山东省烟台市高二数学下学期期末检测试题 理

烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点(1,3)P -，则它的极坐标是（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan yx y xρθ=+=计算即可。

【详解】在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3yxθ==-，所以3πθ=-.故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。

2．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A ．两个分类变量关系较强B ．两个分类变量关系较弱C ．两个分类变量无关系 ^D ．两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.3．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．5．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.6．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．2C ．12D 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 7．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得203cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.9．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案. 【详解】由题意，()()()251111111i i iz i i i i i ---====-+++-， 所以z 的虚部是1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.10．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C ．12+ D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。

山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ）A ．23B ．13C ．1D ．0【答案】B【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B. 2．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定【答案】C【解析】【分析】 利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.3．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r r r r 且 则12m n+ 的最小值是（ ） A ．22B ．2 C ．322+ D ．422+【答案】C分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r r r r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+. 故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则135a a a a +++=（ ）A ．0B ．1-C ．243D ．2【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得510,1a a +==-，再分别求得2135,,,a a a a 的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得 510,1a a +=∴=-，且111552220,a C C =+=333335522160a C C =+=，55255552264a C C =+=，13512016064243a a a a ∴+++=-+++=，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【解析】【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327x A x =<<，则U C A =（ ）A ．()0,3B ．(2,0)(3,4)-UC ．(2,0][3,4)-UD ．(2,1][2,4)-U 【答案】C【解析】【分析】分别化简求解集合U,A ，再求补集即可【详解】因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()2,03,4U C A =-⋃.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.7．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ= 【答案】D【解析】 分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，化为极坐标方程为1sin ρθ=，故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<< 【答案】A【解析】【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题9．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A ．π(5,-)3B ．4π(5,)3C ．2π(5,)3-D ．5π(5,)3- 【答案】D【解析】【分析】 由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【详解】点M 的极坐标为53π⎛⎫⎪⎝⎭，，由于3π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故选D ．【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得 () 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.11．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e 【答案】C【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln x a x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=， 当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．12．已知a v ，b v 是两个向量，则“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得0a b ⋅=v v ，所以cos ,0a b a b =v v v v ，所以||0a =r 或||0b =r 或a b ⊥r r ，所以0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r .因为0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r 是0a =v 的必要非充分条件,所以“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题：①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）【答案】①③④⑤【解析】【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=剟剟，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以 曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点1144（，）对称，故该命题是假命题；对于③：||OP 22112+=44（）（） 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则112001(1)(21)6S x dx x x dx =-=-=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.