2013年考研暑期强化班线性代数讲义--铁军

2013年万学海文线性代数暑期强化精品班考研辅导讲义主讲 铁军 教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一.铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷.特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2013年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航.您的理想将在您我的共同努力下实现.这是我们的信心，也将是您的信心！线性代数线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题.因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用.难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点.概括地讲，线性代数有1条主线，2种运算，3个工具. 即： 一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行(列)变换；三个工具是行列式，矩阵，向量(组).第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握.考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，应用广泛.一、考研知识结构网络图性 质计 算错位展开式 互换性质：行列式的两行(两列)互换，其值变号 数乘性质：若行列式的某行(某列)有公因子k ，则可把公因子k 提到行列式外面 倍加性质：某行(某列)的k 倍加到另一行(另一列)的相应元素上去，行列式的值不变 加法性质：某行(列)的所有元素均为两项之和，则行列式可拆为两个行列式之和 1122i i i i in in A a A a A a A =+++ (按i 行展开)1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++ (按j 列展开) 11220i j i j in jn a A a A a A +++= (i j ≠)数字型 抽象型 公式法，三角化法，递推法 利用行列式性质；利用方阵行列式性质； 利用特征值 123n A λλλλ=展开式真理往往朴素，以致人们不相信它.——列·瓦尔特二、相应知识点精讲定义1.1 n 阶行列式12121211121!21222(,)12,12(1)n n nn n n p p p p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==−∑即：2n 个数构成的n 阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和.一共有!n 项，一半带负号，一半带正号.其中n p p p ,,21为任意一个n 级排列，),,(21n p p p τ为n 级排列n p p p ,,21的逆序数.我们知道n 级排列一共有!n 种.性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变.这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的.通常，人们把一个行列式的第i 行元素依次写成第j 列(1,2,3,,i n = )的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式.如果原行列式记作D ，则其转置行列式记作TD .由性质1知，TD D =.性质1.2. 互换性质：行列式的两行(两列)互换，其值变号. 也就是说，交换行列式两行 (两列)的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数.性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行(某列)有公因子k ，则可把公因子k 提到行列式外.即： 行列式的定义行列式的性质111211112112121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =. 若把上述等式反过来看，即：111211112112121212nni i in i i in n n nn n n nna a a a a a k a a a ka ka ka a a a a a a =， 也可认为：数k 与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k . 性质1.4. 倍加性质(消法性质)：把行列式某行(某列)的所有元素的k 倍，加到另一行(另一列)的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值.性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行(列)的所有元素均可写成两个加数的和，即该行(列)有两个分行(分列)，则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行(分列)为该行(列)，其他行(列)与原行列式相同.定理1.1 n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ (1,2)i n = (1.1) 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ (1,2)j n = (1.2)定理1.2 n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =行列式按行、按列展开法则某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220i j i j in jn a A a A a A +++= ， i j ≠ (1.3) 11220i j i j ni nj a A a A a A +++= ， i j ≠ (1.4)三、典型例题剖析【考点一】形如，，的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算.