2015-2016学年北师大版必修二圆与圆的位置关系课时作业(含答案)

课时作业(二十三) 圆与圆的位置关系[练基础]1．已知圆C 1：x 2＋y 2－23 x －4y ＋6＝0，C 2：x 2＋y 2－6y ＝0，则两圆的位置关系( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2．已知圆C 1：x 2＋y 2－mx －3＝0平分圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝4的周长，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．83．“a ＝－3”是“圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋a )2＋y 2＝4相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2022湖南邵东一中高二期中]圆C 1：x 2＋y 2－2ay ＝0和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝4相交，则实数a 的取值范围是( )A ．[－34 ，34] B ．(－∞，－34) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－34 )∪(34，＋∞) 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0与圆(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝36内切，点P 是圆C 上一动点，则点P 到直线5x ＋12y ＋8＝0的距离的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．(多选)已知圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆N ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1，则下列是圆M 与圆N 的公切线的直线方程为( )A ．y ＝0B ．4x －3y ＝0C ．x －2y ＋5 ＝0D ．x ＋2y －5 ＝07．设圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＝0，则圆C 1，C 2有公切线________条．8．若圆(x －1)2＋y 2＝1与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝9的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的一般式方程是________．9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝36－m ，其中m ∈R .(1)如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切，求m 的值；(2)如果直线x ＋y －3＝0与圆C 相交所得的弦长为45 ，求m 的值．[提能力]10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝m2，圆C2：x2＋y2＋2x－23y＋3＝0的公切线有2条，则m的取值范围为()A．1<m<3B．－3<m<－1或1<m<3C．2<m<3D．－3<m<－2或2<m<311．[2022·湖南临澧一中高二期中](多选)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，则()A．若圆C1与圆C2无公共点，则0<r<4B．当r＝5时，两圆公共弦长所在直线方程为6x－8y－1＝0C．当r＝2时，P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则|PQ|的取值范围为[2，8]D．当0<r<4时，过直线6x－8y＋r2－26＝0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线，则切线长相等12．经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0交点的圆的方程为________．13．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为________，A，B两点间的距离为________．14．[2022·湖南雅礼中学高二月考]设圆C的半径为r，圆心C是直线y＝2x－4与直线y＝x－1的交点．(1)若圆C过原点O，求圆C的方程；(2)已知点A(0，3)，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求r的取值范围．[培优生]15．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2).已知R＝(2＋1)r，则由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为()A．2B．2 2C．2＋13D．3(2－1)。

1．圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋3＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4x －2y －3＝0的位置关系是 ( )A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离解析：圆O 1：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝8，∴|O 1O 2|＝(－1－2)2＋(－2－1)2＝32＝r 1＋r 2.答案：B2．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32 解析：(x －1)2＋y 2－1－(x 2＋y 2－1)＝0得x ＝12. 答案：B3．(2012·临沂高一检测)已知圆C 1：(x ＋1)2＋ (y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y－1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋ (y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：圆C 1的圆心是C 1(－1,1)，C 1关于直线x －y －1＝0的对称点坐标是(2，－2)，所以圆C 2的方程应为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B4．圆x 2＋y 2＝m 2(m >0)与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m 的值为( ) A ．1B ．1或11C ．11D ．6 解析：圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，∵两圆内切，∴圆心距d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5＝|6－m |，解得m ＝1或m ＝11.答案：B5．若圆x 2＋y 2＝4与x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0内含，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0，得(x －a )2＋y 2＝1.若两圆内含，则|a |<2－1，∴－1<a <1.答案：(－1,1)6．(2012·连云港高一检测)已知两圆相交于两点A (1,3)和B (m,1)，且两圆的圆心都在直线x －y ＋c 2＝0上，则m ＋c 的值是________． 解析：由条件知，两点A (1,3)和B (m,1)的垂直平分线方程就是直线x －y ＋c 2＝0. ∴AB 的中点(1＋m 2，2)在直线x －y ＋c 2＝0上， 即1＋m 2－2＋c 2＝0. 得m ＋c ＝3.答案：37．