【答案】32π 【解析】【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1， 故圆柱的全面积是：2113221222πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 16．已知111()123f n n=++++L .经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______.【答案】()()1*322n n f n N ++>∈ 【解析】【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=， ()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈， 故答案为：()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）令1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，*n N ∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1n x g x nx=+；（2）(],1-∞. 【解析】 分析：（1）求出g x （）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即(1)1ax ln x x≥+＋ 恒成立． 设()()φx ln 1x 1ax x+＝＋－ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x +-+，对a 进行讨论，求出h x （）的最小值，令0min h x ≥（） 恒成立即可； 详解：由题设得，g(x)＝1x x+ (x≥0)． (1)由已知，g 1(x)＝1x x+， g 2(x)＝g(g 1(x))＝111xx x x+++＝12x x +， g 3(x)＝13x x +，…，可得g n (x)＝1x nx +. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x)＝1x x+，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝1x kx +. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝1k k g x g x +＝11111x x kx x k x kx+=++++， 即结论成立．由①②可知， 结论对n∈N ＋成立．所以g n (x)＝1x nx+. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥1ax x +恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－1ax x+ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x+-+， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥1ax x+恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥1ax x +不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin nn i n θθθθ+=+；（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 【答案】 (1)证明见解析.(2) ()5121. 【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当1n =时成立，假设当()*n k k N =∈时，命题成立，只需证明当1n k =+时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当1n =时，左边cos sin i θθ=+，右边cos sin i θθ=+， 所以命题成立2°假设当()*n k k N =∈时，命题成立， 即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k ki i i θθθθθθ++=++()()cos sin cos sin k i k i θθθθ=++()cos cos sin sin k k θθθθ=- ()sin cos cos sin i k k θθθθ++()()cos 1sin 1k i k θθ⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦所以，当1n k =+时，命题也成立综上所述，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+（n 为正整数）成立（2）1222z i i ⎛⎫==⨯- ⎪ ⎪⎝⎭11112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()101251212⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.19．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】 (1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R ==，，解得a=1或a=138， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点， 联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得13k <-或13k >+．x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++u u u r u u u r u u u r ，，(13)MC =-u u u u r ，，假设OD uuu r ∥MC u u uu r ，则12123()x x y y -+=+，∴226226311k k k k -+⨯=++， 解得32626(1)(1)4k =∉-∞-⋃++∞，，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.20．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）直线CP 与平面DCE 6. 【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得//DC 平面ABP ，//DE 平面ABP .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面DCE 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果. 详解： (Ⅰ)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP . 同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,所以平面//DCE 平面ABP .（Ⅱ）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点(020)D ，，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP u u u v =--，()0,2,0AD =u u u v.易证AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =u u u v . 设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则()()0,2,0?2,2,2·3sin cos ,223AD CP AD CP AD CP θ--====⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v 。

