21导数概念72089

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21导数的定义74035

2019/8/19
8
研究一小球做自由落体运动，
其运动方程为 s1gt2,t[0,10] 2 考察小球在t 2秒时的
瞬时速度 v ( 2 ).
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9
其变化情况见下表：
… … t [1.5,2] [1.99,2] [1.9999,2]
2
[2,2.001] [2,2.01] [2,2.5]

f x
函数 f ( x) 在区间a,b内有一
导函数，即
f'xlim fxxfx
x 0
x
也可记作 y ，d y ，d f ( x )
d x dx
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导数与导函数的区别与联系
区别：
f ( x 0 ) 是一常数.
f x 是一函数.
联系：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 就是导函数
若物体的温度 T 与时间 t的函数关系为TT(t).请表示出物
体在时刻t 0 的冷却速度？
vt0
lim t 0
T t

lim Tt0tTt0
t 0
t
v(t0)T t0
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25
案例4 [非均匀杆的线密度]
设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为
费尔马
Pierre de Fermat 1601—1665
法国数学家．律师．业余研究数学．解析几何的创始人．有著名的“费尔马大定理” ．1638年发现求极值的方法，是微积分学的先驱．
2019/8/19
牛顿
Newton 1642—1727
英国物理学家和数学家．他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学 ”

21导数的概念

运动质点的位置函数 s = f (t)
f (t0 )
在 t0 时刻的瞬时速度
o t0
v = lim t→t0
f (t) − f (t0) t − t0
=
f ′(t0 )
f (t) s t
曲线 C : y = f ( x) 在 M 点处的切线斜率
k = lim f ( x) − f ( x0 )
x→ x0
解 ( x n )′ = lim ( x + h)n − x n
h→0
h
=
lim[nx n−1
h→0
+
n(n − 2!
1)
x n−2h
+
L+
hn−1 ]
=
nx n−1
即 ( xn )′ = nxn−1.
更一般地 ( xμ )′ = μxμ−1. (μ ∈ R)（以后证明）
例如,
(
x )′
=
1
1−1
x2
定理：在某点可导的函数在该点一定连续。
证设函数 f ( x)在点 x0可导,
Δy lim Δx→0 Δx
=
f ′( x0 )
Δy Δx
=
f ′( x0 ) + α
α → 0 (Δx → 0) Δy = f ′( x0 )Δx + αΔx
lim Δy
Δx→0
=
lim [
Δx→0
f
′(
x0
)Δx
+
αΔx]
k
=
lim
x→ x0
f (x)− x−
f ( x0 ) x0
N
CM
T
两个问题的共性:

2020-2021学年高考数学(理)考点：导数的概念及运算

A． x y 1 0 B． 2x y 2 1 0 C． 2x y 2 1 0 D． x y 1 0 【答案】C 【解析】由 y 2sin x cos x ，得 y 2 cos x sin x ，
y |x 2 cos sin 2 ，曲线 y 2sin x cos x 在点 ( , 1) 处的切线方程为 y 1 2(x ) ，
6．（2018•新课标Ⅰ）设函数 f (x) x3 (a 1)x2 ax ．若 f (x) 为奇函数，则曲线 y f (x) 在点
(0, 0) 处的切线方程为 ( )
A． y 2x
B． y x
C． y 2x
D． y x
【答案】D 【解析】函数 f (x) x3 (a 1)x2 ax ，若 f (x) 为奇函数， f (x) f (x) ，
f′(x)＝axln a 1
f′(x)＝x 1
f′(x)＝xln a
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
[ ]f x f′xgx－f xg′x
(3) gx ′＝
D． a e1 ， b 1
由在点 (1, ae) 处的切线方程为 y 2x b ，
可得 ae 1 0 2 ，解得 a e1 ，
又切点为 (1,1) ，可得1 2 b ，即 b 1 ，
故选 D ． 5．（2018•全国）若函数 f (x) ax2 1图象上点 (1 ， f （1） ) 处的切线平行于直线 y 2x 1 ，则
B． y lnx
C． y ex
D． y x3
【答案】A

