高一数学人教b版必修4作业设计：2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 含解析

[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2

人教版高中必修4(B版)2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件课程设计一、教学目标1.知识与技能：了解平面向量共线的条件及其含义，掌握用平面向量坐标表示向量共线的方法，能够运用向量共线条件解决相关问题。

2.过程与方法：通过讲解理论知识、演示计算方法、练习习题等方式，培养学生理论与实践相结合的学习方法。

3.情感态度：鼓励学生积极学习，勤于动手实践，培养团队合作精神与逻辑思维能力。

二、教学重点1.平面向量共线的条件及其含义。

2.用平面向量坐标表示向量共线的方法。

三、教学难点1.如何正确理解向量共线的条件及其含义。

2.如何运用向量共线条件解决相关问题。

四、教学内容1. 平面向量共线的条件在平面直角坐标系中，设向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的坐标分别为$\\vec{a}(x_1, y_1)$，$\\vec{b}(x_2, y_2)$。

若$\\vec{a}$和$\\vec{b}$共线，则$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的方向相同或相反。

即$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的向量积$\\vec{a}\\times \\vec{b} = 0$。

2. 用平面向量坐标表示向量共线的方法在平面直角坐标系中，设向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的坐标分别为$\\vec{a}(x_1, y_1)$，$\\vec{b}(x_2, y_2)$。

若$\\vec{a}$与$\\vec{b}$共线，则$\\vec{a}$与$\\vec{b}$满足以下条件之一：1.$\\dfrac{x_1}{x_2} = \\dfrac{y_1}{y_2}$2.$\\dfrac{x_1}{x_2} = \\dfrac{-y_1}{-y_2}$3.x1=x2=0或者y1=y2=03. 经典例题已知向量$\\vec{a} = (1, 2)$，$\\vec{b}=(2,1)$，判断$\\vec{a}$与$\\vec{b}$是否共线。

用平面向量坐标表示向量共线条件.会用坐标表示平面向量共线的条件..能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理两个向量平行的坐标表示阅读教材～“例”以上内容，完成下列问题.选择基底{，}.()设＝(，)，＝(，)，则∥⇔－＝.()设＝(，)，＝(，)，如果向量不平行于坐标轴，即≠，≠，则∥⇔＝.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()向量()与向量()共线.( )()向量()与向量(－，－)反向.( )【解析】()正确.因为()＝()，所以向量()与向量()共线.()正确.因为(－，－)＝－()，所以向量()与向量(－，－)反向.【答案】()√()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()已知(，－)，，且，，三点共线，则的坐标可以是( ) .(－) .(，－).() .(－，－)()已知四点坐标(－)，()，(－，－)，()，请判断直线与是否平行？()已知(－，－)，()，()，()，向量与平行吗？直线平行于直线吗？【精彩点拨】()利用向量的平行条件－＝，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线.()判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线.【自主解答】()设点的坐标是(，)，因为，，三点共线，所以∥.因为＝－(，－)＝，＝(，)－(，－)＝(－，＋)，所以(＋)－(－)＝，整理得－＝，经检验可知点()符合要求，故选.【答案】()因为＝()－(－)＝()，＝()－(－，)＝()，＝(－，－)－(－)＝(－，－)，所以＝－，＝－.所以∥∥.由于与，有共同的起点，所以，，，四点共线，因此直线与重合.。

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点 向量共线条件已知下列几组向量：(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)；(4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1). 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？梳理 向量共线的坐标表示设a ，b 是非零向量，且a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2).(1)当a ∥b 时，有__________________.(2)当a ∥b ，且b 不平行于坐标轴，即b 1≠0，b 2≠0时，有________________.即两个向量平行的条件是相应坐标__________.类型一 向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A.a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B.a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C.a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D.a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3).判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？反思与感悟 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →， 求证：EF →∥AB →.类型二 利用向量共线求参数引申探究1.若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.跟踪训练2 设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.类型三 三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线.1.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( )A.1B.－1C.4D.－42.与a ＝(6,8)平行的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，－45 C.⎝⎛⎭⎫35，45或⎝⎛⎭⎫－35，－45 D.⎝⎛⎭⎫±35，±45 3.已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________.4.已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5).求证：四边形ABCD 是梯形.5.已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标.1.两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例. 2.向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.答案精析问题导学知识点思考1 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a .思考2 共线．思考3 坐标不为0时成正比例．思考4 能．将b 写成λa 的形式，当λ>0时，b 与a 同向，当λ<0时，b 与a 反向． 梳理 (1)a 1b 2－a 2b 1＝0(2)a 1b 1＝a 2b 2成比例 题型探究例1 (1)D(2)解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，∴AB →与CD →共线且方向相反．跟踪训练1 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)， BF →＝13BC →＝(－23，1)． ∴(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)， (x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)， ∴(x 1，y 1)＝(－13，23)， (x 2，y 2)＝(73，0)． ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)． ∵4×(－23)－(－1)×83＝0， ∴EF →∥AB →.例2 解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 引申探究1．解 由例2知，当k ＝－13时， k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 2．解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )，3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)．∵a ＋k b 与3a －b 平行，∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k ＝－13. 跟踪训练2 2例3 解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)．若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11.又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．跟踪训练3 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3 ＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)．∵7×4－72×8＝0， ∴AB →∥AC →.又AB →，AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂训练1．D 2.C 3.64．证明 ∵A (3，－1)，B (1,2)，C (－1,1)，D (3，－5)， ∴AB →＝(－2,3)，CD →＝(4，－6)．∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|， ∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是梯形．5．点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11.。