山东省烟台市2022届数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．随机变量X 的分布列为则(20.2)E X +=（ ） A ．4.8 B ．5C ．6D ．8.4【答案】B 【解析】分析：先求出a,再求EX ,再利用公式求()20.2E X +. 详解：由题得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.由题得1234542x +++==.所以10.220.330.440.1 2.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯=所以()20.2E X +=20.22 2.40.25EX +=⨯+=.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+.2．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ） A ．M N R ⋃= B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N =【答案】B 【解析】分析：先分别求出集合M 和N ，由此能求出M 和N 的关系. 详解：{}{}|2,0xM y y x R y y ==∈=，{}{}2|,|0N y y x x R y y ==∈=≥，故M N ⊆. 故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 3．根据下表样本数据x6 8 9 10 12 y65432用最小二乘法求得线性回归方程为ˆˆ10.3ybx =+则4x =当时，y 的估计值为 A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先根据回归直线方程过样本点的中点(),x y 求解出ˆb，然后再代入4x =求y 的值. 【详解】 因为6891012654329,455x y ++++++++====，所以ˆ4910.3b=+，即ˆ0.7b =-，所以回归直线方程为：ˆ0.710.3yx =-+，代入4x =，则7.5y =， 故选：C. 【点睛】本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是(),x y ，这一点要注意.4．一个正方体的展开如图所示，点B ，C ，D 为原正方体的顶点，点A 为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为（ ）A ．5B ．105C ．5 D ．10 【答案】D 【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角，在三角形ABE 中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 详解：还原正方体，如图所示，设1AD =，则1,3AB AF BE AE ====，CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角，∴余弦值为cos10ABE ∠==，故选D. 点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值. 5．若复数()()1i i a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则1i a -+=（ ）A ．0B ．1C ．2D 【答案】D 【解析】分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出a 的值，代入后求模即可得到答案. 详解：复数(1)()i a i -+的实部与虚部相等，又有(1)()1(1)i a i a a i -+=++-11a a ∴+=-，解得0a =，11a i i ∴-+=+=. 故选D.点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.6．若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为（ ）A ．23-B ．C ．3-D ．9-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知'()0f x >有解,再根据二次函数的性质分析即可. 【详解】由题, 若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间,则2'()3430f x mx x =+->有解.当0m ≥时显然有解.当0m <时,()164330m ∆=-⋅⋅->,解得49m >-.因为四个选项中仅49>-.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数单调区间的问题,需要判断出导数大于0有解,利用二次函数的判别式进行求解.属于中档题.7．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 8．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-【答案】B 【解析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．已知函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】 【详解】因为33222()22121xxxx x f x ⋅++==+++，所以3()()221x x F x f x =-=+是奇函数， 则由奇函数的性质max min ()()0F x F x +=，又因为max max ()()2F x f x =-，min min ()()2F x f x =-， 即max ()2F x M =-，min ()2F x m =-，故40M m +-=，即4M m +=，应选答案C ．10．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b }，若{}1P Q =，则P Q ⋃=（ ）A ．{3，1}B ．{3，2，1}C ．{3， 2}D ．{3，0，1，2}【答案】B 【解析】分析：由{}1P Q ⋂=求出a 的值，再根据题意求出b 的值，然后由并集运算直接得答案. 详解：由{}1P Q ⋂=，2log 1a ∴=，即2a =，{}{},2,1Q a b ∴==，则{}3,2,1P Q ⋃=. 故选：B.点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题.12．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图， 可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA ∴=，∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 二、填空题：本题共4小题 13．已知X 的分布列为 X －11 P1213a设23Y X =+，则E (Y )的值为________ 【答案】73【解析】 【分析】先利用频率之和为1求出a 的值，利用分布列求出()E X ，然后利用数学期望的性质得出()()23E Y E X =+可得出答案．【详解】由随机分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，因此，()()()723233E Y E X E X =+=+=.故答案为7 3 .【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．14．已知随机变量ξ服从正态分布()22,σN，()40.84ξP≤=，则()0ξP≤=．【答案】0.16【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布()22,σN，所以正态曲线的对称轴为2x=.由()40.84ξP≤=及正态分布的性质，()0ξP≤=1-()410.840.16.ξP≤=-=考点：正态分布及其性质.15．已知直线()():21440l m x m y m++-+-=上总存在点M，使得过M点作的圆C：222430x y x y++-+=的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是______．【答案】210m-≤≤【解析】分析：若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离22222442m+2+(1)m m mdm--+-+-=≤-（），即可求出实数m的取值范围．详解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故222,MC=+=，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l的距离22222442m+2+(1)m m mdm--+-+-=≤-（），即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案为：﹣2≤m≤10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出22222442m+2+(1)m m mdm--+-+-=≤-（）.16．