四章 多项式插值与数值逼近PPT课件

f(x2) f[x1,x2]
f(x3) f[x2,x3]
¦
¦
f(xn) f[xn-1,xn]
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
¦
f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
• 差商的性质
1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位置无关.
2. f[x0,x1,…,xn]＝
• 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要求必 须提得合理否则无解或许多解),
• 如何构造逼近函数P(x).
• 逼近的效果.
插值的概念
• 插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值.
• 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件
f [x0 , x1
, xk ] f [x0, x1
, xk2 , xk ] f [x0, x1, xk xk1
, xk1]
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
• 差商表
xi
x0 x1 x2 x3 ¦ xn
f(xi) 一阶差商 二阶差商 … n阶差商
f(x0)
f(x1) f[x0,x1]
而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一.
称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为
Lagrange插值多项式．
• 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)

推 论 ： 利 用 p阶 多 项 式 插 值 逼 近 q阶 多 项 式 函 数 ， 若 pq， 则 该 逼 近 过 程 不 存 在 误 差 。
证 明 ： f(n＋ 1)()0
多项式插值误差
• 例：已 知 sin1,sin1,sin3
6 2 0.85
sin
42
32
分别利用 sin0.x8 的1次外 内推 插、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
数值逼近（Approximation）
• Approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby.
0.2
0
-0.2
5
-0.4-5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
5
-5
0
4阶
0
10阶
注意：
上述插值 结果是正 确的多项 式插值结 果，而且 5 是唯一的 多项式插 值结果。 Rung现象 是多项式 插值本身 的缺陷而 非误差。
5
埃尔米特（Hermite）插值
在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求 它的导数值也相等。
det xx10nn xnn
... ...
...
x0 x1
xn
1
1
i j
(xi
xj )
0
1
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解

两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来

2 a
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,, n
即：

b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
b a
k 0,1, 2,, n
记
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,, n
lim pn ( x ) f ( x )
n
P0 ( x)
P ( x) 1
x [a, b]
x
注：结论并不是对 所有函数都成立 Pn ( x )
x
x
( 2) 1 ( 3) 1
x
x
( 2) 2 ( 3) 2
P2 ( x)
( x33)
P3 ( x)
( ( ( ( x0n ) x1 n ) x2n ) x3n )
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
a n
b k 0 k k a k
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
p n a
一致逼近
1 i 0