n x y n +=+⎧⎨+=⎩1x y -=n =1-【解析】【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是根据题意得出．根据得出，根据，得出，求出n 的值即可．解：，得：，即，∵，∴，解得：，故答案为：．16. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边OA 在x 轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形…依此规律，则点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．()224x y n -=+34432x y n x y n +=+⎧⎨+=⎩2224x y n -=+1x y -=242n +=34432x y n x y n +=+⎧⎨+=⎩①②①-②2224x y n -=+()224x y n -=+1x y -=224n =+1n =-1-1OAA 1A 1OA =1A 1OA 12OA A 2A 2OA 23OA A 2024A ()101220242,0A解：由已知，点A 每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点A倍，∵，∴点的在x 轴的正半轴上，则，故答案为：．三、解答题（本题共9小题，共86分）17. （1（2）解方程组：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据算术平方根和立方根定义进行求解即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．解：（1；（2），得：，解得：，把代入②得：，45︒20248253÷=2024A 2024101220242OA ==()101220242,0A +-212x y x y +=⎧⎨-=⎩1211x y =⎧⎨=-⎩+-1322=--112=-12=212x y x y +=⎧⎨-=⎩①②+①②33x =1x =1x =12y -=解得：，∴方程组的解为：．18. 请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．如图，于D ，点E 在的延长线上，于G ，交于点F ，．求证：平分．证明：∵于D ，于G （已知）∴（______）∴______（同位角相等，两直线平行）∴（______）______（两直线平行，同位角相等）又∵（已知）∴（等量代换）∴平分（角平分线的定义）【答案】垂线的定义；；两直线平行，内错角相等；【解析】【分析】根据垂线的定义可得，再根据平行线的判定可得，由平行线的性质可得、，再由，从而可得，再根据角平分线的性质即可证明结论．本题考查垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．证明：于点，于点（已知），（垂线定义），（同位角相等，两直线平行），的1y =-11x y =⎧⎨=-⎩AD BC ⊥BA EG BC ⊥AC 1E ∠=∠AD BAC ∠AD BC ⊥EG BC ⊥90ADC EGC ∠=∠=︒12∠=∠3=∠1E ∠=∠23∠∠=AD BAC ∠AD EG E∠90ADC EGC ∠=∠=︒AD EG 12∠=∠3E ∠=∠1E ∠=∠23∠∠=AD BC ⊥ D EG BC ⊥G 90ADC EGC ∴∠=∠=︒AD EG ∴∥∴（两直线平行，内错角相等），∴（两直线平行，同位角相等），又（已知），（等量代换），平分（角平分线的定义）．故答案为：垂线的定义；；两直线平行，内错角相等；．19. 在如图所示方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）．（1）在图1中，将先向右平移2格，再向上平移1格得到，请画出；（2）在图2中，线段与相交于点O ，且，请画一个，使得中的一个角等于．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了平移作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；（1）把向右平移个单位即可；（2）把向右平移个单位，再向下平移2个单位，根据平行线的性质，即可求解．【小问1】解：解：如图，为所作；【小问2】解：如图，为所作．12∠=∠3E ∠=∠1∠=∠ E 23∴∠=∠AD ∴BAC ∠AD EG E ∠44⨯ABC A B C ''' A B C ''' AB CD AOC α∠=CDE CDE α∠ABC 2BA 2A B C ''' CDE∵，∴，∴即为所求．20. 为助力“双减”政策落实，某校初中开展了丰富多彩的小组活动．下表是七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数七年级1864八年级1444九年级102（1）文艺小组和科技小组每次活动的时间分别为多少小时？（2）九年级科技小组活动的次数是多少？【答案】（1）文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为（2）九年级文艺小组活动的次数是是次或者次【解析】【分析】本题考查了统计表，有理数的运算，列代数式，正确理解表格的意义列出代数式是解题的关键．（1）因七、八年级科技小组活动的次数相同，两个年级课外活动总时间的差就是七年级比八年级文艺小组活动次数多2次的时间，由此可求得文艺小组每次活动的时间，进而可求得科技小组每次活动的时间；（2）设九年级参加科技活动的次数为，则参加文艺活动的次数为：（非负整数），根据文艺活动的次数为非负整数即可求得结果．【小问1】解：由表格中数据对比可知：文艺小组每次活动的时间为：，的DE AB ∥CDE α∠=∠CDE 2h 1.5h25x 10 1.52x -()18142h 64-=-科技小组每次活动的时间为：，文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为；【小问2】解：设九年级参加科技活动的次数为（非负整数），则参加文艺活动的次数为：（非负整数），当时，；当时，；所以，九年级文艺小组活动的次数是是次或者次，答：九年级文艺小组活动的次数是是次或者次．21. 如图，平面直角坐标系中，已知，，A ，B 在x 轴上，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是作辅助线．由、，得，可得，再证，即可得答案．证明：延长，交边于点F ，∵、，∴轴，即，()1862 1.5h 4-⨯=∴2h 1.5h x 10 1.52x -4x =10 1.510 1.54222x --⨯==0x =10 1.510 1.50522x --⨯==2525()0,6C ()(),60D a a >180ACB BED ∠+∠=︒1D ∠=∠()0,6C (),6D a CD AB ∥D DFB ∠=∠1DFB ∠=∠DE AB ()0,6C ()(),60D a a >CD x ∥CD AB ∥∴，∵，，∴，∴，∴，∴．22. 阅读材料，完成下列任务：的小数部分．∵，．的整数部分为2．．的近似值（保留两位小数）．∵面积为107，且，，其中．画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得．当较小时，忽略，得．解得．．任务：（1的小数部分；（2的近似值（保留两位小数）．（备注：请画出示意图、标明数据，并写出求解过程）D DFB∠=∠180ACB BED∠+∠=︒180CED BED∠+∠=︒ACB CED∠=∠AC DE∥1DFB∠=∠1D∠=∠479<<<<23<<21011<<10x=+01x<<10x+2210210107x x+⨯+=2x2x20100107x+≈0.35x≈1010.35x=+≈【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；（2）根据材料二中的解题过程进行求解即可．【小问1】解：，，即，的整数部分为9，．【小问2】解：∵面积为123，，其中．画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得，解得．．23. 北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A 、B 两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A 种航天载人飞船模型和3件11-11.09121123144<< <<1112<<11-1112<<11x =+01x <<2x +2231221111x x +=+⨯2x 2x 22121123x +≈0.09x ≈11.09≈B 种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A 种航天载人飞船模型和2件B 种航天载人飞船模型的进价共计105元．