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人． 【答案】140 【解析】根据题意可得抽样比为501,75015= 则这次抽样调查抽取的人数是()114507509002100140,1515++=⨯= 即答案为140.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023—2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（）A.12B.18C.20D.1202.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.36B.45C.72D.903.已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（）A.-2B.-1C.1D.24.已知等比数列的前项和，则（）A.-1B.1C.-2D.25.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量，当充分大时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的均值､方差分别与随机变量的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为，则估计射击命中次数小于336的概率为（附：）若，则，.B.0.9773C.0.8414D.0.5在上单调递增，则实数的取值范围为（A.0.99876.已知函数A ）.B.C.D.7.某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（）A. B. C. D.8.已知，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（）A.时，弹簧振子的位移为B.时，弹簧振子的瞬时速度为C.时，弹簧振子的瞬时加速度为D.时，弹簧振子的瞬时速度为10.已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（）A.变量的样本相关系数为正数B.经验回归直线恒过C.每增加1个单位，平均减少1.6个单位D.样本数据对应的残差的绝对值为0.211.设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中含项的系数为__________.13.若曲线与总存在关于原点対称的点，则的取值范围为__________.14.南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”微章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为__________；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：成绩学生人数6102473选修读课程人数03953（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；获奖没有获奖合计选修阅读课程不选阅读课程合计（2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82816.（15分）已知函数.（1）当时，求过点且与图象相切的直线的方程；（2）讨论函数的单调性.17.（1.5分）已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，证明：.18.（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.（1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；（2）记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列；（3）记恰好在第次取出第二个白球的概率为，求.19.（17分）已知函数存在两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：.2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题 C C A D 二、 B D C A 选择题10.BCD 9.ABD 11.AC 三、填空题12.−80 113.(,]e −∞414.()n −1L 3L 2四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································3分零假设为H 0：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，2 50(828212)25χ2=××−× ≈> =8.3337.879.×××203010403·······························6分根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H 0不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.····························7分（2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则···································8分1231C C 82C 10 2137C C 82P X (1)===15，P X (2)===15C 10，C 8373P X (3)===15C 10，········································11分所以,随机变量X 的分布列为: 17712所以E X ()123=×+×+×=1515155. ··························13分2()(21)e 2′16.解：（1）当a =−2时，f x x x =−+x，所以f x x ()(1)e x . ·········1=−分x y 002设切点为(,)，则y x x =−+(21)e x0000 2，k x =−(1)e x00，获奖没有获奖合计 选修阅读课程81220不选阅读课程22830合计1040500 22000(21)e(1)e ()x x所以，切线方程为y x x x x x 0. ························3−−+=−−分2将(1,0)代入得(1)0，解得x 0=0或x 0=1. ·····························5x x 00−=分故过(1,)的切线方程为y =0或x y +−=10.················································70分′2()(2)e (1)e (1)(1)e （2）f x x a x ax x a x x x x . ·····················8=++++=+++分 ′=+2′当a =0时，f x x ()(1)e x ，恒有f x ()0，函数f x ()单调递增.·········10≥分a ′当a >0时，−−<−11，当x a ∈−∞−−(,1)，或x ∈−+∞(1,)时，f x ()0，>函′数f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.····12<分a(1,)′当a <0时，−−>−11，当x ∈−∞−(,1)，或x a ∈−−+∞时，f x ()0，>函数′f x ()单调递增，当x a ∈−−−(1,1)时，f x ()0，函数f x ()单调递减.·······14<分a 综上，当a =0时，f x ()在R 上单调递增，当a >0时，f x ()在(,1)，−∞−−(1,)−+∞a −−−上单调递增，在(1,1)上单调递减，当a <0时，f x ()在(,1)，−∞−(1,) a−−+∞ a 上单调递增，在(1,1)上单调递减−−−.······························15分17.