2021北京海淀区高三上期中考试数学试卷及答案解析

【高三】精品解析：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试（数学理）试卷说明：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试数学理题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.]2.下列函数中，值域为的函数是( )A. B. C. D.3.在中，若，则=( )A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，在中，若，所以，，，故选B.考点：任意角的三角函数4.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B7.已知，函数若，则实数的取值范围为（）A. B.C.D. 8.已知函数，在下列给出结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在上单调递减.其中，正确结论的个数为（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】试题分析：因为，，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.___________.【答案】2【解析】试题分析：，故答案为2.考点：定积分的计算10.已知数列为等比数列，若，则公比____________.11.已知，则的大小关系为____________.12..函数的图象如图所示，则______________，__________.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，14.定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则 ________ ；若，则________________.【答案】14，【解析】试题分析：因为，定义在上的函数满足：①当时，；②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；当时，的零点从小到大依次为，……，所以，当时，的零点从小到大依次满足，所以，考点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

4 / 47 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习高三数学参考答案2020.11一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACCDBCABAB二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

题号 （11）（12）（13） （14）（15）答案2-3253 41 2π 3 π32 三、解答题共 6 小题，共 85 分。

（16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：b sin B =c .sin C因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .因为 cos A = 3， 0 < A < π ，4所以 sin A =因为 S = ，= 7 .4所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2⨯ sin A = 2 2所以 c 2 = 4 .7 .所以 c = 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .因为 cos A = 3，4所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3= 2c 2 .4所以 a = 2c .所 以 a= .c（17）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .数学答案 第 1 页（共 10 页）1- cos 2 A⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a+ 10d = 22. ⎩ 1⎧a 1 = 1,解得： ⎨d = 2.所以 a n = 2n -1 .（Ⅱ）选择①②设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .因为 S 3 = 7 ，所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =b 2= 2 .b 1b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择①③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =b 3= 4 ， q = ±2 .b 1因为 b n +1 > b n ，数学答案 第 2 页（共 10 页）所以 q = 2 .b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择②③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .b (1 - q n )所 以 S n = 11 - q= 2n -1 .因 为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .（18）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .2所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为{x x < 0, 或 x > 3}.2（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)数学答案 第 3 页（共 10 页）= e x(2x + 3)(x -1) .令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-3 （舍）.2f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：x0 (0,1)1(1, 2) 2f '(x)- 0 +f (x) 0 ↘-e ↗2e2所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.（19）（本小题共14 分）解：（Ⅰ）因为所以所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +3π] （k ∈Z ）.2 22kπ +π≤x +π≤ 2kπ +3π ， k ∈Z .2 6 22kπ +π≤x ≤ 2kπ +4π ， k ∈Z .3 3所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +4π] （k ∈Z ）.3 3（Ⅱ）因为所以因为所以f (x) = 2sin(x +π) ，6f (x -π) = 2sin x .6g(x) =f (x) f (x -π) ，6g(x) = 4sin(x +π)sin x6= 4(3sin x +1cos x)sin x2 2= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x= 2sin(2x -π) +33 .因为0 ≤x ≤m ，所 以-π≤ 2x -π≤ 2m -π .3 3 3因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，数学答案第 4 页（共10 页）所以 sin(2x -π) 的取值范围为[-33,1].2所 以 π≤ 2m -π≤4π.2 3 3解得： 5π≤m ≤5π .12 6所以m 的最大值为5π. 6（20）（本小题共14 分）解：由 f (x) =ax3- 3ax2+ 2 + 4a 可得： f '(x) = 3ax2- 6ax = 3ax(x - 2) .（Ⅰ）当a =-1 时，f (3) =-2 , f '(3) =-9 .所以曲线y =f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程为y =-9x + 25 .（Ⅱ）①当a = 0 时，f (x) = 2 在R 上不具有单调性．②当a > 0 时，令 f '(x) = 0 得 x1= 0, x2= 2 .f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)+ 0- 0+f (x)极大值极小值所以 a ≥ 2 .③当a < 0 时，f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)- 0+ 0-f (x)极小值极大值所以 a + 3 ≤ 0 ，即a ≤-3 .综上所述，a 的取值范围是(-∞, -3] [2, +∞) .（Ⅲ）先证明： f (x1) +f (x2 ) ≥ 4 .由（Ⅱ）知，当a > 0 时，f (x) 的递增区间是(-∞,0) ，(2, +∞) ，递减区间是(0, 2) .因为 x1+x2> 2 ，不妨设 x1≤x2，则 x2> 1.数学答案第 5 页（共10 页）m - 4 a< a n 0 2 2 2 ①若 x 1 ≤ 0 ，则 x 2 > 2 - x 1 ≥ 2 .所以 f (x 1) + f (x 2) > f (x 1) + f (2 - x 1) = 4 + 4a > 4 .②若 x 1 > 0 ，因为 x 2 > 1，所以 f (x 1) + f (x 2 ) ≥ f (2) + f (2) = 4 ，当且仅当 x 1 = x 2 = 2 时取等号. 综上所述，f (x 1) + f (x 2 ) ≥ 4 .再证明： f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .假设存在常数 m （ m ≥ 4 ），使得对任意 x 1 + x 2 > 2 ， f (x 1) + f (x 2) ≤ m .取 x = 2 ，且 x > 2 + ，则1 2f (2) + f (x ) = 2 + ax 3 - 3ax 2 + 2 + 4a= 2 + ax (x - 2)2 + a (x - 2)2 + 2 > a (x - 2)2 + 4 > m ，2 222与 f (x 1) + f (x 2) ≤ m 矛盾.所以 f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .（21）（本小题共 15 分）解：（Ⅰ）取i =1, j = 2 ，则存在a k （ 2 < k < 4 ），使得 a k = 2a 2 - a 1 ，即 a 3 = 2a 2 - a 1 .因为 a 1 = a = 3 ， a 2 = b = 5 ，所以 a 3 = 2a 2 - a 1 = 7 .（Ⅱ）假设{a n } 中仅有有限项为0 ，不妨设 a m = 0 ，且当 n > m 时，a n 均不为0 ，则m ≥ 2 .取i = 1, j = m ，则存在a k （ m < k < 2m ），使得a k = 2a m - a 1 = 0 ，与 a k ≠ 0 矛盾.（Ⅲ）①当a < b 时，首先证明数列{a n } 是递增数列，即证∀n ∈ N * ， a n < a n +1恒成立.若不然，则存在最小的正整数 n 0 ，使得a n ≥ a n +1 ，且 a 1 < a 2 <.显然 n 0 ≥ 2 .取 j = n 0 ,i = 1, 2, , n 0 -1，则存在a k （ n 0 < k < 2n 0 ），使得数学答案 第 6 页（共 10 页）。

