(北师大版)八年级数学上第七章《二元一次方程组》

专题5.1认识二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二元一次方程1.定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的条件（1）整式方程；（2）只含有两个未知数；3.关于x,y的两元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0）.特别提醒：“所含未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1,例如2xy+1=0不是二元一次方程.【知识点2】二元一次方程组1.定义共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.2.二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）两个方程都是一次方程；特别提醒：判断二元一次方程组时,误认为每个方程必须是二元一次方程.【知识点3】二元一次方程的解1.二元一次方程组的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左右两边，看其是否相等.特别提醒：二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.二元一次方程的整数解有时只有有限个.【知识点4】二元一次方程组的解1.二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别带入方程组中的每一个方程进行检验，若满足没一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解.特别提醒：方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解.【考点目录】【考点1】二元一次方程的认识；【考点2】二元一次方程组的认识【考点3】二元一次方程的解；【考点4】二元一次方程组的解【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可解：∵方程()()33420m n m xn y --+--=是关于x y ，的二元一次方程，∴40312031m m n n +≠⎧⎪-=⎪⎨-≠⎪⎪-=⎩，∴44m n ==，，∴m n -440=-=【点拨】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．【举一反三】【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）下列是二元一次方程的是（）A ．215x -=B ．21x y +=C ．23x y +=D ．12y x+=【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程，②方程中共含有两个未知数，③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．解：A ．215x -=，是一元一次方程，故本选项不符合题意；B ．21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意；C ．23x y +=，是二元一次方程，故本选项符合题意；D ．12y x+=，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：C ．【变式2】（2022下·湖北荆州·七年级校考期中）若方程：223m x +＋514n y -＝6是关于x 、y 的二元一次方程，则n m -的平方根为．【答案】2±【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m ，n 的值，进而求解．解：由题意，得：231m +=，5141n -=，解得1m =-，3n =．∴()314n m -=--=，∴n m -的平方根2=±．故答案为：2±．【点拨】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．【考点二】二元一次方程组的认识【例2】（2017下·四川宜宾·七年级校联考阶段练习）已知方程组()()2233112m x m ym x --⎧--=⎪⎨+=-⎪⎩是二元一次方程组，求m 的值．【答案】m =5解：依题意，得：|m -2|-2=1，且m -3≠0，且m +1≠0，解得：m =5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．【举一反三】【变式1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．436231x y y z -=⎧⎨-=⎩B ．45342x y x =⎧⎨-=⎩C ．46323xy x y =⎧⎨+=⎩D ．23325y xy x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【答案】B【分析】根据二元一次方程组定义判断即可.解： A.此方程组含有,,x y z 三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；B ．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；C ．46xy =是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；D ．233y x+=是分式方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义回答．【变式2】（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）观察所给的4个方程组：①23x y =⎧⎨=⎩；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中，符合二元一次方程组定义的是（写出所有正确的序号）．【答案】①②④【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．解：①23x y =⎧⎨=⎩，符合二元一次方程组定义；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩，符合二元一次方程组定义；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩，未知数x 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，符合二元一次方程组定义；所以符合二元一次方程组定义的是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．【考点三】二元一次方程的解【例3】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知24x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程314x ay +=的一组解．（1）求a 的值（2）请用含有x 的代数式表示y ．【答案】（1）2a =；（2）372y x=-【分析】（1）将二元一次方程的解24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可；（2）将2a =代入314x ay +=得到3214x y +=，将x 看作已知数，y 看作未知数，解关于y 的方程即可．（1）解：将24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=，得：32414a ⨯+=，解得2a =；（2）解：∵2a =，∴原方程可变为3214x y +=，∴372y x =-．【举一反三】【变式1】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）若关于x 、y 的二元一次方程221x y a +=-的一组解为3x =，1y =，则a 的值是（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．把3x =，1y =代入到221x y a +=-中即可求解．解：把3x =，1y =代入到221x y a +=-中得：21321a -=+⨯，216a -=，3a =，故选：A ．