（1）求A ，B 两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划正好用300元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．【答案】（1）A 种飞船模型每件进价25元，B 种飞船模型每件进价15元（2）①购进9件A 型飞船模型和5件B 型飞船模型；②购进6件A 型飞船模型和10件B 型飞船模型；③购进3件A 型飞船模型和15件B 型飞船模型【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．（1）设A 种飞船模型每件进价x 元，B 种飞船模型每件进价y 元，根据“2种A 型飞船模型和3种B 型飞船模型的进价共计95元；3种A 飞船模型和2种B 型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x 、y 的一元二次方程组，解之即可；（2）设购进a 件A 型飞船模型和b 件B 型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a 、b 的二元一次方程，结合a 、b 是正整数即可得所有购买方案．【小问1】解：设A 种飞船模型每件进价x 元，B 种飞船模型每件进价y 元，根据题意，得，解得，答：A 种飞船模型每件进价25元，B 种飞船模型每件进价15元；【小问2】解：设购进a 件A 型飞船模型和b 件B 型飞船模型，根据题意，得，∴，∵a ，b 均为正整数，∴当时，；当时，；当时，，∴所有购买方案如下：=⨯239532105x y x y +=⎧⎨+=⎩2515x y =⎧⎨=⎩2515300a b +=3125a b =-5b =9a =10b =6a =15b =3a =①购进9件A 型飞船模型和5件B 型飞船模型；②购进6件A 型飞船模型和10件B 型飞船模型；③购进3件A 型飞船模型和15件B 型飞船模型．24. 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．（1）点______“和谐点”（填“是”或“不是”）；（2）已知点①若点P 是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a 的值；②若点P 是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E 是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q ，，求点Q 的纵坐标．【答案】（1）不是（2）①；②4【解析】【分析】（1）由题干“和谐点”的定义计算出和即可判断点P 是否为“和谐点”；（2）①根据“和谐点”的定义列出方程，解方程即可；②根据点P 是第一象限内的一个“和谐点”，得出，设点E 的坐标为，点Q 的坐标为，根据点E 、Q 在同一直线上得出，表示出，，根据，求出结果即可．【小问1】解：过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B，如图所示：OAPB()2,4P (),P a b 3b =PB OE AP 2OBE EPQ S S b -=△△6a =-OAPB S 长方形OAPB l 长方形22b a b =-(),n b (),a m mn ab =12OBE S nb = ()()()1122EPQ S m b a n ma mn ab bn =--=--+ 2OBE EPQ S S b -=△△∵，，∴点P 不是“和谐点”；【小问2】解：①过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，如图所示：∵，点P 是第二象限内的一个“和谐点”，∴，，∴，解得：；②∵点P 是第一象限内的一个“和谐点”，∴，∴，设点E 的坐标为，点Q 的坐标为，设直线为，把代入得：，248OAPB S =⨯=长方形()24212OAPB l =+⨯=长方形3b =3PAOB S ab a =-=-长方形()2326PAOB l a a =-+=-+长方形326a a -=-+6a =-()2ab a b =+22b a b =-(),n b (),a m OE y kx =(),n b b nk =∴，∴直线为，把代入得：，∴，∵，，又∵，∴，，，，把代入得：，整理得：，把代入得：，即点Q 的纵坐标为4．【点睛】本题考查了坐标与图形，整式混合运算，一元一次方程的应用．理解“和谐点”的定义和利用数形结合的思想是解答本题的关键．25. 已知：，E 、G 是上的点，F 、H 是上的点，．b k n=OE b y x n=(),Q a m b y x n =b m a n =mn ab =12OBE S nb = ()()()1122EPQ S m b a n ma mn ab bn =--=--+ 2OBE EPQ S S b -=△△()11222nb ma mn ab bn b ---+=()4nb ma mn ab bn b ---+=4nb ma mn ab bn b -++-=4ma mn ab b -++=mn ab =4ma ab ab b -++=42b m b a=-22b a b =-()44422222244222b b b m b b b b b b b a bb =-=-=--=-+=-AB CD ∥AB CD 12∠=∠（1）如图1，求证：；（2）如图2，点M 在的延长线上，作、的角平分线交于点N ，交于点P ，设．①若，试判断直线上是否存在一点K 使得，并说明理由；②如图3，作的角平分线交于点Q ，若，请直接回答与的数量关系：______．【答案】（1）见（2）①不存在，见解析；②【解析】【分析】（1）由平行线的性质得，再由平行线的判定方法即可求证；（2）①由线的性质，得到，由、的角平分线交于点N ，得到，，在中应用三角形内角和定理，得到，代入得，由，得，根据点到直线距离垂线段最短，即可判断，②由平行线的性质，和角分线，得到，，由，得到，，代入，即可求解，本题考查了，平行线的性质与判定，与角分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．【小问1】证明：，，，，；EF GH ∥GH BEF ∠DFM ∠EN GH N α∠=45α=︒GH FK FM <AGH ∠CD 32FEN HFM ∠=∠GQD ∠N ∠490GQD N ∠+∠=︒1DHG ∠=∠180FEB EFD ∠+∠=︒BEF ∠DFM ∠12NFD MFD ∠=∠()1118022FEN FEB EFD ∠=∠=︒-∠EFN 180FEN EFD NFD N ∠+∠+∠+∠=︒90EFD MFD ∠+∠=︒EF GH ∥90FMG ∠=︒2GQD EFD =∠∠90GQD FEN =︒-∠∠32FEN HFM ∠=∠()3904NFD GQD ∠=︒-∠11802FEN EFD HFM N ∠+∠+∠+∠=︒ AB CD ∥1DHG ∴∠=∠ 12∠=∠2DHG ∴∠=∠∴EF GH ∥【小问2】解：①∵，∴，即：，∵、的角平分线交于点N ，∴，，∵，，∴，整理得：，∵，∴，∴直线不存在点K 使得，②的角平分线交CD 于点Q ，∴，∵，∴，∵，∴，即：，∵，，∴，即：，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．AB CD ∥180FEB EFD ∠+∠=︒180FEB EFD ∠=︒-∠BEF ∠DFM ∠12NFD MFD ∠=∠()1118022FEN FEB EFD ∠=∠=︒-∠45N α∠==︒180FEN EFD NFD N ∠+∠+∠+∠=︒()111804518022EFD EFD MFD ︒-∠+∠+∠+︒=︒90EFD MFD ∠+∠=︒EF GH ∥1809090FMG ∠=︒-︒=︒GH FK FM < AGH ∠12EGQ AGH ∠=∠AB CD ∥12EGQ AGH GQD ∠==∠∠AGH EFD ∠=∠12EFD GQD =∠∠2GQD EFD =∠∠180FEB EFD ∠+∠=︒2FEN FEB ∠=∠22180G FEN QD ∠+=∠︒90GQD FEN =︒-∠∠ 32FEN HFM ∠=∠()339022HFM FEN GQD ∠=∠=︒-∠()()113390902224NFD HFM GQD GQD ∠=∠=⨯︒-∠=︒-∠180FEN EFD NFD N ∠+∠+∠+∠=︒()3902901804GQD GQD GQD N ︒-∠+∠+︒-∠+∠=︒490GQD N ∠+∠=︒490GQD N ∠+∠=︒。

