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随机信号习题答案

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随机信号分析习题参考答案北京工业大学电控学院2008.12.9第一章 随机信号基础1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为：求：（1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(<<x P（3） 求X 的概率密度函数 解：（1） 因为X 为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。

即 )0()(0F x F im l x =→有：0)]}1(2sin[5.0lim{0=-+→x A x π解得：21=A （2） 根据分布函数的性质：)()()(1221x F x F x x x P -=<<42]22*5.05.0[5.0)5.0()1()15.0(=--=-=<<F F x P（3） 因为dxx dF x f X X )()(=当20<≤x 时， )1(2cos 42*)1(2cos 21)()(-=-==x x dx x dF x f X X ππππ其他 0)()(==dxx dF x f X X elsex f x x X 0)(20)1(2cos 4=<≤-ππ1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度 。

2120)]1(2sin[5.0)(00≥<≤-+=<x x x A x F x π解：如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数（II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续（1）00)(02<=≥--x x F x ex可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。

)()(021'2<==≥-x x F x f x e X x（2）0110)(002≥<≤=<x x Ax x F x 经过计算可知当1=A 时为分布函数。

则此时 0110)(002≥<≤=<x x x x F x 102)()(0'<≤==x xx F x f else（3） 0)]()([)(>--=a a x u x u axx F上式等价于： elsex F ax ax 0)(0=≤≤因为在a x =点，1)(=a F 0)(lim 0=+→x F x 此函数在此点不连续。

所以该函数不是分布函数。

1.5 设随机变量X 的概率密度为：elsex f x X 0)(101=≤≤求：15+=X Y 的概率密度。

解：因为 15+=X Y 所以 )(51Y h Y X =-=则：elsey h f y f y y X Y 0))(((51)(61151051==≤≤⇒≤-≤1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期望和方差及X 和Y 的相关矩。

解：232][3]23[][--=--=--=m X E X E Y E σ9][9]23[][==--=X D X D Y Dmm X E X E X D X E X E X X E X X E XY E R XY 233][2])[][(3][2][3]23[)]23([][2222---=-+-=--=--=--==σ1.11 随机变量X 、Y 的联合概率密度为：2,0)sin(),(π≤≤+=y x y x A y x f XY求：（1）系数A （2）数学期望Y X m m , （3）方差2X σ和2Y σ（4）相关矩XY R 及相关系数XY r解：（1）A dxdy y x A dxdy y x A 2)sin()sin(202=+=+⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-ππ有二位概率密度性质可知：1)(=+⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f XY 所以可得21=A （2）)cos (sin 21)sin(),()(20x x dy y x dy y x f x f XY X +=+==⎰⎰∞∞-π4)cos (sin 21)cos (sin 21*)(2020πππ⎰⎰⎰=-=+==∞∞-x x xd dx x x x dxx xf m X X同理：)cos (sin 21),()(y y dx y x f y f XY Y +==⎰∞∞- 有 4π=Y m （3）因为][][222X E X E X -=σ可求228)sin (cos 21)(][2222-+=+==⎰⎰∞∞-∞∞-ππdx x x x dx x f x X E X2216][][2222-+=-=ππσX E X E X同理可得：2216][][2222-+=-=ππσY E Y E Y（4）12)sin(21*),(][2020-=+===⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-πππdxdy y x xy dxdyy x xyf XY E R XY XY2)4(12ππ--=-=Y X XY XY m m R C245.03281682216)4(122222-=-+-+-=-+--==ππππππππσσYX XYXY C r第二章 随机过程2.1随机过程 )sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中其中ω为常数，A 、B 为互相独立的高斯变量，0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。