【例1】n 阶行列式11223110000000000_____________________00000n n n nna b a b a D a b b a −−==.【考点二】 形如122221211112111n n n n n n x x x x x x x x x −−−的行列式称为范德蒙行列式.范德蒙行列式的特 点是：其每列元素211,,,,n i i ix x x − 按i x 的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素数字型行列式12,,,n x x x 分别为每列元素的公比，且第一行元素为1. 范德蒙行列式的值为122221221313212111112111()()()()()()n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −−−−=−−−−−− 【例2】计算四阶行列式2223331234123412349876D =.【考点三】形如的行列式称为三对角型(三斜线形)行列式.三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零.对于这类三对角型行列式通常可用递推法.【例3】(东北大学，2003年)当αβ≠时，n 阶行列式00100_____________01000001n D αβαβαβαβαβαβ++==++.【例4】n 阶行列式22222100021000210_____________00021002n a a a a aD a a a a== .【详解】化为上三角形行列式或用递推法：222222121321012221122aa a a a a a a a A a aa a==2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a nn a n+ ==⋅⋅⋅=++ …如果用递推法则有：按第一列展开有2122n n n D aD a D −−=−，则 211221()()n n n n n n D aD a D aD a D aD a −−−−−=−=−=【考点四】形如⋅，⋅的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零.对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上(下)三角型行列式进行计算.【例5】计算n 阶行列式(3)n >011110101n x x D x x xx=.【考点五】行列式计算的一般方法是降阶，但是对于某些特殊的n 阶行列式，如果该行列式除对角线(或次对角线)上的元素外，其余的每行(或每列)元素成比例，则可以加上一行一列使之变成1n +阶行列式，使消零化简更为方便，且化简后常变成箭形行列式.这一方法称为升阶法或加边法. 【例6】计算n 阶行列式21213112122322213233321231111n n n n n n nnx x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x ++=++.【详解】该行列式除对角元外，各列元素均与12(,,,)Tn x x x 成比例.212131122112111223222221222132333221212310001111111n n n n n n n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==++++22121112221211000100100010101001001n nn nnx x x x x x x x x x x x x −−−+++===+++.【考点六】相邻两行(列)元素相差k 倍的行列式计算：采用前行(列)减去后行(列)的k 倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素，使之化简. 【例7】计算n 阶行列式221132214323423111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a aa a a −−−−−−−−−−=. 【详解】这是相邻两行(列)相差倍数a 的行列式，可采用前行(列)减去后行(列)a 倍的方法化简.1231100000100000100(1)000101n nn n n n n n a a a D a a aa a a −−−−−==−−.【考点七】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，则 (1)A O A C AB CBOB==；(2)(1)mn O AC AA B B CB O==−⋅.【例8】设A 为n 阶矩阵，,αβ为n 维行向量， ,,a b c 为常数，已知A a =，0Tb Aαβ=，则________.Tc Aαβ=【例9】设,A B 均是n 阶矩阵，2*14,,()A B A a B b C A B O −⎛⎞===⎜⎟⎝⎠，则_________.C =【考点八】若行列式中含有变量x ，则该行列式展开后成为关于x 的多项式，可考查该多 项式的次数、零点等问题.【例10】(同济大学，2002年)设行列式2222134526032113212x x −−−=−−+−−，求.x【考点九】计算抽象矩阵的行列式：主要利用下列性质： 设A 为n 阶矩阵，则有1、 设i α为3维列向量，i β为3维行向量，则1231241234αααααααααα+=+， 1112223434ββββββββββ+=+.2、nkA k A =.3、,kkAB A B A A ==. 4、,()TTTT A A A BA B A B =+=+=+.5、设A 为n 阶可逆矩阵，则11AA−=. 6、1*n A A−=.7、若A 为n 阶矩阵，i λ为A 的特征值,1,2,,i n = ，则12n A λλλ= .