二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数y =ax 2 的性质
（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.
（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.
①当a > 0 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a < 0 时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.
3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中
h =- b
，k =
2a
4ac -b 2
.
4a
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口
向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么
抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
? b ?24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ?+，∴顶点是（-，），
?2a ?4a 2a 4a
对称轴是直线x =-b .
2a
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点
是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一
失.
9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴
是直线
x = - b
2a
，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，
a 对称轴在 y 轴左侧；③ b
< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.
a
（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.
当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点
（0，c ）：
① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b
< 0 .
a
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一
般式.
（2） 顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点
（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).
（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,
ah 2 + bh + c ).
（3）抛物线与 x 轴的交点
二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对 应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点? ? > 0 ? 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点（顶点在 x 轴上） ? ? = 0 ? 抛物线与 x 轴相切；
③没有交点? ? < 0 ? 抛物线与 x 轴相离.
（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两
交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实
数根.
（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像
y =kx +n
G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两
y =ax 2 +bx +c
组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有
一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故
1 2 1 2
第二部分典型习题
１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3）
２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0
Ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３题图第4 题图
３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
４.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC 上一点， ，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ）
５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．
6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对
于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋
(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤
1
2
1
2
x －x
，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
2
1
k
7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析
式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .
（1） 若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物
线的解析式；
（2） 过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，
试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6
将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(
b +10
, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得
2 4
-2 ? b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b
= -10, b = -6 . 2 4
1 2
? ? ? ? ?b （2） y = -2x - 2
8. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已
知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．
（1） 求此二次函数的解析式；
（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值
y 为正数时输入值 x 的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,
?a (-2) 2 + b (-2) + c = 5
?c = -3 ?a = 1
则 a ? 02 + b ? 0 + c = -3 ,即?2a - b = 4 ,解得?
= -2 ?a + b + c = -4 ?a + b = -1 ?c = -3
?
故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .
（2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．
9. 某生物兴趣小组在四天的实验研
究中 发现：骆驼的体温会随外部环境 温度 的变化而变化，而且在这四天中 每昼 夜的体温变化情况相同．他们将
一头 骆驼前两昼夜的体温变化情况绘
下图．请根据图象回答：
第 9 题
制成
1
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到
22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．
解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要 12 小时
⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃
⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)
16
10. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4
+ 3a )x + 4 与 x 轴交
于
3
A 、
B 两点，与 y 轴交于点
C ．是否存在实数 a ，
使得
△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．
解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．
BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +42
3a
设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），
由ax 2 + (
4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4
．
3 1 2
3a
∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a
，0）．
∴ AB =| - 4
+ 3 |， AC = 3a
= 5 ，
BC = =
．
∴ AB 2 =| - 4
+ 3 |2 = 16
- 2 ? 3? 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，
3a 9a 2 3a
9a 2 a
AC 2 = 25 ， BC 2 = 16
9a 2
+16 ．
〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．
由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ， 得
16 - 8 + 9 = 25 + ( 16
+16) ． 9a 2
解得
a a = - 1
． 4
9a 2
∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =
625 ， AC 2 = 25 ，
4
3
9
BC 2 =
400 ．
9
于 是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．
∴ 当a = - 1
时，△ABC 为直角三角形．
4
〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°． 由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (
16 - 8 + 9) + ( 16
+ 16) ． 9a 2 a 9a 2
AO 2 + OC 2
5 5
解 得 a = 4
9 当a = 4
时， - 4
9 3a
=
44 3?
9
= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．
〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．
由BC 2 = AC 2 + AB 2
，得 16
9a 2
解得 a = 4
．不合题意．
9
+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1
时，△ABC 为直角三角形．
4
11. 已知抛物线 y ＝－x 2
＋mx －m ＋2.
（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝ ，试
求 m 的值；
（2） 设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点
M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.
解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.
∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;
又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ （+ ）x 2 - 4x x =
,
1
2
1 2
∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .
．
2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .
∵M、N 是抛物线上的两点,
∴ ??-a 2 + ma - m + 2 = b , ①
-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②
?
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .
∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.
∴ a = .
这时 M 、N 到 y
又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C
= 27 ,
1
∴2× ×（2－m =27 .
2
∴解得 m=－7 .
12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．
（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；
（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，
且以
AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解
析式；
（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在
（2） 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的
对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
0 0
解法一：
（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．
∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），
∴
由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为
（－3，0）．
（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），
∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．
∴
D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线
y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，
∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．
∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴
1 ( AB + CD ) ?OD ＝9 ．∴ 2
1 (2＋4) 3a ＝9 ． 2
∴ a±1．
∴
所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或
．
（3） 设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，
y ＝- x 2 - 4ax -
y 0＜0
，
且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5
x ．
x 2
2 0
? ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，
∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．
?
