高考数学模拟试卷(5月份)

2020年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i2．设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2B．3C．4D．53．如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25B．10C．5D．24．“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0B．﹣3C．﹣10D．﹣256．已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6B．﹣4C．0D．47．在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC 的面积S等于（）A．3B．C．D．9．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．210．设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1二、填空题（本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为件．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是cm213．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．14．已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是．15．若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f（﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．2020年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？17．已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．19．已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n，对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）若数列{b n}满足+…+=n，（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．2020年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简复数为：a+bi的形式即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则z===﹣i．故选：B．2．设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出P中x的范围确定出P，找出P与N的交集即可．【解答】解：由P中y=，得到3x﹣x2≥0，整理得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即P=[0，3]，∵N为自然数集，∴P∩N={0，1，2，3}，则集合P∩N中元素个数是4，故选：C．3．如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25B．10C．5D．2【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得：ab=52，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b＞0，log5a+log5b=2=log5（ab），∴ab=52=25≤，解得a+b≥10，当且仅当a=b=5时取等号．则a+b的最小值是10．故选：B．4．“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】依据充分性与必要性的定义，对两个条件之间的关系进行判断研究其因果规律，以确定两个条件的关系．【解答】解：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，故充分性易证若ab＞4，如a=8，b=1，此时ab＞4成立，但不能得出a＞2且b＞2，故必要性不成立由上证明知“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件，故选A5．执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0B．﹣3C．﹣10D．﹣25【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，k的值，当k=5时，不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，s=1满足条件k＜5，执行循环体，s=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，s=0，k=3满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣3，k=4满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣10，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．故选：C．6．已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6B．﹣4C．0D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；化简y=|x|+m为m=y﹣|x|，从而确定最小值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；∵y=|x|+m，∴m=y﹣|x|，故当y=﹣3，|x|=3，即过点A（﹣3，﹣3）时，m有最小值为﹣6；故选：A．7．在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由sinx+cosx≥1得sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z∵0≤x≤π，∴当k=0时，x的取值范围是0≤x≤，则“sinx+cosx≥1”发生的概率P==，故选：D．8．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S等于（）A．3B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由条件和正弦定理求出sinA，结合条件和内角的范围求出A，由内角和定理求出B，利用三角形面积公式求出△ABC的面积S．【解答】解：在△ABC中，∵a=，c=，C=，∴由正弦定理得，则sinA===，∵C是钝角，且0＜A＜π，∴A=，∴B=π﹣A﹣C=，∴△ABC的面积S===，故选：D．9．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的结论f（0）=0求出a，再由对数的运算得出结论．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a=0，f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log3（8+1）=﹣2．故选：C．10．设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线右支上存在一点P，使•=0，∴⊥，∵|PF1|=|PF2|，∴|F1F2|=2|PF2|=4c，即|PF2|=2c∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|=2a，∵|PF2|=2c∴2（﹣1）c=2a，e==，故选：C二、填空题（本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为2件．【考点】线性回归方程．【分析】分别求出，，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，写出线性回归方程，将x=24代入线性回归方程求出对应的y的值，这是一个预报值．【解答】解：∵=（17+13+8+2）=10，=（24+33+40+55）=38，a=58∴=﹣2x+58，∴=﹣2×24+58=2，故答案为：2．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是12+4\sqrt{2}cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，∴该几何体的表面积=22×2++2×2=12+4cm2．故答案为：12+4．13．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°14．已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是[\frac{1}{4}，\frac{3}{4}]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据|+|=|﹣|得出•=0，⊥，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算表示出•，根据坐标运算即可求出•的取值范围．【解答】解：△ABC中，AB=AC=1，|+|=|﹣|，∴•=0，∴⊥；以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），C（1，0），B（0，1），∵=3，∴E（，）；直线BC方程为x+y=1，即x+y﹣1=0；设P（x，y），则0≤x≤1，则=（x，y），=（，），∴•=x+y=x+（1﹣x）=x+；∵0≤x≤1，∴≤x+≤；即•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f（﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据条件得到函数f（x）存在n个关于y轴对称的点，作出函数关于y轴对称的图象，根据对称性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，函数存在关于y对称的点有n个，当x＜0时，函数g（x）=|sin（x）|﹣1，关于y轴对称的函数为y=|sin（﹣x）|﹣1=|sin （x）|﹣1，x＞0，作出函数函数g（x）g和函数y=h（x）=|sin x|﹣1，x＞0的图象如图：若g（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则等价为函数g（x）和函数y=|sin（x）|﹣1，x＞0的图象有且只有3个交点，若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件，当0＜a＜1时，则满足，即，则，即＜a＜，故答案为：（，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．2020年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据各组的频率和等于1，即可求出m的值，（Ⅱ）（i）根据各组的人数比，利用分层抽样即可求出龄在35～55岁之间的人数，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为2人，记为D，E，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，m=0.1﹣（0.015+0.035+0.015+0.01）=0.025，（Ⅱ）依题意，各小组的人数为比0.015：0.035：0.025：0.015：0.010=3：7：5：3：2，（i）年龄在35～55岁之间的人数20×=12人，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为20×=3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为20×=2人，记为D，E，从55～75岁之间任意找两个人发言，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中少一人再65～75岁之间的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE共7种，所以至少一人再65～75岁之间的概率为．17．已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦化简．（Ⅰ）由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围可得函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）由函数的伸缩和平移变换求得g（x）的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数g（x）的值域．【解答】解：f （x ）=sin2x+2sin 2x==． （Ⅰ）由，解得．∴函数f （x ）的单调增区间为[]，k ∈Z ；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）﹣]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g （x ）=2sin2x ． 由x ∈[﹣，]，得2x ∈[]，∴sin2x ∈[﹣]，则函数g （x ）的值域为[﹣]．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，四边形ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD=60°平面ABE 与直线PA ，PD 分别交于点E ，F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，试求三棱锥A ﹣PBD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）由AB ∥CD 得出AB ∥平面PCD ，利用线面平行的性质得出AB ∥EF ； （2）过P 作PG ⊥AD 于G ，由面面垂直的性质得出PG ⊥平面ABCD ，于是V A ﹣PBD =V P ﹣ABD =．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面PCD=EF ， ∴AB ∥EF ．（2）过P 作PG ⊥AD 于G ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PG ⊥AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面ABCD ．∵△PAD 为正三角形，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB=60°， ∴PG=，S △ABD ==．∴V A ﹣PBD =V P ﹣ABD ===1．19．已知在等比数列{a n }中，a n+1＞a n ，对n ∈N *恒成立，且a 1a 4=8，a 2+a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（ Ⅱ）若数列{b n }满足+…+=n ，（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I ）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． （II ）利用等比数列的前n 项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，a n+1＞a n ，对n ∈N *恒成立，且a 1a 4=8，a 2+a 3=6． ∴a 2a 3=8，联立解得a 2=2，a 3=4． ∴q=2．∴a n =2×2n ﹣2=2n ﹣1． （II ）∵数列{b n }满足+…+=n ，（n ∈N *），∴=1，解得b 1=1．n ≥2时， =n ﹣（n ﹣1）=1，∴b n =（2n ﹣1）•2n ﹣1．∴数列{b n }的前n 项和S n =1+3×2+5×22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1． 2S n =2+3×22+…+（2n ﹣3）•2n ﹣1+（2n ﹣1）•2n ， ∴﹣S n =1+2（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•2n =﹣1﹣（2n ﹣1）•2n =（3﹣2n ）•2n﹣3，∴S n =（2n ﹣3）•2n +3．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C 交于点E ，F ，直线y=﹣x 与椭圆C 交于点G ，H ，且四边形EHFG 的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，得出a=2b，直线y=x 代入椭圆C，可得+=1，x=b，利用四边形EHFG的面积为，求出b，可得a，即可求得椭圆的方程；（2）设直线l1的方程代入椭圆的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韦达定理，可求得P的坐标，以﹣代入，可得Q（，﹣），从而可求PQ的直线方程，令y=0，即可得到结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2b，直线y=x代入椭圆C，可得+=1，∴x=b，∵直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为，∴（b）2=，∴b=1，∴a=2，∴椭圆C的方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得﹣2+x1=﹣，∴x1=，∴y1=k（x1+2）=，∴P（，），以﹣代入，可得Q（，﹣），则k PQ=﹣∴PQ的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，则x=+=﹣．∴直线PQ过x轴上的一定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出m=1的函数f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，求得g（x）的解析式和导数，以及单调区间，即可得到所求最大值；（ii）求得函数φ（x）的解析式，令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+，求出导数，可得单调区间，可得h（x）的最大值，由|g（x）|的最小值为1，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=lnx﹣e x+x的导数为f′（x）=﹣e x+1，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为2﹣e，切点为（1，1﹣e），即有函数f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（2﹣e）（x﹣1），即为y=（2﹣e）x﹣1；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，g（x）=f（x）+e x+1=lnx﹣ex+1，g′（x）=﹣e，当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递增．可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值﹣1；（ii）证明：函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣=|lnx﹣ex+1|﹣（+），令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+的导数为h′（x）=，当x＞e时，h′（x）＜0，函数y递减；当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）递增．即有函数h（x）=+的最大值为h（e）=+＜1；由（i）可得g（x）≤﹣1，即有|g（x）|≥1，则方程（*）无解．即有函数φ（x）没有零点．2020年7月14日。