2021-2021年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年大体一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。

1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。

2.试卷整体难度与去年类似，可是难易程度的散布与去年期中考试不同，更类似于2021年的高考真题的难度散布，即常规大体问题的难度下降，产生了很多“送分题”；可是中档问题考核方向不变，可是考核方式有所改变，增强了知识方式之间的综合和深切明白得知识后的灵活视同；关于难题而言，从命题和设问的角度能够看出，依旧本着考察数学思想、思维方式的方向，同时鼓舞归纳猜想的特点依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方式有明确的熟悉，而不是简单经历。

值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并非是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。

3.由于具有以上特点，本次考试相较之前的考试具有了更好的区分度，靠着关于题目“熟悉”才能入手的考生无法在这次考核中取得较高的分数，加倍强调了知识和概念的明白得，和方式背后隐含的数学思想。

通过以上分析，高三的数学温习，题海战术与高考的要求是相违抗的，是一种低效的温习方式。

应在对基础知识和概念的明白得上多下功夫，试探和总结与做题并重，专门是要注重对重要数学思想和思维方式的训练和体会。

【试卷分析】一、选择题部份1.设集合{}|1A x R x=∈>，{}|12B x R x=∈-≤≤，那么A B=（）A.[)1,-+∞ B.()1,+∞ C.(]1,2 D.[)1,1-【分析】此题考查集合的表示与运算，难度不大，把握表示方式、了解运算概念即可解决。