【例11】设4阶矩阵234234A αγγγ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，234B βγγγ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，其中234,,,,αβγγγ均为4维行向量，且已知8, 1A B ==，则___________A B −=.【例12】设100220345A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，*A 为A 的伴随矩阵，则1*1()15________.4A A −−=【例13】设4阶矩阵A 和B 相似，如果*B 的特征值是1,1,2,4,−则*________.A =【例14】(华东师大，2002年)计算n 阶行列式：44441222122212221222x x x x x【考点十】1．行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式111111j ni ij in n nj nna a a a a a a a a(2)n ≥中，取元素ij a ，其中ij a 表示位于该行列式中第i 行、第j 列的一个元素，我们去掉ij a 所在的第i 行和第j 列的所有元素，把剩余的2(1)n −个元素按其原来的位置关系组装成一个新的1n −阶行列式，记作ij M ，并称其为原行列式中元素ij a 的余子式.因为在该行列式中一共有2n 个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个n 阶行列式一共有2n 个余子式. 如果在元素ij a 的ij M 余子式之前加上符号，则称其为元素ij a 的代数余子式，记作(1)i jij ij A M +=−. 将(1)i j ij ij A M +=−两边都乘以(1)i j +−得2(1)(1)(1)[(1)]i j i j i j i j ij ij ij ij A M M M ++++−=−−=−=，因此，(1)i jij ij M A +=−.2．行列式元素的代数余子式的性质和特点：设行列式111111j ni ij in n nj nna a a a a a D a a a =(2)n ≥，则 (1) ij A 和ij a 的大小无关；(2) 1122i i i i in in a A a A a A D +++= (称为行列式按第i 行展开)，1122j j j j nj nj a A a A a A D +++= (称为行列式按第j 列展开)(,1,2)i j n =(3) 11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ . 这表示行列式一行的元素分别与另一行 相应元素的代数余子式的乘积之和为0.(4) 利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和1122i i n in b A b A b A +++ 的方法：替换法.所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉 代数余子式12,,,i i in A A A 所在的第i 行的所有元素，换成代数余子式12,,,i i in A A A 前面 的系数12,,,n b b b ，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的n 阶行列式，即11121112112212j nj n i i n in n n nj nna a a ab b b b b A b A b A a a a a +++=. 3. 方阵的伴随矩阵：设方阵111212122212n n n n nn n n a a a a a a A a a a ×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ，则*212221212111212222111211A A A A A A A A A A A A A A A A A A A nn n nn n Tnn n n n n =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛称为方阵A 的伴随矩阵.其中：ij A 为方阵A 的行列式A 的ij a 的代数余子式.【评注】1.在A 中第i 行的代数余子式在伴随矩阵*A 中是第i 列. 2.求ij a 的代数余子式ij A 时，不要忘记所带的正负号ji +−)1(.3.ij a 的代数余子式ij A 与元素ij a 本身的大小没有关系.4.伴随矩阵的性质：E A A A AA ==**.【例15】 设1222324213233343142434442222,a a a a A a a a a a a a a a == 计算4411ij i j A ==∑∑.【例16】设4阶行列式2134102315211152−，求132343A A A ++.【例17】若A 是n 阶可逆矩阵，A a =，且A 中各行元素之和都是b ，则A 中代数余子式之和11211___________.n A A A +++=【详解】因为A 中各行元素之和都是b ，所以 111b b A b ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ .由于可逆，因此0b ≠.又 1**1111b a b b b b b A A A a A b b b a −⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ，*111111a A b ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ，即 112111222212111111n n nnnn A A A A A A a b A A A ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ， 所以 11211n a A A A b +++= .把一页书好好地消化，胜过匆匆忙忙地阅读一本书.——麦考莱第二章矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用.