高考文科数学试题分类汇编：不等式

【高三】不等式2021年全国各地高考题汇编（文科）2021年全国各地高考文科数学试题分类汇编6：不等式我1．（2021年高考四川卷（文））若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是（）a、不列颠哥伦比亚省。

【答案】c2（福建2022卷）（文本）：如果变量满足约束条件，则分别为（和）最大值和最小值a．4和3b．4和2c．3和2d．2和0[答：]B3．（2021年高考课标ⅱ卷（文））设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是（）a、 b-6c.d-3【答案】b4.（2022年高考福建卷（文））如果，取值范围为（）a．b．c．d．[答：]d5．（2021年高考江西卷（文））下列选项中,使不等式x<<成立的x的取值范围是（）a、（，-1）b.（-1,0）c.0,1）d.（1，+）【答案】a6.（2022年高考山东卷（文））如果满足正实数，则当获得最大值时，的最大值为（） a．0b．c．2d．[答：]C7．（2021年高考课标ⅱ卷（文））若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是（）答(-∞,+∞)b、（-2+∞)c、（0+∞)d、（-1+∞)【答案】d8、（天津2022卷）（文本）使变量x和y满足约束条件，然后目标函数的最小值为（）a．-7b．-4c．1d．2[答：]a9．（2021年高考湖北卷（文））某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆.则租金最少为（）a、 31200元b.36000元c.36800元d.38400元【答案】c10（陕西高考2022卷（正文））如果点（x，y）位于曲线y＝x和y＝2的封闭区域中，2xy的最小值为（）a．-6b．-2c．0d．2[答：]a11．（2021年高考重庆卷（文））关于的不等式()的解集为,且:,则（）a、不列颠哥伦比亚省。

高考数学真题分类汇编不等式一、单选题1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+4．（2021·浙江）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2020·浙江）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >07．（2020·全国（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}9．（2019·浙江）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =-> 12．（2018·全国（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 二、多选题18．（2020·海南）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +≥ B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D三、填空题19．（2020·天津）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 20．（2020·江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．.23．（2019·天津（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为________.24．（2019·天津（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为_________. 25．（2019·天津（理））设0,0,25x y x y >>+=，______.26．（2018·江苏）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 28．（2018·天津（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 29．（2018·天津（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 30．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为_____． 31．（2017·天津（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.32．（2017·北京（文））能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 34．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编四、不等式（答案解析）1．C 【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx xy -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．4．C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C. 5．C 【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C 7．D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.9．A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【解析】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =，即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误；选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >，则选项D 错误.故选：A.12．B 【解析】.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b∴==0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<< 又a 0,b 0>< ab 0∴<即ab a b 0<+< 故选B.16．B 【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 18．ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 19．4【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+22a b =+=.故答案为：420．45【解析】∈22451x y y += ∈0y ≠且42215y x y -=∈42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∈22x y +的最小值为45.故答案为：45.23．92.【解析】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92．24．2(1,)3-【解析】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．25．(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为26．9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9. 28．14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224a b-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14.29．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】∈当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ∈当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合∈∈可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.30．8【解析】因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞，所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为831．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）.32．1,2,3---【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 33．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.34．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