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。

【全国区级联考】北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}20A x x =-<，集合{}21xB x =>, 则A B =A ．RB ．(),2-∞C ．()0,2D ．()2,+∞2．命题“0,sin 1x x ∀≥≤”的否定是（ ） A ．0,sin 1x x ∀<> B ．0,sin 1x x ∀≤> C ．0,sin 1x x ∃<>D ．0,sin 1x x ∃≥>3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是 A ．2()f x x =- B ．()3x f x -= C ．()ln f x x=D ．()sin f x x x =+4．已知数列{}n a 满足1222(1,2,3,...)n a a a a n ++⋅⋅⋅+==，则 （ ） A ．10a < B ．10a > C ．12a a ≠D ．20a =5．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴上. 在△AOC中，若cos 3AOC ∠=-，则点A 的横坐标为A ．BC ．3-D ．36．已知向量a b ，是两个单位向量，则“a b =”是“2a b +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知函数1()sin()f x x ωφ=+（0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为A ．2,3π B ．2, 3π-C ．1,6π D ．1, 6π-8．若函数()2,0,02x x xe f x x ax x ≤⎧=⎨>-⎩的值域为1[,)e-+∞，则实数a 的取值范围是A ．(0,) eB ．(e, )+∞C ．(0, e]D ．[), e +∞二、填空题9．已知等差数列{}n a 满足12462,a a a a =+=，则公差d =_____.10．已知向量()1,0a =，(,)b m n =，若b a -与a 平行，则n 的值为______. 11．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时, 1()f x x=，则5()(0)_______2f f -+=.12．能够说明“设x 是实数．若x >1，则x +1x−1>3”是假命题的一个实数x 的值为________．13．已知非空集合,A B 满足以下两个条件： （ⅰ）{}1,2,3,4,AB A B ==∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.那么用列举法表示集合A 为_______ .三、双空题14．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定：,[0, )h t t t =+∈+∞，则小球在开始振动（即0t =）时h 的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.四、解答题15．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.16．已知等比数列{}n a 满足1238a a a =，516a =. （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设21log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．如图，△ABD 为正三角形， //AC DB ，4AC =，cos ABC ∠=.（1）求sin ACB ∠的值； （2）求AB ，CD 的长.18．已知函数()()3,23f x x x g x x =-=-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.19．已知数列{}n a 满足121a a ==， ()221nn n a a +=+-，（ n ∈N *）.（Ⅰ）写出56,a a 的值；（Ⅱ）设2n n b a =，求{}n b 的通项公式；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列{}218n S -的前n 项和n T 的最小值. 20．已知函数()()2ln f x x x x =-．(Ⅰ)求证：1是函数()f x 的极值点；(Ⅱ)设()g x 是函数()f x 的导函数，求证：()1g x >-．参考答案1．C 【解析】{}{}|2,0A x x B x x =<= ，由交集的定义得到：A B ⋂{}|02x x =<<故答案选择C. 2．D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，即可得到答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，sin 1x ≤的否定是sin 1x >， 所以命题“0,sin 1x x ∀≥≤”的否定是0,sin 1x x ∃≥> 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 3．C 【解析】A ：是偶函数，在()0,+∞上是减函数．故不正确． B：是非奇非偶函数，在()0,+∞上是减函数．故不正确． C ：函数是偶函数，在()0,+∞上是增函数，故正确． D ：是奇函数，在R 上是增函数．故不正确． 故答案为C： 4．D 【解析】根据条件得到：可设123n n S a a a a =++++：11231n n S a a a a --=++++ ，故两式做差得到：0n a =，故数列的每一项都为0，故D 是正确的．A：B：C ，都是不正确的． 故答案为D： 5．A 【解析】设点C 的坐标为()1,0 ，点A 的坐标为()cos ,sin AC AC θθ ，则cos θ= ，由22sin cos 1θθ+= ，以及sin 2.AC θ=，得到2sin .3θ=3.AC = 故得到cos AC θ=故答案选A： 6．C 【详解】由条件得到2a b +=，即两边平方得到：222()2*112cos 4a b a b a b θ+=++=++= 得到cos 10.θθ=⇒= 即两个向量的夹角是0，又因为长度相等，故a b =；反之也能推得结论． 故答案为C： 7．B 【解析】由条件知道：27,36x x ππ== 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036w w πφπφ+=+=，由图像知道周期是π ，故2w =，故47sin()0,sin()033πφπφ+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k 3πφπ ，故.3πφ=- 如果7433k πφπφπ+=⇒=- ，根据2πφ<，得到.3πφ=-故答案为B：点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法． 8．D 【解析】当0x ≤时，,(1)x xy xe y x e ==+' ，故函数在(,1)-∞- 上单调递减，在()1,0- 上单调递增，且过原点，最小值为1e-；当0x >时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为11().f a e a e≥-⇒≥ 故答案为D：点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题．分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值． 9．2. 【解析】由等差数列的通项公式得到：246111245 2.a a a a d a d a d +==+=+⇒== 化为基本量a 和公差d 。

北京市海淀区2021届高三上学期期中考试考数学试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）A. {0，2}B. {0，2，4}C. {}3x x ≤D. {}03x x ≤≤【答案】A【解析】集合{|30}{|3}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2故选：A.2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1C. -4D. -1【答案】C【解析】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C.3. 命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ∃>，使得21x < B. 0x ∃≤，使得21x ≥ C. 0x ∀>，都有21x < D. 0x ∀≤，都有21x <【答案】C【解析】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <” 故选：C4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ）A.11a b< B.b a a b> C.2a b+> D.2b a a b+> 【答案】D 【解析】0a b <<，11a b∴>，故A 错；0a b <<，22a b∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b ∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D.5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x = B. 3||y x =C. 1y x x=-D. cos y x =【答案】B 【解析】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x=-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 【答案】C【解析】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】A【解析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==⋅⋅⋅==， 故选：A.8. 已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B【解析】由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即()6k k Z ωπϕπ+=∈，()6k k Z ωπϕπ∴=-+∈，sin()6y A x k ωπωπ∴=-+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，()sin ()6f x A x t k ωπωπ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，11()6t k k k Z ωπωππ∴-+=∈，11(,)6k kt k Z k Z ππω-∴=+∈∈，因为0t >min 6t π∴=．故选：B ．9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A.10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2C. [)0,4D. [)2,4【答案】B【解析】根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______.【解析】由题意得：2(1)1z i i i i i =+=+=-+，所以z ==12. 已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________. 【答案】-3.【解析】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______. 【答案】25 【解析】19a =，2d =-，912112na n n令0n a ≥，解得112n ≤，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为554592252S故答案为：25.14. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ⋅= _______.【答案】 (1). 34(2). 1 【解析】①M 是BC 的中点，∴12BMBC ， D 是AM 的中点，∴11112224BD BA BM BA BC =+=+， 12x ∴=，14y =，故34x y +=． ②ABC ∆是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，且1BM =，∴2cos 1BD BM BD BM DBM BM ⋅=⋅⋅∠==．故答案：34，1．15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =__________；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1).23π (2). 32π【解析】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高 2.5m ，即2.5H =，代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-，第一次入水即在满足1cos 2t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23t π=（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32π 故答案为：①23π；②32π三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3cos 4A =.（1）若△ABC ，求c 的值； （2）求ac的值. 解：（1）由正弦定理得：sin sin b cB C=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =.因为3cos4A=，0Aπ<<，所以27sin1cosA A=-=，因为S=211sin2sin22S bc A c A==⨯⨯=，所以24c=，所以2c=；（2）由（1）知2b c=，因为3cos4A=，所以222222232cos4424a b c bc A c c c c=+-=+-⨯=，所以a=，所以ac=17. 已知等差数列{}n a满足59a=，3922a a+=.（1）求{}n a的通项公式；（2）等比数列{}n b的前n项和为n S，且11b a=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020nS<的n的最大值.条件①：312b a a=+；条件②：37S=；条件③：1n nb b+>.解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，则()11na a n d+-=，因为59a=，3922a a+=，所以1492102ta da d+=⎧⎨+=⎩，解得：112ad=⎧⎨=⎩所以21na n=-；（2）（I）选择①②设等比数列{}n b的公比为q，因为11b a=，312b a a=+，所以11b=，34b=，因为37S=，所以23132b S b b=--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以217q q ++=. 所以2q，或3q =-.因为1n n b b +>，所以2q.所以1(1)211n n n b q S q-==-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解：（1）因为0x e >，由()2(0)23xf x e x x =->，得2230x x ->.所以0x <或32x >. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭； （2）由()223()xf x e x x =-得：2()(23)x f x e x x '=+-()()231xex x =+-.令()0f x '=，得1x =，或32x =-（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()222f e =.19. 已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.解：（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤， 所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围.解：由()32324f x ax ax a =-++可得：2()363(2)f x ax ax ax x '=-=-（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.所以曲线( )y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为925y x =-+.（2）由已知可得0a ≠①当0a >时，令()0f x '=得0x =，22x =.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.②当0a <时，()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号.综上所述，12())4(f x f x +≥.再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤.取12x =，且22x >+则 ()()3222222324f f x ax ax a+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，与()()12f x f x m +≤矛盾.所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ； （2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项0；（3）若ab ，求数列{}n a 的通项公式.解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥.取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同数恰为01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n= 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n=当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n=②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，的因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =经检验，数列{}n a 满足题设条件.。