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，则圆心为C (－5，－5)，半径为52，所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意知，点O (0,0)、A (0,6)在此圆上，且圆心M (a ，b )在直线x －y ＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(0－b )2＝r 2，(0－a )2＋(6－b )2＝r 2，a －b ＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.8．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交，圆C 过原点，半径为10，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C 的方程． 解：设圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点，由两圆的方程相减，得x ＋3y －10＝0，此方程即为公共弦AB 所在的直线方程．[]由已知，圆C 的圆心C 在两圆圆心连线的垂直平分线上，又两圆的半径相等，所以C 在直线AB 上，设C (a ，b )，则a ＋3b －10＝0，①又由|CO |＝10，得a 2＋b 2＝10，②①②联立，解得a ＝1，b ＝3.所以，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。

直线与圆的位置关系一、选择题1．直线4x ＋3y －40＝0与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相离[答案] C[解析] 圆心O 到直线的距离d ＝|－40|5＝8<10＝r ，∴直线与圆相交．2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 [答案] B[解析] 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝12＝22，圆的半径r ＝1. ∴0<d <r .∴直线与圆相交但不过圆心．3．直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝( ) A.12 B ．22C. 2 D ．2[答案] D[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|－m |2＝m ，解得m ＝2.4．直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2＝2截得的弦AB 长等于( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ． 2 [答案] C[解析] 直线y ＝kx 过圆心，被圆x 2＋y 2＝2所截得的弦长恰为圆的直径22，故选C. 5．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[答案] D[解析] 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．解法1：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0.该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33. ∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 解法2：点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1.解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0.解法3：把x 2＋y 2－4x ＝0配方，得(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P 的半径所在直线的斜率为－3，则切线斜率为33，由此排除A 、B ，再代入P (1，3)，排除C. 6．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．由点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外知a 2＋b 2>1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1，所以直线与圆相交．二、填空题7．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]254[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力． 由题意知切线的斜率存在，设为k ，切线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－k |k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴切线方程为－12x －y ＋52＝0，令x ＝0，y ＝52，令y ＝0，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋C ＝0的距离为1，则实数C 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋C ＝0的距离小于1，即|C |13<1，所以C 的取值范围是(－13,13)． 三、解答题9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2，解得t ＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.一、选择题1．(2015·安徽高考)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12[答案] D[解析] ∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D.2．如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值是( )A.12 B ．33C.32D ． 3[答案] D[解析] y x ＝y －0x －0，即圆(x －2)2＋y 2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．如图所示，OA 取得最大值k OA ＝ 3.故选D.二、填空题3．已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__________． [答案] x －y ＝2[解析] 因为过x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，故x －y ＝2即为所求．4．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.[答案] 2[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O (0,0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin45°＝22，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.三、解答题5．若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．[解析] 解法1：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0.Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ>0， 即－36a 2＋90 000>0，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0， 即a <－50或a >50. 解法2：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5. ①当直线和圆相交时，d <r ， 即|a |5<10，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d >r ， 即|a |5>10，a <－50或a >50. 6．已知直线l 过点P (2,3)且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程．