高等数学课件--D讲义21导数概念

二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
x x 0 xx0
x0 x
yf(x)f(x0) xxx0
存在, 则称函数
在点处可导, 并称此极限为
在点的导数. 记作:
y xx0 ;
f(x0);
dy
;
dx x x0
d f (x) dx x x0
y
y x
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未
必可导.
反例:
23.02.2021
在 x = 0 处连续 , 但不可导. O
x
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五、单侧导数
定义2 . 设函数有定义, 若极限
而在时刻的瞬时速度为
vtl im t0 f(t)t tf0(t0)
自由落体运动
s
1 2
gt2
f (t0) O t0
f (t) s
t
23.02.2021
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2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线 y yf(x) N
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
CM
T
切线 MT 的斜率
O x 0 x x
limtan
割线 M N 的斜率
tan
f(x)f(x0) xx0
kxl im x0 f(xx)xf0(x0)
23.02.2021
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瞬时速度切线斜率
f (t0) O t0

高等数学课件21导数的概念

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目录
01
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02
03
导数的应用
04
导数的定义导数的扩展知识
01
添加章节标题
02
导数的定义
导数的定义及几何意义
导数：函数在某一点的切线
斜率
几何意义：函数在某一点的切线斜率等于函数在该点的
导数
导数的计算：通过求极限得
到
导数的应用：求函数的极值、最值、拐点等
积分可以用来求面积、体积、弧长等
导数与积分在物理、工程、经济等领域有广泛应用：通过积分计算导数，如y=∫x^2 dx，y'=2x
泰勒公式法：通过泰勒公式计算导数，如y=e^x， y'=e^x
03
导数的应用
导数在函数单调性判断中的应用
导数与函数单调性的关系：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减导数在函数单调性判断中的应用：通过计算导数，判断函数在某点或某区间的单调性导数在函数极值判断中的应用：导数为0的点可能是函数的极值点，需要进一步判断导数在函数最值判断中的应用：通过计算导数，判断函数在某点或某区间的最值
导数的极限定义
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该点附近切线的斜率
极限的定义：函数在某一点的极限是该函数在该点附近的极限值
导数的极限定义：函数在某一点的导数是该函数在该点附近的极限值
导数的极限定义的应用：用于求解函数在某一点的导数，以及求解函数在某一点的极限值
导数的连续性
导数的基本性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的瞬时变化率

