点到平面的距离

点到平面的距离对于一个给定的点P和一个平面上的点Q，我们希望计算出点P到该平面的距离。

在几何学中，点到平面的距离可以通过几何公式和向量运算来计算得到。

本文将详细介绍这个计算过程，并提供一些具体的示例和应用。

1. 几何公式计算点到平面的距离要计算一个点P到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程。

一般来说，平面可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是常数。

点P的坐标可以表示为P(xp, yp, zp)。

我们可以用点P的坐标带入平面方程，得到一个数值d，即点P到平面的有向距离。

如果d为正数，则表示点P在平面的一侧；如果d为负数，则表示点P在平面的另一侧。

点P到平面的无向距离可以通过取绝对值得到，即|d|。

2. 向量运算计算点到平面的距离在向量运算中，我们可以使用向量的方法来计算点到平面的距离。

首先，我们需要构造一个由平面上一点Q指向点P的向量V。

我们可以通过向量减法得到V，即V = P - Q。

接下来，我们需要计算向量V在平面法向量N上的投影。

平面的法向量可以通过平面方程的系数A、B和C确定，即N = (A, B, C)。

点P到平面的距离可以通过计算向量V在平面法向量N上的投影的长度来得到，即距离d = |proj_NV|。

3. 示例和应用让我们通过一个具体的例子来演示如何计算点到平面的距离。

假设平面的方程为2x + 3y - 4z + 5 = 0，点P的坐标为P(1, -2, 3)。

首先，我们可以将点P的坐标带入平面方程，得到d = 2(1) + 3(-2) - 4(3) + 5 = -15。

由于d为负数，表示点P在平面的另一侧。

接下来，我们可以使用向量运算来计算点到平面的距离。

由于平面的法向量为N = (2, 3, -4)，向量V = P - Q = (1, -2, 3) - Q = (1 - qx, -2 - qy, 3 - qz)。

我们需要计算向量V在平面法向量N上的投影的长度，即d =|proj_NV| = |(V · N) / |N|||N| = |(2(1) + 3(-2) - 4(3)) / √(2^2 + 3^2 + (-4)^2)|。

求点到面的距离的几种方法1. 什么是点到面的距离在计算机图形学中，点到面的距离是指一个点到一个平面的最短距离。

点到面的距离是一个重要的计算问题，它在很多应用中都有广泛的应用，比如碰撞检测、物体投影等。

2. 求点到平面的距离的方法求点到平面的距离有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。

2.1. 点到平面的法向量距离点到平面的法向量距离是一种常见的求解方法。

法向量是垂直于平面的一个向量，可以通过平面的法向量和点到平面的向量的点积来计算距离。

具体计算公式如下：distance = abs((P - A) · N) / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。

2.2. 点到平面的投影距离点到平面的投影距离是另一种常见的求解方法。

它通过将点投影到平面上，然后计算点到投影点的距离来求解。

具体计算公式如下：distance = ||P - P_proj||其中，P为点的坐标，P_proj为点在平面上的投影点的坐标，||P - P_proj||表示点到投影点的距离。

2.3. 点到平面的有向距离点到平面的有向距离是一种考虑点在平面的哪一侧的求解方法。

它通过计算点到平面的距离，并根据点在平面的哪一侧来确定距离的正负。

具体计算公式如下：distance = (P - A) · N / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。

3. 比较不同方法的优缺点不同的求解方法有各自的优缺点，下面将对比它们的优缺点。

3.1. 点到平面的法向量距离优点： - 计算简单，只需进行点积和模运算。

- 结果为非负数，可以直接表示距离。

缺点： - 不考虑点在平面的哪一侧。

3.2. 点到平面的投影距离优点： - 考虑了点在平面的投影位置。

缺点： - 需要额外计算点的投影点。

3.3. 点到平面的有向距离优点： - 考虑了点在平面的哪一侧。

点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。

本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。

平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。

其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。

为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。

首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。

我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。

由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。

也就是说，Q点与平面的法向量垂直。

知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。

设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。

表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。

接下来，我们将推导点到平面的距离公式。

首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。

设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。

平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

空间中点到平面的距离公式
在几何中，求解一个点到一个平面的距离时，经常会套用空间中点到平面的距离公式。

这个公式可以帮助我们确定一个点到某个平面的距离，其他的空间几何的概念也经常用到它。

在原始的几何中，随着技术的进步，空间中点到平面的距离公式也不断发展。

这个公式的历史可以追溯到古希腊的几何学家，诸如佩斯（Pappus）和克拉萨克斯（クラサクス），由他们发现的几何定理和几何变换规律，演变成现在我们所使用的空间中点到平面的距离公式。