[解析] 经检验知，点P (2,3)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1的外部，①若直线l 的斜率存在， 则设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)． ∵直线l 与圆相切，∴|k ×1－(－2)－2k ＋3|k 2＋1＝1，解得：k ＝125.∴所求直线l 的方程为：y －3＝125(x －2)，即：12x －5y －9＝0.②若直线l 的斜率不存在， 则直线x ＝2也符合题意， ∴所求直线l 的方程为：x ＝2， 综上可知，所求直线l 的方程为 12x －5y －9＝0或x ＝2.7．已知圆C ︰(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ︰kx －y －4k ＋3＝0. (1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长． [解析] 解法1：(1)∵圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为2， ∴圆心到直线的距离为d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1.假设d ＝|k ＋1|k 2＋1<2，即3k 2－2k ＋3>0. ∵Δ＝(－2)2－36<0， ∴k 为任意实数，∴不论k 取什么值，d <2，即不论k 取什么值时，直线和圆都相交． (2)设直线和圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得(12|AB |)2＝r 2－d 2，当d 最大时，AB 最小．∵d ＝|k ＋1|k 2＋1＝(k ＋1)2k 2＋1＝1＋2k k 2＋1； ∵k 2＋1－2k ＝(k －1)2≥0； ∴k 2＋1≥2k .∴2kk 2＋1≤1，当k ＝1时取等号． ∴当k ＝1时，d 的值最大，且为2，此时有(12|AB |)2＝r 2－d 2＝4－2＝2， 即|AB |＝2 2.∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2 2. 解法2：圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为r ＝2.(1)直线方程可化为k (x －4)＋(3－y )＝0， ∴直线过定点P (4,3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2<4， ∴点P 在圆C 内部．∴直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交． (2)∵直线经过定点P (4,3)，∴当PC 与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短． 设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得 (12|AB |)2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2. ∴|AB |＝2 2.∵PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1，∴直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1，∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2 2.。

第2课时圆与圆的位置关系1.圆(x-a)2+(y-b)2=c2和圆(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则()A.(a-b)2=c2B.(a-b)2=2c2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c2解析:圆心距d==2|c|,∴(a-b)2=2c2.答案:B2x2+y2=16和圆(x-4)2+(y+3)2=R2(R>0)在交点处的切线互相垂直,则R等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知两圆的一个交点与两圆圆心构成直角三角形,∴52=R2+16.∴R=3.答案:A3.圆x2+y2-2y-3=0与圆x2+y2+2x=0的公共弦的长度等于()A.B.C.D.解析:两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为2x+2y+3=0,又圆x2+y2+2x=0的圆心(-1,0)到公共弦的距离d=,于是公共弦长l=2.答案:B4.设集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)},当M∩N=N时,r的取值范围是()A.[0,-1]B.[0,1]C.(0,2-]D.(0,2)解析:集合M表示以原点O(0,0)为圆心,半径等于2的圆面(圆及圆的内部),集合N表示以C(1,1)为圆心,半径等于r的圆面(圆及圆的内部).当M∩N=N时,圆C内含或内切于圆O,故有|CO|≤2-r,即≤2-r,所以0<r≤2-.答案:C5.若点A(1,0)和点B(0,4)到直线l的距离依次为1和2,则这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为x2+(y-4)2=4,则直线l为两圆的公切线,∵|AB|=>1+2=3,∴圆A与圆B相离,因此两圆的公切线有4条,即直线l有4条,故选D.答案:D6.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a的值为.解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,圆x2+y2-2ax+a2-1=0,即为(x-a)2+y2=1,圆心为(a,0),半径r2=1,依题意有|a|=1,所以a=±1.答案:±17.点P在圆C1:x2+(y+3)2=4上,点Q在圆C2:(x+3)2+(y-1)2=9上,则|PQ|的最大值为. 解析:由已知可得C1(0,-3),r1=2,C2(-3,1),r2=3,则|C1C2|==5.∴|PQ|的最大值为5+r1+r2=10.答案:108.半径为3且与圆x2+y2-2x+4y+1=0外切的圆的圆心的轨迹方程是.解析:圆x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4,故其圆心为(1,-2),半径为2,因为两圆外切,所以圆心距为3+2=5,因此动圆的圆心到点(1,-2)的距离等于5,其轨迹是以(1,-2)为圆心,半径等于5的圆,其方程是(x-1)2+(y+2)2=25.答案:(x-1)2+(y+2)2=259x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),即x2+y2-x-y-6=0,所以圆心坐标为.又圆心在直线x-y-4=0上,所以-4=0,解得λ=-.故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.10.若集合A={(x,y)|x2+y2=16},集合B={(x,y)|x2+(y-2)2=a-1},当A∩B=⌀时,求a的取值范围.解:由题意知,此题应分三种情况:(1)B=⌀,则a<1.(2)B≠⌀,且B中只有一个元素,则a-1=0,即a=1,点(0,2)不在集合A中,满足题意.(3)集合B中含有无数个元素,则两个集合所表示的圆内含或相离,圆x2+y2=16的圆心为O1(0,0),半径为4,圆x2+(y-2)2=a-1的圆心为O2(0,2),半径为,所以a>1.|O1O2|==2.①两圆内含时,|O1O2|<4-或|O1O2|<-4, 即2<4-或2<-4,解得1<a<5或a>37;②两圆相离时,|O1O2|>4+,即2>4+,无解.综上所述,a的取值范围是a<5或a>37.。