学习线性代数的目标之一，就是要学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题.矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩.以计算题为主，技巧性强.矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题.一、考研知识结构网络图性质 逆矩阵秩初等矩阵等价概念 求法 初等变换最高阶非零子式的阶数 定义法，初等变换法初等变换不改变矩阵的秩 将单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵：ij E ，(())E i k ，(,())E i j k 矩阵A 经过一系列初等变换得到B ，则A B 等价求法 证法0A ≠秩()A n =特征值全不为零 反证法定义法，初等变换法，伴随矩阵法，分块矩阵法特殊矩阵概念 若AB BA E ==，则1A B −=，1B A −= 伴随矩阵对称矩阵 上(下)三角矩阵对角矩阵**AA A A A E == T A A =⇔a a = 单位矩阵二、相应知识点精讲定义2.1 矩阵的乘法运算：设n s s m B A ××, 则n m ij c C AB ×==)(=nm mn m m n n c c c c c c c c c ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ 212222111211,其中： ∑==++=sk kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211 ；即：ij c 等于第1个矩阵的第i 行和第2个矩阵的第j 列的对应元素乘积之和.【评注】1、B A ,可以作乘法的条件是第1个矩阵列数=第2个矩阵行数(称为相配的)2、矩阵的乘法运算和数的乘法运算不同，一定不能和数字运算搞混：(1)矩阵乘法没有交换律：一般BA AB ≠，因为AB 相配，但BA 不一定相配.即便相配也未必相等.因此矩阵相乘时要注意运算次序.例如：因为111246121133,113446341177⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，所以 1112121111343411⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠. (2)矩阵乘法不满足消去律，即由,AB AC =且0A ≠，不能推出B C =.因此，大家在遇到,AB AC =且0A ≠时，不能随便约分，但可以移项变为()0A B C −=.例如：因为 112324111424,,110124111024⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠所以 1123111411011110⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，且11001100⎛⎞⎛⎞≠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，但是 23140110⎛⎞⎛⎞≠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. (3)若0=AB ，不能推出0=A 或0=B .00=⇒/=A A k.例如： 111100,111100−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠但 11001100,11001100−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞≠≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠. 定义2.2 方阵的幂和矩阵多项式：设A 为方阵，kA A A A A =⋅⋅ 称为A 的k 次幂，0k =时规定0A E =. 设A 为方阵，若()p x 是x 的n 次多项式111()nn n n p x ax a xa x a −−=++++ ，则称111()n n n n p A aA a A a A a E −−=++++ 为A 的矩阵多项式.这里要特别注意常数项n a ，一定要在()p A 中变为n a 乘单位矩阵E .注意：一般(),nnnAB A B ≠只有,A B 可交换时，才有(),nnnAB A B =但当()n n n AB A B =时不能推出,A B 可交换.定义 2.3 矩阵的转置：把n m A ×的行列互换得到的新矩阵称为矩阵n m A ×的转置，记为m n T A ×)( .转 置 矩 阵定义2.4 方阵的伴随矩阵：设方阵111212122212n n n n nn n n a a a a a a A a a a ×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ，*212221212111212222111211A A A A A A A A A A A A A A A A A A A nn n nn n Tnn n n n n =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛称为方阵A 的伴随矩阵.其中：ij A 为方阵A 的行列式A 的ij a 的代数余子式.【评注】 1.在A 中第i 行的代数余子式在伴随矩阵*A 中是第i 列. 2.求ij a 的代数余子式ij A 时，不要忘记所带的正负号ji +−)1(.3.ij a 的代数余子式ij A 与元素ij a 本身的大小没有关系. 4．伴随矩阵的性质：E A A A AA ==**.定义2.5 方阵的逆矩阵：对于n 阶方阵A ，如果有一个n 阶方阵B ，使E BA AB ==，则称方阵A 是可逆的，并把方阵B 称为方阵A 的逆矩阵.记 1−=A B .【评注】1.只有方阵才有逆矩阵.2.方阵A 的逆矩阵B 和方阵A 对于矩阵的乘法可以交换.3.方阵A 和方阵B 是互为逆矩阵的.4.方阵A 的逆矩阵是唯一的.5.方阵A 可逆⇔0≠A (此时称方阵A 为非奇异矩阵，若0=A ，则称方阵A 为奇异矩阵.)6.