解：（1）由题意可知，b b a ，即b 2−=−11，故b 2=0. ························1212−=分由b b a ，可得a 3=1. ······················································2323−=分a n 所以数列{}的公差d =2，所以a n n 12(2)25. ······················3n =−+−=−分−n n n 1−=n n n 121−=由b b a ，b b a −−−， ，b b a 212−=，(1)(125)n n 2n n −−+−叠加可得b b a a a −=+++=123 ，2整理可得b n n n =−+≥44(2)；当n =1时，满足上式n ，2所以b n n =−+44················································································5n 分N m n ∗m n −=− 2(2)5n 2−+（2）不妨设a b m n =∈(,)，即25(2)2，可得m =，········6分=2 2924当n k 时，m k k 2=−+，不合题意，2当n k =−21时，m k k k k =−+=−+∈N ∗，································72672(3)7分 所以b 21在数列{}中均存在公共项a k −n ，135721又因为b b b b =<<< ，所以c n =b n =−(21)2.·································9n +分 514（3）当n =1时，T 1=<············································10，结论成立，分 2111111(21)(22)241n =<=−当n ≥2时，c n n n n n()，·····················12−−×−分1111111(1所以T n <+−+−++−n n 43351)− 114n 515444=+−1(1)n =−<，5.综上，T n <4··················································15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”， 333311则P A ()=×+×=666520，············································2分333=× ()6 P ABP AB ()=6510，所以P B A (|)P A ()11==；··································4分（2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则··············································5分 3331P X (0)==××=6668， 33333333391P X (1)++==××××××=655665666200,32333233237P X (2)++==××××××=654655665100,3211P X (3)==××=65420，10分（3）由题意可知，前n −1次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()] 65665665n n n−−−P n =×+××++×× ···························12分 233232333333=[()()()()]××+×+×+65565656−−−−n n n n = 22213555()[1()()]55666×+++−−n n 51()136555 n −52131()n −2−−−n n 11n n ≥∈N 1−6*=×=×−2[()()](2,).····················16分31n n 11n n ≥∈N 52−−*所以P n =×−2[()()](2,).··································17分19.解：（1）函数f x ()定义域为(0,)+∞，11x x x+′()ln (1)1(ln )1f x a x a x a x =++⋅+=++，····································1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−， 令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分 因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分 所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分 由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=， 因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ， 注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

2023～2024学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案及评分标准一、选择题C C AD B D C A 二、选择题9. ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题12.80− 13.1(,]e −∞ 14.14()3n L −2L 四、解答题15.解：（1）根据已知条件，可得：······················································ 3分零假设为0H ：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联， 根据列联表中数据计算得到，2250(828212)25==8.3337.879203010403χ××−×≈>×××. ······························· 6分 根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.···························· 7分 （2）由题意可知X 的可能取值为1,2,3,则 ··································· 8分12823101(1)15C C P X C ===，21823107(2)15C C P X C ===， 383107(3)15C P X C ===， ········································ 11分 所以,随机变量X 的分布列为:所以17712()1231515155E X =×+×+×=. ·························· 13分 16.解：（1）当2a =−时，2()(21)e xf x x x =−+，所以2()(1)e x f x x ′=−. ········· 1分 设切点为00(,)x y ，则02000(21)e xy x x =−+，020(1)e xk x =−， 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程2 28 30 合计104050所以，切线方程为00220000(21)e(1)e ()x x y x x x x x −−+=−−. ························ 3分将(1,0)代入得200(1)0x x −=，解得00x =或01x =. ····························· 5分 故过(1,)0的切线方程为0y =或10x y +−=. ················································ 7分（2）2()(2)e (1)e (1)(1)e x x x f x x a x ax x a x ′=++++=+++. ····················· 8分当0a =时，2()(1)e x f x x ′=+，恒有()0f x ′≥，函数()f x 单调递增. ········· 10分 当0a >时，11a −−<−，当(,1)x a ∈−∞−−，或(1,)x ∈−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ···· 12分 当0a <时，11a −−>−，当(,1)x ∈−∞−，或(1,)x a ∈−−+∞时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当(1,1)x a ∈−−−时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减. ······· 14分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,1)a −∞−−，(1,)−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减，当0a <时，()f x 在(,1)−∞−，(1,)a −−+∞上单调递增，在(1,1)a −−−上单调递减. ······························ 15分17.