2024年广东省肇庆市香山中学高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z i +=，则z =（）A ．12B ．22C ．D ．22．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±3．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P ，且点P 的纵坐标为12，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-4．()812y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（）A ．336-B ．28-C ．56D ．1125．记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20100S =，则1011a a ⋅的最大值为（）A ．9B ．16C ．25D ．506．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型()0kxy cec =>去拟合x 与y 的关系，设ln z y =，x 与z 的数据如表格所示：得到x 与z 的线性回归方程 1.2zx a =+ ，则c =（）x3467z22.54.57A ．2-B ．1-C ．2e-D ．1e -7．已知直线y kx =是曲线xy e =的切线，则实数k 的值为（）A ．1eB ．1e-C ．e -D ．e8．已知0b a >>，且满足ln ln a b b a =，e 为自然对数的底数，则（）A ．eaba e e<<B ．b e ae a e<<C ．b a ee e a<<D ．aebe a e<<二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】A解析：由题意知，函数的定义域为R，且当x<0时，f(x)=x+2，当x≥0时，f(x)=x-2。

因此，f(x)在x=0处不连续。

2. 【答案】C解析：由三角函数的性质知，sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，tan(π/6) = √3/3。

代入选项计算，只有C选项满足条件。

3. 【答案】B解析：由二次函数的性质知，当a>0时，函数开口向上，且顶点为函数的最小值点。

计算得a=1，b=-4，c=4，顶点坐标为(2, 0)。

4. 【答案】D解析：由复数的性质知，若z是复数，则|z|^2 = z·z，其中z是z的共轭复数。

计算得|z|^2 = 4，即|z| = 2。

5. 【答案】C解析：由数列的性质知，若数列{an}是等差数列，则an = a1 + (n-1)d，其中d是公差。

计算得d = 2，a6 = a1 + 5d = 3 + 10 = 13。

6. 【答案】B解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m个元素的组合数C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