若E AB =(或)E BA =，则1−=A B .7.逆矩阵定义中的条件——A 、B 是n 阶方阵，必须满足. 如果只说AB E =，不能说A 可逆.例如：两个长方形矩阵相乘可以是单位矩阵. 例如：两个长方形矩阵相乘可以是单位矩阵：1010110010100100⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎝⎠.定义2.6 单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 性质2.1 因为初等变换有3种，所以初等矩阵也有3种.对比如下：初等行变换(1) 对调两行 初等矩阵(j i r r ↔) ),(j i E (2)用数0≠k 乘以某一行的所有元素(k r i ×) ))((k i E(3)把某一行的所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(j i kr r +)对应初等矩阵为))((k ij E .初等列变换 初等矩阵 (1) 对调两列(i j c c ↔) ),(j i E (2)用数0≠k 乘以某一列的所有元素(i c k ×) ))((k i E(3) 把某一列的所有元素的k 倍加到另一列对应的元素上去(i j c kc +)，对应初等矩阵为))((k ij E性质2.2 初等矩阵均可逆，而且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.1),(−j i E = ),(j i E ，1))((−k i E = ))1((ki E ，1))((−k ij E =))((k ij E −定理2.1 对矩阵n m A ×施行一次初等行变换，就相当于在n m A ×的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对矩阵n m A ×施行一次初等列变换，就相当于在n m A ×的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.1、转置矩阵TT T TT T T T T T A B AB AA B A B A A A ==+=+=)()()()(λλ2、可逆矩阵11()A A −−=111)(−−−=A B AB11AA−=111()(0)kA A k k−−=≠ 111)(−−−+≠+B A B A3、伴随矩阵AA A A A E ∗∗==11A A A −∗=(当0A ≠时) ()11A A A−∗=(当0A ≠时) 1*n (kA)k A ∗−=(k 为常数，A 为n 阶矩阵，2n ≥) 1*n A A−=(A 为n 阶矩阵，2n ≥)()2*n A AA ∗−=(A 为任n 阶矩阵，2n ≥)()()*TT AA ∗=()*AB B A ∗∗=设A 是n 阶矩阵(2n ≥)，则 ,1,10,1若秩秩若秩若秩n A n A A n A n ∗=⎧⎪==−⎨⎪<−⎩n 阶方阵矩阵A 可逆的充要条件：(1) 存在n 阶方阵B ，使AB BA E ==.(2) 0A ≠.(3) 秩A n =(A 为n 阶方阵) . (4) A 与同阶单位矩阵E 等价.(5) A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积. (6) 齐次线性方程组0AX =只有零解.(7) 对任意n 维列向量b ，非齐次线性方程组AX b =有唯一解. (8) A 的行(列)向量组线性无关.(9) A 的特征值均不为012()n A λλλ=∵ .1、二阶方阵的逆矩阵：设a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则将二阶方阵A 的主对角线对调，副对角线变号，就得到A 的伴随矩阵*d b A c a −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠. 所以，可以立即写出A 的逆矩阵，即1*11d b A A c a A ad bc −−⎛⎞==⎜⎟−−⎝⎠(其中0ad bc −≠) 2、对角矩阵的逆矩阵：如果12,,,n a a a 均不为0，则对角矩阵12000000n a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠可逆，逆矩阵的求法其逆矩阵为12100100100n a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.3、次对角矩阵的逆矩阵：如果12,,,n a a a 均不为0，则次对角矩阵120000na a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠可逆，其逆矩阵为11100100100n n a a a −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 4、伴随矩阵法：设A 为n 阶方阵.当0A ≠时， *11A AA =−，即 11211122221*1211n n nnnn A A A A A A A A A A A A A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 5、初等行变换法：(多用于计算数字矩阵的逆矩阵).求逆矩阵方法：用初等变换(不能行、列变换混用))()(1−⎯⎯⎯⎯→⎯A E E A 只用行变换，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯⎯⎯→⎯⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1A E E A 只用列变换三、典型例题剖析【考点一】计算n 阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括： 1、计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂.(1) 与Tαβ相关的问题，是考研数学中常见题型.