解：（1）由题意可知，212b b a −=，即211b −=−，故20b =. ························ 1分 由323b b a −=，可得31a =. ······················································ 2分 所以数列{}n a 的公差2d =，所以12(2)25n a n n =−+−=−. ······················ 3分由1n n n b b a −−=，121n n n b b a −−−−=， ，212b b a −=， 叠加可得 123(1)(125)2n n n n b b a a a −−+−−=+++=，整理可得 244(2)n b n n n =−+≥；当1n =时，满足上式，所以244n b n n =−+ ················································································ 5分（2）不妨设(,)m n a b m n ∗=∈N ，即225(2)m n −=−，可得2(2)52n m −+=， ········ 6分当2n k =时，29242m k k =−+，不合题意， 当21n k =−时，22672(3)7m k k k k ∗=−+=−+∈N ， ································ 7分所以21k b −在数列{}n a 中均存在公共项，又因为1357b b b b =<<< ，所以n c =221(21)n b n +=−. ································· 9分 （3）当1n =时，1514T =<，结论成立， ············································ 10分 当2n ≥时，2111111()(21)(22)241n c n n n n n=<=−−−×−， ····················· 12分所以1111111(1)43351n T n n <+−+−++−− 111(1)4n =+− 515444n =−<， 综上，54n T <. ·················································· 15分18.解：（1）记事件A =“第2次取出的小球为黑球”；事件B =“第1次取出的小球为白球”，则333311()666520P A =×+×=， ············································ 2分 333()=6510P AB =×，所以()6(|)()11P AB P B A P A ==； ·································· 4分 （2）由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，则 ·············································· 5分3331(0)6668P X ==××=， 33333333391(1)++655665666200P X ==××××××=, 32333233237(2)++654655665100P X ==××××××=,3211(3)65420P X ==××=，10分（3）由题意可知，前1n −次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：23233333332[()()()]65665665n n n n P −−−=×+××++×× ··························· 12分233232333333=[()()()()]65565656n n n n −−−−××+×+×+ =22213555()[1()()]55666n n −−×+++ 121151()13316()2[()()]5555216n n n n −−−−−=×=×−−*(2,)n n ≥∈N . ···················· 16分 所以11312[()()]52n n n P −−=×−*(2,)n n ≥∈N . ·································· 17分19.解：（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，11()ln (1)1(ln )1x f x a x a x a x x x+′=++⋅+=++， ···································· 1分显然0a ≠，令()0f x ′=，可得11ln x x x a++=−， 令1()ln x t x x x +=+，由()f x 有两个不同极值点得1()t x a =−有两个不同的正根. ·· 3分 因为22111()x t x xx x−′=−=. 当(0,1)x ∈时，()0t x ′<，()t x 单减，(1,)x ∈+∞时，()0t x ′>，()t x 单增.················································································ 5分 所以()t x 的极小值即最小值(1)2t =，又当0x →时，()t x →+∞，且x →+∞时，()t x →+∞，所以12a−>，即102a −<<. ··········································· 6分（2）设12,x x 为函数()f x 的极值点，由（1），不妨设121x x <<，下证122x x +>.要证：2121x x >−>，只要证21()(2)t x t x >−.令()()(2)(01)g x t x t x x =−−<<. ···························· 8分因为22222114(1)()()(2)0(2)(2)x x x g x t x t x x x x x −−−−′′′=+−=+=<−−. ··········· 10分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0g x g >=，故21()(2)t x t x >−，即122x x +>. ························· 11分 由（1）可知，在1(0,)x 上，1()(())0f x a t x a′=+<，()f x 单调递减，在12(,)x x 上，()0f x ′>，()f x 单调递增，在2(,)x +∞上，()0f x ′<，()f x 单调递减，又因为(1)0f =，所以1()(1)0f x f <=， 因为102a −<<，所以12a <−，所以12e e 1a −<<，而11111(e )(e 1)ln e e 12e 0a a a a af a =++−=>，所以()f x 在11(e ,)ax 上存在点3x ，使得3()0f x =， ····························· 13分同理2()(1)0f x f >=，又12a−>，12e e 1a −>>， 1111(e )(e1)ln ee120aaaaf a −−−−=++−=−<，所以()f x 在12(,e )ax −上存在点4x ，使得4()0f x =， ····························· 14分故()f x 存在3个零点34,1,x x ， 注意到111111()(1)ln 1((1)ln 1)()f a a x x x f x x x x x x x =++−=−++−=−， · 15分所以341x x =，所以343312x x x x +=+>. ··································· 16分所以123415x x x x ++++>，即5m n +>. ···································· 17分。