专题十八 不等式选讲（2019·全国Ⅰ文科）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）； （2）．【解析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为. 【解】：（1）因为，又，故有. 所以. （2）因为为正数且，故有=24.所以.【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立. （2019·全国Ⅱ文科）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围. 222111a b c a b c++≤++333()()()24a b b cc a +++≥++1abc =222a b c bc ac ab ++≥++()2222222a b cab bc ac ++≥++()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++()()()333a b b c c a +++++≥2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥1abc =222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++222111a b c a b c++≤++, , a b c 1abc =333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3≥⨯⨯⨯333()()()24a b b c c a +++++≥()|||2|().f x x a x x x a =-+--1a =()0f x <(,1)x ∈-∞()0f x <a【解析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.【解】：（1）当a =1时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为.（2）因为，所以.当，时，.所以，的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型. （2019·全国Ⅲ文科）设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或. 【解析】 (1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【解】：（1）由于，故由已知得， 当且仅当x =，，时等号成立． 所以的最小值为. （2）由于 1a =|1||2|(1)0x x x x -+--<1x <12x ≤<2x ≥1a ≥1a <()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---1x <2()2(1)0f x x =--<1x ≥()0f x ≥()0f x <(,1)-∞()=0f a 1a ≥1a ≥(,1)x ∈-∞()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----a [1,)+∞,,x y z R ∈1x y z ++=222(1)(1)(1)x y z -++++2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥3a -≤1a ≥-1x y z ++=2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥,,x y z ,,x y z a 2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥5313y =-13z =-222(1)(1)(1)x y z -++++43，故由已知， 【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求的取值范围．【解析】(1)当时，，即故不等式的解集为．(2)当时成立等价于当时成立． 若，则当时；若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围． 【解析】(1)当时，2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥()|1||1|f x x ax =+--1a =()1f x >(0,1)x ∈()f x x >a 1a =()|1||1|f x x x =+--2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x ()1f x >1{|}2x x >(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<0≤a (0,1)x ∈|1|1-≥ax 0a >|1|1ax -<20x a <<21≥a02<≤a a (0,2]()5|||2|=-+--f x x a x 1a =()0≥f x ()1≤f x a 1=a 24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． (2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．【解析】(1) 的图像如图所示．()0≥f x {|23}-≤≤x x ()1≤f x |||2|4++-≥x a x |||2||2|++-+≥x a x a 2=x ()1≤f x |2|4+≥a |2|4+≥a 6-≤a 2≥a a (,6][2,)-∞-+∞()|21||1|f x x x =++-()y f x =[0,)x ∈+∞()f x ax b +≤a b+13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若，，为实数，且，求的最小值．【证明】由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时， 所以的最小值为4．（2017新课标Ⅰ）已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】（1）当时，不等式等价于 ．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；()y f x =y 3a ≥2b ≥()f x ax b +≤[0,)+∞a b +x y z 226x y z ++=222x y z ++2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥22=6x y z ++2224x y z ++≥122x y z ==244333x y z ===，，222x y z ++2()4f x x ax =-++()|1||1|g x x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[1,1]-a 1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x -+++--≤1x <-2340x x --≤11x -≤≤220x x --≤11x -≤≤当时，①式化为，从而所以的解集为． （2）当时，． 所以的解集包含，等价于当时． 又在的最小值必为与之一， 所以且，得．所以的取值范围为．（2017新课标Ⅱ）已知，，，证明：(1)；(2)．【解析】（1）（2）∵， 所以，因此．（2017新课标Ⅲ）已知函数．(1)求不等式的解集； 1x >240x x +-≤1x <()()f x g x ≥1{|1}2x x --<≤[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[1,1]x ∈-()2f x ≥()f x [1,1]-(1)f -(1)f (1)2f -≥(1)2f ≥11a -≤≤a [1,1]-0a >0b >332a b +=55()()4a b a b ++≥2a b +≤556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++2224()ab a b =+-4≥33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+3()8a b +≤2a b +≤()|1||2|f x x x =+--()1f x ≥(2)若不等式的解集非空，求的取值范围． 【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得 当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而且当时，． 故m 的取值范围为．（2017江苏）已知，，，为实数，且，， 证明．【解析】证明：由柯西不等式可得：， 因为所以，因此.2()f x x x m -+≥m 3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤1x <-()f x 1≥x -12≤≤()f x 1≥x -211≥x 12≤≤＞2x ()f x 1≥＞2x ()f x 1≥{}x x 1≥()f x x x m -+2≥m x x x x +---+212≤x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤32x =2512=4x x x x +---+5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦a b c d 224a b +=2216c d +=8ac bd +≤22222()()()ac bd a b c d +++≤22224,16,a b c d +=+=2()64ac bd +≤8ac bd +≤。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）不等式（原卷版）一、选择题1．(2021年全国高考乙卷文科)若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为 ( )A ．18B ．10C ．6D ．42．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则() ( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)设满足约束条件,则的取值范围是( )4．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x 、y 满足约束条件．则的最小值是( )A ．B ．C ． D5．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设满足约束条件则的最大值为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．17．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A ．-5B ．3x y ，326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩z x y =-.A [3,0].B [3,2].C 0,2.D 0,32330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩= 2 z x y +15-9-19,x y 33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩z x y =+C ．-5或3D ．5或-38．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是( )A ．7-B ．6-C ．5-D ．3- 9．(2012年高考数学课标卷文科)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(,)x y 在ABC ∆内部，则z x y =-+的取值范围是 ( )A．(1- B ．(0,2) C．1,2)D．(0,1+二、填空题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．13．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则3z x y =-的最大值是___________.14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．15．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤ 则z x y =+的最大值为__________．16．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．17．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)设x y ，满足约束条件210,210,1,x y x y x -+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≤ 则235z x y =+-的最小值为______．18．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．19．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．20．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =+的最大值为 ．21．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为_________________．22．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．。