空间中点到平面的距离公式是指，给定一个点Pa, b, c），以及一个平面Ax + By + Cz + D = 0，那么空间中点的到这个平面的距离S就是
S = |Aa+Bb+Cc+D|/(A2+B2+C2)
这个公式很容易用来计算任意给定的点到一个平面的距离。

由于它是一个绝对值，整数和实数均可应用。

在大多数应用中，只要求定义两个或多个平面，就可以用这个公式计算空间中两个平面之间的距离。

空间中点到平面的距离公式也给有关计算机图形学，机器视觉和计算几何学的研究提供了有用的数据。

它可以用来求解形状调整，改变任意多边形的位置，确定三角形的最大和最小距离，以及任意给定点与平面的距离。

在几何和何算的用中，空中到平面的距公式是一重要的概念，它
可以用定空中任意平面之的距。

著技的步，我可以用公式解一些新的和几何，甚至更多。

因此，空间中点到平面的距离公式给很多领域提供了有用的数据，从而可以更好地探索和研究几何世界。

它是一种重要的几何计算，可以用来解决复杂的几何问题，帮助我们更加清楚地看到空间几何世界的精美结构。

求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。

在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。

本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。

一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。

假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。

这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。

二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。

假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。

这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。

三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。

这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。

2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。

这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。

四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。

点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。

2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。

3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。

这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。

总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。

空间几何点到平面的距离公式
空间几何中，点到平面的距离公式是指计算一个点到一个平面的最短距离的公式。

这个公式在许多应用中非常有用，比如在计算机图形学中用于确定点到三维物体表面的距离，或者在物理学中用于计算点到平面的力和电场。

要计算点到平面的距离，我们可以使用向量和点法式，具体公式如下：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。

点P到平面的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，即如果点P在平面的上方，则距离值为正，如果点P在平面的下方，则距离值为负。

√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法线的模长，用于归一化距离。

这个公式可以通过以下步骤推导得到：
1. 首先，我们可以通过平面方程将平面上任意一点(x, y, z)代入，得到该点到平面的有向距离：
d = |Ax + By + Cz + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
2. 然后，我们将该公式中的点(x, y, z)替换为点P的坐标(x0, y0, z0)，得到点P到平面的有向距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
这个公式适用于任意的平面和点的组合。

它可以方便地用于计算点到平面的距离，并且可以根据需要进行扩展和修改，以满足特定的应用需求。

点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。

点到平面的距离定义点到平面的距离是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍点到平面的距离的定义、计算方法以及应用。

我们来看点到平面的距离的定义。

点到平面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。

这个距离可以用一个垂线来表示，这条垂线与平面垂直，并且经过这个点。

这个垂线的长度就是点到平面的距离。

接下来，我们来看如何计算点到平面的距离。

假设有一个点P(x,y,z)和一个平面Ax+By+Cz+D=0，我们需要求出点P到平面的距离。

首先，我们可以将平面的方程转化为法向量的形式，即N=(A,B,C)。

然后，我们可以将点P到平面的距离表示为：d = |(P-Q)·N|/|N|其中，Q是平面上的任意一点，|(P-Q)·N|表示点P到平面的垂线的长度，|N|表示法向量N的长度。

除了上述方法，我们还可以使用向量的方法来计算点到平面的距离。

假设有一个点P(x,y,z)和一个平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以将平面的法向量表示为N=(A,B,C)，然后将点P到平面的垂线表示为向量V，即V=P-Q，其中Q是平面上的任意一点。

那么，点P到平面的距离可以表示为：d = |V·N|/|N|其中，|V·N|表示向量V在法向量N上的投影长度，|N|表示法向量N的长度。

除了上述方法，我们还可以使用三角形的方法来计算点到平面的距离。

假设有一个点P(x,y,z)和一个平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以将平面上的任意三个点表示为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)，然后计算三角形ABC的面积S。

那么，点P到平面的距离可以表示为：d = 2S/|AB×AC|其中，|AB×AC|表示向量AB和向量AC的叉积的长度。

我们来看点到平面的距离的应用。

点到平面的距离在几何学中有广泛的应用，例如计算点到三角形、四边形、球体等几何图形的距离。

点到平面的距离的几种求法zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可无视的一个根本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种根本方法．例：ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，那么有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM 于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，那么BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝．图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之．〔１〕利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系〞．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，那么有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！〔２〕利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，那么由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6 〔３〕利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，那么三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8 ２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，那么有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途。