《几何与代数》 科学出版社 习题解析第一章
- 格式:ppt
- 大小:2.23 MB
- 文档页数:40
高代与解几第二章自测题(一)——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后,其逆序数改变1.( × )2. 一个排列施行一次对换后,其奇偶性改变.( √ )3. 2≥n 时,n 级的奇排列共2!n 个. ( √ ) 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ,它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n -1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ,n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D =x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ,常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9,则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ,则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=(提示:逐行向下叠加得上三角形行列式)4. nD n 222232222222221=(提示:爪型行列式)高代与解几第二章自测题(二)——矩阵,线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.( ×)2. 如果矩阵A 没有非零子式,那么0)(=A rank .(√ )3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.( √)4. 初等变换不改变矩阵的秩.(√ )5. 若n 元线性方程组有2个解,则其增广矩阵的秩小于n .(√ ) 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2, 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解,则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解:对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换,得A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量,得其一般解为:……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为:B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤,….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换:B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤,…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数,证明:有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数,b 是任意数,证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解,并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等,其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此,D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(,由于n a a a ,...,,21是互不相同的数,所以0≠D ,根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-, …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式,且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ,因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时,方程组仅有零解?又在何时有非零解?在有非零解时,求出其一般解。
第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示(1)向量:有大小和方向的量。
(2)表示:AB ,A 为向量的起点,B 为向量的重点。
(3)向量的模:||AB 。
(4)向径(半径向量/定位向量):称为P 的向径,简记为P 。
(5)单位向量:模为1,记为|a |aa o =。
(6)零向量:模为0,任意方向,与任何向量共线。
(7)自由向量:可自由平行移动。
(8)相等(相反):大小相等,方向相同(相反)。
(9)共线(平行):平行移动到同一始点,在一条直线上;共面。
(10)共面:平行移动到同一始点,在一个平面上。
2.向量的加法和减法(1)加法:①三角/多边形法则(定义1.1):首尾相连,第一个向量起点到最后一个向量终点;②平行四边形法则(定义1.2):首首相连,平行四边形过起点的对角线;③三角/多边形不等式:|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
(2)减法:三角形法则(定义1.3):首首相连,OA OB AB -=。
3.向量的数乘(1)定义1.4:实数λ与向量a 的乘积是一个向量,记为λa。
|λa|=|λ||a|,方向取决于λ。
4.运算律(图形法证明)①交换律:a ±b =b ±a②结合律:(a ±b )±c =a ±(b ±c );λ(μa )=(λμ)a③分配律:(λ+μ)a =λa +μa ;λ(a +b )=λa +λb5.共线及共面向量的判定(1)定理1.1:向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ,使b=λa ;推论1.1:两个向量a ,b 共线⟺∃λ,μ∈R ,且λ,μ不同时为0,使λa +μb =0。
(2)定理1.2:若a ,b 不共线,向量c 与a ,b 共面⟺∃λ,μ∈R ,使c =λa +μb ;推论1.2:三个向量a ,b ,c 共面⟺∃λ,μ,φ∈R ,使λa +μb+φc =0。
《线性代数与解析几何》练习册参考答案第1章1.1 1.7;2 i =4,j =5;3,+,-3(1)1;(2) -1;4,(1)1;(2)3333a b c abc ++-;(3) 288;(4) abcd .1.2 1.(1)27a ;(2)5a ;2 (1)-3;(2) 3()a b c ++;(3)0;(4) 16;(5) 123b b b ;(6) 12341a a a a ++++ 1.3 .1.12;2(1)12;(2) 12(1)(2)(2)x x x --+;3. 1, -1;4.0,86.5.14142323()()a a b b a a b b --; 6.0,-1,2,3;7. 4142439A A A ++=-,444518A A +=.8.-2. 1.4 1(1) (1,2,3)T ;(2) (,,)T a b c - 2. 1或-2;3;313λλ≠≠且. 第2章2.1 121002211X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2.61010AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭,131262129BA ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,111152017T B C A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭;,3 (1)112233AB a b a b a b =++,111213212223313233a b a b a b BA a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;(2)111213*********3233nn a b a b a b BA a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭() 4.(1)cos sin sin cos n n n n θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭;(2)121(1)200nn n nn n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;5. 000000008⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;7. 1200b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12,b b 是任意常数。