【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）小方解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩时，因抄错了a ，解得11x y =⎧⎨=⎩，则c 的值为．【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将解代入第二个方程即可解答．解：把11x y =⎧⎨=⎩代入32cx y -=-得：32c -=-，解得：1c =．故答案为：1．【考点四】二元一次方程组的解【例4】（2023上·全国·八年级专题练习）甲和乙两人同解方程组125bx y x ay +=⎧⎨+=⎩，甲因抄错了a ，解得52x y =⎧⎨=⎩，乙因抄错了b ，解得32x y =⎧⎨=⎩，求52a b -的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙求得的解分别代入正确的方程，求出a ，b 的值即可求解，用代入法解方程是解本题关键．解：由题意52x y =⎧⎨=⎩，是12bx y +=的解，∴5212b +=，解得2b =，又 32x y =⎧⎨=⎩是5x ay +=的解，∴325a +=，解得1a =，5251221a b ∴-=⨯-⨯=．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）若关于x ，y 的二元一次方程组2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩的解是15x y =⎧⎨=⎩，则关于m 、n 的二元一次方程组()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A ．15m n =⎧⎨=⎩B ．51m n =⎧⎨=⎩C ．23m n =-⎧⎨=⎩D ．32m n =⎧⎨=-⎩【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，先将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩解得357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，再将357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩即可求解，熟练掌握二元一次方程组的解及利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．解：将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩得：251158a b -=-⎧⎨+=⎩，解得：357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，()()()()3215738m n m n m n m n ⎧+--=-⎪∴⎨⎪-++-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，故选D ．【变式2】（2023下·七年级单元测试）写出一个解为25x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程组：．【答案】37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得方程组．解：先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如：253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得37x y x y +=-⎧⎨-=⎩等．答案不唯一，符合题意即可．故答案为：37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）．【点拨】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键．。

二元一次方程（组）与一次函数课前测试【题目】课前测试已知一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y 的二元一次方程组的解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】A【解析】由图象可知，一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．解：∵一次函数y1=2x+m与y2=2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，∴关于x与y的二元一次方程组无解．故选：A．本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【难度】3【题目】课前测试甲、乙两人沿着一条笔直的公路进行长跑比赛，两人同时同地同向起跑，甲匀速跑完全程，并始终领先乙，甲到终点后原地休息．乙先匀速跑了4分钟后将速度提高至原来的1.5倍，再经过2分钟，乙又将速度降低至出发时的速度，并以这一速度完成余下的比赛．甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则比赛的全程为米．【答案】2000【解析】设甲的速度为x米/分钟，乙初始速度为y米/分钟，则比赛的全程为10x米，观察函数图象，找出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，将其代入10x中即可得出比赛全程的长度．解：设甲的速度为x米/分钟，乙初始速度为y米/分钟，则比赛的全程为10x米，根据题意得：，解得：，∴10x=2000．故答案为：2000．本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数图象，观察函数图象，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．【难度】3知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是二元一次方程组与一次函数。

了解，掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系，以及二元一次方程组与图像之间的联系适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握二元一次方程组与一次函数的关系重点选讲：①二元一次方程（组）与一次函数②二元一次方程组确定一次函数表达式③二元一次方程与一次函数的应用知识梳理知识梳理1：二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数的图像的关系：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上（2）一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法：（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．（3）解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．用二元一次方程组来确定一次函数的表达式：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式，叫做待定系数法例题精讲题型1：二元一次方程（组）与一次函数若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣1上，则常数b=（）A．B．2 C．﹣1 D．1【答案】B【解析】直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．解：因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=﹣x+b﹣1上，直线解析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0所以﹣b=﹣2b+2，解得：b=2，故选：B．此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答．