3-1微分中值定理

f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ) . ba 注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
特别: 当f (a ) f (b)时，Lagrange 定理就是 Rolle定理.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
( x0 ) f ( x0 ) 0 故必有 f ( x0 ) f
二、微分中值定理
1、罗尔（Rolle）定理
罗尔 （Rolle） 定理 设函数 f ( x )满足在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续, 在开区间( a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值 相 等 ， 即 f (a ) f (b) , 则 在 (a , b ) 内 至 少 有 一 点 (a b ), 使得函数 f ( x )在该点的导数等于零， 即 f ( ) 0
y x , x [0,1].
2、拉格朗日（Lagrange）中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
( 2) (1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
如图：
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
注意：1）函数的极值与最值的区别； 2）同一函数的极小值有可能大于极大值；
定理（ 1 Fermat定理）：若函数 f ( x )在x0 (a , b) 处取得极值，且在 x0处可导，则 f ( x0 ) 0.
例9
证明: 当x 1时，e x xe
例10 证明方程4ax 3 3bx 2 2cx a b c
在(0,1)内至少有一个根 .
例11 设f ( x )在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 1 f ( ) f (1) 0, 证明： (0,1), 使得f ( ) 例12 证明 : 当0 x 1时，e 2 x 1 x 1 x 例13 设f ( x )可导，证明在 f ( x )的两零点间一定 存在x , 使得f ( x ) f ( x ) 0
'
(1)
例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
f ( x )在x0处取得极大值 , 且可导 证明：不妨设
则N ( x0 , ) (a, b), 使得x N ( x0 , ), 有f ( x ) f ( x0 )
f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) 0 若x ( x0 , x0 ), 则 0, 有f x x0 f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) 0 若x ( x0 , x0 ), 则 0, 有f x x0
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
x
.
设 g( x ) x 2 ,
则 f ( x ), g( x ) 在[0,1]上满足柯西中值定理的 条件,
在(0,1)内至少存在一点 , 有
f (1) f (0) f () 1 0 2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
例7
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
y
C
M N
y f ( x)
B
A
D
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
例4 设f ( x )在0,1上可导， 0 f ( x ) 1, f ( x ) 1
证明：在(0,1)内存在唯一点 ，使f ( )
例5
证明： arctan x arctan y x y
3、柯西（Cauchy）中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x ) 及g( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续 , 在开区间(a , b ) 内可导 , 且
又 f (1) f ( 2) f ( 3) 0 （1， 2）， 2 （2， 3） 由罗尔定理知： 1
使
f (1 ) f ( 2 ) 0
即1， 2为f ( x ) 0的根.
例2 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
则在 (a , b) 点，则 f ( ) 0.
例1
设f ( x ) ( x 1)( x 2 5 x 6), 证明方程 f ( x ) 0 在（ 1， 2）与（2， 3）内有根。
证明： f ( x )在R上连续可导
例6 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 : 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f ( x ) f (1) f (0) f () 2 1 0 2 ( x )
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2 b
x
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 都有 f () 0. 设 M f (a ), 由此得 f ( x ) 0. (a , b), ( 2) 若 M m . f (a ) f (b ),
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
例3
设f ( x ), g ( x )在a , b上连续，在(a , b)内可微， 证明： (a , b ), 使得 f ( ) g (b ) g ( ) g ( ) f ( ) f (a )
g ( x ) 在( a , b ) 内每一点处均不为零， 那末在(a , b ) 内至
少有一点(a b ) ,使等式
f (b ) f (a ) f ' ( ) ' g(b) g(a ) g ( ) 成立.
特别: 当g( x ) x时，Cauch定理就是 Lagrange 定理.
证 设 f ( x ) x 5 5 x 1,
且 f (0) 1, f (1) 3.
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
证明： 要证的等式可写成
f ( x ) f (a )g(b) g( x ) x 0
于是，令F ( x ) f ( x ) f (a ) g(b) g( x )
易见F ( x )在a , b上连续，在(a , b)内可导, 且F ( a ) F ( b ) 0
第三章
第一节
微分中值定理 及导数应用
微分中值定理
一、函数的极值及必要条件
y y
o
x0
x
o
x0
x
定义
设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是
(a , b )内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.

由罗尔定理知： （a , b), 使F ( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外, 满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间[-2， 2]内找不到一点能
使 f ( x ) 0. 1 x , x (0,1] 又例如, y ; 0, x 0
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]