2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测(五) 函数的单调性与导数 Word版含解析

阶段质量检测（一）(A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6解析：选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2 C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B 只有B 中y ′＝e 2＞0在(0，＋∞)内恒成立．3．若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( ) A ．x ＋4y ＋3＝0 B ．x ＋4y －9＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．4x －y －2＝0解析：选D 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意得4x 0＝4，解得x 0＝1，所以y 0＝2，故切线l 的方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.4．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：选A ∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1， ∴f ′(1)＝0.5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．6．已知，对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：选B f (x )为奇函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递增，f ′(x )>0；g (x )为偶函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递减，g ′(x )<0.7.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．8．设f (x )＝错误!则错误!f(x)d x 等于( ) A .43 B .54 C .65 D .76解析：选A ⎠⎜⎛0e f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛1e 1x d x＝13x 310＋ln x e 1＝43. 9.已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R)的图象如右图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2解析：选A 法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎜⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x4＋13ax30a ＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A .法二：因为f ′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f(x)的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f(x)＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f(x)＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B ；若a ＝1，则f(x)＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C ；若a ＝－2，则所围成的面积为错误!－2x 2)d x ＝错误!错误!＝错误!≠错误!，排除D ，故选A .10．若函数f(x)＝2x 2－lnx 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析：选D 由f(x)＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1.故排除B 、C 两项．又因为f ′(x)＝4x －1x ，令f ′(x)＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12，k ＋1>12且k ≥1，得1≤k ＜32.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．(陕西高考)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x，曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P(m ，n)，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)12．函数f(x)＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x)＝4x －1x ＝4x2－1x ≥0，得x ≥12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t(v 的单位：m /s ；t 的单位：s )，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v(t)＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30， ∴s ＝∫300v(t)d t ＝∫300(27－0.9t)d t ＝(27t －0.45t 2)300＝405(m )． 答案：405 m14．函数f(x)＝x 3－3a 2x ＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________． 解析：令f ′(x)＝3x 2－3a 2＝0， ∴x ＝±a.当f ′(x)>0时，x>a 或x<－a ； 当f ′(x)<0时，－a<x<a ，所以函数f(x)在(a ，＋∞)，(－∞，－a)上为增函数， 在(－a ，a)上为减函数． 故f(x)极大值＝f(－a)＝2a 3＋a ， f(x)极小值＝f(a)＝a －2a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a3＋a>0，a －2a3<0，解得a>22.a>0，答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．) 15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋b ＋4x＝2ax2＋bx ＋4x ，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f(x)的极值点为1和2， ∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋4＝0，8a ＋2b ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6.(2)由(1)得f(x)＝x 2－6x ＋4ln x ， ∴f ′(x)＝2x －6＋4x ＝2x2－6x ＋4x＝错误!，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：∵∴f(x)max ＝f(3)＝4ln 3－9.16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋2－43x， 由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f(x)＝－13x 2＋2x －43ln x(x ＞0)．f ′(x)＝－23x ＋2－43x ＝错误!.由f ′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x)＞0时，1＜x ＜2； ②当f ′(x)＜0时，0＜x ＜1或x ＞2. 当x 变化时f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此f(x)函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2.17．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，注意到e x＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．又因为f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x ＞0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋错误!＞0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y ＜1＋1－11＋1＝32，故a ≥32，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值． 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时f ′(x )＜0， x ＞－a 时f ′(x )＞0. ∴x ＝－a 时f (x )取最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22.当0＜x ＜22时h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 22－12，＋∞.。

第一、二章 学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有 时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b >2ab ；③ab <b 2；④a 2＋b 2>|a |＋|b |.这4个不等式中恒成立的有( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[详细分析] ∵1a <1b<0，∴0>a >b ，∴a 2<b 2，ab <b 2，②④显然不正确．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][详细分析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D ．3．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( A )A ．nn －4＋8－n (8－n )－4＝2B ．n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C ．nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2D ．n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2[详细分析] 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.4．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( A )A ．■ C ．□D ．○[详细分析] 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．5．(2019·淄博三模)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是( A )A ．(S △ABC )2＝S △BCO ·S △BCDB ．(S △ABD )2＝S △BOD ·S △BOC C ．(S △ADC )2＝S △DOC ·S △BOCD ．(S △BDC )2＝S △ABD ·S △ABC[详细分析] 由已知在平面几何中，若△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足， 则AB 2＝BD ·BC ，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，AO ⊥面BCD ，O 为垂足， 则(S △ABC )2＝S △BOC ·S △BDC ． 故选A ．6．已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( D )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112[详细分析] 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.故选D ．7．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( C )[详细分析] 由图象知，f (x )在x <0时，图象增→减→增，x >0时，单调递增，故f ′(x )在x <0时，其值为＋→－→＋，在x >0时为＋，故选C ．8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[详细分析] 观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f (－x )＝f (x )知f (x )为偶函数，故g (x )为奇函数，从而g (－x )＝－g (x )．9．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[详细分析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B ．10．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1]( A ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2[详细分析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1， ∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A ．11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[详细分析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎨⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B ．12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝( B )A ．1 C ．4D ．5[详细分析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2017＝x 1＝2，故应选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a＝12，b ＝14，c ＝14. [详细分析] 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.14．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是57.[详细分析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[详细分析] 平面内⎝⎛⎭⎫a 22类比到空间⎝⎛⎭⎫a 23＝a 38. 16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥－1}.[详细分析] 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca < 3.[详细分析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac <3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )>0，因为a －c >0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b >0， 所以(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [详细分析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [详细分析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， x 、 f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.20．(本题满分12分)若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy . 而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立， 所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明：方程f (x )＝0没有负数根．[详细分析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．22．(本题满分12分)(2019·全国Ⅰ卷理，20)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点．[详细分析] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )， 则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时， g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点， 即f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点． (2)证明：f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，所以存在β∈⎝⎛⎭⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2没有零点． ③当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．而f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．。