若T A αβ=，12(,,,)T n a a a α= ，12(,,,)T n b b b β= ，则利用矩阵乘法的结合律得到简化计算A 的k 次幂的公式，即：11111()()()()()()()()k T k T T T T k TnT k T T k k i i i A A a b Aαβαβαβαβαβαββααββα−−−−=======∑(2) 如果n 阶方阵A 中每行对应元素成比例，则A 可分解成TA αβ=的形式.(3) 设TA αβ=，其中,αβ均为n 维行向量，即1212()n n a a A b b b a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则非零阵A 可表为Tαβ的形式的充要条件为：T A αβ=⇔秩1A =.2、计算分块对角矩阵的高次幂：设 12s A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则 12n nn n s A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 3、计算能相似对角化的矩阵的高次幂.【例1】设A 为31×矩阵，若111111111T AA −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则________TA A =.【例2】设5000007000000100000100000A⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求12A.【例3】设-13Q AQ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，其中Q为3阶可逆矩阵，则63_________2A E⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠，其中E为3阶单位矩阵.【考点二】 逆矩阵与伴随矩阵的思维定势：1、若题设n 阶方阵A 满足()0f A =，要证aA bE +可逆，则先分解出因子aA bE + 再说.2、题设条件与*A 有关，则立即联想到用公式*AA A A A E ∗==.3、若涉及到A 、B 是否可交换，即AB BA =，则立即联想到用逆矩阵的定义去分 析.【例4】设n 阶方阵A 满足32A E =，且222.B A A E =+−证明：B 是可逆矩阵，并求1.B −【例5】(数学1，2，3，2008年)设A 为n 阶非零矩阵，若3A O =，则( ) (A)E A −不可逆，E A +不可逆. (B)E A −不可逆，E A +可逆.(C)E A −可逆，E A +可逆. (D)E A −可逆，E A +不可逆.【例6】设矩阵A 的伴随矩阵*1000010010100308A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠， 且113AXA XA E −−=+，求矩阵X .【考点三】初等矩阵与初等变换：1. 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为：(1)(,)E i j ：交换E 的两行或两列得到(2)[]()E i k ：非零常数k 乘E 的i 行或i 列得到； (3)[],()E i j k ：E 的j 行(列)的k 倍加到i 行(列). 2.初等矩阵的逆矩阵：(1)1(,)(,)E i j E i j −=(2)11(())(()) (0)E i kE i k k−=≠(3)1(,())(,())E i j k E i j k −=−.3.(1)初等矩阵P 左乘A 所得PA 就是A 作了一次与P 同样的初等行变换.(2)初等矩阵P 右乘A 所得AP 就是A 作了一次与P 同样的初等列变换.【例7】设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1100010201P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 则10099912____________.P AP =【例8】设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为A ,B 的伴随矩阵，则( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B −. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B −.【例9】问：矩阵120011001A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠能否分解为初等矩阵的乘积？说明理由.如果能分解，把它分解为初等矩阵的乘积.【考点四】分块矩阵1.设,A B 分别是n 阶与m 阶矩阵，则0000kkk A A B B ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. 2. 设,A B 分别是m n ×阶与n s ×阶矩阵且0AB =，则对B 和0矩阵按列分块有1212(,,,)(,,,)(0,0,,0)s s AB A A A A ββββββ=== ，0j A β= (1,2,,)j s = .分块矩阵即B 的列向量是n 元齐次线性方程组0Ax =的解.3. 只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转置 等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同.4. 设,A B 均为可逆方阵，则① 111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ② 111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠③ 11111A C A A CB O B O B −−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ④ 11111A O A O C B B CAB −−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠【例10】已知*430010*******033A ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠，试求1A −和A .