专题七不等式第二十一讲不等式综合应用2019年 1.（2019 天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则 (1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =−+>−≥≤则 A ．对任意实数a ， (2,1)A ∈ B ．对任意实数a ， (2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时， (2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时， (2,1)A ∉ 2．(2018)浙江已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且 1234123 ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >32017 ．（天津）已知函数 ||2,1,()2 , 1.x x f x x x x+<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式 ()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ． [2,2]−B ． [23,2]−C ． [2,23]−D ． [23,23]−4．（2015 福建）若直线 1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A 2 B 3 C 4 D 5． ． ．．52015 ．（ 湖南）若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为 A ．2 B 2 C 2．．2 D 4．62014 ．（ 重庆）若 b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ． 326+B ． 327+C ． 346+D ． 347+7．（2013 福建）若 122=+y x ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[−C ．),2[+∞− D ． ]2,(−−∞ 82013．（山东）设正实数,,x y z 满足22 340x xy y z −+−=．则当xy z取得最大值时， 212x y z+−的最大值为 A 0 B 1 C ． ． ．94D 3 ． 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322 =−+−z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +−的最大值为A 0B ．．98C 2D ．．9410．（ 2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C 5D 6 ．． 11．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v ab <<B ．v =abC ．ab <v <2a b + D ．v =2a b + 12．（2012 湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值为 A ． 162 B.82 C.384 D. 34413．（ 2011陕西）设 0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<< B ．2a b a ab b + <<< C ．2a b a ab b + <<< D ．2a b ab a b + <<< 14．（ 2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ． 112a b ab+> D ．2b a a b +≥ 二、填空题15．(2018)天津已知,a b ∈R ，且 360a b −+=，则128a b+ 的最小值为． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22 220() 220x x a x f x x x a x ⎧ ++−⎪=⎨−+−>⎪⎩ ，≤， ，．若对任意 [3,)x ∈−+∞， ()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（ 2017天津）若，a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++ 的最小值为． 18．（ 2017山东）若直线 1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 192017 ．（江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买600 x 吨，运费为万元6 /次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________．21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+−+ 在区间，[14]上的最大值是5，则a 的取值范围是．22．（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中， (12,0)A −，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是． 23．（ 2015重庆）设,0a b >，5a b +=，则 1++3a b +的最大值为________．24．(2015)山东定义运算“⊗”：22x y x y xy−⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >， 0y >时， (2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．25．（ 2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=， 2221a b c ++=，则a 的最大值是__；26．（2014 辽宁）对于0c > ，当非零实数，a b 满足22 420aab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 124a b c++的最小值为． 27．（2014 辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 345a b c−+的最小值为． 28．（2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度/v （假设车辆以相同速度行驶，单v 位：米秒）、平均车长（单位：米）有关，其公式为/l 的值276000 1820v F v v l=++． （）如果不限定车型，Ⅰ 6.05l = ，则最大车流量为辆小时； /（）如果限定车型，Ⅱ5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量辆．增加 /小时29．（ 2013天津）设a b + = 2，b >0，时， 则当a = 1|| 2||a ab +取得最小值. 30．（ 2013四川）已知函数 ()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．31．（ 2011浙江）若实数,x y 满足22 1x y xy ++=，则x y +的最大值是____ ． 32．（ 2011湖南）设,x y R ∈，则222211 ()(4)x y y x++ 的最小值为． 33．（ 2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是写出所有正确命题的编号． ()①1ab ≤；② 2a b +≤；③ 222a b +≥ ； ④333a b +≥；⑤ 112a b +≥．。