求)(t X 的数学期望和自相关函数。

解：0][)sin(][)cos()]sin()cos([)]([=+=+=B E t A E t t B t A E t X E ωωωω][sin sin ][sin cos cos sin ][cos sin ][cos cos ]sin sin sin cos cos sin cos cos [)]sin cos )(sin cos [()]()([),(221212121221212212121222112121B E t t AB E t t t t AB E t t A E t t t t B t t AB t t AB t t A E t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+++=+++=++==因为 A 、B 为互相独立的高斯变量 所以0][][][==B E A E AB E 代入上式)]21([cos 22)2sin 1sin 2cos 1(cos 22sin 1sin 22cos 1cos )2,1(t t t t t t t t t t t t X R-=+=+=ωσσωωωωσωωσωω2.4 判断随机过程)cos()(Φ+=t A t X ω是否平稳？其中ω为常数，Φ、A 分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立πϕπϕ2021)(<<=Φf 0)(222/2>=-a e aa f aA σσ解： （1）)cos(*)][cos(][)]cos([)]([202/2022=+=Φ+=Φ+=⎰⎰-∞+πσϕϕωσωωd t da e a a t E A E t A E t X E a 所以，均值为常数。

（2）σπσσ2da e aa ]A [E 222/a -02=⋅=⎰∞22/a -02222da e aa ]A [E 22σσσ=⋅=⎰∞222222122211222211222X X R (t ,t )E [(Acos(t ))(Acos(t ))]E [A cos(t )A cos ]E [A ]E [cos(t )]E [A ]cos E [A ]cos cos *R ()τωΦωωτΦωωτΦωτωωτΦωτωτωτστ+=+++=+++=+++===（3）∞<==++=++=+=22222222][21)](2[cos ][21][21]2)(2cos 1[)](cos [)]([σϕωϕωϕωA E t E A E A E t A E t A E t X E或∞<==22)()]([σ0R t X E X所以)cos()(Φ+=t A t X ω是平稳随机过程。

2.5 证明不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=是宽平稳的而不一定是严平稳的。

其中0ω为常数，A 、B 的数学期望为0，方差2σ相同。

证明：首先证明)(t X 是宽平稳的。

（1）0)][sin(][)][cos(][)]sin()cos([)]([0000=+=+=t E B E t E A E t B t A E t X E ωωωω均值为常数。

（2）)cos(])(cos[))](sin()sin())(cos()[cos())(sin()sin())(cos()cos(][))(sin()sin(][))(cos()cos(][))(sin()sin(][))(sin()cos(][))(cos()sin(][))(cos()cos())](sin()sin())(sin()cos())(cos()sin())(cos()cos([))}](sin())(cos()}{sin()cos([{),(0200200002200200200200200000020000200000020000τωσωτωστωωτωωσστωωστωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτωτωωωτ=-+=+++=+++=+++=+++++++=+++++++=++++=+t t t t t t t t t t B E t t A E t t B E t t AB E t t AB E t t A E t t t t B t t AB t t AB t t A E t B t A t B t A E t t R X自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。

（3）∞<==2X 0R t X E σ)()]([2均方值有界。

所以)(t X 是宽平稳的。

可以证明)t cos t sin (2)]t (X [E 33+=3与时间有关。

（证明省略） 所以得出结论：)(t X 是宽平稳的，而不是严平稳的。

2.7 已知随机过程)cos()(Φ+=t A t X ω，Φ为在]2,0[π内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。

A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经的？ 解：（参照2.4题） （1）当A 是常数时：0)][cos()]cos([)]([=+=+=ΦΦt AE t A E t X E ωω所以，均值为常数。

)(cos 2cos 2)]22[cos(2]cos )22[cos(2)]cos()cos([))]cos())(cos([(),(22222τωτωτωτωωτωτωωτωωωτωωτX X R A A t E A t E A t t A E t A t A E t t R ==+++=+++=+++=+++=+ΦΦΦΦΦΦ∞<==++=++=+=22222222][21)](2[cos ][21][21]2)(2cos 1[)](cos [)]([σϕωϕωϕωA E t E A E A E t A E t A E t X E所以)cos()(Φ+=t A t X ω是平稳随机过程。

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随机信号分析课后习题答案

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1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

(完整版)随机信号处理考题答案

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填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

随机信号分析(第3版)习题及答案

随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3） 解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

随机信号分析习题答案(部分)

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1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。