2012年厦门外国语学校适应性考试数学（理科）试卷参考公式：13V sh =锥体，343V R π=球体 若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆy bx a =+为回归直线，则 111n i x x n ==∑，111ni y y n ==∑()()()111111222111nni i n n i i i x y yy x ynx yb x x x nx a y bx====---==--=-∑∑∑∑，第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}2．若复数)(12R a iai∈-+是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为（ ） (A) 2-(B) 2(C) 1(D) 1-3．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件；C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件. 4．设b a ,是不同的直线，βα,是不同的平面，则下列结论错误．．的是（ ） (A) 若,//,ααb a ⊥则b a ⊥ (B) 若βαβα//,,⊥⊥b a ，则b a //(C) 若βαα⊂⊥b b a ,//,，则β⊥a (D) 若βα⊥⊥a a ,，则βα//5．阅读右侧程序框图，输出结果s 的值为（ ）(A) 21 (B)23 (C) 3- (D) 36．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A10 B.20 C.30 D.120（5）题图7．已知某几何体的三视图如上右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）12 B. 4136π+16+ D. 2132π+8．已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)7()8()4(2f f f + 的值等于( )A ．36B ．24C ．18D ．129．已知定点12(2,0),(2,0)F F -，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆10．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的本年年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元) 之间有如下的对应数据：根据上表提供的数据 算出5,50x y ==，521145ii x==∑，511390i ii x y==∑用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为12．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于 13．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率 。

