高二数学直线与方程(学生 版)

个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时 3 授课老师教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题第三章：直线与方程3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________． (3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3.(2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．两直线平行与垂直的应用[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________.7.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．3．2.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2) 其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b 图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ [解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0， 满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )，∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．。

特训03 直线与方程 压轴题（九大题型）目录：题型1：函数与直线题型2：最值问题题型3：取值范围问题题型4：直线的实际应用题型5：分类讨论、与向量结合题型6：直线有关的综合辨析题型7：材料、新定义题题型8：传统解答压轴题题型9：新定义解答压轴题题型1：函数与直线1．已知函数()21f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小值为8B ．()f x 的最小值为9C ．()8f x =有1个实根D ．()9f x =有1个实根2．已知二元函数(),f x y =+的最小值为a ，则28a = ．3．已知函数()f x ①函数()f x 的图像是轴对称图形； ②函数()f x 在(],1-¥上单调递减；③函数()f x 的值域是[)0,2； ④方程()34f f x =éùëû有4个不同的实数解．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数()k f x x x=+的定义域为()0,¥+，其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线:l y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,A B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论：①1k =； ②不存在点M ，使得2023MA =；③MA MB ×的值恒为； ④四边形OAMB 1．其中，所有正确结论的序号是 ．题型2：最值问题5．已知点M (x 1,y 1)在直线1:2l y x =+，点N (x 2,y 2)在直线2:l y x =上，且1MN l ^，）A B C D ．56．设m R Î，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A ．B ．C ．3D ．67．设R m Î，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ×的最大值 ．8．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ^，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为 .9．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ^ ）A B C D ．5题型3：取值范围问题10．设R m Î，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 设点(,)P x y 是曲线1a x b y +=(0,0)³³a b 上任意一点，其坐标(,)x y£b +取值范围为 ．题型4：直线的实际应用12．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF Ð最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ^）时，根据场上形势判断，有OA uuu r 、OB uuu r 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA uuu r ，则甲带球 码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB uuu r ，则甲带球 码时，到达最佳射门位置.13．公路AM ，AN 围成的是一块顶角为a 的角形耕地，其中 2.tan a =-在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km .现要过点P 修建一条直线型公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园，如图．（1）记CBM q Ð=，并设tan θk =，试确定k 的取值范围；（2）设三角形区域工业园的占地面积为S ，试将S 表示成k 的函数()S f k =；（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B 的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．题型5：分类讨论、与向量结合14．过点()1,2P --的直线l 可表示为()()120m x n y +++=，若直线l 与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．如图，在ABC V 与ADE V 中，π2ABC ADE Ð=Ð=，π6BAC DAE Ð=Ð=，π4CAE Ð=，2AC DE ==.连接BE 与CD 交于P ，则BD CP ×=uuu r uuu r .题型6：直线有关的综合辨析16．已知m ÎR ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（ ）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ^C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为517（多选）．已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（ ）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D 4题型7：材料、新定义题18．对于直角坐标平面内的任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义它们之间的曼哈顿“距离”：2121AB x x y y =-+-．如果点()1,2A ，()3,5B ，则AB = ．给出下列两个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；②在ABC V 中，若90C Ð=°，则222AC CB AB +=；其中是真命题的为 ．19．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ||,||d A B x x y y =--为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的“切比雪夫距离”．又设点P 及l 上任意一点Q ，称d （P ，Q ）的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d （P ，l ）．给出下列四个命题：①对任意三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +³；②已知点P （3，1）和直线:210l x y --=，则()4,3d P l =；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．5．设点(,)P x y 是曲线1a x b y +=(0,0)³³a b 上任意一点，其坐标(,)x y£b +取值范围为 ．20．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC V 的顶点()30A -,，()1,3B ，其欧拉线方程为1333220x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ）A ．()2,0B ．241,11æö--ç÷èøC ．()2,1-D ．4940,1919æö-ç÷èø21．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为()12,,,n A a a a =×××和()12,,,n B b b b =L ，这两组数据间的闵氏距离定义为11()n qq AB k k k d q a b =éù=-êúëûå，其中q 表示阶数.现有下列四个命题：①若(1,2,3,4),(0,3,4,5)A B ==，则(1)4AB d =；②若(,1),(1,)A a a B b b =+=-，其中,a b ÎR ，则(1)(2)AB AB d d =；③若(,),(,)A a b B c d ==，其中,,,a b c d ÎR ，则(1)(2)AB AB d d ³；④若()2,,(,1)A a a B b b ==-，其中,a b ÎR ，则(2)AB d.其中所有真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．422．（多选） 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线0ax by c ++=使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线l ，记所有的点到l 的距离的最小值为l d ，约定：l d 越大，分类直线l 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将123,,P P P 和4P为第I 组点将12,Q Q 和3Q 归为第II 点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L ．给出下列四个结论：①直线 2.5x =比直线350x y --=的分类效果好；②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II 组点位于L 的同侧；④如果从第I 组点中去掉点1P ，第II 组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L ．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④题型8：传统解答压轴题23．如图，设直线1l ：0x =，2l ：340x y -=．点A 的坐标为()314a a æö>ç÷èø，．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，(N M ，N 的纵坐标均为正数)．（1）设1a =，求MON △面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．24．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -££时，求折痕长的最大值；（3）当21k -££-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值题型9：新定义题解答压轴题25．如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicab geometry ），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如(),x y 的有序实数对，直线还是满足0ax by c ++=的所有(),x y 组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．只是直角坐标系内任意两点()11,A x y ，()22,B x y 定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点(),Q a b 的“距离”均为r 的“圆”方程，并作出大致图像；（2）在出租车几何学中，到两点A 、B “距离”相等的点的轨迹称为线段AB 的“垂直平分线”，已知点()1,3A ，()6,9B ，()1,9C ；①写出在线段AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；②求证：ΔABC 三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为ΔABC 的“外心”），并求出ΔABC 的“外心”.26．已知点P 和非零实数l ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为l ，则称直线1l ，2l 是一组“P l 共轭线对”，如直线1l ：2y x =，2l ：12y x =-是一组“1O -共轭线对”，其中O 是坐标原点.(1)已知1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，求1l ，2l 的夹角的最小值；(2)已知点()0,1A ､点()1,0B -和点()1,0C 分别是三条直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C 与P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是“2P 共轭线对”，直线QP ，QR 是“3Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是“6R 共轭线对”，求点P 的坐标；(3)已知点(2,Q -，直线1l ，2l 是“12Q -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线1l ，2l 的距离之积的取值范围.。