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{0A x x =£或x >1}，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ）A. {}2,2- B. {}2,1,2- C. {}2,0,2- D. {}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B Ç.【详解】因为集合{0A x x =£或x >1}，{}2,0,1,2B =-，则{}2,0,2A B =-I .故选：C.2. 若复数z 满足i 1i z ×=-，则z =（ ）A. 1i +B. 1i-+ C. 1i- D. 1i--【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得.【详解】由i 1i z ×=-，得2i (1i)(i)z -×=-×-，所以1i z =--.故选：D3. 若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A. 22a b < B. 2a ab< C.b a a b> D.2b a a b+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【详解】因为0a b <<，所以0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误；因为0a b <<，所以2a ab >，故B 错误；由A 知22a b >，两边同乘以正数1ab ，则>a b b a，故C 错误；因为0a b <<，所以0,0a b b a >>，所以2b a a b +³=（a b ¹，等号不成立），故2b aa b+>，故D 正确.故选：D 4. 已知()sin cos x f x x =，则π4f æö¢=ç÷èø（ ）A. 1 B. 2C. 1- D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，计算得解.【详解】因为()sin cos xf x x=，所以2222cos sin ()cos 1cos x x f x x x+¢==，所以π12142f æö¢==ç÷èø，故选：B5. 下列不等式成立的是（ ）A. 0.3log 0.21< B. 0.20.31< C. 0.3log 0.20< D. 0.30.21>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可.【详解】因为函数0.3log y x =在()0,¥+上单调递减，所以0.30.3log 0.2log 0.31>=，0.30.3log 0.2log 10>=，故AC 错误；因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以0.200.30.31<=，故B 正确；因为函数0.2x y =在R 上单调递减，所以0.300.20.21<=，故D 错误.故选：B.6. 若()2,,23,x x a f x x x aì³=í+<î在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A. [1,¥+)B. [3,)+¥ C. [1,3]- D. (,1][3,)-¥-+¥U 【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式运算得解.【详解】因为()f x 是R 上单调递增函数，所以2023a a a ³ìí³+î，解得3a ³.所以实数a 的取值范围为[)3,+¥.故选：B.7. 已知向量(,1),(1,)a x b y ==-r r，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是（ ）A. 0a b ×=r rB. ||||2a b +=r rC. ||||a b =r rD. ||2a b +=r r【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案.【详解】当 0a b ×=r r时，0x y -+=，有无数组解，故A 错误；当||||2a b +=r r2+=1³³，2³，当且仅当0x y ==时，等号成立，故方程有且仅有一组解，故B 正确；当||||a b =r r=，当x y =或x y =-时方程成立，方程有无数组解，故C 错误；当||2a b +=r r2=，即()()22114x y -++=，方程有无数组解，故D 错误.故选：B8. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地B. 当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率C. 当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同【答案】C 【解析】【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可.【详解】对于A ，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A 正确；对于B ，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B 正确；对于C ，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C 错误；对于D ，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D 正确.故选：C.9. 设无穷等差数列{}n a 的前n 项积为n T .若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ³”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分析公差0,0,0d d d >=<三种情况，当0,0d d =<时n T 无最大值，当0d >时，不一有最大值，即可得出论【详解】对于无穷等差数列{a n }，由于10a <，当0d >时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然n T没有最大值，.当0d =时，数列为常数列，当1a 不等于1-时，1nn T a =，无最大值，所以公差0d ³不能推出n T 有最大值，当0d <时，0n a <，所以n T 趋于正无穷，{}n T 为正负间隔的摆动数列，没有最大值，所以当n T 有最大值时，只能0d ³，综上，“n T 有最大值”是“公差0d ³”的充分不必要条件，故选：A10. 已知数列{}n a 满足()111(1,2,3,),(0,1)n n n a ra a n a +=-=ÎL ，则（ ）A. 当2r =时，存在n 使得1n a ³B. 当3r =时，存在n 使得0n a <C. 当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +>D. 