2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0 答案：D解析：点P (1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，所以点P 为切点， 从而圆心与P 的连线应与切线垂直．又因为圆心为(2,0)，所以0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，所以切线方程为x －3y ＋2＝0.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离为d ，则d 的取值范围为( )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1] 答案：A解析：圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A (0，－1)在圆外，则当直线l 经过圆心时，d 最小，当直线l 垂直于点A 与圆心的连线时，d 最大，即d 的最小值为0，最大值为02＋(3＋1)2＝4，所以d ∈[0,4]．3．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则实数a 的值为( ) A ．±4 B ．±2 2 C ．±2 D ．±2 答案：C解析：由题意，知直线方程为y －a ＝x ，即x －y ＋a ＝0.又直线与圆相切，所以|a |2＝2，所以a ＝±2.4．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案：C解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k 2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 答案：D解析：圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．关于x 的方程x ＋k ＝1－x 2有两相异实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜ 2 B ．－2≤k ≤ 2 C ．1≤k ≤ 2 D ．1≤k ＜ 2 答案：D解析：方程x ＋k ＝1－x 2的相异两实根即为两曲线y ＝x ＋k 与y ＝1－x 2(y ≥0)交点的横坐标，画出两曲线观察，当直线y ＝x ＋k 过点(－1,0)时，两曲线有两交点，此时k ＝1，当直线与半圆相切时，|k |2＝1，k ＝2或k ＝－2(舍)．所以当1≤k ＜2时，直线与半圆有两个不同的交点，即方程x ＋k ＝1－x 2有两个相异实根．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P 连线的斜率为－3，所以所求切线的斜率为33，则在点(1，3)处的切线方程为x －3y ＋2＝0. 8．直线l 过点(－5，－10)，且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为5 2，则直线l 的方程为________．答案：x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋5)－10，由题意知圆心到直线的距离d ＝5 22，即|5k －10|k 2＋(－1)2＝5 22，解得k ＝1或k ＝7.9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案：22解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，2)的直线的斜率为21－2＝－2，故所求直线的斜率为22.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，求圆的方程解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意，知直线x ＋2y ＝0过圆心， ∴a ＋2b ＝0. ①又点A 在圆上，∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2. ② ∵直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，∴(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|12＋(－1)22＝r 2. ③由①②③可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝－3r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－7r 2＝244，故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.11．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1. ①又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎫|b |22＋⎝⎛⎭⎫2322＝4， ② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝2－1b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2－1b ＝－2.12．一束光线由点M (25,18)出发，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋(y －7)2＝25上． (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围．解：(1)M (25,18)关于x 轴的对称点M ′(25，－18)．由题意知反射光线所在直线过M ′(25，－18)和圆心，则由两点式得y ＋187＋18＝x －250－25，∴x ＋y －7＝0.(2)设反射光线所在直线为y ＝k (x －25)－18. 则|k ·0－7－25k －18|1＋k 2≤5， ∴－43≤k ≤－34.当y ＝0时，x ＝18k ＋25，又－43≤k ≤－34，∴1≤x ≤232.即在x 轴上反射点A 的活动范围是从(1,0)到(232，0)的线段．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

高中数学 2.2.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系（一）课时作业北师大版必修2【课时目标】1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．222位置关系相交相切相离判定方法公共点个数____个____个____个几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d__r d__r d__r 代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__0Δ__0Δ__0一、选择题1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心C．相切 D．相离2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么( )A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝03．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )A． 6 B．522C．1 D．54．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不存在6．与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．8．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．9．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是________．三、解答题10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．能力提升12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则( )A．l∥g且与圆相离 B．l⊥g且与圆相切C．l∥g且与圆相交 D．l⊥g且与圆相离13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|．