自动控制课程设计
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自动控制原理研究性学习
基于MATLAB仿真的直线倒立摆系统研究
专业：机械工程及自动化
摘要
自动控制就是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使受控对象的被控量等于给定值或按给定信号变化规律去变化。
运用自动控制原理的理
论对系统进行研究，能够实现系统的优化设计。
但自动控制原理理论性强，现实模型在实验室较难建立，因此利用 MATLAB进行仿真实验，可以加深我们对课程的理解，调动学习的积极性，同时大大提高了深入思考问题的能力和创新能力。
本文结合直线倒立摆的设计实例，利用MATLAB 软件仿真工具来实现对系统建模、分析与设计、仿真。
它能够直观、快速地分析系统的动态性能、和稳态性能并且能够灵活的改变系统的结构和参数，通过快速、直观的仿真达到系统的优化设计目的。
关键词：倒立摆；MATLAB仿真；自动控制系统
目录
1.系统概述
2.控制系统MATLAB仿真
2.1实际系统的模型参数 2.2数学模型参数
2.3时域分析
2.3.1时域分析
2.3.2频域分析
2.3.3根轨迹分析
2.4方块图建立
3.系统校正
4.结论
5.总结
6.参考文献
1.系统概述
1.1倒立摆系统简介
支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。
小车由电机通过同步带驱动使一端固定在小车上的摆杆能以固定点为轴心在垂直的平面上自由地摆动。
为使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度，达期望位置后系统能克服随机扰动而保持稳定。
设计由计算机采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号与期望值比较，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
1.2 建立倒立摆系统数学模型
忽略空气阻力，各种摩擦之后，可将直线倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。
结构如图1：
图1 直线倒立摆模型
M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、I 摆杆惯、F加在小车上的力、x 小车位置、φ摆杆与垂直向上方向的夹角、θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
1.3小车与摆杆受力分析
图中P、N为小车与杆的相互作用力
小车水平方向受力分析：(1)
摆杆水平方向受力分析：(2)
由(1)、(2)式得：(3)
把式(3)代入式(1)得：
摆杆竖直方向受力分析：
即：（4）
对杆由力矩平衡方程：（5）
又因为
将式(3)、（4）带入式（5）中得：
设，进行线性化近似处理：
令F=u,
2.控制系统MATLAB仿真
2.1实际系统的模型参数
M(小车质量)=2kg
m（摆杆质量）=0.1kg
B（小车摩擦系数）=0.1N/s
L（摆杆转动轴心到杆质心长度）=0.25m
I（摆杆惯性）=0.034kgm3
2.2数学模型参数
由
拉氏变换：
令，小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为
代入参数，得：
2.3 MATLAB仿真
2.3.1时域分析
clear
t=0:0.1:10;
num=[9.3575 57.64];
den=[1 24.5903 -6.25 -153.69];
sys=tf(num,den);
y1=step(sys,t);
plot(t,y1);
图4 单位脉冲阶跃响应2.3.2频域分析
clear
z=0;
p=[0.4 -0.4];
k=0.102;
sys=zpk(z,p,k);
bode(sys)
图5 系统波德图2.3.3根轨迹分析
clear
t=0:0.1:15;
num=[0.102];
den=[0.164,0,-1];
sys=tf(num,den);
rlocus(sys)
图6 系统根轨迹曲线 2.4方块图建立
3.系统校正
由根轨迹图（图6）可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。
画出系统闭环传递函数的根轨迹可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的，所以需要对系统进行校正。
3.1对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：
调整时间： 0.5(2%)sts 最大超调量：Mp ≤10%
闭环极点为12.3077
有
校正后开环传递函数
3.2利用Matlab进行校正后的仿真如下：（1）根轨迹法：
z=-6.1601;
p=[-2.5 2.5 -24.5903];
k=9.3575;
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)
（2）波德图：
clear
z=-6.1601;
p=[-2.5 2.5 -24.5903];
k=9.3575;
sys=zpk(z,p,k);
bode(sys)
4.结论
（1)首先，我们对直线一级倒立摆进行受力分析，通过数学建摸分析建立起小车加速度与摆杆角度间的传递函数，借助Matlab软件进行时域、根轨迹及频域分析，结果发现此系统是发散的，不稳定。
可通过给系统添加一个校正装置，最终使系统稳定。
（2)其次，通过查阅各种书籍资料，我们发现为实现直线一级倒立摆的校正，大致有三种方式，分别是根轨迹法，频率法外以及PID调节法。
最终我们选择了根轨迹法。
通过添加零极点的方法使系统趋于稳定。
（3）将最后结果在Matlab中进行根轨迹及频域分析，可以发现经校正后的系统明显优于之前的系统。
5.总结
社会越来越趋近于自动化，很多装置以及系统都需要用自动控制原理中的方法来进行控制，以达到所需的效果。
通过这次课设我们发现，很多控制系统都是源于一些经典物理模型，通过Matlab的仿真，我们可以直观的看出系统的优劣性，通过系统的根轨迹校正法，深入理解了零极点对系统性能的影响。
课程设计是实现目标的前提，是理论与实验的综合，也能够使我们更好的了解书本知识以及相关的软件操作。
我们在这次课程设计中收获了很多，也学到了更多知识，对自动控制原理这门课的学习有极大的帮助。
6.参考文献
[1] 涂植英，陈今润.自动控制原理.重庆:重庆大学出版社,2005
[2] 胡寿松.自动控制原理.北京:科学出版社,2001
[3] 丛爽，李泽湘.实用运动控制技术.北京：电子工业出版社，2006。