5 ?
x '＝- 1
? y 0＝－ x 0 , ??x ＝- 6，?0 2
解方程组??y ＝x 2＋2 4x ＋3
得 ?0 y 0＝15；
? y '＝5． ? 0 0 0
? 0 4
∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 1
2
5 ， ）．
4
设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．
∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．
∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点． 设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，
? 1
5 ?
m ＝1 , ?- m ＋n ＝ ,
∴ 解得 2
? 2
4 ?－3m ＋n ＝0.
?n ＝ 3 . ? 2
点 P 坐标为（－2， ）．
②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．
?
y ＝－ 5 x , 解方程组? 0
2 0
消去 y
3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．
?? y ＝- x 2 - 4x - 3. ? 0 0 0
2
∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1
．
2
2
2
∴ 1 2
∴△＜0 . ∴此方程无实数根．
1
综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．
2
解法二：
（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为
A（－1，0），
∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴
．
y＝ax2＋4ax＋3a
令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．
1 2
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．
（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．
∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线
y＝ax2＋4ax＋3a 上，
∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．
∵梯形ABCD 的面积为9，∴1
( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2
∴ 3a＝3 ．∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．
∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．
由PF∥EQ，可得
BF
＝
PF
．∴
1
＝
PF ．∴
PF＝
1 BQ EQ
．
1
点P 坐标为（－2，）．
2 以下同解法一．5 5 2 2 4
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．
（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第
三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴
- ， P 要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ?1? (-2) ．∴
a = 1 ．∴ y = x 2 - x -
2 ． 其顶点 M 的坐标是? 1 ，- 9 ? ．
? ? 2 4 ?
（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），
∴ ? ?0 = 2k + b ，
3 ? 9
= 1
k + b . ．解得k = 2 ，
b = -3 ． ? 4 2
∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3
x - 3 ．
2
∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ?1? 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1
t +1．
2
2
2 2
3
4
2
∴
s 与t 间的函数关系式是S = 3
t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是
4
2 1
< t < 2 ． 2
（3） 存在符合条件的点 P ，且坐标是P
? 5 7
? ， ? ? 3 ，- 5 ? ．
1 2? 4 ?
2 ? 2 4 ?
?
设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．
PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ． 分以下几种情况讨论：
i ） 若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．
?n = m 2 - m - 2，
∴
??m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +
n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ? 5 7 ?
．
1 2
2
1 ， ? ?
2 4 ?
ii ） 若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．
?n = m 2 - m - 2，
∴
??(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.
解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ? 3 ，－ 5
? ．
3
2
4
2 ?
4 ??
iii ） 由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角
∠APC 不可能是直角．
（4） 以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形
这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），
以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边
上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ?- 1
2 ? ，F ? 4 ， ? 8 ? ．
? ? 5 5 ?
? 5
5 ?
图 a
图 b
14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，
并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得 a －2＝－1.
2
，
-
2
∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝
x 2
- 2 ．
因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．
15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例
图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，
DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．
解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式
为
y ＝ax 2＋ 9 ．
10
因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0＝a ?(- 5 )2＋ 9
，
2 2 得a ＝－ 18
．
125
2 10
因此所求函数解析式为 y ＝－
18
x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5
) ．
（2） 因为点 D 、E 的纵坐
．
所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2
标为 9 ， 所 以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 20
3 2 c
所以DE ＝ 5 2－(-
5
2) 5 2 ． ＝ 4
4 2
因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2
?11000 ? 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 2
16. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点
A 在点
B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点
A 、
B ，与 y 轴相交于点
C ．
（1） a 、c 的符号之间有何关系?
（2） 如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证
a 、c 互为倒数；
（3） 在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的
值． 解:
（1） a 、c 同号． 或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．
（2） 证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．
∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．
据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ? x 2 = ．
a
由题意，得OA ?OB ＝OC 2 ，即 c
＝c 2＝c 2 ．
a
所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．
(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 2
2 3 3
3 3 （3）当b = -
4 时，由（2）知， x ＋x
b 4
0 ，∴ a ＞0．
1
2＝－ a ＝ a ＞
解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝
，
2
1
∴ AB =
∵ AB = 4
=
， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1
．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．
1
2
∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝
2 +
3 ．
2
1
a
∵ AB ＝4 ，∴
2 3 ＝4 ，得a ＝ 1
．∴ c＝2． a 2
17. 如图，直线 y = -
A 、
B 两点． 3 x + 3
分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及
（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C
的坐标；
（2） 求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：
（3） 若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，
并说明理由．
16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 3
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.
件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移） 例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。 当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点； 当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点； 当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ， 则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大； 教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初中数学二次函数综合应用
人教版九年级数学上册二次函数教案
初三数学二次函数应用题专题复习
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结