新编高考真题汇编文科数学（解析版）不等式一、选择题某2y2,1.【20某某高考山东文6】设变量某,y满足约束条件2某y4,则目标函数z3某y的取值范4某y1,围是333(A)[,6](B)[,1](C)[1,6](D)[6,]222【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图，由z3某y得y3某z，平移直线y3某，由图象可知当直线经过点E(2,0)时，直线y3某z的截距最小，此时z最大为z3某y6，当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由1某4某y133，解得，此时，所以z3某y的取值范围是z3某y32222某y4y33[,6]，选A.2某02.【20某某高考安徽文8】若某，y满足约束条件某2y3，则z某y的最小值是2某y3（A）-3（B）0（C）【答案】A【解析】约束条件对应ABC边际及内的区域：A(0,3B),3（D）323则(0C,),(1,1)2t某y[3,0]。

3.【20某某高考新课标文5】已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（某，y）在△ABC内部，则z=－某+y的取值范围是（A）(1－3，2)（B）(0，2)（C）(3－1，2)（D）(0，1+3)【答案】A【解析】做出三角形的区域如图，由图象可知当直线y某z经过点B时，截距最大，此时z132，当直线经过点C时，直线截距最小.因为AB某轴，所以yC132,三角形的边长为2，设C(某,2)，则2AC(某1)2(21)22，解得(某1)23，某13，因为顶点C在第一象限，所以某13，即(13,2)代入直线z某y得z(13)213，所以z的取值范围是13z2，选A.4.【20某某高考重庆文2】不等式某10的解集是为某2（A）(1,)（B）(,2)（C）（-2，1）（D）(,2)∪(1,)【答案】C【解析】原不等式等价于(某1)(某2)0即2某1，所以不等式的解为(2,1)，选C.5.【20某某高考浙江文9】若正数某，y满足某+3y=5某y，则3某+4y的最小值是A.2428B.C.5D.6551311313某12y13)5，(3某4y)()(5y某5y某5y某【答案】C【解析】某+3y=5某y，1132365.55某y3,某2y12,6.【20某某高考四川文8】若变量某,y满足约束条件2某y12，则z3某4y的最大值是某0y0（）A、12B、26C、28D、33【答案】C【解析】如图可行域为经过点M时z有最大值，联立方程组选C.图中阴影部分，当目标函数直线某2y12得M(4,4)，代入目标函数得z28，故2某y122某y207.【20某某高考天津文科2】设变量某,y满足约束条件某2y40,则目标函数z=3某-2y的最某10小值为（A）-5（B）-4（C）-2（D）3【答案】B【解析】做出不等式对应的可行域如图，由z3某2y得y3z3z3z由图象可知当直线y某经过点C(0,2)时，直线y某的截距最大，某，222222而此时z3某2y最小为z3某2y4，选B.8.【20某某高考陕西文10】小王从甲地到乙地的时速分别为a和b （aA.aabababab【答案】A.【解析】设甲乙两地相距，则小王用时为abab2ab2ab21a.、，avab.故选A.ab2ab2bab10,某y某y20,则2某+3y的最大值为9.【20某某高考辽宁文9】设变量某，y满足0剟0剟y15,(A)20(B)35(C)45(D)55【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当某=5,y=15时2某+3y最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。

05 不等式一、选择题1．（广东10）设a , b ∈R ，若a -b ＞0，则下列不等式中正确的是（ D ）A .b -a ＞0B .a 3+b 3＜0C .b +a ＞0D .a 2-b 2＜02．（宁夏7）已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ B ）A ．110a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．(山东7) 不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，， 4．（四川5）不等式22x x -<的解集为( A )（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2-5．(天津8) 已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（ A ） A ．[]11-， B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-， 6．（浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C )（A ）12ab ≤ （B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 7．(重庆7)函数f (x的最大值为 ( B ) (A)25 (B)12(D)1二、填空题1．（北京10）．不等式112x x ->+的解集是__________．{}|2x x <- 2．（江苏11）2*,,,230,y x y z R x y z xz ∈-+=的最小值为 33．（江西13）不等式224122x x +-≤的解集为 ．[3,1]- 4．（上海1）不等式11x -＜的解集是 ．（0，2）三、解答题1．（广东17）（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积） 解：设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=- 令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．2．（江苏选修）设a ，b ，c 为正实数，求证：333111a b c+++abc ≥ 证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得333331111a b c c ++≥ 即3331113a b c abc++≥ 所以3331113abc abc a b c abc +++≥+， 而323abc abc abc abc+≥=所以 333111a b c +++abc ≥。