【难度】3【题目】题型1变式练习1：二元一次方程（组）与一次函数用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（）A．B．C． D．【答案】D【解析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．解：∵直线y=kx+b与y=x+2的交点坐标为（1，3），∴二元一次方程组的解为，故选：D．本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【难度】3【题目】题型1变式练习2：二元一次方程（组）与一次函数若直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0且k≠﹣2）经过点（2，﹣3），则方程组的解为．【答案】【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．解：∵直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0且k≠﹣2）经过点（2，﹣3），∴方程组的解为．故答案为．本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【难度】3题型2：待定系数法求一次函数表达式如图，过点Q（0，3）的一次函数与正比例函数y=2x的图象交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x﹣2y+3=0 B．3x﹣2y﹣3=0 C．x﹣y+3=0 D．x+y﹣3=0【答案】D【解析】如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b，那么根据这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．∵这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3），∴，解得．故这个一次函数的解析式为y=﹣x+3，即：x+y﹣3=0．故选：D．本题主要考查了一次函数与方程组的关系及用待定系数法求一次函数的解析式．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．【难度】3【题目】题型2变式练习1：待定系数法求一次函数表达式如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应该先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组即为所求的方程组．解：由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=﹣x﹣1；同理可求得直线l2的解析式为y=﹣2x+4；因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．故选：A．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【难度】2【题目】题型2变式练习2：待定系数法求一次函数表达式已知和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b （a≠0）的解析式为（）A．y=﹣2x﹣3 B．C．y=﹣9x+3 D．【答案】D【解析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一次方程，联立方程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．解：∵和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，∴，解得：，∴一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为y=﹣x﹣．故选：D．此题考查了方程的解的意义和二元一次方程组的解法．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a和b为未知数的方程，再求解．【难度】3【题目】题型2变式练习3：待定系数法求一次函数表达式如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．【答案】【解析】先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，所以点A的坐标可以看成是方程组解．故答案为．本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．【难度】3题型3：二元一次方程组和一次函数的应用学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？【答案】30人；当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算；当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算；【解析】（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象即可得出答案．（2）由图象比较收费y1、y2，即可得出答案．（3）当有50人时，比较收费y1、y2，即可得出答案．解：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人；（2）由图象知：当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算；（3）由图象知：当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算；本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键正确理解图象的几何意义．【难度】3【题目】题型3变式练习1：二元一次方程组和一次函数的应用如图，直线l1过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l2过点C（0，﹣1），l1、l2相交于点D，且△DCB的面积等于8．（1）求点D的坐标；（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．【答案】D（4，﹣）；点D的坐标是方程组的解．【解析】（1）由待定系数法求出直线l1的解析式，得出B的坐标，求出BC的长，由三角形的面积求出点D的横坐标，即可得出点D的纵坐标；（2）由待定系数法求出直线l1的解析式，即可得出结果．解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴直线l1的解析式为y=x﹣5，当x=0时，y=﹣5，∴B（0，﹣5），∴OB=5，∵点C（0，﹣1），∴OC=1，∴BC=5﹣1=4，设D（x，y），则△DCB的面积=×4×|x|=8，解得：x=±4（负值舍去），∴x=4，代入y=x﹣5得：y=﹣，∴D（4，﹣）；（2）设直线l2的解析式为y=ax+c，根据题意得：，解得：，∴直线l2的解析式为y=﹣x﹣1，∵l1、l2相交于点D，∴点D的坐标是方程组的解．本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系、两直线相交的问题，待定系数法求直线解析式；由待定系数法求出直线解析式是解决问题的关键．【难度】3【题目】题型3变式练习2：二元一次方程组和一次函数的应用如图，在平面直角坐标系中，直线a与x轴，y轴分别交于A、B两点，且直线a上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程4x﹣3y=﹣6的解，直线b与x轴，y轴分别交于C、D两点，且直线b上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x﹣2y=1的解，直线a与b交于点E．（1）分别求出点A，点D的坐标；（2）求四边形AODE的面积．【答案】A（﹣，0），D（0，﹣）；【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标和点D的坐标；（2）求出两条直线的交点E的坐标，根据四边形AODE的面积=四边形AOHE 的面积﹣△EDH的面积进行计算即可．