3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一) 答案知识梳理位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个代数法：由 ⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r 2消元得到一元二次方程的 判别式Δ作业设计1．D [圆心到直线距离d >r ．]2．C [与y 轴切于原点，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，得E ＝0，圆过原点得F ＝0，故选C ．]3．A [分别求出半径r 及弦心距d (圆心到直线距离)再由弦长为2r 2－d 2，求得．] 4．C [通过画图可知有三个点到直线x ＋y ＋1＝0距离为2．]5．B [由题意|c |a 2＋b 2＝1⇒|c |＝a 2＋b 2⇒c 2＝a 2＋b 2，故为直角三角形．]6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y ＝kx 或x a ＋ya＝1，由d ＝r 求得k ＝±1，a ＝4．]7．{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1．8．x －3y ＋2＝0解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为 x －3y ＋2＝0． 9．x ＋y －3＝0解析 过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为 x ＋y －3＝0．10．解 ①当斜率k 存在时， 设切线方程为y －5＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋5＝0．由圆心到切线的距离等于半径得 |k －2＋k ＋5|k 2＋1＝2，解得k ＝－512，∴切线方程为5x ＋12y －55＝0．②当斜率k 不存在时，切线方程为x ＝－1，此时与圆正好相切． 综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －55＝0． 11．解 圆心到l 的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4522＝5，显然l 存在斜率． 设l ：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5－5k ＝0，d ＝|5－5k |k 2＋1．∴|5－5k |k 2＋1＝5，∴k ＝12或2．∴l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．12．A [∵M 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∴(0,0)到l 的距离d ＝r 2a 2＋b2>r 即直线l 与圆相离，又直线g 的方程为y －b ＝－a b(x －a )，即ax ＋by －a 2－b 2＝0，∴l ∥g ．]13．解 设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由OA ⊥OB ，知k OA ·k OB ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0① 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －2cy ＋c ＝0，得5y 2－(2c ＋14)y ＋c ＋12＝0，则y 1＋y 2＝15(2c ＋14)，y 1y 2＝15(c ＋12)②又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，代入①得9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0③ 由②、③得，c ＝3．。

课后训练1．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为( )．A．6或14 B．10C．14 D．不确定2．设r＞0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能( )．A．相切B．相交C．内切或内含或相交D．外切或相离3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数是( )．A．4 B．3C．2 D．14．点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则MN的最大值是( )．A．5 B．7C．9 D．115．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c 的值为( )．A．－1 B．2C．3 D．06．圆x2＋y2－2x＋2y－2＝0与圆x2＋y2－x＋3y－5＝0的公共弦所在直线的方程为__________．7．半径为3，且与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴相交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝25的公共弦长为__________．9．已知圆M：x2＋y2＝10和N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.(1)求两圆的公共弦所在的直线方程；(2)求过两圆交点且圆心在x＋2y－3＝0上的圆的方程．10．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．参考答案1答案：A 解析：由题意知，r ＋4＝10或10＝|r －4|，∴r ＝6或r ＝14.2答案：D 解析：圆C 1的圆心为(1，－3)，圆C 2的圆心为(0,0)，圆心距d =于是d =4＋r ，但可能有d ＝|4－r |或d ＜|4－r |，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．3答案：C 解析：圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11；圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8，∴|O 1O 2|13，∴|r －R |＜|O 1O 2|＜R ＋r ，∴两圆相交，∴公切线有2条．4答案：C 解析：C 1为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，C 2为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，所以圆心分别为(－3,1)，(1，－2)，所以两圆圆心距为5.又两圆半径分别为2,2，所以两圆外离，所以MN 的最大值是5＋2＋2＝9.5答案：C 解析：据题意知，直线AB 与直线l ：x －y ＋c ＝0垂直．∴k AB ·k l ＝3(1)1=11m--⨯--，解得m ＝5. 又∵点A (1,3)，B (5，－1)到直线x －y ＋c ＝0的距离相等，=，解得c ＝－2， (或由A (1,3)，B (5，－1)的中点坐标为M (3,1)，而M (3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，可知c ＝－2.)∴m ＋c ＝5－2＝3.6答案：x ＋y －3＝0 解析：两圆方程相减得－x －y ＋3＝0，即x ＋y －3＝0，此即为公共弦所在直线的方程．7答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，故其圆心为(1，－2)，半径为2，因两圆外切，所以圆心距为3＋2＝5，因此动圆的圆心到点(1，－2)的距离等于5，其轨迹是以(1，－2)为圆心，半径等于5的圆，其方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.8答案：解析：易知AB 的垂直平分线为y ＝－3，则圆C 的圆心满足3270y x y =-⎧⎨--=⎩，，解得23x y =⎧⎨=-⎩，，即C (2，－3)，r ＝|AC |，故圆C 方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.联立圆C′得两圆交点为5233⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，52,33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故公共弦长为3. 