当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +-<【答案】D 【解析】【分析】需要根据给定的r 值，分析数列{}n a 的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨,结合二次函数的性质来判断每个选项的正确性.【详解】对于A 选项,当2r =时，12(1)n n n a a a +=-.令2()2(1)22f x x x x x =-=-+，(0,1)x Î.对于二次函数222y x x =-+，其对称轴为12x =，最大值为11(22f =.因为1(0,1)a Î，由递推关系可知(0,1)n a Î，所以不存在n 使得1n a ³，A 选项错误.对于B 选项，当3r =时，13(1)n n n a a a +=-.令1(0,1)a x =Î，23(1)33y x x x x =-=-+.因为233y x x =-+的值域为3(0,]4，且1(0,1)a Î，所以由递推关系可知(0,1)n a Î，不存在n 使得0n a <，B 选项错误.对于C 选项，当3r =时，13(1)n n n a a a +=-.令1(0,1)a x =Î，23(1)33y x x x x =-=-+.设213(1)23n n n n n n n a a a a a a a +-=--=-.令2()23g x x x =-，(0,1)x Î，()g x 对称轴为13x =，()g x 在1(0,3上递增，在1(,1)3上递减.当(0,1)x Î时，()g x 的值不是恒大于0的，所以不存在正整数N ，当N n >时，1n n a a +>，C 选项错误.对于D 选项，当2r =时，12(1)n n n a a a +=-.设212(1)2n n n n n n n n b a a a a a a a +=-=--=-.因为(0,1)n a Î，22y x x =-+在1(0,)4上递增，在(1,14)上递减.当n 足够大时，n a 会趋近于某个值a （01a <<），此时1n n n b a a +=-会趋近于0.所以存正整数N ，当n >N 时，112024n n a a +-<，D 选项正确.故选：D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知102,105a b ==，则a b +=____________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算求解.【详解】因为102,105a b ==，所以lg 2,lg 5a b ==，故lg 2lg 5lg101a b +=+==，故答案为：112. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 的终边经过点(2,1)P .若角a 的终边逆时针旋转π2得到角b 的终边，则sin b =____________.在【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.【详解】因为角a 的终边经过点(2,1)P ，所以cos a ==又π2b a =+，所以πsin sin cos 2b a a æö=+==ç÷èø.13. 如图所示，四点,,,O A B C 在正方形网格的格点处.若OC OA OB l m =+uuu ruuu ruuu r，则l =________，m =________.【答案】 ①.23②.13【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解.【详解】建立平面直角坐标系，如图，则()()()()0,0,3,6,4,5,6,3O A C B ,所以()()()4,5,3,6,6,3OC OA OB ===uuu r uuu r uuu r，由OC OA OB l m =+uuu r uuu r uuu r可得()()()4,53,66,3u l =+，即364635u u l l +=ìí+=î，解得12,33u l ==,故答案为：23；1314. 已知函数π()sin()0,||2w j w j æö=+><ç÷èøf x x 满足()2(0)f x f ³-恒成立.①j 的取值范围是____________；②若2π2(0)3f f æö=-ç÷èø，则w 的最小值为____________.【答案】 ①.ππ62j £< ②. 2【解析】【分析】根据题意可知()201f -£-，解不等式可得j 的取值范围，由2π2(0)3f f æö=-ç÷èø确定2π13f æö=-ç÷èø，解出w ，由0w >可得最小值.【详解】因为()sin()f x x w j =+，所以()min 1f x =-所以由()2(0)f x f ³-可得2(0)1f -£-，即()10sin 2f j =³，由π||2j <可知，ππ62j £<，因为()1012f £<，所以()2201f -<-£-，因为()11f x -££，所以由2π2(0)3f f æö=-ç÷èø可知()201f -=-，即()10sin 2f j ==，π6j =，此时2π2ππsin 1336f w æöæö=+=-ç÷ç÷èøèø，所以2πππ2π,Z 362k k w +=-+Î，解得31,Z k k w =-Î，又0w >，所以min 2w =.故答案为：ππ62j £<；2【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对正弦函数最值的理解，理解了正弦函数最值就能根据()2(0)f x f ³-恒成立转化为2(0)1f -£-，也能根据2π2(0)3f f æö=-ç÷èø转化出2π13f æö=-ç÷èø.15. 已知函数ln(1)()ln x f x x+=，其定义域记为集合,,D a b D Î，给出下列四个结论：①{0D xx =>∣且1}x ¹；②若1ab =，则|()()|1f a f b ->；③存在a b ¹，使得()()f a f b =；④对任意a ，存在b 使得()()1f a f b +=.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】①②④【解析】【分析】根据解析式求定义域判断①，利用对数运算化简及对数函数的单调性判断②，求函数导数，利用导数分析函数的单调性及范围可判断③，取1b a=后利用对数运算化简可判断④.【详解】由ln(1)()ln x f x x +=知，100x x +>ìí>î且1x ¹，解得0x >且1x ¹，所以{0D xx =>∣且1}x ¹，故①正确；当1ab =时，()()11ln 1ln 1ln 1ln 1()()1ln ln ln a a a a f a f b a a aæöæö++++ç÷ç÷+èøèø-=-=1ln 21log 2ln a a a a a a æö++ç÷æöèø==++ç÷èø，因为112a a a ++>，当01a <<时，1log 21a a a æö++<-ç÷èø，当1a <时，因为12a a a ++>，1log 21a a a æö++>ç÷èø，所以1log 21a a a æö++>ç÷èø，故②正确；()()()22ln ln(1)ln 1ln 11()ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++==+¢，当01x <<时，ln 0x x <，()()1ln 10x x ++>，所以()()ln 1ln 10x x x x -++<，又()21ln 