解：（1）∵直线a上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程4x﹣3y=﹣6的解，∴当y=0时，x=﹣，∴点A的坐标为：（﹣，0），∵直线b上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x﹣2y=1的解，∴x=0时，y=﹣，∴点D的坐标为：（0，﹣）；（2）作EH⊥y轴于H，，解得，∴点E的坐标为（﹣3，﹣2），则四边形AODE的面积=四边形AOHE的面积﹣△EDH的面积=×（+3）×2﹣××3=．本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线的交点的求法以及四边形的面积，正确求出E点坐标是解题的关键．【难度】3【题目】兴趣篇1如图，l1、l2分别是甲、乙二人运动的路程与时间关系图．根据图中信息，完成下列问题：（1）确定直线l1、l2的表达式；（2）请设计一个可以用二元一次方程组解决的实际问题．【答案】（1）直线l1的解析式为y=﹣20x+100，直线l2的解析式为y=15x；（2）A、B两地相距100km，甲、乙二人骑自行车分别从A、B出发，甲的速度为15km/h，乙的速度为20km/h，问经过多少小时他们相遇？【解析】（1）利用待定系数法求直线l1、l2的表达式；（2）利用题中的数据可设计：A、B两地相距100km，甲、乙二人骑自行车分别从A、B出发，甲的速度为15km/h，乙的速度为20km/h，问经过多少小时他们相遇？此问题可列二元一次方程组求解．解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，把（0，100），（1，80）代入得，解得，所以直线l1的解析式为y=﹣20x+100，设直线l2的解析式为y=ax，把（2，30）代入得30=2a，解得a=15，所以直线l2的解析式为y=15x；（2）A、B两地相距100km，甲、乙二人骑自行车分别从A、B出发，甲的速度为15km/h，乙的速度为20km/h，问经过多少小时他们相遇？本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【难度】3【题目】兴趣篇2（1）请在如图的直角坐标系中作出y=2x+1，y=3x的图象；（2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解．【答案】【解析】根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象．解：（1）函数y=2x+1经过点（0，1）、（﹣，0）；函数y=3x经过（0，0）点，（1，3）．作图如下：（2）根据图象可得：方程组的解为．本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线．【难度】3【题目】备选题目1在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y=x﹣2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】A【解析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．解：①当k=0时，y=kx+k=0，即为x轴，则直线y=x﹣2和x轴的交点为（2，0）满足题意，∴k=0②当k≠0时，，∴x﹣2=kx+k，∴（k﹣1）x=﹣（k+2），∵k，x都是整数，k≠1，k≠0，∴x==﹣1﹣是整数，∴k﹣1=±1或±3，∴k=2或k=4或k=﹣2；综上，k=0或k=2或k=4或k=﹣2．故k共有四种取值．故选：A．本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．【难度】3【题目】备选题目2一次函数y1=kx+b和y2=kx的图象上一部分点的坐标见下表：x …0 1 2 3 …y1…﹣4 ﹣1 3 5 ……x …﹣4 1 23…y2… 4 ﹣1 ﹣2 ﹣3则方程组的解为．【答案】【解析】根据函数与方程组的关系解答即可．解：由图表可知，一次函数y1=kx+b和y2=kx的图象交点为（1，﹣1），所以方程组的解为，故答案为：，此题考查函数与方程组的关系，关键是根据两个函数的交点即为方程组的解集．【难度】3【题目】备选题目3如图，直线l1：y=x﹣1与直线l2：y=﹣x+2在同一直角坐标中交于点A（2，1）．（1）直接写出方程组的解是．（2）请判断三条直线y=x﹣1，y=﹣x+2，y=x+是否经过同一个点，请说明理由．【答案】；（2，1）．【解析】（1）根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．（2）先求得两直线的交点坐标，再判断该交点坐标是否满足第三条直线即可．解：（1）由图可得，直线l1：y=x﹣1与直线l2：y=﹣x+2在同一直角坐标中交于点A（2，1），∴出方程组的解是，故答案为：；（2）解方程组，可得，把代入y=x+成立，∴三条直线y=x﹣1，y=﹣x+2，y=x+经过同一个点（2，1）．此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．【难度】4。

三、典型例题
直接设元、间接设元和设辅助未知数
审题
设元
列方程
解方程
明确题目中的数量关系
找出等量关系
检验作答 写出答案
【当堂检测】
1.一个两位数，十位和个位的数字之和为8，若把十位上的数字与个位数字对 调，得到的新数比本来数小18，则原数为（ A ）
A．53
B. 35
C. 62
ห้องสมุดไป่ตู้
D.26
三、典型例题
【当堂检测】
解：联立方程，得
10x+y-3(x+y)=23 10x+y=5(x+y)+1
化简，得
7x-2y=23 5x-4y=1
解这个方程组，得
x y
5 6
所以这个两位数是56.
三、典型例题
例3．从小戴家到小红家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小戴骑自 行车去小红家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行6km，他到小 红家需要行60分钟，从小红家回来时需要行68分钟才能到家．那么，从小 戴家到小红家上坡路和下坡路各有多少千米？
三位数的表示方法： 百位数字×100十位数字×10+个位数字
【当堂检测】
2.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以 它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少.
分析 这个两位数的十位数字是x，个位数字是y. 根据一个两位数，减去它的各位数字之和，结果是23， 可列出方程_1_0_x_+_y_-_3_（__x_+_y_）__=_2_3__; 根据这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1， 可列出方程__1_0_x_+_y_=_5_（__x_+_y_）__+_1__;

5x+3y=34
将x=5代入
视察:二元一次方程组和一元
8-x=8-5=3.
一次方程有何联系？这对你
答：去了5个成人，3个儿童. 解二元一次方程组有何启示？
探究新知 用二元一次方程组求解
x+y=8①
5x+3y=34② 由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多程组 y = x + 10 的解是 x + y = 200
x = 95， y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
探究新知
解二元一次方程组的基本思路“消元”
5.2 求解二元一次方程组 （第1课时）
导入新知
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，
负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场
数分别是多少？ (1)如果设胜的场数是x ，则负的场数是10-x,
可得一元一次方程 2x 10 x 16 ；
(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,
连接中考
（202X•广州）解方程组： xx
y 1 3y 9
解：
x x
y 1 3y 9
①， ②
由①得，x＝y+1 ③ ，
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2，
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3
y
2