2009年3月厦门市高中毕业班质量检查数学（理科）分析数学（理科）客观题统计数学（理科）分题质量统计数学（理科）分数段统计填空题：（题组长：禾山中学 周卓）1. 11题不容易出情况，得分率应该是最高的。

2. 本小题是要写出渐近线方程，标准答案是03=±y x 。

学生出现了x y 3±=，y x 33±=，0322=±y x 这几种正确形式，还有x y 212±=等没化简的。

最多出现漏写x 的情况（3±=y ），以及漏写正负号的情况（x y 3=）；还有3±=xy；写成平方式的：012422=+y x 、012422=-y x ；还有1322=±yx 的这几种错误。

3. 13题很多0.32，0.64的答案。

4. 14题标准答案是64，有学生写成62，也正确。

但是有写成n2，没有求出n 来。

5. 15题有学生没省清题意直接写2。

需要的是比分2：0。

第16题：（题组长：湖滨中学 李明 科技中学 钟旗法）本题主要考查函数零点的概念，三角函数性质、三角恒等变换等基本知识，考查推理和运算能力.其他解法：（许多同学书写的不够完整）由())1f x x π=--,列表如下：∴max ()1.8f x x ==时， 另有学生通过作图由图像获得答案。

存在的主要问题： 1． 求得())4f x x π=-，漏掉-1, 也有不少同学漏掉了2；2．由()2sin cos cos 21f x x x x =--直接得T π=，缺乏理由； 3． 值域中只求了当38x π=1，忘了求值域；4． 没求22,()2cos 2)5a f x x x T aπ=+=直接得. 5． 解题格式不够规范，甚至出现只有答案，没有过程的现象；6． 审题不认真，有部分学生用求导的方法求得a ，把“零点”看做或理解为“极值点”； 7． 公式sin cos )a x b x x ϕ+=+有一部分同学运用不够熟练，出现符号错误，丢失大量的分值；8． 解题过程中的组织能力不强，许多同学出现漏答的情况，即最后没有“点题”。

2015年福建省厦门外国语学校高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。

1．已知直线y=ax+1经过抛物线y2=4x的焦点，则该直线的倾斜角为（）A．0 B．C．D．2．在复平面上，复数z=a+bi（a,b∈R）与复数i（i﹣2）关于实轴对称，则a+b的值为(）A．1 B．﹣3 C．3 D．23．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2监测点统计的数据（单位:毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙。