0x x x +>，所以()0f x ¢<，()f x 在(0,1)上单调递减，当1x >时，ln y x x =单调递增，所以()()ln 1ln 1x x x x <++，同理可得()0f x ¢<，()f x 在(1,+∞)上单调递减，又0x →时，()ln 0,ln 10x x +，所以ln(1)()0ln x f x x +=<，当x →+¥时，()ln 1ln 0x x +>>，所以ln(1)()1ln x f x x+=>，即当01x <<时，函数图象在x 轴下方单调递减，当1x >时，函数图象在1y =上方单调递减，所以不存在a b ¹，使得()()f a f b =，故③错误；由②可联想考虑当1b a =时，()()11ln 1ln 1ln 1ln 1ln ()()11ln ln ln ln a a a a a f a f b a a a aæöæö++-+ç÷ç÷+èøèø+=+===，即对任意a ，存在1b a=使得()()1f a f b +=，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：判断③时，关键在于求导数后，能分类讨论得到导数的符号，判断出函数的单调性，再分析两段函数图象的上下界，才能作出正确的结论.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S b =+.（1）求1,b a 的值；（2）设221,1,2,3,n n c a n n =+-=L ，求数列{}n c 前n 项和n T .【答案】（1）11,2b a =-= （2）()23914nn -+【解析】【分析】（1）根据等比数列中,n n a S 的关系可得解；（2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.【小问1详解】当2n ³时，1123n n n n a S S --=-=´，的因为{}n a 是等比数列，所以12a =，又因为113a S b ==+，所以1b =-.【小问2详解】由（1）知123n n a -=´，因为26a =，且2229n na a +=，所以{}2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列，()()2421321n n T a a a n éù=+++++++-ëûL L ()29123691.9124n n n n n -×=´+=-+-17. 设函数2()sin 22sin 1(0)f x A x x A =-+>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.（1）求A 的值；（2）若()f x 在(0,)m 上有且仅有两个极大值点，求m 的取值范围.条件①：π7π0412f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø；条件②：将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后所得的图象关于原点对称；条件③：对于任意的实数()()1212,,x x f x f x -的最大值为4.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1（2）7π13π66,æùçúèû【解析】【分析】（1）化简()f x 后，选条件①，根据π7π0412f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø化简得解；选条件②，由平移可知π012f æö-=ç÷èø2=得解；（2）由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知7π6在区间内，13π6不在区间内即可得解.【小问1详解】条件①()sin 2cos 2f x A x x =+，所以π7πππ7π7πsin cos sin cos 04122266f f A A æöæö+=+++=ç÷ç÷èøèø，所以02A A --=，解得A =条件②()sin 2cos 2f x A x x =+，所以()f x 的图象向右平移π12后所得图象关于原点对称，所以π012f æö-=ç÷èø，即ππsin cos 0662A A æöæö-+-=-=ç÷ç÷èøèø，解得A =，经验证：A =.条件③()sin 2cos 2f x A x x =+，所以()()2f x x j =+，其中1πtan ,0,2A j j æö=Îç÷èø，由题意知，()()max min 4f x f x -=2=，因为0A >，所以A =【小问2详解】()π2cos 22sin 26f x x x x æö=+=+ç÷èø，当ππ22π,Z 62x k k +=+Î时，()f x 取得极大值，即ππ,Z.6x k k =+Î因为()f x 在()0,m 上有且仅有两个极大值点，所以0,1k =符合题意，所以7π13π,.66m æùÎçúèû18. 已知函数2()ex x a f x -=.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为3y kx =-.（1）求,a k 的值；（2）求()f x 的最小值.【答案】（1）3a k ==（2）2e-【解析】【分析】（1）求出导函数，根据题意列出方程即可求解；（2）求出导函数的零点，列表即可得出函数最小值.【小问1详解】()()()()()()222222e e 2e e 2e e e x xx x xx x x a x a x x a x x a f x ¢-×--××--×-++===¢，依题意，()()030f a f a k ì=-=-ïí==¢ïî，解得3a k ==.【小问2详解】由（1）得()23.e xx f x -=()()()21323e ex x x x x x f x -+=¢--++=，令()0f x ¢=，解得1x =-或3，(),(),x f x f x ¢的变化情况如下表：x (,1)¥--1-(1,3)-3(3,)+¥()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]由表格可知，()f x 有极小值()12e f -=-，因为当(3,)x Î+¥时，()0f x >，所以()f x 最小值为2e -.19. 如图所示，某景区有,MN PQ 两条公路（,MN PQ 在同一平面内），在公路上有两个景点入口,,A C 游客服务中心在点B 处，已知1km,120,cos BC ABC BAC °=Ð=Ð=cos ACQ Ð=.（1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则A 处的工作人员与C 处的工作人员能否用对讲机正常通话?（2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ 段上建立一个志愿服务驿站D ，且要求在志愿服务驿站D 接收景点入口A 处对讲机的信号最强.若选址D 使2km CD =，请判断该选址是否符合要求【答案】（1）A 处工作人员对讲机能与C 处工作人员正常通话（2）D 点选址符合要求【解析】【分析】（1）由正弦定理求出AC ，与3比较大小即可得出结论；（2）由余弦定理求出AD ，可证明AD PQ ⊥，即可得解.