山东省烟台市2022届数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO交抛物线的准线于点C ，若3AF BF =,||3AC =，则抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．23y x =D ．24y x =【答案】C 【解析】分析：先求得直线直线AB 的倾斜角为3π，再联立直线AB 的方程和抛物线的方程求出点A,B 的坐标，再求出点C 的坐标，得到AC||x 轴，得到3322pp +=，即得P 的值和抛物线的方程. 详解：设3AF BF ==3a,设直线AB 的倾斜角为α，所以直线的斜率为31cos ,323a a a a παα-==∴=+.所以直线AB的方程为)22p y x p =-=-.联立22223122030,,.262A B y pxp x px p x P x y p ⎧=⎪∴-+=∴==⎨=-⎪⎩,,3A B y y p ∴==-所以36OB p k p ==-OB方程为y =-， 令x=-3,,,||3,222C C A p p y y y AC x p ∴=∴=∴∴+=轴， 所以23,3.2p y x =∴=故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圆锥曲线题目时，看到曲线上的点到焦点的距离（焦半径），要马上联想到利用圆锥曲线的定义解答. 2．设(1)24i z i +=-，则2z = （ ） AB ．10C．D ．100【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z 为a bi +的形式，然后求得2z 的表达式，进而求得2z . 【详解】()()()()2412413111i i i z i i i i ---===--++-，2216986z i i i =++=-+，210z =.故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.3．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得ω；再平移后，根据关于y 轴对称可求得ϕ的值，进而求得解析式。

山东省烟台市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．122.8(12)x -展开式中第5项的二项式系数为（ ） A ．56 B ．70 C ．1120 D ．1120-3.自2020年起，山东夏季高考成绩由“33+”组成，其中第一个“3"指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94.己知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x <<（ ） A ．0.6826 B ．0.1587 C.0.1588 D ．0.34135.设随机变量X 的分布列为1()(1,3,5,7)4P X k k ===则()D X （ ） A ．3 B ．4 C.5 D ．6 6.下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ⑨设随机变量(2,4)X N :，则1()2D X 的值等于2； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④ C.②④ D ．①④ 7.已知函数()f x 与()fx '的图象如图所示，则函数()xf x y e =（ ）A ．在区间(1,2)-上是减函数B ．在区间31(,)22-上是减函数 C. 在区间1(,3)2上是减函数 D ．在区间(1,1)-上是减函数 8.可以整除632123n n --+其中（n N *∈）的是（ ）A ．9B ．10 C.11 D ．12 9.下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征； ②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，X 与Y ，有关系的把握程度就越大；其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．410.在2310(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中，含2x 项的系数为（ ）A ．45B ．55 C.120 D ．165 11.设函数()2ln 2a f x x x bx =+-，若1x =是函数()f x )的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞ C.(,0)-∞ D ．(,0]-∞ 12.已知定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x R ∈都有()3()2ff x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[1,2]-上与函数()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞ C.[0,)+∞ D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为 ． 14.加工某种零件需要两道工序，第一道工序山废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为 ． 15.NBA 总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为 ．16.已知函数()2(3)x f x x e =-，给出以下结论：①曲线()y f x =在点(0,3))处的切线方程为310x y -+=； ②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行； ③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤≥或36m e -=-其中所有正确结论的序号为： ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知2220122(12)()nn n x a a x a x a x n N *+=++++∈L（1）求0242n a a a a ++++L 的值；（2）当5n =时，求(0,1,2,,2)k a k n =L 的最大值；18.食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点．某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：(1)请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断：能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？(2)从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数ξ的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：19.随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具．为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况；某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：(1)求y 关于x 的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；(2)为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过APP 向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券．已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是111,,236，且每次获得骑行券的面额相互独立．若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：()()()121ˆ==--=-∑∑n iii nii x x y y bx x 1221==-=-∑∑ni ii nii x y nx yxnx，ˆˆ=-ay bx 参考数据：6110400i ii x y==∑，62111350i i x ==∑20. 已知函数()2(1)2xf x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）．(1)当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； (2)当0a >时，讨论函数()f x 的单调性21. “微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK 或点赞．现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”．(1)将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率，从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X 为“运动型’’用户的人数，求(3)P X ≤和X 的数学期望；(2)现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人．从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望． 22.已知函数()ln ()af x x x a R x=++∈． (1)若函数()f x )在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数()2()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不间的极值点，记作1x ，2x 且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）。

