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相似设计3．4．1系列设计的概念相似理论在产品系列化设计中的应用又称为相似性设计。
同一种产品为了满足不同场合和不同使用者的要求，其规格往往不同。
同一产品不同的规格，表现在尺寸参数不同等各个方面，但这些变化不是随心所欲的，而是要遵循一定的规律。
一般把具有相同功能、相同结构方案、相同或相似加工工艺，但各产I钴相应的尺寸参数及性能指标具有一定的级差（公比）（按一定的规律变化）而形成的一系列不同规格的产品称为系列化产品。
目前，系列化产品在工业、农业、交通运输和家庭生活等各个领域中得到广泛应用，产品的系列化设计也成为广泛应用的设计方法之一。
系列化设计主要有如下好处：(1)系列产品的不同规格仅仅是基于一种规格变化而形成的，这就大大节省了产品的开发周期和成本，提高了产品的性能可靠性。
(2)系列产品在满足用户需求的前提下，遵循适当的参数变化规律可以提高不同规格产品的生产批量，从而使产品质量稳定、成本下降，这对生产企业和用户都是有利的。
(3)对生产和销售企业来说，系列产品便于库存管理；对用户而言，系列产品的使用规定和方法相同，方便了使用。
产品系列设计时，首先是选定某…{r档的产品为基型，对它进行最佳方案的设计，确定其材料、参数和尺寸，然后再按系列设计原理，即通过相似理论求出系列中其他产晶的参数前者称为基型产品，后者称为扩展型产品。
3．4．2 系列产品的构成系列化产品设计的首要工作是研究系列产品的构成规律，其主要内容是确定产品系列中每个规格的尺寸，即尺寸分级和相似比，又称级问比。
然后还要研究产品的加工设备、刀具的分级管理、系列产品的库存管理等问题，这些本书不予涉及。
3．4．2 ．1 级间比的确定系列产品的参数递增方式常用的有两种，一种按自然数排列，其数值递增规律称为算术系列。
另一种是按几何级数排列，称为几何级数系列，又称几何系列。
对算术系列，各级参数的增长的百分比和级间比如表3 -3所示。
结果表明，各级的级间比是不同的，随级数的增加在减小。
相似三角形的判定【教学目标】1．知识目标：（1）经历三角形相似的判定定理(sss)的探索及证明过程。
（2）能应用定理判定两个三角形相似，解决相关问题。
2．能力目标：让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题的能力。
3．情感目标：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐。
【教学重难点】1．重点：本节教学的重点是使学生了解判定定理并学会应用。
2．难点：了解判定定理的证明方法是难点。
【教学过程】一、创设情境，激情导入：1．复习提问：我们已掌握了判定三角形相似的方法有哪些？2．回顾三角形全等的判定方法，然后教师拿出两个大小不等的，但其中一个三角形各边与另一个三角形各边的比相等的三角板，让学生来观察并提问，用前面两种方法(AAA和SAS)能否判定这两个三角形相似呢？学生讨论，教师点评后指出，我们还有方法来来判定两个三角形相似。
进而引入课题。
二、自学环节：1．猜想结论让学生动手实验：（1）让学生任意画ΔABC，再画ΔA'B'C'，使它的各边长是ΔABC的K倍。
（K值由学生自己确定）（2）让学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角相等吗？这两个三角形相似吗？学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨。
在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：同位之间虽然取K值不一样，做的不一样，但是两个三角形的形状一样，是相似的。
此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：“如果两个三角形的三组边的比相等，那么这两个三角形相似”提问：我们通过实验操作得到的猜想在任意情况下都成立吗？让学生体会到：需要证明进而让学生画出图形，写出已知、求证。
设计意图：布鲁纳认为，探索发现是数学教学的生命。