5两地浓度的方差较小的是()A．甲B．乙C．甲乙相等 D．无法确定4．已知命题p：对任意x∈R，总有3x＞0；命题q：“x＞2”是“x＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q5．函数f(x)=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（)A．B．0 C．D．6．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（）A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤7．已知函数f（x）=lg（1﹣x）的值域为（﹣∞,1］，则函数f（x)的定义域为（）A．[﹣9，+∞）B．［0,+∞） C．(﹣9,1）D．［﹣9，1）8．已知数列｛a n}中,a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（)A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11?9．在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（,+∞）B．（1,) C．（2．+∞）D．(1，2）11．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2,++=，且｜|=｜|,在方向上的投影为(）A．﹣3 B．﹣C．D．312．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于(）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2023-2024学年（上）厦门外国语学校九年级10月巩固专练数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．可以直接使用2B铅笔作图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（）A. B.C. D.答案：A解析：解：A、，是一元二次方程，符合题意；B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．2. 二次方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根答案：A解析：解：∵，∴方程有两个相等的实数根．故选：A．3. 对于函数的图象，下列说法不正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是C. 最大值为0D. 交y 轴于点答案：B解析：解：对于函数的图象，∵，∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0，时，，交y 轴于点，故A 、C 、D 正确，故选：B ． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）A. B.C.D.答案：A解析：解：∵，∴，∴．故选：A ． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）A. B.C. D.答案：C解析：解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是：，即，故选：C．6. 在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：由题意，，又抛物线开口向上，当时，随的增大而增大．故选：D．7. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）A. 560（1＋x）2＝315B. 560（1－x）2＝315C. 560（1－2x）2＝315D. 560（1－x2）＝315答案：B解析：解：根据题意，设每次降价的百分率为x，可列方程为：．故选：B8. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，而点离直线的距离为4，点离直线的距离为2，离直线的距离为3，，．故选：C．9. 在同一坐标系中，二次函数和一次函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点，故此选项符合题意；C、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；D、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意．故选：B．10. 已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）A. B. C. D.答案：A解析：解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，∵OE＝，OF＝，∴EF＝，∴PQ的最小值为．故选：A．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. 二次函数的最____________值是____________．答案：①. 小②. 3解析：解：二次函数的图像开口向上，二次函数有最小值，最小时是3，故答案为：小，3．12. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是____________．答案：且解析：解：x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且,，即，且，故答案为：且．13. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是____________________________．（只需写一个）答案：（答案不唯一）解析：解：设抛物线解析式为，该抛物线的图象开口向上，，，故答案为：（答案不唯一）．14. 二次函数的函数值y的取值范围是____________．答案：##解析：解：，∴抛物线的顶点坐标为，∴当时有最大值是2；当时，，当时，，∴当时，函数值y的取值范围为；故答案为：．15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．答案：y=-x2+x+4解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC=4，∵A（-3，0），∴OA=3，∴AC=5，∵AB平分∠CAO，∴∠BAC=∠BAO，∵BC∥x轴，∴∠CBA=∠BAO，∴∠BAC=∠CBA，∴CB=CA=5，∴B（5，4）．把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，得，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+4．故答案为y=-x2+x+4．16. 已知二次函数的最小值为．若当时，y值为负；若当时，y 值为正；则二次函数的解析式是____________．答案：解析：解：根据题意得抛物线的对称轴为直线，当和时，函数值相等，当时，值为负；当时，值为正，和时，，即抛物线经过，，设抛物线解析式为，即，，，解得，抛物线解析式为．故答案为：．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17. 解方程：（1）；（2）．答案：（1）（2）小问1解析：解：或解得：；小问2解析：解：解得：．18. 画出二次函数的图象．答案：见解析解析：解：二次函数，列表如下：xy0∴该函数图象的顶点坐标为，过点，函数图象如图所示．19. 已知抛物线经过点和．求b，c的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．答案：；，顶点坐标为、对称轴为直线解析：解：把点和代入，可得：，解得：，所以抛物线为，所以此抛物线的顶点坐标为、对称轴为直线．20. 已知关于x的一元二次方程．（1）若，且此方程有一个根为，求m的值；（2）若，判断此方程根的情况．答案：（1）（2）当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程无解小问1解析：解：将代入原方程，得：，解得：；小问2解析：解：当时，原方程为，∴．当时，，此时原方程有两个相等的实数根；当时，，此时原方程无解．21. 如果一元二次方程的两根均为正数，其中．且满足，那么称这个方程有“友好根”．（1）方程____________“友好根”（填“有”或“无”）；（2）若，则关于x的有无“友好根”？请说明理由．答案：（1）有（2）这个方程有“友好根”，理由见解析小问1解析：解：，或，，∵，∴，∴方程有“友好根”，故答案为：有；小问2解析：解：关于x的有“友好根”，理由如下：，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，，∴，∵，∴，即，∴这个方程有“友好根”．22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当时，求x的值；（3）求矩形花圃的最大面积．答案：（1）（2）6 （3）小问1解析：解：根据题意，得：，∵，∴．S与x的函数关系式为；小问2解析：解：由题意得：，解得：（舍去）或6，即长为6；小问3解析：解：，∵，故当时，S随x的增大而减小，∵，则时S最大为60，此时．答：矩形花圃的最大面积为．23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，（1）求，，的坐标；（2）直线上有一点，在图中画出直线和点，并判断四边形的形状，说明理由．答案：（1），，；（2）图见解析：，四边形是平行四边形．小问1解析：解：当时，，解得或,，，当时，，．小问2解析：解：由可得，抛物线与直线的交点为，点在直线上，，解得，即，如图所示：，，，，，，四边形是平行四边形．24. 如图，在中，，（1）若四边形是正方形，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线，且，求四边形面积．答案：（1）直线（2）小问1解析：解：四边形是正方形，，，即，抛物线的对称轴为直线，即抛物线的对称轴为直线．小问2解析：解：对称轴为，，即①，抛物线与轴交于点，，②，，∴③，联立①③代入②可得,化简，得，解得或（舍去），∴，，即平行四边形中，，，四边形为菱形，如图，连接交于，则，，，在中，，，四边形的面积．25. 已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P．（1）若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度；（2）若点是线段的中点，求点P的坐标；（3）若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答）答案：（1）（2）（3）小问1解析：解：把代入抛物线，得：，即，令，得：，解得：，，；小问2解析：解：依题意得顶点的坐标为，设据，得点横坐标为，即，所以，把点的坐标代入得，即点的坐标为；小问3解析：解：如图，把抛物线化为顶点式：，可知，设，把代入得，，，，即，或，又点不与端点、重合，，即，则，由可得，，，的面积，边长为正数，，，，．。