思考题1-11. 不成立。
因为222(),+=+++A B A AB BA B AB 不一定等于BA . 2. 成立。
因为22(),+=+++A E A AE EA E =AE EA . 3. 成立。
因为22()(),+-=-+-=-A E A E A AE EA E A E2()()-+=-A E A E A E .4. 不成立。
因为矩阵的乘法不满足消去律,由222()=AB A B ,得不出=AB BA .5. 不成立。
反例,1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 。
6. 不成立。
反例,1000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 。
7. 不成立。
反例,1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 。
8. 成立。
因为,()().Tk TT kk===A A A A A9. 不成立。
因为,()()()(1),Tk TT kkkk=-==-=-A A A A A A 结论与k 的奇偶性有关。
10. 成立。
由对称阵的定义可知结论成立。
习题1-11.111100-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X2.1,2x y ==3.BAABC ABABC 、、正确,依次为55⨯矩阵、41⨯矩阵、41⨯矩阵。
4.(1)3-3-5-7915⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(2)10530100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(3)32659110-4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(4)1432321211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(5)222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x +++++;(6)157063004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(7)050505050-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.(1)111112221222331332k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,在矩阵A 的左边乘以对角矩阵时,其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各行; (2)111212313121222323k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,在矩阵A 的右边乘以对角矩阵时,其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各列。
《⾼等代数与解析⼏何》课程分章节经典练习题及参考解答公众号ID:campusinout关注本⽂推送的练习与典型例题及参考解答对应于《⾼等代数与空间解析⼏何》课程学习、考研等通⽤的经典教材,由陈志杰编写、⾼等教育出版社的《⾼等代数与空间解析⼏何(第⼆版)》教材. 这些课后习题都是学习该课程,或者线性代数学习提⾼应知应会的、⾮常经典的练习题,不管是对于课程学习、还是考研等相关内容的复习、备考,都应该逐题过关、熟练掌握!注:本⽂内容由学友整理⾃⽹络搜索的⽂档,分享转载仅供学习参考,如原出处不允许转载分享,请告知删除,谢谢!更多通⽤教材课后习题分享在逐步完善中...《⾼等代数解析⼏何》练习题解答第⼀章向量代数1.1 向量的线性运算1.2 向量的共线与共⾯1.3 ⽤坐标表⽰向量1.4 线性相关性与线性⽅程组1.5 n维向量空间1.6 ⼏何空间向量的内积1.7 ⼏何空间向量的外积1.8 ⼏何空间向量的混合积1.9 平⾯曲线的⽅程第⼆章⾏列式2.1 映射与变换2.2 置换的奇偶性2.3 矩阵2.4 ⾏列式的定义2.5 ⾏列式的性质2.6 ⾏列式按⼀⾏(⼀列)展开2.7 ⽤⾏列式解线性⽅程组的克拉默法则2.8 拉普拉斯定理第三章线性⽅程组与线性⼦空间3.1 ⽤消元法解线性⽅程组3.2 线性⽅程组的解的情况3.3 向量组的线性相关性3.4 线性⼦空间3.5 线性⼦空间的基与维数3.6 齐次线性⽅程组的解的结构3.7 ⾮齐次线性⽅程组的解的结构,线性流形第四章⼏何空间中的平⾯与直线4.1 ⼏何空间中平⾯的仿射性质4.2 ⼏何空间中平⾯的度量性质4.3 ⼏何空间中直线的仿射性质4.4 ⼏何空间中直线的度量性质4.5 平⾯束第五章矩阵的秩与矩阵的运算5.1 向量组的秩5.2 矩阵的秩5.3 ⽤矩阵的秩判断线性⽅程组的解的情况5.4 线性映射及其矩阵5.5 线性映射及矩阵的运算5.6 矩阵乘积的⾏列式与矩阵的逆5.7 矩阵的分块5.8 初等矩阵5.9 线性映射的象空间与核空间第六章线性空间与欧⼏⾥得空间6.1 线性空间及其同构6.2 线性⼦空间的和与直和6.3 欧⼏⾥得空间6.4 欧⼏⾥得空间中的正交补空间与正交投影6.5 正交变换与正交矩阵第七章⼏何空间的常见曲⾯7.1 ⽴体图与投影7.2 空间曲⾯与曲线的⽅程7.3 旋转曲⾯7.4 柱⾯与柱⾯坐标7.5 锥⾯7.6 ⼆次曲⾯7.7 直纹⾯7.8 曲⾯的交线与曲⾯围成的区域第⼋章线性变换8.1 线性空间的基变换与坐标变换8.2 基变换对线性变换矩阵的影响8.3 线性变换的特征值与特征向量8.4 可对⾓化线性变换8.5 线性变换的不变⼦空间第九章线性空间上的函数9.1 线性函数与双线性函数9.2 对称双线性函数9.3 ⼆次型9.4 对称变换及其典范形9.5 反称双线性函数9.6 ⾣空间9.7 对偶空间第⼗章坐标变换与点变换10.1 平⾯坐标变换10.2 ⼆次曲线⽅程的化简10.3 平⾯的点变换10.4 变换群与⼏何学10.5 ⼆次曲线的正交分类与仿射分类10.6 ⼆次超曲⾯⽅程的化简第⼗⼀章⼀元多项式的因式分解11.1 ⼀元多项式11.2 整除的概念11.3 最⼤公因式11.4 不定⽅程与同余式11.5 因式分解定理11.6 重因式11.7 多项式的根11.8 复系数与实系数多项式11.9 有理系数多项式第⼗⼆章多元多项式12.1 多元多项式12.2 对称多项式12.3 结式12.4 吴消元法12.5 ⼏何定理的机器证明第⼗三章多项式矩阵与若尔当典范形13.1 多项式矩阵13.2 不变因⼦13.3 矩阵相似的条件13.4 初等因⼦13.5 若尔当典范形13.6 矩阵的极⼩多项式第⼗四章若尔当典范形的讨论与应⽤14.1 若尔当典范形的⼏何意义14.2 简单的矩阵⽅程14.3 矩阵函数14.4 矩阵的⼴义逆14.5 矩阵特征值的范围。