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式目录题型一：不等式的性质及其应用.......................................1题型二：解不等式...................................................4题型三：基本不等式.................................................5题型四：简单的线性规划问题.........................................7题型五：不等式的综合问题 (34)题型一：不等式的性质及其应用一、选择题1．(2019·天津·理·第6题)已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为()A ．a c b <<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【答案】A解析：5511log 2log ,0,22a a ⎛⎫=<=∴∈ ⎪⎝⎭，110.5222log 2log 50.log 5log 42b --===>=，即2b >，11520.211220.5,,12222c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=∴∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<．2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<【答案】答案：B解析：22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=，0.300.20.21,(0,1)c c =<=∴∈，故a c b <<．3．(2014高考数学四川理科·第4题)若0,0a b c d >><<，则一定有()A．a b c d >B．a b c d <C．a b d c >D．a b d c<【答案】D解析：由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则()A ．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【答案】B解析：一方面()0.2log 0.30,1a =∈，()2log 0.32,1b =∈--，所以0ab <0.31log 0.2a =，0.31log 2b =，所以()()0.30.311log 0.22log 0.40,1a b+=⨯=∈所以1101a b <+<即01a b ab +<<，而0ab <，所以0a b +<，所以1a ba b ab ab+<⇒+>综上可知0ab a b <+<，故选B ．5．(2014高考数学湖南理科·第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2q p +B．()()2111-++q p C．pqD．()()111-++q p 【答案】D解析：设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-,故选D．6．(2017年高考数学山东理科·第7题)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是()A．()21log 2a ba ab b +<<+B．()21log 2a b a b a b<+<+C．()21log 2a b a a b b +<+<D．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B．二、填空题1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_________________________．【答案】1,2,3---(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-出现矛盾,所以验证是假命题．三、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD一、选择题1．(2015高考数学北京理科·第7题)如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()()A．{}|10x x -<≤B．{}|11x x -≤≤C．{}|11x x -<≤D．{}|12x x -<≤【答案】C解析：如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集，故选C．二、填空题1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式422<-xx的解集为_______．【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式11x x->的解集为________．【答案】(),0-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<,解集为(,0)-∞．一、填空题1．(2021高考天津·第13题)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】解析： 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：．2．(2020天津高考·第14题)已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=，或22a b ==时，等号成立．故答案为：43．(2020江苏高考·第12题)已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】22451x y y += ,0y ∴≠且42215y x y -=42222221144+5555y y x y y y y -∴+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号．22x y ∴+的最小值为45．故答案为：45．4．(2019·天津·理·第13题)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为．【答案】解析：524x y =+≥，=====即31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，因为2538<<5．(2019·上海·第7题)若x y R+∈、，且123yx+=，则yx的最大值为________.【答案】98【解析】法一：yxyx212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤xy；法二：由yx231-=，yyyyxy32)23(2+-=⋅-=(230<<y)，求二次最值89max=⎪⎭⎫⎝⎛xy. 6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线()4y x xx=+>0上一动点，则点P到直线x y+=的距离最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可设4(,0P x x xx+>，，所以42+4xxd===.当且仅当42xx=，即x=时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.法2：距离最小时，24'11yx-=-=，则x=，所以P,所以最小值为4.7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．【答案】9解析：由题意可知，ABC ABD BCDS S S∆∆∆=+，由角平分线性质和三角形面积公式得，111sin1201sin60+1sin60222ac a c=⨯⨯⨯⨯，化简得+ac a c=，111a c+=，因此1144(4)()5c aa c a ca c a c+=++=++≥，当且仅当=2=3c a时取等号，所以4a c+的最小值为9．8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知,a b∈R，且360a b-+=，则128ab+的最小值为．【答案】14解析：由360a b -+=，得36a b =-，所以3633112222284ab b b ---+=+=⨯=≥，当且仅当363b b -=-，即1,3b a =-=-时等号成立，故128ab +的最小值为14．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．【答案】20解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。