【小问1详解】因为cos 0BAC Ð=>， 所以BAC Ð为锐角，所以sin BAC Ð==在ABC V 中sin sin AC BC ABC BAC =ÐÐ，所以sin sin BC ABC AC BAC Ð==Ð，3<，所以A 处工作人员对讲机能与C 处工作人员正常通话.【小问2详解】由余弦定理，2222cos 74223AD AC CD AC CD ACD =+-××Ð=+-=因为222347AD CD AC +=+==，所以AD 的长为点A 与直线PQ 上所有点的距离的最小值，所以D 点选址符合要求.20. 已知函数21()ln()(21),02f x a x a x a x a =-+-+>.（1）若()f x 在4x =处取得极大值，求(4)f 的值；（2）求()f x 的零点个数.【答案】（1）20-（2）1【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用极值点导数为0求出a ，再检验即可得解；（2）分01,1,1a a a <<=>三种情况讨论，讨论时，列出当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况，再由零点存在性定理判断零点个数即可.【小问1详解】()f x 的定义域为(),a +¥.()()()()()2221312221x a x a x a x a a a f x x a x a x a x aéù--+-+++ëû¢=+-+==---因为4是()f x 的极大值点，所以()40f ¢=，即()()4230a a --=，解得2a =或3a =当2a =时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x ()2,33()3,44()4,+¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z此时，4是()f x 的极小值点，不符合题意；当3a =时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x()3,44()4,66()6,+¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z此时4是()f x 的极大值点，符合题意.因此3a =，此时()420f =-.【小问2详解】①当01a <<时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x(),2a a 2a ()2,1a a +1a +()1,a ¥++()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z()22ln 220f a a a a a =--<，因此],(1x a a Î+时，()0f x <，又()(42)ln 320f a a a +=+>，因此()f x (1,)a ++¥上有且仅有一个零点，因此()f x 的零点个数是1.②当1a =时，对任意1,()0x f x ¢>³，()f x 在(1,)+¥上是增函数，又(2)10(6)l ,n 50f f =-<=>，由零点存在定理知，有1个零点，因此()f x 的零点个数是1.③当1a >时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：在x(),1a a +1a +()1,2a a +2a ()2,a +¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z()()3111022f a a a æö+=--+<ç÷èø，因此(],2x a a Î时，()0f x <，又()(42)ln 320f a a a +=+>，因此()f x 在()2,a +¥上有且仅有1个零点，因此()f x 的零点个数是1.综上，当0a >时，()f x 的零点个数是1.21. 对于n 行n 列(2)n ³的数表111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a éùêúêú=êúêúëûL L M M O M L ，定义T 变换：任选一组,,i j 其中{1,2,,},{1,2,,}ÎÎL L i n j n ，对于A 的第i 行和第j 列的21n -个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表.（1）已知对1111éùêúëû依次进行4次T 变换，如下：123411002120,11010202T T T T a b c d éùéùéùéùéù¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→êúêúêúêúêúëûëûëûëûëû第次变换第次变换第次变换第次变换写出a b c d ,,,值；（2）已知000111000,111000111A B éùéùêúêú==êúêúêúêúëûëû.是否可以依次进行有限次T 变换，将A 变换为B ?说明理由；（3）已知11行11列的数表000000000C éùêúêú=êúêúëûL M O M M L L ，是否可以依次进行k 次T 变换，将其变换为111011*********D -éùêúêú=-êúêú--ëûL M O M M L L ?若可以，求k 的最小值；若不可以，说明理由.的【答案】（1）1 3.,,11,a b c d ====（2）不能，理由见解析（3）可以，k 的最小值400【解析】【分析】（1）根据变换的定义直接得解；（2）根据变换的规律，分析变换前后数字和的规律得解；（3）由题意，讨论三种选取,i j 方式，求出加1与减1变换次数之差，由题意得出k 满足条件即可.【小问1详解】根据变换的定义，可得1 3.,,11,a b c d ====【小问2详解】不可以，理由如下:由题可知每次变换T ，数表中所有数的和增加或减少5.因为A 中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T 后各数和为5的倍数.而 B 中所有数的和为9，不符合，故无法通过有限次变换T ，将A 变换为B .【小问3详解】可以，且k 的最小值为 400当所选{},1,2,,10i j ÎL 时，所有加l 的变换T 与减1的变换T 次数之差设为x ；当所选11=i 且{}0,,121,j ÎL 或者{}0,,121,i ÎL 且11j =时，所有加1的变换T 与减1的变换T 次数之差设为y ；当所选11i j ==时，加1的变换T 与减1的变换T 次数之差设为z .考虑变换T 对上述三部分各数之和的影响，可知191010021020200100x y x y z y z +=ìï++=-íï+=î，解得100200100x y z =-ìï=íï=-î，所以||||||400k x y z ++=³，其中符合题意的 400 次变换T 构造如下：当所选{},1,2,,10i j ÎL 时，各进行一次减1的变换T ；当所选11=i 且{}0,,121,j ÎL 或者{}0,,121,i ÎL 且11j =时，各进行10次加l 的变换T ；当所选11i j ==时，进行100次减l 的变换T .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解T 变换含义，即一个数表通过T 变换后得到什么数表，核心是理解新定义.。