【详解】3*4336271033A A −==−=−−， 3A =−.1*4100311000300120011A A A−⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠， 0300140000120011A ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 【例11】设,A B 为n 阶矩阵，*,A B ∗分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵A O C O B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则C 的伴随矩阵C ∗=( ).(A)A A O O B B ∗∗⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠ (B)B B O O A A ∗∗⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠ (C)A B O O B A ∗∗⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)B A O O A B ∗∗⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠【考点五】１．矩阵子式的概念.在矩阵n m A ×中，任取k 行和k 列(0,0)k m k n ≤≤≤≤，位于这些行和列交叉处的2k个元素，不改变它们在矩阵n m A ×中所处的位置而得到的k 阶行列式，称为矩阵n m A ×的k 阶子(行列)式.要注意矩阵子式的概念与行列式元素的余子式概念的区别和联系.由矩阵子式的概念可知，(1) 矩阵A 的任意一个元素都是A 的一个一阶子式. (2) 对于n 阶方阵A，A 是A 的唯一一个n 阶子式.(3) 在矩阵n m A ×中，因为矩阵A 的k 阶子式是一个k 阶行列式，所以子式的阶数有限制，1min{,}k m n ≤≤.(4) 不等于零的k 阶子式称为k 阶非零子式.２.矩阵秩的定义.对于矩阵0A ≠，在A 的所有的不等于0的子式中，阶数最高的子式的阶数，称为矩阵A 的秩，记做：秩()()A r A r ==.由矩阵的秩的概念可知，(1) 秩A r A =⇔中至少存在一个r 阶非零子式，且A 中所有1r +阶子式全为0. (2) 规定零矩阵的秩为0.所以，0()0A r A =⇔=.(3) 由于非零矩阵至少有一个一阶子式不为零，所以矩阵0()1A r A ≠⇔≥. (4) 设A 为n 阶方阵，如果()r A n =，则称A 为n 阶满秩矩阵.因此， A 为n 阶满秩矩阵()0r A n A A ⇔=⇔≠⇔为可逆矩阵.(5) 对于矩阵0A ≠，()1r A A =⇔的各行对应元素成比例A ⇔的各列对应元素成比例. ３.矩阵秩的性质.(1) 设A 为m n ×矩阵，则0≤秩{}min A m,n ≤. (2) 秩A =秩TA .(3) 设A 、B 均为m n ×矩阵，则秩()A B ±≤秩A +秩B .(4) 秩A O O B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠秩A +秩B =秩O A B O ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.(5) 若P 可逆，则秩(PB )=秩B ；若P 可逆，则秩(AP )=秩A .(6) 设A 为m n ×矩阵，B 为n p ×矩阵，若AB O =，则秩A +秩B n ≤. (7) 设A 为m n ×矩阵，B 为n p ×矩阵，则秩()min AB ≤{秩A ，秩B }. 4．关于矩阵的秩还要会说两句话：(1)什么叫秩小于n ？例如，()3r A A <⇔中３阶子式全为０且A 中３阶以上的子式也全为０.(2)什么叫秩大于等于n ？例如，()2r A A ≥⇔中有２阶子式不为０. 0()1A r A ≠⇔≥.５．伴随矩阵的秩：设A 是n 阶矩阵(2)n ≥，则 ,1,10,1若秩秩若秩若秩n A nA A n A n ∗=⎧⎪==−⎨⎪<−⎩.６．矩阵的秩的求法.(1)定义法求矩阵的秩：通过计算各阶子式的值，则由定义，在矩阵的所有不等于0的子式中，阶数最高的子式的阶数，就是矩阵A 的秩. (2)初等行变换法求矩阵的秩：求矩阵的秩，既可用初等行变换，也可用初等列变换求之.一般常将所求秩的矩阵A 用初等行变换化为(行)阶梯形矩阵1A ，因初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵A 的秩等于矩阵1A 的秩，而矩阵1A 的秩等于非零行向量的个数，所以矩阵A 的秩等于(行)阶梯形矩阵矩阵1A 中非零行向量的个数.【例12】设213146A a b c −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，若存在秩大于1的三阶矩阵B ，使得AB O =，则_________.n A =【例13】若245A A E −=，其中E 是n 阶单位矩阵，A 是n 阶方阵.证明： (5)()r A E r A E n −++=.【例14】设m n ×阶矩阵A 的列向量线性无关，B 为n n ×阶矩阵且满足AB A =，则B 的秩( )(A) 大于n (B) 小于n (C) 等于n (D) 不能确定【例15】设A 为43×阶矩阵，B 为35×阶非零矩阵，且满足AB O =，若1231824218418tt A tt t ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠求秩().B受苦的人没有悲观的权利. ——尼采第三章向量我们研究一个事物，总要研究其最基本的构成.在线性代数中所研究对象的基本构成是什么呢？就是向量.本章是考研复习的重点，也是难点.一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和判别法，并能灵活运用.熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力.一、考研知识结构网络图线性相关等价线性表示判定方法充要条件概念若存在不全为零的12,,,s k k k ，使 11220s s k k k ααα+++= 定方法秩12(,,,)s ααα =秩12(,,,,)s αααβ 若12,,,s ααα 与12,,,s βββ 可以互相线性表示12,,,s ααα 线性无关， 12,,,,s αααβ 线性相关秩12(,,,)s s ααα< 存在i α可由1211,,,,i i ααααα−+ 性表示 12(,,,)0s x ααα= 有非零解 充分条件1n +个n 维向量线性相关 多数向量能用少数向量线性表示线性无关概念若11220s s k k k ααα+++= ，则12,,,s k k k 全为零判定方法充要条件秩12(,,,)s s ααα=任意i α不可可由其余的向量 1211,,,,i i s ααααα−+ 线性表示12(,,,)0s x ααα= 只有零解二、相应知识点精讲定义3.1 向量的定义：所谓向量，就是排好序的n 个数，其中每个数称为向量的分量，一 个向量中分量的个数称为向量的维数，有n 个分量的向量叫做n 维向量. 竖着写的向量叫 做列向量，即记n 维列向量α为12n a a a α⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠有时为了省地方也可把n 维列向量α写为()12,,,Tn a a a α= .因此，也可把向量12n a a a α⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠看作一个列矩阵(即只有一列的矩阵). 横着写的向量叫做行向量，即记n 维行向量α为()12,,,n a a a α= .可把n 维行向量α看作一个行矩阵(即只有一行的矩阵). 在不混淆的情况下，我们不再区分一个向量是 行向量还是列向量，均简称向量.性质3.1 向量的运算：由于向量之间的运算与行矩阵或列矩阵之间的运算完全相同，所 以不再提及.性质3.2 特殊的向量及其运算：(1) 零向量：元素全为零的向量称为零向量，记做0. (2) 如果0,k α=且0α≠，则0k =. 另外，00.α⋅=(3) 设12n a a a α⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ，12n b b b β⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则()12121122T n n n n b b a a a a b a b a b b αβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟==+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.定义3.2 线性组合的概念：我们把关系式112233k k k ααα++称为向量123,,ααα的线性组 合.零向量是任何一组与其同型的向量的线性组合.定义3.3 线性表示的概念：若1122n n k k k βααα=+++ ，则称β可用12,,,n ααα 线性 表示.【评注】零向量(即元素全为0的向量)是任何一组向量m ααα,,,21 的线性组合，可用一组 向量m ααα,,,21 的线性表示，即 120000m ααα=⋅+⋅++⋅ .定义3.4 线性相关的概念：对于一组向量m ααα,,,21 ，存在一组不全为0的数12,,,m k k k ，使线性组合11220m m k k k ααα+++= ，则这一组向量m ααα,,,21 线性相关；否则，称这组向量线性无关. 线性无关也可以这样定义3.5 线性无关的概念：令11220m m k k k ααα+++= ，而120m k k k =+== ，则12,,,m ααα 线性无关.【评注】(1)单独一个零向量是线性相关的.(例如：100⋅=) (2)包含零向量的任何一个向量组都是线性相关的.(例如：12000100m ααα⋅+⋅++⋅+⋅= )(3)如果两个同型向量对应元素成比例，则它们线性相关.反之也成立. (例如：12αλα=，则1210αλα⋅−=)(4)单独一个非零向量是线性无关的.(例如：令0k α⋅=，则0k =) (5)如果两个同型向量对应元素不成比例，则它们线性无关.反之也成立. 定义3.6 最大线性无关组与向量组的秩的概念：如果向量组A 的部分向量组r ααα ,,21满足：(ⅰ)向量组r ααα ,,21线性无关(ⅱ)向量组A 中任意1+r 个向量(如果A 中有1+r 个向量)都线性相关⇔其余的向量都能用这部分向量组线性表出⇔向量组中的每一个都能用这部分向量组线 性表出，那么称部分向量组r ααα ,,21为向量组A 的最大线性无关组.【评注】1. 向量组A 的的最大线性无关组不惟一，但所含向量的个数r 惟一，我们称r 为向量组A 的秩.记为A R .2. 只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0. 3．向量组的最大线性无关组与向量组本身是等价的 4. 向量组A 的的任何两个最大线性无关组都是等价的.5. 如果向量组A 的秩为r ，且A 的部分向量组r ααα ,,21线性无关，则r ααα ,,21是向量组A 的最大线性无关组.1．判别向量β是否可以由向量组12,,,m ααα 线性表示的程序：(1)设12,,,m ααα ，β为一组列向量，将它们组装成矩阵12(,,,,)m αααβ ，对该矩阵进行初等行变换，可以将矩阵12(,,,,)m αααβ 和矩阵12(,,,)m ααα 同时化成阶梯形矩阵，如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数相等，则向量β可以由向量组12,,,m ααα 线性表示，并且β是12,,,m ααα 的线性组合. 如果这两个阶梯形矩阵的非零行的行数不相等，则向量β不可由向量组12,,,m ααα 线性表示，并且β不是12,,,m ααα 的线性组合.线性表示的判别程序。