福建省厦门市湖里区厦门外国语学校湖里分校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．如图是抛物线2y ax bx c =++的示意图，则a 的值可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程(1)0-=x x 的解是（）A ．0x =B ．1x =C ．0x =或1x =-D ．0x =或1x =4．抛物线22(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-5．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的点，以点A 为中心，把ADE V 顺时针旋转，得到ABF △，其中15DAE ∠=︒．那么旋转角的度数是（）A ．15︒B ．75︒C ．90︒D ．105︒6．下列一元二次方程中有实数根的是（）A ．210x +=B ．210x x -+=C ．210x x ++=D ．21x x +=7．将抛物线22y x =+向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．21y x =+D ．23y x =+8．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则124a b --的值等于（）A ．1-B ．1C ．2D ．39．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h （单位：m ）关于离地时间t （单位：s ）的函数解析式是2305h t t =-，其中t 的取值范围是（）A ．0t ≥B ．03t ≤≤C ．36t ≤≤D ．06t ≤≤10．已知二次函数()()20y a x m a =->的图象经过()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且1223x x x x -=-，321x x x >>，312y y y >>，则m 满足（）．A ．122x x m +=B ．232x x m +=C ．1222x x m x +<<D ．2332x x m x +<<二、填空题11．点(1,2)A 关于原点对称的点的坐标是．12．抛物线2241y x x =+-的对称轴是．13．一元二次方程2210x -=的两根为1x 、2x ，则12x x ⋅=．14．2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为．15．如表中列出了二次函数()20y ax bx c a =++≠的一些对应值，则该二次函数的开口方向，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解x 的范围．（两相邻整数之间）x…3-2-1-01…y…11-5-1-11…16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论：①0b <；②0a b c ++=；③20a b -=；④240ac b ->；⑤若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则m 的取值范围是53m -<<．其中正确结论的有．三、解答题17．解方程：(1)()234-=x ；(2)2420x x --=．18．如图，已知点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，AC FE ∥，BF CD =，AC EF =．求证：AB DE =．19．先化简，再求值：2441224x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =．20．已知二次函数21(2)12y x =+-．(1)在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象．(2)观察函数图象：当30x -<<时，函数值y 的取值范围是：________．21．春天化工公司前年盈利150万元，如果该公司今年与去年的年增长率相同，那么今年可盈利216万．(1)求这两年中平均每年增长的百分率；(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？22．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，将ABC V 绕着点B 逆时针旋转得到FBE ，点C ，A 的对应点分别为E ，F ，点E 落在BA 上，连接AF ．(1)若4AC =，3BC =，则BF =________；(2)若36BAC ∠=︒．求BAF ∠的度数．23．若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为()1212,x x x x ≤，则把分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到的点()12,P x x 称为该一元二次方程的“友好点”．(1)若方程为220x x -=，则该方程的“友好点”P 的坐标为________．(2)若关于x 的一元二次方程2(31)30x m x m -++=的“友好点”为P ，且点P 在直线2y x =的函数图像上，求m 的值．(3)是否存在b ，c ，使得不论(0)k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的“友好点”P 始终在函数2y kx k =++的图象上，若有，请求出b ，c 的值；若没有，请说明理由．24．护林员在一个斜坡上的点A 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地AB 进行浇灌，10m OA =，点A 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A 的水平距离为6m 时，达到距离地面OB 的竖直高度的最大值为13m ．设喷出的水柱距出水口的水平距离为(m)x ，距地面的竖直高度为(m)y ，以坡底B 所在的水平方向为x 轴，A 处所在的竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，原点为O ，如图所示．经过测量，可知斜坡AB 的函数表达式近似为1102y x =-+．(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式：(2)请判断水柱是否能覆盖整个坡地AB ，并说明理由．如果不能，则给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，使得水柱恰好可以覆盖整个坡地AB 时，安装的支架的高度为多少米？25．在平面直角坐标系中，直线:2(0)l y mx n m =+≠与x 轴交于点()1,0A -．若抛物线解析式为2()2y x m n x n =-++++．(1)当抛物线也经过点(1,0)A -时，求m 和n 的值；(2)说明直线与抛物线总有两个交点；(3)在（1）的条件下，抛物线与x 轴的另一交点为B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AD ，与BC ，y 轴分别交于点E ，F ，记三角形DBE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．。