计算得C(10, 3) = 10! / [3!(10-3)!] = 120。

7. 【答案】A解析：由向量的性质知，若向量a和向量b垂直，则a·b = 0。

计算得a·b = 3×(-1) + 4×2 = 5 ≠ 0，因此a和b不垂直。

8. 【答案】C解析：由函数的性质知，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上一定存在最大值和最小值。

计算得f(x)在区间[0, 2π]上连续，因此一定存在最大值和最小值。

解析：由概率的性质知，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

计算得P(A∪B) = 1/4 + 1/6 = 5/12。

10. 【答案】B解析：由数列的性质知，若数列{an}是等比数列，则an = a1·r^(n-1)，其中r是公比。

陕西省部分学校2024届高三下学期5月份高考适应性考试文科数学试题一、单选题1．复数2i (1i)1i+--的虚部为（ ） A ．32 B ．3i 2 C ．32- D ．3i 2- 2．若集合112A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|ln 0}B x x =>则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|1x x ≤C ．{}|01<<x xD ．{}|01x x <≤3．已知两个向量(2,1),)a b m =-=r r ，且()()a b a b +⊥-r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1±B ．C ．2±D ．±4．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，第一象限的点()9,A t 在抛物线上，且||10AF =，则t =（ ）A ．1B ．3C ．6D ．95．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()*2210n n a a n =+∈N ，136S S =则d 的值为（ ）A ．1B ．2019C ．2021D ．-16．已知函数()2e e log x x f x m -=-+，若()(),1f a M f a M =-=-，则m 的值为（ ）A ．12 B C ．2 D ．47．已知函数π()2cos cos()3f x x x =⋅-，则()y f x =的图像（ ） A ．关于直线2π3x =对称 B ．关于直线5π6x =对称C ．关于π1(,)122中心对称D ．关于π(,0)12-中心对称 8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆在第一象限与双曲线C 交于一点P ，且12PF F △的面积为4，若双曲线上一点到两条渐近线的距离之积为45，则该双曲线的离心率为（ ） A．BCD9．函数()f x ）A ．1 BCD ．210．已知如图所示的几何体中，底面ABC 是边长为4的正三角形；侧面11AAC C 是正方形，平面11AAC C ⊥平面,ABC D 为棱1CC 上一点，114CD CC =u u u u u r u u r ，且13BB CD =u u u r u u u r ，则1B D 与平面11AAC C 所成角的正弦值为（ ）ABCD11．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 66,sin B a b c A b -==，则ABC V 面积的最大值为（ ）A ．192 B ．212 C ．12 D ．15.12．已知121,1x x >>，且12ln 1x x =-，则21x x 的值可能为（ ） A．BCD ．2二、填空题13．各位数字之积为8的三位数的个数为.14．已知实数,x y 满足约束条件428424x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则由可行域围成区域的面积为.15．如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且侧棱长OA OB OC ==以点O ABC 所截的圆面的面积为.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列{}2n n a 的则前n 项和n T =.三、解答题17．某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到疑难问题，通过拍照搜题后，会在显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与相应的解题方法该产品投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了200位使用者，每人填写一份评分表（满分为100分），现从200份评分表中，随机抽取40份（其中男､女使用者的评分表各20份） 作为样本，经统计得到如下的数据：女生使用者评分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92男生使用者评分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92记该样本的中位数为M ，按评分情况将使用.都对该智能灯的态度分为两种类型：评分不小于M 的称为“满意型”，其余的都称为“不满意型”.(1)求M 的值，填写如下22⨯列联表(2)能否有99%的把握认为满意与性别有关？参考公式与数据：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知114,2,2a b CA CB ==⋅=u u u r u u u r .点D 在线段AB 上，且CD 平分ACB ∠.(1)求证：CA AD CB DB=； (2)求CD 的长度.19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB P CD ，AB ⊥平面,2,3,PAD AB AD PD CD E ====为PB 的中点.(1)求证：平面PAB ⊥平面CDE ；(2)若2PA =，求点E 到平面PCD 的距离.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 过点1,2A B ⎛⎫ ⎪ ⎭⎝⎭，(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆C 上一动点(),M m n ，从原点O 向圆222:()()(01)M x m y n r r -+-=<<，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，是否存在实数r ，使得12k k 为定值，若存在，求出r 值，若不存在，请说明理由.21．已知函数()2ln f x x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2e x =处的切线方程；(2)若()()12f x f x =，且12x x <.求证：212e x x +<.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2x t y kt =-+⎧⎨=⎩（t 为参数，k 为常数），以坐标原点O .为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：24cos 40ρρθ--=.(1)求直线l 恒过的定点的坐标，以及圆C 在平面直角坐标系下的标准方程；(2)若直线l 与圆C 交于,A B 两点，且ABC V 为等腰直角三角形，求k 的值.23．已知函数()1f x x m x =-++(1)当2m =时，求不等式()5f x ≥的解集；(2)若()2f x m ≥恒成立，求m 的取值范围.。