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lim 1
1
h0 xh x 2 x
三、求导数举例Biblioteka •几个基本初等函数的导数 ( C ) 0 ( 1 x ) x 1 2 ( x ) 2 1 x ( x ) x 1 例4 求函数f(x)x n (n为正整数) 的导数
解 f(x)(xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]
我们称f (x)在 x0 处的导数为无穷大。
5、设I =(a,b)为开区间，若 f (x)在 I 内每一点都可导，就称函数
f (x)在区间 I 内可导。这时，I 内的每一个确定的 x 值，都对
称应着 f (x)的一个确定的导数值，这就构成了一个新的函数，
为原来函数 y= f (x)的导函数，记为：
第二章导数与微分
第一节导数概念
一、引例
1、切线问题：
圆的切线：与圆只有一个交点的直线。一般曲线的切线：
曲线C为函数y = f (x)的图像
我们考虑M0点的切线在曲线上任取一点M，M0、M y 确定的直线称为曲线的割线。
当M趋向于M0时(即xx0)，我们把割线的极限位置的直线叫
M0
做曲线C在M0点的切线。
vs t
ss0 t t0
常
数v
称为该质点的速度
s s0
0
t0
tt
➢变速直线运动即质点在运动的各个位置速度不一定相同。
vsss0f(t)f(t0) v
t tt0
tt0
称为该质点在
t
到
t0
的平均速度
平均速度不能反映质点在某一时刻的速度，给定某一时刻t0, 那么如何求质点在这一时刻的速度呢？
令 △t 0, 取上式极限
vli m slim f(t0 t)f(t0)
t t 0 t 0
t
若极限存在， v 称为质点在时刻 t0 的(瞬时)速度。 s-s0
0
t0
t
t
归纳上述两个例子即知：求切线斜率、求质点在某个时刻
的速度，只要计算这样的比值极限：
lim ylim f(x 0 x)f(x 0) 当 x 取为时间即为速度
数 y = f (x)在点 x0 处可导，并称这个极限值为 y = f (x)
在点 x0 处的导数，记为：y |xx0 ，即
y |xx0
y lim x0 x
l i m f(x0x)f(x0)
x 0
x
dy 也可记作 f(x0), dx
或
x x0
d f ( x) dx xx0
说明：
1、f (x)在 x0 处可导可以说成 f (x)在 x0 处具有导数或导数存在。 2、下列表示的导数定义是一样的，
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
lim 1 h0 (xh)x
1 x2
三、求导数举例
•几个基本初等函数的导数 ( C ) 0 ( 1 x ) x 1 2 ( x ) 2 1 x ( x ) x 1 例例5 3 求 y x 的导数。
解 ylim xh x lim
h
h0
h
h0 h( xh x)
MC
o
x0 x x x x
x
已知切线过M0点，只要求得切线的斜率即可。
我们来看割线M0M的斜率：
y f(x0x)f(x0)
x
x
当MM0时，即△x
0时，若
k
lim
x0
y x
存在，
则 k 就是所求切线的斜率。
y
MC
y
M0
x
o
x0
x
x
2、物体直线运动的速度问题
设质点沿直线运动，我们把它看作点沿数轴运动， t 表示时间，t0 表示某一时刻，质点运动的路程 s 是 t 的函数，记为: s = f (t)。 ➢匀速直线运动即质点在运动的各个位置速度相同。
(1) f(x0)x l ix0m f(xx ) x f0 (x0)
(2 ) f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0) (3 ) f(x 0 ) lx i0m f(x 0 x x )f(x 0 )
3、若定义中的极限不存在，就说 f (x)在 x0 处不可导。 4、若 f (x)在 x0 处不可导，且当 x0 时，xy
★ 函数 f(x )在点 x 0处可导左导数 f (x 0 )和右
导数 f (x 0 )都存在且相等 .
三、求导数举例
•几个基本初等函数的导数
例1 求函数f (x)C（C为常数）的导数
解 f ( x ) l f ( x h ) i f ( x ) l m C C i 0 。 h 0 h h 0 h
即 (C ) 0
三、求导数举例
•几个基本初等函数的导数 ( C ) 0 ( 1 x ) x 1 2 ( x ) 2 1 x ( x ) x 1
例例4 2 求 y 1 的导数。
解
y x lhim0 x 1 hh 1x lh i m 0 h(xhh)x
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
三、求导数举例
•几个基本初等函数的导数 ( C ) 0 ( 1 x ) x 1 2 ( x ) 2 1 x ( x ) x 1 例5 求函数f(x)sin x的导数
x 0 x x 0
x
二、导数的定义
定义：设函数 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变
量 x 在 x0 处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时，相应的应变量 y 取得增量 y f(x 0 x ) f(x 0 )
如果 y 与 x 之比当x0时的极限存在，则称函数
y, f (x), dy
dx
, 或 d f (x)
dx
导函数定义式：
ylim f(xx)f(x)
x 0
x
或 f(x)lim f(xh )f(x)
h 0
h
6、函数f(x)在点x0处的导数 f (x0) 就是导函数 f (x) 在点x=x0
处的函数值，即
f(x0)f(x)|xx0
★ 单侧导数
1.左导数:

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