安排学生对三角形的画、剪、拼，让学生动起来，在活动中探索，在活动中学习，符合学生的身心特征和认知规律。
通过学生观察实验，探索猜想，让学生参与到学习过程中，可以优化学习环境，激发学习兴趣，培养学生动手实践能力，提高直觉思维，发展创新能力。
3 相似理论及相似设计方法对应论方法曾是一种古典的理论，近代发展为相似理论，现代又发展为对应论方法学，其中与工程技术的设计和分析直接相关的是相似设计和模拟技术。
而仿真则是模拟技术的高级阶段与数字计算。
3.1相似理论3.1.1相似概念相似是指表述一组物理现象的所有物理量在空间相对应的各点和在时间上各对应的瞬间，各自互成一定的比例关系，并且被约束在一定的数学关系之中。
其中各物理量的相似主要有几何相似、时间相似、运动相似、动力相似、边界条件的相似和其他物理参数的相似等。
3.1.1.1 几何相似相似系统中，任何对应点的坐标之比为常数，称为几何相似，即应满足：X′′X′=Y′′Y′=Z′′Z′=C L(3-1)也就是两现象中，任意相对应线性尺寸之比恒相等，任意两条对应直线间的夹角保持不变。
3.1.1.2 时间相似时间相似是指两现象对应的时间间隔成比例。
或者说，两系统的相应点或者对应部分沿着几何相似的路程运动达到另一个对应的位置时，所需的时间比例是一个常数。
如图3-1所示，有：3.1.1.3运动相似运动相似是指速度或加速度场的几何相似，即相似系统的各对应点在对应时刻上速度或加速度的方向一致，大小互成比例。
如图3-2所示，有：图3-2速度相似3.1.1.4 动力相似动力相似是指力场的几何相似，即相似系统的各对应点处对应时刻的作用力（广义）的方向一致，大小互成比例，即有：F i′′F I′=C F(3-4)3.1.1.5温度相似温度相似是指温度场的几何相似，表现为相似系统各对应点处对应时刻的温度成比例，即有：T i′′T I′=C T(3-5)其他物理参数的相似定义表述形式相同。
常数C L、Cτ、Cω、C F、C T等称为相似常数。
根据一般的数学知识，可以得到相似常数的推论：若u1′′、u2′′和u1′、u1′是同类相似的量，即：u′′u′=u1′′u1′=u2′′u2′=C u则有式(3-1)～式(3-5)是相似现象的单值条件。
相似设计3．4．1系列设计的概念相似理论在产品系列化设计中的应用又称为相似性设计。
同一种产品为了满足不同场合和不同使用者的要求，其规格往往不同。
同一产品不同的规格，表现在尺寸参数不同等各个方面，但这些变化不是随心所欲的，而是要遵循一定的规律。
一般把具有相同功能、相同结构方案、相同或相似加工工艺，但各产I钴相应的尺寸参数及性能指标具有一定的级差（公比）（按一定的规律变化）而形成的一系列不同规格的产品称为系列化产品。
目前，系列化产品在工业、农业、交通运输和家庭生活等各个领域中得到广泛应用，产品的系列化设计也成为广泛应用的设计方法之一。
系列化设计主要有如下好处：(1)系列产品的不同规格仅仅是基于一种规格变化而形成的，这就大大节省了产品的开发周期和成本，提高了产品的性能可靠性。
(2)系列产品在满足用户需求的前提下，遵循适当的参数变化规律可以提高不同规格产品的生产批量，从而使产品质量稳定、成本下降，这对生产企业和用户都是有利的。
(3)对生产和销售企业来说，系列产品便于库存管理；对用户而言，系列产品的使用规定和方法相同，方便了使用。
产品系列设计时，首先是选定某…{r档的产品为基型，对它进行最佳方案的设计，确定其材料、参数和尺寸，然后再按系列设计原理，即通过相似理论求出系列中其他产晶的参数前者称为基型产品，后者称为扩展型产品。
3．4．2 系列产品的构成系列化产品设计的首要工作是研究系列产品的构成规律，其主要内容是确定产品系列中每个规格的尺寸，即尺寸分级和相似比，又称级问比。
然后还要研究产品的加工设备、刀具的分级管理、系列产品的库存管理等问题，这些本书不予涉及。
3．4．2 ．1 级间比的确定系列产品的参数递增方式常用的有两种，一种按自然数排列，其数值递增规律称为算术系列。
另一种是按几何级数排列，称为几何级数系列，又称几何系列。
对算术系列，各级参数的增长的百分比和级间比如表3 -3所示。
结果表明，各级的级间比是不同的，随级数的增加在减小。