市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题W O R D版Last updated on the afternoon of January 3, 2021海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，则集合中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．下列函数中为偶函数的是 3．在△ABC 中，的值为 A ．1B ．－1C ．12 D ．－124．数列的前n 项和为，则的值为A ．1B ．3C ．5D ．6 5．已知函数，下列结论错误的是A ．B ．函数的图象关于直线x ＝0对称 C ．的最小正周期为π D ．的值域为6．“x ＞0”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）．若函数且）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足8．已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0，则n ＝12．已知向量，点A （3,0），点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为．13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为；⑵若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知等比数列的公比，其n前项和为（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn 取得最小值，求a 的值． 20．（本小题满分14分）已知x 为实数，用表示不超过x 的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R 在上的周期函数，其最小正周期为T ，若f(x)不是函数，求T 的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

海淀区2021~2022学年第一学期期中练习高三数学参考答案 2021.11 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

说明：13题两空前3后2；15题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=. ① 当2n =时，3210a a +=, ② ②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d , 所以3124d a a =-=，则2d =, 由①可得126a d +=，所以12a =， 所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==.（Ⅱ）因为{}n n b a - 是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯， 所以11332n n n n b a n --=+=+， 所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++132(1)132n n n -+=+-1(31)(1)2n n n =-++. （17）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为ππ()2cos()cos()44f x x x =-+πππ2cos[()]cos()424x x =+-+ππ2sin()cos()44x x =++πsin(2)2x =+cos2x =或者ππ()2cos()cos()44f x x x =-+ππππ2(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )4444x x x x =+-22112(cos sin )22x x =-cos2x =所以()f x 的最小周期2π2ππ||2T ω===. （Ⅱ）因为()()cos g x f x x =-， 所以()cos2cos g x x x =-22cos cos 1x x =--2192(cos )48x =--因为cos [1,1]x ∈-，所以依据二次函数的性质可得()g x 的值域为9[,2]8-.（18）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）公共点(e,1).因为1'()f x x =， 所以1'(e)ef =，所以切线的方程为11(e)e y x -=-，即ex y =. （Ⅱ）11e()|||ln |22S a a AB a a a=⋅=-，(0,e)a ∈. 因为(0,e)a ∈时，e 1,ln 1a a ><，所以eln a a >，所以e 1()ln 22S a a a =-，(0,e)a ∈，1'()(1ln )2S a a =-+，令'()0S a =，得1ea =，所以'(),()S a S a 的情况如下：因此，()S a 的极大值，也是最大值为()e22eS =+.（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及sin cos a B A =得 sin sin cos AB B A =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠ 所以sin A A =， 所以tan A = 因为()0,πA∈， 所以π3A =. （Ⅱ）选②：因为1cos 3C =，()0,πC ∈， 所以sin 3C.由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin c A a C ===由πA B C ++=得()11sin sin sin cos cos sin 32B A C A C A C =+=+=+.所以11sin22ABCS ac B∆==⨯=选③：因为π3A=，AB边上的高h=所以2sinhbA==.由余弦定理2222cosa b c bc A=+-得2942c c=+-，即2250c c--=，解得1c=所以1c=所以(11122ABCS ch==⨯（20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）当9a=-时，2()(39)f x x x x=--，2()3693(1)(3)f x x x x x'=--=+-，f的情况如下：所以，函数()f x的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒（Ⅱ）由2()(3)f x x x x a=-+得2()36f x x x a'=-+，因为()f x在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x'≤在(1,2)内恒成立，因为22()363(1)3f x x x a x a'=-+=-+-，所以(1,2)x∈时，'()(3,)f x a a∈-，所以(,0]a∈-∞.（Ⅲ）所以a 的取值范围为9(0,)4﹒ （21）（本小题共15分） 解：（Ⅰ）1B 是完美集；设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即1230λλλ===． 所以1B 是完美集．2B 不是完美集．设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，， 令3=1λ，则12=2=3λλ-，． 所以2B 不是完美集．（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，， 由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-．所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，． 所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，所以1(41)0m λ-+=． 所以14m =或10λ=． 检验： 当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ． 当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍． 所以14m =． （Ⅲ）B 一定是完美集．假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ， 不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）． 由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--．所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+． 与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾． 所以假设不成立． 所以10λ=． 所以230λλ==． 所以B 一定是完美集．。