2024年福建省厦门外国语学校数学九上开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知21x <-，则下列结论正确的是()A ．12x >B ．12x <C ．12x >-D ．21x <-2、（4分）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转70°后，得到ADE ，下列说法正确的是（）A ．点B 的对应点是点E B ．∠CAD=70°C ．AB=DE D ．∠B=∠D 3、（4分）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为()A ．135°B ．120°C ．90°D ．60°4、（4分）已知m 、n m ，n ）为（）A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是5、（4分）如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图像相交于点(3,2)A .当3x>时，则（）A．12y y≥B．12y y≤C．12yy>D．12y y<6、（4分）下列交通标志中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、（4分）如图所示是根据某班级40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，由图像可知该班40同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（）A．10.5，16B．9，8C．8.5，8D．9.5，168、（4分）a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G,若CD⊥AC,EF=8，EG=3，则AC的长为___________.10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.11、（4分）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则23-+--x y x y ＝_____．12、（4分）如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则_________.13、（4分）直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是,则较短的直角边的长为___________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与EF 是否平行？请说明理由.15、（8分）如图，□ABCD 中，在对角线BD 上取E 、F 两点，使BE ＝DF ，连AE ，CF ，过点E 作EN ⊥FC 交FC 于点N ，过点F 作FM ⊥AE 交AE 于点M ；（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）判断四边形ENFM 的形状，并说明理由．16、（8分）为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y 与t 之间的函数解析式为y=（a 为常数），如图所示.根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从释放药物开始，y 与t 之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进入教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？17、（10分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？18、（10分）如图，在△ABC 中，A 30∠=︒，3tan 4B =，AC =，求AB 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，则点D 到AB 的距离是_________．20、（4分）如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是__________．21、（4分）已知2334b a b =-，则a b =________22、（4分）如图，点G 为正方形ABCD 内一点，AB ＝AG ，∠AGB ＝70°，联结DG ，那么∠BGD ＝_____度．23、（4分）本市5月份某一周毎天的最高气温统计如下表：则这组数据的众数是___．温度/℃22242629天数2131二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别为AC 、AB 边上的中线，BD 、CE 交于点H ，点G 、F 分别为HC 、HB 的中点，连接AH 、DE 、EF 、FG 、GD ，其中HA ＝BC ．（1）证明：四边形DEFG 为菱形；（2）猜想当AC 、AB 满足怎样的数量关系时，四边形DEFG 为正方形，并说明理由．25、（10分）如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,落在墙上的影高为6米,求旗杆的高度.26、（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，1），交y 轴于点B （1，n ），且m ，n 满足＋（n ﹣12）2＝1．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （1，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据不等式的性质，求出不等式的解集即可．【详解】解：不等式两边都除以2，得：21x <-，故选：D ．本题考查了解一元一次不等式，能根据题意得出不等式的解集是解此题的关键．2、D 【解析】根据旋转的性质逐项判断即得答案．【详解】解：因为将△ABC 绕点A 顺时针旋转70°后，得到△ADE ，所以：A 、点B 的对应点是点D ，不是点E ，故本选项说法错误，不符合题意；B 、∠CAD 不是旋转角，不等于70°，故本选项说法错误，不符合题意；C 、AB=AD ≠DE ，故本选项说法错误，不符合题意；D 、∠B=∠D ，故本选项说法正确，符合题意．故选：D ．本题考查了旋转的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是关键．3、B【解析】由条件可知O 为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠A ），在△BOC 中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC ．【详解】∵O 到三边的距离相等∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．4、C 【解析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】是整数，m 、n 是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m ，n ）为（2，5）或（8，20），故选：C ．本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．5、C 【解析】由图象可以知道，当x=3时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论.【详解】解：由图象知，当x ＞3时，y 1的图象在y 2上方，y 2<y 1.故答案为：D.本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键.【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.7、B【解析】根据中位数、众数的概念分别求解即可．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；故选：B考查了中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．8、C【解析】由二次根式有意义的条件可知a-1≥0，解不等式即可.【详解】由题意a-1≥0故选C.本题考查了二次根式的意义，掌握被开方数需大于等于0即可解题.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】由三角形中位线定理得出AB=2EF=16，EF ∥AB ，AF=CF ，CE=BE ，证出GE 是△BCD 的中位线，得出BD=2EG=6，AD=AB-BD=10，由线段垂直平分线的性质得出CD=BD=6，再由勾股定理即可求出AC 的长．【详解】∵EF 是△ABC 的中位线，∴AB=2EF=16，EF ∥AB ，AF=CF ，CE=BE ，∴G 是CD 的中点，∴GE 是△BCD 的中位线，∴BD=2EG=6，∴AD=AB-BD=10，∵DE ⊥BC ，CE=BE ，∴CD=BD=6，∵CD ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴；故答案为：1．本题考查了三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，求出CD=BD 是解题的关键．10、()2,0【解析】如图把点A 向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，BF 与x 轴的交点即为点Q ，此时AP+PQ+QB 的值最小，求出直线BF 的解析式，即可解决问题．解：如图把点4向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，BF 与x 轴的交点即为点Q ，此时4P+PQ+QB 的值最小.设最小BF 的解析式为y=kx+b ，则有142k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得12k b =⎧⎨=-⎩∴直线BF 的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q （2.0）故答案为（2，0）.本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型11、23-+x y x y 【解析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】原式＝(2)(3)x y x y ---+＝23-+x yx y ，故答案为：23-+x yx y本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键．12、1根据直角三角形的性质求出AB ，根据三角形中位线定理求出EF ．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴AB ＝2CD ＝16，∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝AB ＝1，故答案为：1．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13、1【解析】根据边之间的关系，运用勾股定理，列方程解答即可．【详解】由题意可设两条直角边长分别为x ，2x ，由勾股定理得x 2+(2x)22，解得x 1=1，x 2=-1舍去），所以较短的直角边长为1．故答案为：1本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到方程，转化为方程问题．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）AB ∥CD ．理由见解析；（1）①证明见解析；②MN ∥EF ．理由见解析.