高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。

本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。

1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。

一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。

截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。

斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。

两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。

两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。

此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。

3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。

曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。

曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。

通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。

4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。

线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。

线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。

总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。

通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。

个 性 化 辅 导 教 案学员姓名 科 目 年 级 授课时间课 时3授课老师教学目标 1、掌握两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法 2、掌握数形结合的学习方法重点难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

第三章：直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)两条直线的交点坐标[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.两点间的距离[导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1、P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形． [成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12B ．－12C.23 D ．－23[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或53．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1.若与两已知直线分别交于A ，B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解． 解法一体现了方程思想，要学会利用． [活学活用]1．若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.∵此交点在第四象限，∴⎩⎨⎧2m ＋37＞0，m －27＜0，解得－32＜m ＜2.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2.对称问题[例2] 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程． [解] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程 为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．[活学活用]2．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0坐标法的应用[例3] 一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则E (0.2,0)，F (0,0.5)，B (3,0)，D (0,2)，M (3,1)， 所以EF 所在直线斜率k ＝0.5－0.2＝－52.∵所求直线与EF 垂直，∴所求直线斜率为k ′＝25，又直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴交点为(0.5,0)，故应在EB 上截|EN |＝0.3 m ，得点N ，即得满足要求的直线MN . [类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD ，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC |＝|BD |.9.利用转化思想求最值[典例] 在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]在求有关距离之和最小或距离之差最大时，需利用对称性和几何性质求解.①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x 轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.在x 轴上求点P ，使|P A |－|PB |或|PB |－|P A |最大，以及|P A |＋|PC |最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，(2分) 且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.(3分) ∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34，(4分) ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P ⎝⎛⎭⎫163，0.故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫163，0，(6分) (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．(7分)又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，(9分)直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5，则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P ⎝⎛⎭⎫195，0.(11分)故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫195，0.(12分)[名师批注]若在x 轴上另取一点P ′，则|P ′B |－|P ′A |＜|BA |，因此，|AB |为最大值由点斜式写出直线AB 方程，再令y ＝0即可由A 、C 点在x 轴同侧，可作A 关于x 轴的对称点A ′(也可作C 关于x 轴对称点C ′)，转化为|CA ′|为最小值，若再找一点P 0，则|P 0A |＋|P 0C |＝|P 0A ′|＋|P 0C |＞|A ′C |[活学活用]求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.172．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( ) A ．{3，－1} B ．3，－1 C ．(3，－1)D ．{(3，－1)}3．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________． 4．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．5．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.点到直线的距离[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．距离的综合应用[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程． [解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 52．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2。

【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。

②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0③倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。

第10讲直线的方程直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义不能表示的直线点斜式y- =k(x- ) (x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率x=x1斜截式y=kx+b 为直线的斜率，为直线在y轴上的截距x=x1两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两点x=x1y=y1截距式a是直线在轴上的截距，b是直线在轴上的截距与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0(A2+B2 0)A、B、C为系数无两条直线的位置关系及到角、夹角公式1. 平行（1）l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；（2）l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，2.垂直（1）l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，（2）l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为Bx-Ay+m=03. 到角、夹角的概念与公式：（1）到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)②θ的范围：0°<θ<180°；（2）l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于90°的角叫两条直线的夹角。

注意：l1与l2相交不垂直时是锐角，0°<θ<90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°<θ≤90°；夹角公式：（3）使用范围：到角和夹角均不等于90°不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。

如l1:x=3与l2:y=2x+6的夹角：画图：直线系方程1.定义：具有某种共同性质的所有直线的 .它的方程叫直线系方程。

2.直线系方程的种类：（1）与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：x+ y+m=0 （其中m≠C，m为待定系数）；（2）与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:X y+m=0 （m为待定系数）.（3）过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y0)＝0（4）若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为:m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(1),其中m、n为待定系数.1.灵活应用直线方程的五种形式；2.根据直线位置关系求夹角及解析式；3.熟练应用直线系方程。