9答案：解：(1)两圆方程相减得2x ＋2y －4＝0，∴x ＋y －2＝0即为两圆的公共弦所在的直线方程．(2)由222010x y x y +-=⎧⎨+=⎩，，得两圆交点为A (－1,3)，B (3，－1)．由两圆方程可得圆心连线为y ＝x ，由圆的性质，所求圆的圆心在y ＝x 上，由230y x x y =⎧⎨+-=⎩，，得x ＝y ＝1，故所求圆的圆心C (1,1)，半径r ＝|AC |∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8.10答案：解：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又∵动圆过点(－5,0)，∴(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组22(5)(0)25100a b a b ⎧--+-=⎨-+=⎩，，可得010b a =⎧⎨=-⎩，或55,b a =⎧⎨=-⎩， 故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.(2)圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆；当r 满足r ＋5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切； 当r 满足r ＋5＝d时，即5r =时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切．综上可知，存在5r =满足条件．。

高中数学学习材料唐玲出品课后训练1．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( )．A ．1或－1B ．2或－2C ．1D ．－12．直线3y x =被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长等于( )．A ．6B ．3C ．23D ．223．直线l ：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )． A ．相交或相切 B ．相交或相离C ．相切D ．相交4．过点P (2，2)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为( )．A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝22C ．x ＋y ＝4D ．x ＋y ＝25．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于2的点共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．直线x ＋2y －10＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长是__________．7．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为__________．8．若经过点A (3,0)的直线l 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．9．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求过点P 的圆C 的弦的中点M 的轨迹方程．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．参考答案1答案：D 解析：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径r ＝1，直线与圆相切，∴圆心到直线的距离22|(1)01|=1(1)1a d a +++=++，∴a ＝－1.2答案：C 解析：圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心为(0,2)，半径r ＝2，圆心到直线3y x =的距离22|302|=1(3)1d ⨯-=+，所以弦长22221=23l =-.3答案：D 解析：由于直线l 恒过定点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，而该定点在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交．4答案：B 解析：∵P (2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，k OP ＝1，∴切线斜率为－1，则有y －2＝－(x －2)，即x ＋y ＝22.5答案：C 解析：圆心到直线的距离|121|22d --+==，22r =， 所以直线与圆相交．又r －d ＝2， 所以劣弧上到直线的距离等于2的点只有1个，在优弧上到直线距离等于2的点有2个．6答案：25 解析：圆心到直线的距离105d =.又圆半径为5，所以弦长221025=255l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 7答案：(x －3)2＋y 2＝4 解析：设圆心为(a,0)(a ＞0)，则圆心到直线x －y －1＝0的距离为|1|2a d -=.因为圆截直线所得的弦长为22， 所以2|1|2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝(a －1)2，即(a －1)2＝4， 所以a ＝3或a ＝－1(舍去)．所以圆心为(3,0)，半径r 2＝(a －1)2＝4，故圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.8答案：33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x －3)，依题意有2|3|11k k k -≤+，即22|1k k ≤+，解得3333k -≤≤. 9答案：解：(1)直线l 的斜率不存在时，显然满足题意，此时l 的方程为x ＝0；直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由题意知，圆心到直线l 的距离为2.∴22|265|=2(1)k k --++-，解得34k =.∴l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为M (x ，y )，则CM ⊥PM ，即k CM ·k PM ＝－1.∴65=12y y x x--⋅-+， 化简得所求的轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.10答案：解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为223(1)=3t +-.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：220,(3)(1)9.x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩ 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝2(82)561644a a a -±--，从而x 1＋x 2＝4－a ，212212a a x x -+=.① 由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.。

