关于购房贷款决策问题的研究性学习
一、背景
随着社会主义市场经济的不断发展和完善，广大市民的收入不断提高，房地产市场进入了空前的繁荣阶段，越来越多的人步入购房大军。在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。于是，在数学老师的要求下，我对“购房贷款决策问题”进行研究，探究购房贷款中的数学问题。
二、目的与意义
通过对于实际生活的中的数学问题进行研究，能让我们更好地了解数学在生活中的应用，也让我们平时在课堂上学习的知识能够更好的应用在实践中，从而促进我们学习数学的热情。通过走向社会，也让我们更好的融入社会生活中。
三、内容
在学习数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。本课题是利用数学知识，通过对购房贷款的还款方式问题的研究，选择最佳的还款方式。
四、研究资料
1.等额本金还款法
所谓等额本金还款法,即借款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。等额本金还款法是一种计算非常简便，实用性很强的一种还款方式。
2.等额本息还款法
所谓等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并等额本息还款法逐月结清。由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。
王先生为了改善家庭的住房条件，决定在2010年重新购买一套面积为100 ㎡的住宅，每平方米售价为4000元。现需要贷款，但是是申请商业贷款呢还是申请公积金贷款，贷款15年还是20年合适呢？他一时拿不定主意。以下是他的家庭状况以及可供选择的方案：
家庭经济状况：家庭每月总收入8000元，也就是年收入9.6万元。现有存款15万元，但是必须留2万元-3万元以备急用，可用首付款为12万元。
贷款信息
商业贷款，6年以上年利率为6.14%。
公积金贷款6年以上年利率为4.05%。
购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。
预选方案
1.申请15年商业贷款
2.申请15年公积金贷款
3.申请20年公积金贷款
针对预选方案，我们小组用学过的数列知识，为王先生计算了一下：
还款方式及计算公式
还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分。
计算公式分别为
本金部分=贷款部分÷贷款期季数，
利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）×季利率
方案1：选择15年商业贷款
如果首付12万（约为住房总价值的30%），贷款28万，季利率为6.14%÷4=1.535%.
每季等额归还本金:
280000÷(15×4)=4666.67(元)
第一个季度利息:
280000×1.535%=4298.00(元)
则第一个季度还款额为
4666.67+4298.00=8964.67(元)
第二个季度利息:
(280000-4666.67×1)×1.535%=4226.37(元)
则第二个季度还款额为
4666.67+4226.37=8893.04(元)
第60个季度利息:
(280000-4666.67×59)×1.535%=71.63(元)
则第60个季度(最后一期)的还款额为
4666.67+71.63=4738.30(元)
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为71.63元,其和为:
(4298.00+71.63 ）×60÷2=131088.9(元)
15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为71.63元，其和为：
(8964.67+4738.30）×60÷2=411089.10(元)
方案2：选择15年公积贷款
如果首付12万（约为住房总价值的30%），贷款28万，季利率为4.05%÷4=1.0125%.以贷款期为15年为例. 每季等额归还本金:
280000÷(15×4)=4666.67(元)
第一个季度利息:
280000×1.0125%=2835.00(元)
则第一个季度还款额为
4666.67+2835.00=7501.67(元)
第二个季度利息:
(280000-4666.67×1)×1.0125%=2787.75(元)
则第二个季度还款额为
4666.67+2787.75=7454.42(元)
第60个季度利息:
(280000-4666.67×59)×1.0125%=47.25(元)
则第60个季度(最后一期)的还款额为
4666.67+47.25=4713.92(元)
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为47.25元,其和为:
(2835.00+47.25 ）×60÷2=86467.5(元)
15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为47.25元，其和为：
(7501.67+4713.92）×60÷2=366467.7(元)
方案3：选择20年公积金贷款
选择公积金贷款20年则：
如果首付12万（约为住房总价值的30%），贷款28万，季利率为4.05%÷4=1.0125%.
每季等额归还本金:
280000÷(20×4)=3500.00(元)
第一个季度利息:
280000×1.0125%=2835.00(元)
则第一个季度还款额为
3500.00+2835.00=6335.00(元)
第二个季度利息:
(280000-3500×1)×1.0125%=2799.56(元)
则第二个季度还款额为
3500.00+2799.56=6299.56(元)
第80个季度利息:
(280000-3500.00×79)×1.0125%=35.43(元)
则第80个季度(最后一期)的还款额为
3500.00+35.43=3535.43(元)
可见,20年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为35.43元,其和为:
(2835.00+35.43 ）×80÷2=114817.2(元)
20年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为35.43元，其和为：（6335.00+3535.43）×80÷2=394817.2(元)
结果分析
（1）因为王先生每月的家庭总收入为8000元，那么每个月用于偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%-30%，也就是每月还款金额为1600~2400元较为合适，每个季度还款额为4800~7200元。
（2）如果采用方案1，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a1=8964.67，公差为d=71.63的等差数列。若an=8964.67-71.63（n-1）>7200，