【解析】（1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，然后证明四边形CGHD 为平行四边形后可得AB ∥CD ；（1）①连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 1，y 1）．利用反比例函数的性质结合条件得出S△EFM ＝S △EFN ．可得MN ∥EF ．（3）MN ∥EF ．证明与①类似.解：（1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．∴CG ∥DH ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等，∴CG ＝DH ．∴四边形CGHD 为平行四边形．∴AB ∥CD ．（1）①连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 1，y 1）．∵点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上，∴，∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴∴OE ＝y 1，OF ＝x 1．∴S △EFM ＝S △EFN ＝．∴S △EFM ＝S △EFN ．由（1）中的结论可知：MN ∥EF ．②MN ∥EF ．证明与①类似，略．本题考查1.平行四边形的判定与性质1.反比例函数的性质，综合性较强.15、（1）见解析；（2）四边形ENFM 是矩形．见解析.【解析】（1）根据SAS 即可证明；（2）只要证明三个角是直角即可解决问题；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠ABD ＝∠CDB ，又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）．（2）由（1）得，∴∠AEB ＝∠CFD ，∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF 又∵EN ⊥CF ，∠AEN ＝∠ENF ＝90°，又∵FM ⊥AE ，∠FME ＝90°，∴四边形ENFM 是矩形．本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16、(1)y ＝t （0≤t≤）(2)6小时【解析】(1)将点代入函数关系式,解得,有将代入,得,所以所求反比例函数关系式为;再将代入,得,所以所求正比例函数关系式为.(2)解不等式,解得,所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.17、(1)4元/瓶．(2)销售单价至少为1元/瓶．【解析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y 元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，依题意，得：81002x +＝3×1800x ，解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y 元/瓶，依题意，得：（450+1350）y ﹣1800﹣8100≥2100，解得：y≥1．答：销售单价至少为1元/瓶．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18、AB =9+【解析】作CD ⊥AB 于D ，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=AD=9，再在Rt △BCD 中根据正切的定义可计算出BD ，然后把AD 与BD 相加即可．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在Rt △CDA 中，∠A=30°，∴AD=AC×cos30°=9，∵在Rt △CDB 中，3tan 4B =∴BD=tan CD B =34÷=4．∴.本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD ⊥AB 于D 构建Rt △ACD 、Rt △BCD 是解题关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】首先根据已知易求CD =1，利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离是1．【详解】∵BC =6，BD =4，∴CD =1.∵∠C =90°，AD 平分∠CAB ，∴点D 到AB 的距离=CD =1．故答案为：1．此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；本题比较简单，属于基础题．20、52【解析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP ，EF 交于O 点，∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ∥AD ,AB ∥CD .∵PE ∥BC ,PF ∥CD ，∴PE ∥AF ,PF ∥AE .∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF =S △AOE .即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=5 2．21、11 9【解析】∵2334ba b=-，∴8b=3(3a-b)，即9a=11b，∴119ab=，故答案为11 9.22、1．【解析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°-∠BAG可求出∠DAG 的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°．∵AB＝AG，∠AGB＝70°，∴∠BAG＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAG＝90°﹣∠BAG＝50°，∴∠AGD＝12（180°﹣∠DAG）＝65°，∴∠BGD＝∠AGB+∠AGD＝1°．故答案为：1．本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键．23、1．【解析】根据众数的定义来判断即可，众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.【详解】解：数据1出现了3次，次数最多，所以这组数据的众数是1．故答案为：1．众数的定义是本题的考点，属于基础题型，熟练掌握众数的定义是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）证明见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，证明见解析【解析】（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED＝FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF＝12HA＝12BC＝DE，可得结论；（2）AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC＝HB，证明对角线DF＝EG，可得结论．【详解】（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴ED∥BC，ED＝12BC．同理FG∥BC，FG＝12BC，∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AE＝BE，FH＝BF，∴EF＝12HA，∵BC＝HA，∴EF＝12BC＝DE，∴▱DEFG是菱形；（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，理由是：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，∴CD ＝12AC ，BE ＝12AB ，∴CD ＝BE ，在△DCB 和△EBC 中，∵.DC EB DCB EBC CB BC ，，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCB ≌△EBC （SAS ），∴∠DBC ＝∠ECB ，∴HC ＝HB ，∵点G 、F 分别为HC 、HB 的中点，∴HG ＝12HC ，HF ＝12HB ，∴GH ＝HF ，由（1）知：四边形DEFG 是菱形，∴DF ＝2FH ，EG ＝2GH ，∴DF ＝EG ，∴四边形DEFG 为正方形．故答案为（1）证明过程见解析；（2）当AC ＝AB 时，四边形DEFG 为正方形.本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．25、20米.【解析】过C 作CE ⊥AB 于E ，首先证明四边形CDBE 为矩形，可得BD =CE =21，CD =BE =2，设AE =x ，则11.5=21x ，求出x 即可解决问题．【详解】如图，过C 作CE ⊥AB 于E ．∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠EBD =∠CDB =∠CEB =90°，∴四边形CDBE 为矩形，∴BD =CE =21，CD =BE =6，设AE =x ，则11.5=21x，解得：x =1．故旗杆高AB =AE +BE =1+6=20(米)．答：旗杆的高度为20米．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．26、（1）y ＝－2x ＋12，点C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D 坐标（－4，1）；（3）点P 的坐标（143-，643）【解析】（1）由已知的等式可求得m 、n 的值，于是可得直线AB 的函数解析式，把点C 的坐标代入可求得a 的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD ⊥AB 知1AB CD k k =-g 可设出直线CD 的解析式，再把点C 代入可得CD 的解析式，进一步可求D 点坐标；（3）如图2，取点F （－2，8），易证明CE ⊥CF 且CE ＝CF ，于是得∠PEC ＝45°，进一步求出直线EF 的解析式，再与直线AB 联立求两直线的交点坐标，即为点P .【详解】解：（1n ﹣12）2＝1，∴m ＝6，n ＝12，∴A （6，1），B （1，12），设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，则有1260b k b =⎧⎨+=⎩，解得212k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为y ＝－2x ＋12，∵直线AB 过点C （a ，a ），∴a ＝－2a ＋12，∴a ＝4，∴点C 坐标（4，4）．（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，如图1所示，设直线CD 解析式为y ＝12x ＋b′，把点C （4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD 解析式为y ＝12x ＋2，∴点D 坐标（－4，1）．（3）如图2中，取点F （－2，8），作直线EF 交直线AB 于P ，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203，∵32×（－23）＝－1，∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝CF ＝∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（1464,33-）.本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-g ，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.。