高考数学模拟题复习试卷高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁RA）∩B=（）A．（﹣2，0） B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知q是等比数{an}的公比，则q＜1”是“数列{an}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤3C．m≥l D．m≥36．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．3307．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值 D．有最大值为38．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A．B．（0，e）C．D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX=．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin∠ABD=，BC=．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l 过定点；当m=时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣c os2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P 点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．已知函数fn（x）=xn（1﹣x）2在（，1）上的最大值为an（n=1，2，3，…）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有an≤成立；（3）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn＜成立．杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁RA）∩B=（）A．（﹣2，0） B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁RA={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁RA）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．已知q是等比数{an}的公比，则q＜1”是“数列{an}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{an}的公比q＜1，不能得出数列{an}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{an}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤3C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3故选：B6．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．故选：C．7．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值 D．有最大值为3【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．8．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A．B．（0，e）C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf （x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h （x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=3．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin∠ABD=，BC=6．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH=k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l 过定点（0，2）；当m=时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知：•=0，即（x1﹣，y1+）•（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．15．根据新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••（•）•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有（••+••）=15种方法；若方案为2112，共有（••+••）=15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a}．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f （x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x，f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（1）=，（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）；当a=0时，f′（x）=﹣x+1，m≥|f′（x）|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣）2+1﹣，①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′（x）|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=（a﹣1）2＞0，f′（）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1，∴m≥1．22．已知函数fn（x）=xn（1﹣x）2在（，1）上的最大值为an（n=1，2，3，…）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有an≤成立；（3）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知得=（n+2）xn﹣1（x﹣1）（x ﹣），由此利用导数性质能求出数列{an}的通项公式．（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．（3）Sn＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：（1）∵fn（x）=xn（1﹣x）2，∴=xn﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]=（n+2）xn﹣1（x﹣1）（x﹣），…当x∈（，1）时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈（，）时，；x∈（）时，（x）＜0；∴f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，…∵（1+）n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…（3）Sn=a1+a2+…+an＜＜=＜．∴对任意正整数n，都有成立．…21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P 点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣15高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．。

2022年吉林省长春市第二实验中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )A. B.C. D.3. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 米B. 米C. 米D. 米4. 已知实数x、y满足，则的最大值为( )A. B. C. 2 D. 35. 已知函数的部分图象如图所示，则( )A.B.C.D.6. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲、乙、丙、丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为( )A. B. C. D.7. 下列不等式中一定成立的是( )A. B.C. D.8. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则( )A. B. C. D.9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.10. 从区间中任取两个实数x，y，记事件A：，事件B：，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为( )A. B. C. D.11. 在直三棱柱中，，则三棱柱，外接球体积等于( )A. B. C. 16 D.12.已知实数x，y，z满足且，若，则( )A. B. C. D.13. 已知向量、满足，，，则______.14. 设M，N是双曲线实轴的两个端点，Q是双曲线上的一点异于M，N两点，且，则双曲线的渐近线方程为______. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则______.16. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体有______条棱，表面积为______.17. 已知等差数列的公差，其前n项和为，若，且、、成等比数列．求数列的通项公式；求数列的前n项和18.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.求证：；求二面角的余弦值；19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且求角B的大小；若，D为AC边上的一点，，且____，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．20. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与x轴交于N，与C交于M，且求抛物线C的方程；设A、B是C上两点，其横坐标之和为，且M在以AB为直径的圆上，求直线AB的方程．21. 已知函数若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；当时，证明：22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：以过原点的直线的倾角为参数，求曲线C的参数方程；设曲线C上任一点为，求的取值范围．23. 已知函数解不等式；若正数a，b，c满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A，定义域为且不关于原点对称，不为偶函数，故A错误；对于B，，为偶函数，且时，单调递增，故B正确；对于C，为偶函数，但在上单调递减，故C错误；对于D，，为偶函数，当时，单调递减，故D错误．故选：求得的定义域不关于原点对称可判断A；由含绝对值的函数的奇偶性和单调性可判断B；由二次函数的单调性和奇偶性可判断C；由指数函数的单调性和奇偶性的定义可判断本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设乌龟每次爬行的距离为等比数列，公比为q且，，所以乌龟爬行的总距离为故选：根据题意是一个等比数列模型，本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力．4.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，由图可知，z的最大值为故选：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由图象得：，故，，故，将点代入的解析式得：，解得：，故，故，故选：由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：甲单独被分到A村的事件数为：，四人分配到三个村的事件数为：，所以甲单独分到A村的概率为：，故选：根据概率古典概率计算公式，即可解出．本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的成立条件的判断，属于基础试题．结合不等式的性质及基本不等式的成立条件对各选项进行检验即可判断．【解答】解：因为，所以，A不成立；当时，，B不一定成立；因为，所以，故，当时等号成立，C 不一定成立；因为，所以，即，D一定成立．故选8.【答案】C【解析】解：根据题意，，则，①，，变形可得，②联立①②可得：，，则有，故选：根据题意，运用特殊值法以及函数奇偶性的性质可得关于、的关系式，解可得、的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设等边的边长为m，则其周长为3m，由椭圆的定义知，，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，，即，化简得，所以离心率故选：设等边的边长为m，通过的周长，结合椭圆的定义，推出，进而知，再在中，利用余弦定理，即可得解．本题考查椭圆的定义与几何性质，还涉及余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则在事件A发生的条件下，事件B发生对应区域为圆在内部部分，圆的半径为2，则和的面积相等，都等于，对应圆弧面积，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，故选：作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积，利用面积关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】A【解析】解：如图，直三棱柱中，，可得，则为等腰直角三角形，分别取BC、的中点D、，连接，则的中点O为三棱柱的外接球的球心，可得外接球的半径，三棱柱的外接球体积等于故选：由题意画出图形，分别取BC、的中点D、，连接，则的中点O为三棱柱的外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的体积公式得答案．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】D【解析】解：因为可，，，，，，，，，，；下面比较x，y的大小令，，当时，，在上单调递增，时，，即，一定有，，①，又，①式可化为，令，则，当时，，在上单调递增，，，，，综上：故选：由选项确定比较x，y，z三个字母的大小，题干中只有两个等式及，所以先考虑到将等式变形，确定除，；在比较x与y的大小，构造出x，y的一个不等式，然后利用函数的单调性求解．本题利用函数的单调性比大小，对于等式特定形式可根据相同字母放在同侧进行构造函数，对于和是常见形式．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的模的运算，属于基础题．根据向量的模的公式列式计算即可．【解答】解：故答案为：14.【答案】【解析】解：设M，N是双曲线实轴的两个端点，设，则，，所以，又Q在双曲线上，可得，所以，可得所以，双曲线的渐近线方程为：故答案为：设出Q坐标，求出、的正切函数值，然后结合点在双曲线上，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，，，解得，，由余弦定理得，故答案为：由正弦定理得，，再由余弦定理求解即可．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，每个正方形4条边，每个三角形3条边，，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有条棱．三角形和四边形的边长都是，所以正方形总面积为，三角形总面积为，表面积，故答案为：24，由每个正方形4条边，每个三角形3条边，再考虑到每条边对应两个面，由此可得多面体的棱．分别由三角形和四边形的面积公式求得多面体的表面积．本题主要考查几何体的表面积，属于中档题．17.【答案】解：由题意，可知，，，，整理，得，①又，，、、成等比数列，，即，整理，得，，，②联立①②，可得，解得，，由，可得，则，故【解析】先根据题意写出、、、的表达式，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式；先根据第题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】证明：，，为棱的中点，平面ABC，，平面ABC，即平面，又平面，平面平面，又平面平面，平面，平面，平面，；解：以C为原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，平面ABC，，，，、平面，平面，平面的一个法向量为，，由图可知，平面与平面所成角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】由平面ABC，可推出平面，进而得平面平面，易知，再由面面垂直的性质定理可证得平面，故；以C为原点，以CA、CB、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出A、B、D、、E的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量；可证得平面，故平面的一个法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：由正弦定理知，，，代入上式得，，，，，若选①：由BD平分得，，，即在中，由余弦定理得，又，，联立得，解得舍去，若选②：由题意可得，两边平方可得，可得，可得，在中，由余弦定理得，即，联立可得，【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求，结合范围，可求B的值．若选①：利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理可得，联立方程解得ac的值，利用三角形的面积公式即可求解；若选②：由三角形中线的性质可得，两边平方化简可求，在中，由余弦定理得，联立方程可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，角平分线的性质，三角形的面积公式，余弦定理，三角形中线的性质在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：设，因为点M在抛物线上，所以，所以，所以，，由，所以，所以，所以，因为，所以，所以抛物线的方程为由可得，设，，则，所以，设直线AB的方程为，联立，得，所以，即，，，所以，因为点M在以AB为直径的圆上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或舍所以直线AB的方程为【解析】设，代入抛物线的方程，解得，由，得，解得p，即可得出答案．由可得，设，，则，进而可得，设直线AB的方程为，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，由点M在以AB为直径的圆上，得，解得m，即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则可化为，设，则，函数在上递减，在上递增，，实数a的取值范围为；证明：令，则，①当时，，此时；②当时，由知，当时，，即；③当时，；综上所述，当时，，即得证．【解析】依题意，在上恒成立，设，利用导数求出函数的最小值即可得出答案；令，然后分及讨论即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的证明及不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的方程为：，，以为圆心，为半径，且过原点的圆，设过原点的直线交曲线C的另一点于N，设，则，由已知条件可知，以过原点的直线的倾角为参数，则，且，故圆的参数方程为为参数，且为曲线上任一点，，，，，，故的取值范围为【解析】根据已知条件，结合参数方程和普通方程之间的关系，即可求解．将转化为参数形式，再结合三角函数的恒等变换公式，以及有界性，即可求解．本题主要考查圆的参数方程，需要学生较强的转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，，或或，或或，，原不等式的解集为；，且a，b，c为正数，，当且仅当，，，即时，取得等号，故的最小值为【解析】分段去掉绝对值，再解不等式组求并即可得解；由，将被开方数里面的等式乘以，再打开利用均值不等式即可证明；本题考查绝对值不等式的解法，均值不等式的应用，属中档题．。