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形?(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点;(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点;(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]:(1)单位球面;(2)单位圆(3)直线;(4)相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心,在矢量、OB、、OD、OE、、AB、、、DE、和中,哪些矢量是相等的?[解]:如图1-1,在正六边形ABCDEF中,相等的矢量对是:图1-1.和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证:KL=NM. 当ABCD是空间四边形时,这等式是否也成立?[证明]:如图1-2,连结AC, 则在∆BAC中,21AC. KL与方向相同;在∆DAC中,21AC. NM与AC方向相同,从而KL=NM且KL与NM方向相同,所以KL=.4. 如图1-3,设ABCD-EFGH是一个平行六面体,在下列各对矢量中,找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量:(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]:相等的矢量对是(2)、(3)和(5);互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立,矢量ba,应满足什么条件?(1-=+(2+=+(3-=+(4+=-C(5=[解]:(1),-=+;(2),+=+(3≥且,-=+ (4),+=-(5),≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题.⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x .⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ,→→→→+-=321223e e e b ,求→→+b a ,→→-b a 和→→+b a 23.⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243,解出矢量→x ,→y . 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ,→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a , →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a . 2 已知四边形ABCD 中,→→→-=c a AB 2,→→→→-+=c b a CD 865,对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ,求→EF .解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121.3 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→→→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线.4 在四边形ABCD 中,→→→+=b a AB 2,→→→--=b a BC 4,→→→--=b a CD 35,证明ABCD 为梯形.证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ,∴ABCD 为梯形.6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量, ,可 以构成一个三角形.[证明]: )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
几何代数参考答案解析几何代数是数学中的一个重要分支,它研究了几何和代数之间的关系。
在学习几何代数时,解答和解析参考答案是非常重要的,它可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科。
本文将对几何代数参考答案解析进行探讨。
首先,我们来看一道几何代数的题目:已知平面上有三个点A(1,2),B(3,4)和C(5,6),求三角形ABC的面积。
我们可以通过几何方法和代数方法来解答这个问题。
几何方法是通过计算三角形的底和高来求得面积。
首先,我们可以根据两点之间的距离公式求得AB和AC的长度,分别为√8和√32。
然后,我们可以通过向量的叉积公式求得三角形的面积,公式为:S=1/2 * |(x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)|,其中(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)分别为三个点的坐标。
代入AB和AC的长度,我们可以得到三角形ABC的面积为4。
代数方法是通过向量的坐标表示来求得面积。
我们可以将向量AB表示为(3-1,4-2)=(2,2),向量AC表示为(5-1,6-2)=(4,4)。
然后,我们可以通过向量的叉积公式求得三角形的面积,公式为:S=1/2 * |x1y2-x2y1|,其中x1、y1、x2和y2分别为向量AB和AC的坐标。
代入坐标,我们可以得到三角形ABC的面积为4。
通过以上两种方法,我们可以得到相同的结果,即三角形ABC的面积为4。
这说明几何方法和代数方法在解答这个问题时都是有效的。
通过比较两种方法的优缺点,我们可以选择更适合自己的方法来解答类似的问题。
在几何代数的学习过程中,解答和解析参考答案是非常重要的。
通过解答参考答案,我们可以检验自己的答案是否正确,同时也可以发现自己的错误和不足之处。
通过解析参考答案,我们可以更深入地理解问题的本质和解题思路,从而提高自己的解题能力。
此外,解答和解析参考答案还可以帮助我们发现问题的一些特点和规律。
在几何代数中,有些问题可能存在多种解法,而解答和解析参考答案可以帮助我们发现这些不同的解法,并学习它们的思路和技巧。
第一章 行列式一、填空题 1.2)1(-n n ; 2. 42312314,!4a a a a - 3. 0 ;4. 1222+++c b a ; 5. 1,2,3; 6. 1,或 -2 .二、选择题 D C B B C.三、计算题1. 解: 122334,,r r r r r r D ---104106310321011112334r r r r --,4100310032101111=12. 解: D n (从最后一列开始)列加到第将第1-i i 2)1(1+=∑==n n i ni . 3. 解:1111111111114321-----+---+++a a a a a a a Dc c c c 40001001001001a a a a a==四、解答题解:14131211432A A A A +++1313120210114321---==1514131211432M M M M +++1313120210114321-----==3五、证明题证明:因为42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361 因为第四列的元素可以被16整除,所以行列式可被16整除.第二章 矩阵及其运算一、填空题1. 327,- ;2.0;3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---32164232164; 4. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001 5. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---31310032310000520021 二、选择题 B AC D D ; BCCBB三、计算题1. 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−↔1101024431220130121121r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000216001101001211,所以秩为3.2. 解: *18)31(A A --=-=--1183A A A =---113A A 12-A ==-18A 64.3.