2022年山东省烟台市第二十三中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5参考答案：A【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．2. “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和，S n 为{a n}的前n项和，则A. 1024 B. 1023 C. 512 D. 511参考答案：B【分析】依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第行各个数之和的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出【详解】由题可得：，，，，，依次下推可得：，所以为首项为1，公比为2的等比数列，故；故答案选B【点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题。

3. 关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B ．（﹣4，0] C ．[0，4）D ．（﹣4，0）参考答案：B【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．4. 观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C5. 如右图，阴影部分面积为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 下列说法中运用了类比推理的是（）A. 人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为0.5B. 在平面内，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4.从而推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为1:8C. 由数列的前5项猜出该数列的通项公式D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数参考答案：B【分析】根据归纳推理、类比推理、和演绎推理对四个选项逐一判断，最后选出正确的答案.【详解】选项A:是归纳推理；选项B：是类比推理；选项C:是归纳推理；选项D:是演绎推理.【点睛】本题考查了类比推理，熟练掌握归纳推理、类比推理、和演绎推理的定义是解题的关键.7. 已知多项式f（x）=4x5+2x4+3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8，用秦九韶算法算f（5）时的V1值为( )A．22 B．564.9 C．20 D．14130.2参考答案：A考点：秦九韶算法．专题：算法和程序框图．分析：利用秦九韶算法可得f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，即可得出．解答：解：∵f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，∴v0=4，v1=4×5+2=22．故选：A．点评：本题考查了秦九韶算法，属于基础题．8. 已知垂直时k值为 ( )A．17 B．18 C．19D．20参考答案：C9. 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。

山东省烟台市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法正确的是（）A . a与|a|是集合A中的两个不同元素B . 方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的解集有3个元素C . 抛物线y=x2上的所有点组成的集合是有限集D . 不等式x2+1≤0的解集是空集2. （2分）已知，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·赣州模拟) 秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（）A . ﹣0.6B . ﹣0.69C . ﹣0.7D . ﹣0.714. （2分）设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m⊥，，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④5. （2分） (2016高一下·潮州期末) 有线性相关关系的两个变量x与y有如表对应关系，则其线性回归直线必过点（）x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0A . （4，5.5）B . （4，5）C . （5，5）D . （6，7）6. （2分）已知M（﹣2，7）、N（10，﹣2）， =2 ，则P点的坐标为（）A . （﹣14，16）B . （22，﹣11）C . （6，1）D . （2，4）7. （2分）(2017·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 24πB . 12πC . 8πD . 6π8. （2分） (2016高三上·吉安期中) 已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A . [ ，5]B . [0，5]C . [0，5）D . [ ，5）9. （2分） (2019高一下·上海月考) 已知与函数下列说法正确的是（）A . 互为反函数B . 都是增函数C . 都是奇函数D . 都是周期函数10. （2分） (2016高一下·抚州期中) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B=60°，△ABC的面积为3 ，那么b等于（）A . 2B . 2C .D .11. （2分）与双曲线有共同的渐近线,且经过点P(1,4)的双曲线方程为（）A .B .C .D .12. （2分）设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为（）A . 12B . 16C . 18D . 20二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时， ________.14. （1分）设a= 2cosxdx，则二项式（ax3﹣）6展开式中不含x3项的系数和是________．15. （1分） (2017高二下·桂林期末) 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为________．16. （1分）(2017·福州模拟) 已知直线3x+4y+c=0与圆心为C的圆x2+（y﹣1）2=2相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数c等于________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2 sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；（2）若x∈[﹣， ]，求f（x）的最大值和最小值．18. （10分） (2019高二上·榆林期中) 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．（1）求等比数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和Tn.19. （10分） (2019高二上·双鸭山期末) 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。