湖北省武汉市数学高考文数5月份模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）已知集合M={x||x﹣1|＜1}，集合N={x|x2﹣2x＜3}，则M∩∁RN=（）A . {x|0＜x＜2}B . {x|﹣1＜x＜2}C . {x|﹣1＜x≤0或2≤x＜3}D . ∅3. （2分）已知为第二象限角，则的值是（）A . 3B . -3C . 1D . -14. （2分）(2017·大理模拟) 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1 ， F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）下列说法中，错误的是（）A . “x>1”是“x2>1”的充分不必要条件B . 若|a|>|b|,则a>b的逆否命题为真命题C . 命题p:任意,x2>0,则存在,D . 若a>b且c<0,则6. （2分）如果执行下面的程序框图，那么输出的s是（）A . 2550B . ﹣2550C . 2548D . ﹣25527. （2分） (2019高一上·金华期末) 已知在梯形中，，且，，点为中点，则（）A . 是定值B . 是定值C . 是定值D . 是定值8. （2分）数列满足，且对任意的都有，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·长春期末) 若函数的极小值为，则a的值为（）A . -2B . -1C . -4D . -310. （2分）已知抛物线的焦点为，是准线上的一点，是直线与的一个交点，若，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·恩施模拟) 已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2019高三上·广东月考) 已知定义在上的偶函数对任意都有，当取最小值时，的值为（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·南市期中) 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数与众数分别为________．14. （1分）(2019·上饶模拟) 一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为________.15. （1分） (2020高二上·吉林期末) 已知变量满足约束条件，则的最大值为________.16. （1分）如图所示，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1 ，α2 ，α3 ，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·梅县期末) 已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足 .（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．18. （10分） (2019高二上·长沙期中) 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.19. （10分）(2018·茂名模拟) 如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，平面，求四棱柱的体积.20. （10分）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21. （10分）已知函数p（x）=lnx﹣x+4，q（x）= ．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的取值范围．22. （10分）(2019·太原模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）若曲线方程中的参数是，且与有且只有一个公共点，求的普通方程；（2）已知点，若曲线方程中的参数是，，且与相交于，两个不同点，求的最大值.23. （5分）求值：lg5（lg8+lg1000）+（lg2）2+lg+lg0.06参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年高三年高考模拟训练学科：数学满分：150分注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R U =，集合{}1,0,2,3,4A =-，{}ln 1B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}3,4 B.{}2,3,4 C.{}1,0,2- D.{}1,0,3,4-【答案】D 【解析】【分析】根据Venn 图可知图中的阴影部分表示集合R A B ⋂ð，利用补集的定义和运算求出R B ð，结合交集的定义和运算即可得出结果.【详解】由题意得，图中的阴影部分表示集合R A B ⋂ð.由集合{}1,0,2,3,4A =-，{}{ln 1}0e B xx x x =<=<<∣，得R {0B x x =≤ð或e}x ≥，所以R A B = ð{}1,0,3,4-，故选：D ．2.若点()3,4-在双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（）A.259B.2516C.53D.54【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，进而求出ba即可求出离心率.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由点(3,4)-在双曲线C 的一条渐近线上，得4(3)ba=-⋅-，解得43b a =，所以C 的离心率53e a ===.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若210,a a ≥>20100S =，则1011a a （）A.有最小值25B.有最大值25C.有最小值50D.有最大值50【答案】B 【解析】【分析】由20100S =，利用等差数列的性质推出101110a a +=，再利用基本不等式计算即得.【详解】由12020101120()10()1002a a S a a +==+=可得101110a a +=，因210,a a ≥>则等差数列{}n a 的公差0d ≥，故10110,0a a >>，则121011011(252a a a a +≤=，当且仅当10115a a ==时取等号，即当10115a a ==时，1011a a 取得最大值25.故选：B.4.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()10123f f f f f -++++=（）A.6B.5C.6- D.5-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数性质对函数()()11f x f x =++依次赋值0,1,2x =即可求解.【详解】由题()11y f x =++为奇函数，则()()1111f x f x -++=-+-，所以()()()()11222f x f x f x f x -+++=-⇒-+=-，所以()f x 关于()1,1-对称，所以()()()()()()()()()()10123131022125f f f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤-++++=-++++=---=-⎣⎦⎣⎦，故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线210x y ++=上.若向量()1,2a =r ，则OP 在a上的投影向量为（）A.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭B.12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.()1,2--【答案】A 【解析】【分析】现依据条件设定点P 的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解.【详解】由题可设()21,P t t --，则()21,t O t P -=-，所以()()121,1,2t O t P a ==--- ，又a == ，故OP 在a上的投影向量为25c 1os 12,,55a a a a a a a aaOP OP OP O P a OP O aP⎛⎫=-=-- ⎪=⎝⎭=，故选：A.6.某同学统计最近5次考试成绩，发现分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为x ，第60百分位数为m ，当去掉某一次的成绩后，4次成绩的平均分数为y ，第60百分位数为n .若y x =，则（）A.m n >B.m n= C.m n< D.m 与n 大小无法判断【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，即可求出x 、m ，要使去掉一个数据之后平均数不变，则去掉的一定是2a d +，从而求出n ，即可判断.【详解】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，所以()123425x a a d a d a d a d a d =++++++++=+，又560%3⨯=，所以第60百分位数为23522a d a d m a d +++==+，要使4次成绩的平均分数为y 且y x =，则去掉的数据一定是2a d +，即还剩下a 、a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，又460% 2.4⨯=，所以第60百分位数为3n a d =+，因为0d >，所以n m >.故选：C7.已知α，β均为锐角，()25sin 2cos sin 3αβαβ-=+，则()sin αβ-=（）A. B. C.23D.53【答案】D 【解析】【分析】利用()2αβααβ-=+-和()β=--α⎡⎤α-β⎣⎦对()sin 2αβ-和sin β进行转化即可求解.【详解】由题意()()()()sin 2sin sin cos cos sin α-β=α+α-β=αα-β+αα-β⎡⎤⎣⎦，又()()2525sin 2cos sin cos sin 33α-β=α+β=α--α⎡⎤α-β⎣⎦()()25cos cos sin sin 3⎡⎤=α+αα-β-α-β⎢⎥⎣⎦，故()()()()sin cos cos sin cos cos sin sin 3⎡⎤αα-β+αα-β=α+αα-β-α-β⎢⎥⎣⎦，即()()cos sin cos sin 3⎡⎤αα-β=α-α-β⎢⎥⎣⎦又α均为锐角，所以cos 0α≠，故()()()255sin sin sin 33α-β=-⇒=α-βα-β，故选：D.8.如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（）A.3B.2C.2D.32【答案】B 【解析】【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a ，则22HD a =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO ，故22HD OE PD OP ==，则2OP =.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.9.若1i z z -=-则（）A.1i z z +=+B.1i z z -=+C.0z z +=D.2z 是纯虚数【答案】AB【解析】【分析】根据复数的几何意义得到复数点所对应的轨迹，再利用共轭复数的概念即可判断AB ；举反例即可判断CD.