解:(1) 由→)(E P )(1-P E 易得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P,⇒=PB AP 1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001(2) 12112---==P PB PBP PBP A, 同理 155-=P PB A52523)(A A E A f +-=∴152)523(-+-=P B B E P又 =+-52523B B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400030006,,)(A f ∴1400030006-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--47340360064. 解法一:记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=300031001200002A ,对)(E A 进行初等行变换得)(1-A E 可求. 解法二:(利用分块矩阵)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31122A , 易求:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21137112A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-31000021*********211A 5. 解:因为A B AB =-,B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边同时右乘1-B 得:E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1,=-=∴--11B E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1000021000020020,由→-)(1E A )(A E 可得A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10000210410002100210. 四、证明题1.(1)证明: ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆,且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明:,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =,与条件O A ≠矛盾,所以A E -3不可逆.2.证明:A A =2,∴=-⇒=-∴,)(2O E A A O A A R (A )+ R (A -E )≤n (1)又R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n (2) 由(1),(2)式知 R (A )+ R (E A -)= n.第三章 向量与向量空间第四章 欧氏空间一、填空题 1. 的实数2≠;2. -2 ; 3.T T )1,2,1(61,)1,0,1(21-;4. 40;5. 0453=+--z y x ;6. 0),(22=+±z y x f ; 7. 椭圆柱面.二、选择题 D ; C ; D ; C ; C ; B . 三、解答题1.对矩阵),,,(4321αααα=A 施行初等行变换:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6254533111113121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6630221022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000000022101301 从而得向量组4321,,,αααα的秩为2,一个最大无关组为 21,αα(不唯一).其余向量在此最大无关组下的线性表示式分别为:214213223αααααα+-=+-=;.2. 解:记),,(321ααα=A ,),,(321βββ=B ,⑴ 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为P , 即AP B = ∴ B A P 1-=由()()B A E B A 1101010432100010001341432321111001111-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=行变换 得:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101010432P .⑵ 设(x ,y ,z )是γ在基321,,βββ的坐标,则有:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32141011125202167410111B z y x . 3.解: 过点M 与L 垂直的平面P :0)3()1(2)2(3=---+-z y x 即:0523=--+z y x P 与L 的交点:)73,713,72(-, 故所求直线方程为431122-=--=-z y x .四、证明题1.证明:存在m k k k ,,21使得02211=-+-+-)()()(m m αβk αβk αβk 代入m αααβ+++= 21,整理得:0132231132=+++++++-m m m m αk k k αk k k αk k k )(,)()(因为)(,,121>m αααm 线性无关,所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++-0001323132m m m k k k k k k k k k 而系数行列式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011111110111110 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011111110111111m m m 0111≠--=-)()(m m ,所以齐次方程组只有零解,m k k k ,,21都为零。
第一章 向量代数习题1.11.试证向量加法的结合律,即对任意向量成立,,a b c ()().a b c a b c ++=++证明:作向量(如下图),,,AB a BC b CD c ===则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2.设两两不共线,试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件,,a b c 是0.a b c ++=证明:必要性,设的终点与始点相连而成一个三角形,,,a b c ABC∆则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+==充分性,作向量,由于,,AB a BC b CD c ===所以点与重合,即三向量0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=A D 的终点与始点相连构成一个三角形。
,,a b c3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明:设三角形三边的中点分别是(如下图),并且记ABC ∆,,AB BC CA ,,D E F,则根据书中例1.1.1,三条中线表示的向量分别是,,a ABb BCc CA ===111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=-所以,故由上题结论得三角形111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=的三中线可以构成一个三角形。
,,CD AE BF 4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明:如下图,梯形两腰中点分别为,记向量ABCD ,BC AD ,E F ,,AB a FA b ==则而向量与共线且同向,所以存在实数使得现,DF b = DC AB 0,λ>. DC AB λ=在由于是的中点,所以, FB b a =+,FC b a λ=-+E BC 且1111()()(1)(1).2222 FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。