课时作业(四十五) [第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y －1)2＝2 2．[2012·长春模拟] 若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围为( )A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5 3．[2012·厦门质检] 直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．能力提升 5．[2012·莱芜模拟] 若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A.3或－ 3 B ．4或－ 3 C.3或－1 D ．1或－16．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的面积，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－37．[2012·海南嘉积中学月考] 直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．[2012·惠安模拟] “m ＝1”是“直线x －my ＋m ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．[2012·潍坊三县联考] 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，则过点(1，e )且被圆x 2＋y 2－4x－4y ＋4＝0截得的最长弦所在的直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝010．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．11．[2012·德兴模拟] 过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________________________________________________________________________．12．[2012·临川一中模拟] 若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．14．(10分)已知两点A (0，1)，B (2，m )，如果经过A 与B 且与x 轴相切的圆有且只有一个，求m 的值及圆的方程．15．(13分)已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)． (1)过M 作直线与圆交于A ，B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程； (2)过M 作圆的切线，切点为C ，D ，求切线长及CD 所在直线的方程．难点突破16．(1)(6分)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相切，则ab的取值范围是________．(2)(6分)[2012·江西师大附中模拟] 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2 B．2C．2 2 D．4课时作业(四十五)【基础热身】1．C [解析] 直接代入圆的标准方程．2．B [解析] 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5.3．B [解析] 求圆的弦长利用勾股定理，弦心距d ＝2，r ＝3，r 2＝d 2＋l 24，l ＝23－2＝2，选B.4．2 [解析] 因为四边形P ACB 的最小面积是2，此时切线长为2，圆心到直线的距离为5，故d ＝51＋k 2＝5，解得k ＝2.【能力提升】5．A [解析] 圆的半径为1，根据圆的几何特征，此时圆心到直线的距离等于12，即11＋k2＝12，解得k ＝±3. 6．B [解析] 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，由直线3x ＋y ＋a ＝0过圆的圆心得a ＝1.7．A [解析] 直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A (1，3)，B (2，0)，OA →·OB →＝2.8．C [解析] 已知直线与圆相切的充要条件是|m ＋1|1＋m 2＝2，此方程只有唯一解m ＝1，故“m ＝1”是“直线x －my ＋m ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2相切”的充要条件．9．C [解析] 圆心坐标为(2，2)，椭圆的离心率为12，根据已知所求的直线经过点1，12，(2，2)，斜率为32，所以所求直线方程为y －2＝32(x －2)，即3x －2y －2＝0.10．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 [解析] 根据轴对称关系得圆C 2的圆心为(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.11．2x －4y ＋3＝0 [解析] ∠ACB 最小时，即弦长AB 最小，此时直线l 与直线CM 垂直．直线l 斜率为12，又∵过M ⎝⎛⎭⎫12，1，∴直线方程为2x －4y ＋3＝0. 12．4 [解析] 当圆心C 到点P 最近时，|PM |最小，得d min ＝42，|PM |min ＝32－16＝4.13．(－13，13) [解析] 如图所示，若圆上有且仅有4个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则直线介于l 1，l 2之间，且不包括l 1，l 2.由题意知，圆心到直线l 1的距离为1.所以|c |122＋52＝|c |13＝1.∴c ＝±13，由图形的对称性知c ∈(－13，13)． 14．解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（1－b ）2＝b 2，（2－a ）2＋（m －b ）2＝b 2，消去b 得(1－m )a 2－4a ＋4＋m 2－m ＝0.当m ＝1时，a ＝1，所以b ＝1，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；当m ≠1时，由Δ＝0得m (m 2－2m ＋5)＝0，所以m ＝0，从而a ＝2，b ＝52，圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254.综上知，m ＝1时，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1；m ＝0时，圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254.15．解：(1)圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (x －4)， 即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ，则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1，由|PN |2＋|AB |22＝r 2，得k ＝－4528，此时AB 的直线方程为45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4，代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，解得y 1＝1，y 2＝－3，符合题意．综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4. (2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5.以PM 为直径的圆的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋922＝(2－3)2＋⎝⎛⎭⎫－1＋922，即x 2＋y 2－6x ＋9y＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0， 两式相减，得2x －7y －19＝0，所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0. 【难点突破】16．(1)－12，12(2)C[解析] 由题可知原点到直线距离为1，有1a 2＋b2＝1，得a 2＋b 2＝1. 又由基本不等式得a 2＋b 2≥2|ab |，所以|ab |≤12，得－12≤ab ≤12.(2)由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1，1)，半径为1，P A ＝PB ，易知四边形面积S ＝12(P A ＋PB )·1＝P A ，故P A 最小时，四边形面积最小．由于|P A |＝|PC |2－1，故PC 最小时P A 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，|PC |＝|3＋4＋8|5＝3，|P A |＝|PC |2－1＝22，∴四边形面积的最小值是2 2.。