表3—3算术系列参数增长的酉分比和级间比对于几何级数系列，没第一级数值为ao，则其各项应分别为：该系列的特点是：(1)级问比为一常数；(2)系列的分级数为n；(3)该系列共有n+1项。
如果把级间比的n次方定为10，则级间比为：(3—85) 级间比由式(3-85)确定的系列称为十进制几何级数系列。
经验表明十进制几何分级是比较实用的。
现将按算术分级和按几何分级得到的两种直径系列的球示于图3-4。
从中可以看出，按算术分级给出的球体直径系列分布很不均匀，有的区域出现了空白，而有的区域分级密集，这对于产品的设计当然是不利的。
而几何分级分布均匀。
如果把卡进制几何系列的第一项定为1，当n取不同值时，系列相应参数见表3-4，这里，分级数取较小值时称为粗分级，如n=5。
分级数取较大值时，如n=20，称为细分级。
当分级数成倍变化时，细分级包含粗分级。
分级数的选择应根据具体问题的实际需人民币的面值1，2，5，10，是分级数为3时十进制几何级数系列的数值近似，分级它是在考虑了货币的具体要求：面额种类少，便于流通、换算和兑换等各种问题后的确定图3-4算术系列（上）和几何系列（下）的球体直径系列表3—4不同分级数的几何级数系列参数3．4．2．2标准数如前所述，十进制几何相似系列在设计以及其他方面均得到广泛应用。
为便于在工程中的应用，将常用到的n为5、10、20和40时的值进行圆整，并将a o为1时各系列的各项计算出来，对计算结果也进行圆整，但将误差控制在±l%之内。
这些被圆整后的数称为标准数（标准数用NZ表示）。
相应的标准数系列则称为R5、R10、R20和R40基本系列。
在工程技术中运用标准数有诸多优点：(1)零件的尺寸，特别是联接尺寸和配套尺寸，容易实现标准化和国际化。
这就大大方便了国际间的技术交流和没备的使用管理。
在设备制造等方面，可使加工设备、刀具、量具的种类减少，加工精度提高。
另外也便于原材料的生产组织，方便选用。
(2)应用标准数有利于粗分级和细分级系列产品的相互转化。
粗分级系列中的标准数包含于细分级系列标准数中。
当产品系列分级确定之后，产品中零件仍可以根据情况进行分级调整，使其种类减少，增大批量，降低成本。
(3)采用标准数系列有利于在对数坐标上画出标准数曲线，进而方便了系列产品的参数推导。
在几何相似的系列产品中，如果基型产品的长度、面积和体积分别为L0、A0和V0，那么扩展型产品的长度、面积和体积应为：(3-86)式中，i为级间数，为长度尺寸级间比。
对上述各式取对数，有：(3-87) 显然上面的关系在对数坐标系上为三条直线，它们的斜率分别为l、2、3。
利对数坐标系可以方便地进行系列新产品参数的推导。
3．4．3 几何相似系列产品设计系列产品可分为完全相似和半相似两种。
完全相似的系列产品在空间三个方向的尺寸都按相同的长度级间比变化。
其设计过程如下：(l)根据市场需求确定系列的尺寸范围和系列的分级数ft。
细分级能使系列产品的技术特性容易满足用户的不同要求，具有较大的市场覆盖面。
而粗分级可使系列中的每种规格有较大的批量，实现较为经济的加工，降低成本。
在设计之前，应经充分考虑，确定下来。
产品的分级可以在整个尺寸范围内有相同的级间比，也可以各段不同。
就每种规格而言，其全部技术参数也不一定采用同一种级间比。
通常是将全部参数分为主要量和次要量，主要量应细分级，两次要量则粗分级，这就意味着与之相关的零部件也要进行相应的粗细分级。
至于主要量和次要量的区别，则要根据具体情况与产品的功能相结合来确定，如对起重运输设备，其起重量就应作为主要量，而对能量转换设备（泵、电机等），其设备功率则应为主要量。
(2)按产品功能要求，设计基型产品。
基型产品的尺寸和功能参数应居整个系列的中间位置。
(3)根据相似关系，进行相似设计，求得系列中扩展型产品每种规格的技术参数和几何尺寸。
完全几何级数相似设计的系列产品的各种参数的级间比和长度级间比具有一定的关系，如面积，体积，质量等等。
(4)在计算出扩展型产品技术参数和几何尺寸的同时，要考虑到技术和工艺方面的种种限制，如铸件的壁厚、钻孔的直径和深度等，对某些尺寸进行适当调整，这样，这些尺寸就可能偏离标准系列和几何相似。
另外，因尺寸的公差单位，尺寸配合公差级间比应为，但过小的公差会给制造带来困难，所以要从生产工艺、结构尺寸和配合功能综合考虑。