阶段质量检测（一）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B ∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，∵f ′(x 0)＝2，∴ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e.故选B.2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 解析：选C f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x >0，∴x >2.故选C. 3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－2 C ．－4D ．2解析：选C 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，取x ＝1得f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，故f ′(0)＝－4.故选C.4．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C ∵[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋g ′(x )·f (x )<0，∴函数y ＝f (x )g (x )是减函数．∴当a <x <b 时，f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．故选C.5.13⎠⎜⎜⎛-4π4πcos 2x d x ＝( ) A.13 B ．23C.23D ．－23解析：选A 13⎠⎜⎜⎛-4π4πcos 2x d x ＝13×12sin 2x⎪⎪⎪4π-4π＝13. 6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：选C f ′(x )＝－x ＋bx ＋2. ∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立． 又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.7．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a <12.8．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，316 B ．⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－85，－116 D ．⎝⎛⎭⎫－65，－316 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316.故选D. 9．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A.13 B ．23C ．1D ．43解析：选D 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＝2×23＝43.10．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( ) A ．e a f (a )>e b f (b ) B ．e b f (a )>e a f (b ) C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a )解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝e x f ′(x )－e x f (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ，∴f (a )e a <f (b )e b ，∴e a f (b )>e b f (a )．11．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 当x >0时，令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数． ∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0，故F (1)＝0. 在区间(0,1)上，F (x )>0； 在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x )>0； 当x >1时，f (x )<0. 又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：选C 构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴函数F (x )在R 上为单调递增函数．∵1k －1>0，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－kk －1>－1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1，故C 错误． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x 及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12.答案：1214．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0， ∴t ＝30 s ，s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2) ⎪⎪⎪30＝405(m)．答案：405 m15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3a )＋21－a ≤－2(－3a )×12－a＝－12.当且仅当－3a ＝12－a，即a ＝－2时，取“＝”． 答案：－216．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，∴f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2＝3x 2≥0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)，从而f (x )在R 上单调递增，所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)⇔－2a 2≥a －1，解得－1≤a ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值4. (1)求实数a ，b 的值；(2)当a >0时，求曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝4，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.经检验都符合题意．(2)当a >0时，由(1)得f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋9， ∴f ′(x )＝3x 2＋6x －9. ∴f (－2)＝31，f ′(－2)＝－9.∴所求的切线方程为y －31＝－9(x ＋2)，即9x ＋y －13＝0. 18．(本小题12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0， 所以－x 2＋2>0， 解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32， 故a ≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 19．(本小题12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )>0时，1<x <2； ②当f ′(x )<0时，0<x <1或x >2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此f (x )的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)． 函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.20．(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解：(1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)上有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)，即f (x 1)＝0. 又0<1x 1<1，f ⎝⎛⎭⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0， 故f (x )在(0,1)上有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x 上． 由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x 在点B ⎝⎛⎭⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 21．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln x －ax . (1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数， f (x )不存在最小值；当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝－a ， 且0<x <－a 时，f ′(x )<0， x >－a 时，f ′(x )>0.所以x ＝－a 时，f (x )取得最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g (x )<x 2，即ln x －a <x 2，即a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时，h ′(x )>0， 当22<x ≤e 时，h ′(x )<0， 即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数， 所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln 22－12，＋∞. 22．(本小题12分)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0， 即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；第 11 页 共 11 页③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．。

2019-2020学年数学选修2-2课时跟踪检测（六）函数的极值与导数一、题组对点训练 对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0， 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0； 当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5； 3∉(－2,2)，故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由题图知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点，分别为1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．b <1B ．b >1C ．0<b <1D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题 7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞.8．已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差． 解：y ′＝3x 2＋6ax ＋3b . ∵x ＝2是函数的极值点，∴12＋12a ＋3b ＝0，即4＋4a ＋b ＝0，①又图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， ∴y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3， 即2a ＋b ＋2＝0.②由①②解得a ＝－1，b ＝0， 此时y ′＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0<x<2，∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.二、综合过关训练1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A 因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax －1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)e x －1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2<x<1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为( )A．－23B．－2C．－2或－23D．2或－23解析：选 A 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23，故选A.3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．已知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )(如图)，设F (x )＝f (x )－g (x )，则( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点解析：选B 由题图知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线为l ：y ＝g (x )，又F (x )＝f (x )－g (x )在x 0处先减后增，∴F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点．故选B.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x 2－12ln x ＋1的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12·1x ＝4x 2－12x，∵函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，∴f ′(x )＝4x 2－12x 在区间(a －1，a ＋1)上有零点，而f ′(x )＝4x 2－12x 的零点为12，故12∈(a －1，a ＋1)，故a －1<12<a ＋1，解得－12<a <32，又a －1≥0，∴a ≥1. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，32.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，327．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R)的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点．解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：－因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。