【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，z 对应的点在()()1,0,0,1对应线段的中垂线即直线y x =上，对A ，因为直线y x =上的点到点()()1,0,0,1--的距离相等，则A 正确；对B ，因为z 与z 关于实轴对称，则z 对应的点在直线y x =-上，且该直线上的点到点()()1,0,0,1-的距离相等，所以B 正确；对C ，在直线y x =上取点()1,1，则其所对应的复数为1i +，则1i z =-，则2z z +=，故C 错误；对D ，在直线y x =上取点()0,0，则其所对应的复数为0，则20z =，故D 错误.故选：AB.10.已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（）A.()()2211111113A A A D A B A B ++= B.()11110A C AB A A ⋅-= C.向量1AD 与向量1A B uuu r的夹角是120°D.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD⋅⋅【答案】ABC 【解析】【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ．【详解】由向量的加法得到：111111A A D A A C A B ++= ， 221113A C A B = ，∴()()2211111113A A A D A B A B ++= ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB AC ⊥，∴110A C AB ⋅=，即()11110A C A B A A ⋅-= ，故B 正确；1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B uuu r的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA ⋅= ，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．【点睛】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系、夹角以及向量的运算法则与有关性质是做好本题的关键．11.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则（）A.5m =时，61a =B.5m =时，在所有n a 的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为25C.54a =时，m 的所有可能取值组成的集合为{}8,10,64M =D.若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则16m =【答案】ABD 【解析】【分析】将15a =代入递推公式即可判断A ；写出所有n a 的值组成的集合中的元素，再根据古典概型即可判断B ；根据递推公式，讨论前一项的奇偶即可判断C ；若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，再验证即可判断D .【详解】对于A ，当5m =时，则1234565,16,8,4,2,1a a a a a a ======，故A 正确；对于B ，当5m =时，则123456785,16,8,4,2,1,4,2a a a a a a a a ========，所以数列{}n a 从第4项起，是以3为周期的周期数列，所以所有n a 的值组成的集合为{}1,2,4,5,8,16，从中任选2个数都是偶数的概率为2426C 62C 155==，故B 正确；对于C ，当54a =时，若4a 为奇数，则4314a +=，故41a =，若4a 为偶数，则442a =，故48a =，若41a =，则312a =或3311a +=，所以32a =或30a =（舍去），由32a =，得222a =或2312a +=，所以24a =或213a =（舍去），由24a =，得142a=或1314a +=，所以18a =或11a =，若48a =，则382a =或3318a +=，所以316a =或373a =（舍去），由316a =，得2162a=或23116a +=，所以232a =或25a =（舍去），由232a =，得1322a =或13132a +=，所以164a =或1313a =（舍去），由25a =，得152a =或1315a +=，所以110a =或143a =（舍去），综上所述，11a =或18a =或110a =或164a =，所以m 的所有可能取值组成的集合为{}1,8,10,64M =，故C 错误；对于D ，若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，若11a =，则2344,2,1a a a ===，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若14a =，则2342,1,4a a a ===，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若12a =，则23451,4,2,1a a a a ====，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若18a =，则234564,2,1,4,2a a a a a =====，所以数列{}n a 从第2项起，是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有4个元素，不符题意；若116a =，则2345678,4,2,1,4,2a a a a a a ======，所以数列{}n a 从第3项起，是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合有5个元素，符合题意，所以若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则16m =，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()()4212x x +-的展开式中含2x 项的系数为______.【答案】40-【解析】【分析】先求出()42x -展开式通项公式，再根据乘法规则求出()()4212x x +-展开式中含2x 的项即可求解.【详解】()42x -展开式通项公式为()()44144C 22C rrr rr r r T xx --+=-=-，所以()()4212x x +-展开式中含2x 的项为()()323222224422C 2C 642440x x x x x x -+-=-+=-，故()()4212x x +-的展开式中含2x 项的系数为40-，故答案为：40-.13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心，PF 长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615px=-=，代入横坐标可得p y=±(5,P±，所以PF的中点坐标为或(3,，6 PF=，所以以PF的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y-+-=或(22(3)9x y-++=，圆心到x，所以与x截得的弦长为4=，故答案为：4.14.已知“x”表示小于x的最大整数，例如54=， 2.13-=-.若()sin0x xωω=>恰好有四个解，那么ω的范围是______.【答案】9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【解析】【分析】作出y x=和siny xω=的图象，数形结合即可求得答案.【详解】0ω>，如图为满足题意的两种情况：即2π15π1229π22ωωω⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩或5π12ω=，解得9π5π2π,42ω⎡⎫⎧⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭；故ω的范围是9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭，故答案为：9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合函数新定义，利用数形结合法解决方程根的个数问题，需要根据题意作出函数图象，利用图象进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某学校为了研究不同性别的学生对“村BA ”赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M =“了解村BA ”，N =“学生为女生”，据统计()116P M N =∣，()17P N M =∣.（1）根据已知条件，补全22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断该校学生对“村BA ”的了解情况与性别是否有关？了解不了解总计男生女生总计（2）现从该校不了解“村BA ”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.()2P x k>0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有关（2）分布列见解析，85．【解析】【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出2χ，将该值与临界值比较即可求解.（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出X 的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案.【小问1详解】因为()()11,167P MN P N M ==∣∣，所以对“村BA ”了解的女生人数为180516⨯=，了解“村BA ”的学生人数为5735⨯=，结合男生和女生各80名，作出22⨯列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160()22160307555016022.85710.8288080351257χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，因此，有99.9%的把握认为该校学生对“村BA ”的了解情况与性别有关；【小问2详解】由(1)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为501045075⨯=+，女生人数为751065075⨯=+．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.()()()()0413223146464646444410101010C C C C C C C C 18340,1,2,3C 14C 21C 7C 35P X P X P X P X ============，()4046410C C 14C 210P X ===.故随机变量X 的分布列如下：X01234P114821374351210则()484105E X =⨯=.16.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC 边上的高34h =，求cos cos A C .【答案】（1）π3B =（2）18-【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B 的大小;（2）由等面积法可得22b ac =，再由正弦定理可得sin sin A C 的值，再由cos cos()B A C =-+，可得cos cos A C 的值.【小问1详解】因为π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得132sin cos sin sin sin 22B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭，即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，在三角形中，sin 0A >，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得ππ66B -=，则π3B =.