例3-7图3-5所示为一继电器簧片的结构，请对其进行几何相似系列设计。
要求长度L=5~160mm，共16种型号。
解：(1)计算系列尺寸的级间比：（圆整为标准数l。
25）(2)取基型的l =31.5 mrri，优选出相应的结构参数和技术参数见表3-5。
(3)根据相似关系，计算出各参数的级间比。
如尺寸参数：；质量：，级间比弯曲刚度：，级间比（材料相同，）频率：，级间(4)由基型产品参数和各参数级间比计算出扩展型产品的参数，见表3-5。
表3-5 片簧基型参数和各参数级间比例3-8试设计如图3-6所示的套筒联轴器，要求内径φ=2 -20mm，共11个规格。
解：(1)确定基型套筒。
尺寸参数：套筒内径d n=5 mm，外径d w=8mm，总长度l i=16 mm，两销孔间距，l1=8 mm，l2=12.5 mm（两种规格），材料为35号钢。
性能参数：功率P =400W，工作转速n=10000 r/min，扭矩M=O. 4N .m。
配用销：采用标准圆柱销，内径d x=5 mm，长度l x，=8 mm，材料为45号钢，需用剪切应力[T]=54MPa，联接两轴的材料、圆周速度均相同。
(2)根据几何相似，计算长度公比：采用统一的公比有：(3)根据相似原理求相似比方程：则有：由扭矩：则有：由功率：妒P -够村妒，：=1.56(4)根据基型设计参数和相应的公比计算扩展型尺寸参数。
根据基型缩小4级以及增大6级，将结果列入表3-6。
表3-6套筒联轴器的捆似设计结果3．4．4半相似系列产品设计在系列化设计时，一种规格的产品全部零件不一定按同一种相似比变化，往往由于各种图3-7铁水包因素要对相似比进行调整。
下面以炼钢厂的铁水包为例，来探讨半相似系列产品设计问题。
例如一铁水包（图3-7），其主要几何尺寸和技术参数及直径D、容积高度H、耳轴直径d、耳轴拉板厚度6、铁水包容积v、铁水包和铁水总重Ⅳ、耳轴处剪应力r和耳轴轴孔表面压力p。
当铁水包按完似没计时，有：从上面的计算可以看出，当铁水包的结构几何相似时，因结构和容积、重量增长比例不同，耳轴处的剪应力和轴孔处压力是随结构放大而增大的。
如果按相似变化的铁水包的制造材料不变，那么变化了的铁水包有可能因耳轴处应力的增高而不能使用。
因此对此例的铁水包而言，完全几何相似在大范围内是不可行的，而对这种情况，只能采用不同的相似比来进行系列产品设计。
这种具有不同级间比的相似系列称为半相似系列。
下面介绍利用指数方程和指数比较的方法求得半相似系列的相似比。
几乎所有的技术问题都与指数函数有关。
设有一系列技术系统，其第k型某参数可由指数方程来描述：(3-91) 式中，变量Y k为变量X K、Z K的函数；K为项的序号；C为常系数；P x、P z为反映物理关系的物理指数。
如果把Y k、X K和Z k分别用基型参数Y o、X o和Z o以及几何相似比来表示，其相应的级指数分别是y e、X e、Z e，则有：(3-92) 将式(3-92)代入式(3-91)，则有：(3-93)令(3-94)将式(3-94)代入式(3-93)，比较等式两端，有：(3-95)式(3-95)给出了相关变量间的级指数关系。
利用这一关系，可以求得某些参数的未知级指数。
对上述铁水包，重量W的级指数W e与几何尺寸D、H的级指数D e、H e之间的关系为：(3-96) 轴孔处压力和耳轴剪应力的级指数与其他参数的关系为：(3-97)下面来讨论铁水包有关参数在相似设计中的几种变化情况。
(1)完全几何相似。
这时有：(3-98) 由此可见，轴孔压力和耳轴剪应力不能保持为常数，而是按尺寸相似比变化，这和前述结论是相同的。
(2)保持耳轴孔压力和耳轴应力不变，使镱水包的主要几何尺寸完全相似，而只调整耳轴的相似关系。
根据这一要求，应有：也就是说，为保持应力相同，耳轴的尺寸出现了半相似状态。
这是因为当铁水包的主要几何参数几何相似时，其重量按级指数3的速度增长，而面积仅按级指数为2的速度增大。
为保证应力不变，耳轴的相似比要大于才行。
(3)保持耳轴孔压力和耳轴剪应力不变，耳轴几何尺寸也保持完全几何相似，调整铁水包主要几何尺寸的相似关系。
这时有：(3-100)解之，只能得2D e+H e=2 一个方程。
这就是说，满足本要求的相似情况有多种，因D e、H e不可能同时为l，所有情况均属半相似状态。