【小问2详解】因为AC 边上的高34h =，所以211332248ABC S b h b b b =⋅=⋅= ①又1133sin 2224ABC S ac B ac ==⨯= ②由①②可得22b ac =，由正弦定理可得2sin 2sin sin B A C =，结合（1）中π3B =可得3sin sin 8A C =，因为()1cos cos cos cos sin sin 2B AC A C A C =-+=-+=，所以1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AA C C ，90BAC ∠= .（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C 是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC ⊥平面11A B C ，进而得到1AC CA ⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.【小问1详解】过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O，如图所示：由平面11A B C ⊥平面11AA C C ，平面11A B C 平面111AA C C A C =，1B O ⊂平面11A B C ，11B O A C ⊥，得1B O ⊥平面11AA C C ，又AC ⊂平面11AA C C ，得1B O AC ⊥，由90BAC ∠= ，11//AB A B ，得11A B AC ⊥，111,B O A B ⊂平面11A B C ，又1111B O A B B = ，得AC ⊥平面11A B C ，又1CA ⊂平面11A B C ，得1AC CA ⊥.【小问2详解】以C 为坐标原点，CA ,1CA的方向为x 轴，y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ,由11A B C 是正三角形，22AB AC ==，可得111000200()()(A A B ,,，,,，，所以(1,0,0)CA = ，1(1,2,0)AA =-，11(0,AB A B ==-，设(,,)n x y z =是平面1A AB的一个法向量，则100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200x y y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则有y x ==得n =，设(,,)m x y z '''=是平面ABC 的一个法向量，则m AB m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x '''⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令1z '=，则有0y x ''==，得m =，则311cos ,422n m n m n m ⋅+===⨯，又因为二面角1A AB C --为锐二面角，所以二面角1A AB C --的大小为π3.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，点()()001,0P y y >为椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆E ：()2221012x y r r ⎛⎫++=<< ⎪⎝⎭相切，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，可得关于,,a b c 的方程，解之可得椭圆C 的方程；（2）先由直线与圆相切可得121k k =，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出12x x +，12x x ，12y y +，12y y ，代入121k k =可得,k m 的关系式，进而可得直线AB 过定点.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意得2222212c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线PA 和直线PB 斜率存在，设直线PA 的方程为1132y k x k =-+，直线PB 的方程为2232y k x k =-+，1312k r -=，所以()()222119141k r k -=+，所以()222119418940rkk r --+-=，同理，()222229418940r k k r --+-=，所以12,k k 是方程()2229418940rkk r --+-=的两根，所以121k k =.设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，将y kx m =+代入22143x y +=，得()2223484120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k +=-+，①212241234m x x k-=+，②所以()121226234my y k x x m k+=++=+，③()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，④又因为()()()()121212121212121212333339222224111111y y y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-----++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⨯===-----++，⑤将①②③④代入⑤，化简得22637804k km m m +++-=，所以3217022m k m k ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若302m k +-=，则直线()33:122AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，舍去.若21702m k ++=，则直线()2121:7722AB y kx k k x =--=--，此时AB 恒过点217,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点217,2⎛⎫-⎪⎝⎭.19.关于x 的函数()ln 2(2)f x x x b b =+->，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.（1）证明：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈；（2）现在，我们任取1x ∈(1,a )开始，实施如下步骤：在()()11,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；在()()22,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；……在()(),n n x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()+1,0n x ；可以得到一个数列{}n x ，它的各项都是()f x 不同程度的零点近似值.（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式(用n x 表示+1n x )；（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（2）（i ）由导数的几何意义得曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为12ln 1nn nx y x x b x +=+--，进而得()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+；（ii ）令()12ln 1n n n x h x x x b x +=+--，进而构造函数1()()()ln ln 1n nF x f x h x x x x x =-=--+，结合函数单调性证明1n x a +<，再根据()0,()()0n n f x f x f a '><=证明1()()n n n n n f x x x x f x +'=->即可得答案.【小问1详解】证明：()ln 2(2)f x x x b b =+->，定义域为()0,∞+，所以，()'120fx x=+>在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()ln1220(2),lnb 2ln 0(2)1b f b b b f b b b b b =+-=-<>=+-=+>>，所以，存在唯一()1,a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈.【小问2详解】解：（i）由（1）知()'12f x x=+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线斜率为12n nk x =+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为()()()'n n n y x f f x x x -=-，即12ln 1nn nx y x x b x +=+--令0y =得()ln 112n n nnx x b x x x -++=+所以，切线与x 轴的交点()ln 112,0n n n nx x b x x -+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()1ln 112n n n n nx x b x x x +-++=+，所以，()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+.(ii)对任意的()0,n x ∈+∞，由（i ）知，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=+--，故令()12ln 1nn nx h x x x b x +=+--，令1()()()ln ln 1.n nF x f x h x x x x x =-=--+所以，'11()n n n x x F x x x x x-=-=，所以，当(0,)n x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增，当,()n x x +∞∈时，()0,()F x F x '<单调递减；所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（i ）知，1()()n n n n f x x x f x +'=-，且当n x a ≠时，1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11...n n x x x a +====，显然矛盾）因为1n x +是()h x 的零点，所以11()()()0,n n f x h x f a ++<==因为()f x 为单调递增函数，所以，对任意的n x a ≠时，总有1.n x a +<又因为1x a <，所以，对于任意*N n ∈，均有n x a <，所以，()0,()()0.n n f x f x f a '><=所以1()()n n n n n f x x x x f x +'=->，综上，当()11,x a ∈，总有1n n x x a+<<【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数1()()()ln ln 1n nF x f x h x x x x x =-=--+，进而结合函数的单调性证明不等式.。