《不变子空间的概念》课件

陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案 第七章 线性变换 §7.4 不变子空间不变子空间

第 1 页 共 6页 §7.4 不变子空间

教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是的不变子空间的事实，了解的秩和零度的概念及其相关结论。

教学难点 不变子空间的证明

教学重点 不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是的不变子空间的证明

教 学 过 程 备 注

教学内容 一、不变子空间的定义

为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.

在3V中，设是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意k)(,3V，设W是3V中过原点的一个平面，W是3V的一个子空间，对W中每一个向量，在作用之下的像)(仍是W中的向量，这样的子空间W就是的不变子空间.

定义1 设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有W)(，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.

例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.

例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.

例3 在R[x]中，令x)(f(f(x))，对任意][],[)(xRxRxfn是R[x]的子空间，并且]x[nR是的不变子空间.

例4 设是3V中以过原点的一条直线L为轴,旋转角的变换,则L是的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.

二、不变子空间的判断

下面给出一种判断不变子空间的方法

定理7.4.1 设是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，r21,,,是W的基.则W是的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r21在W中.

矩阵的不变子空间是指对于某个矩阵而言，其子空间中的向量在矩阵的作用下不会改变。具体来说，对于一个矩阵A，如果存在一个子空间V，使得对于任意的向量x∈V，Ax仍属于V，则称V是A的不变子空间。

在矩阵的不变子空间中，矩阵A的行向量或者列向量形成的子空间是一个不变子空间。这是因为，对于A的行向量形成的子空间，任意的向量x在该子空间中，Ax的各个分量仍然是A的行向量，因此Ax仍在子空间中。同理，对于A的列向量形成的子空间，Ax的各个分量仍然是A的列向量，因此Ax仍在子空间中。

此外，如果A是可对角化的矩阵，那么其不变子空间可以是A的特征向量形成的子空间。这是因为，对于A的每一个特征值λ和对应的特征向量x，有Ax=λx，因此特征向量x在A的作用下不会改变。

在矩阵理论中，矩阵的不变子空间有着重要的应用。例如，在信号处理中，可以利用矩阵的不变子空间进行信号的滤波和变换。此外，在控制理论中，矩阵的不变子空间也被用于描述系统的稳定性和行为。

不变⼦空间、若当、最⼩多项式（简介）

§7 不变⼦空间

◎ 本节重点：不变⼦空间的定义与“限制”.

已知可对⾓化对应于对⾓矩阵，但是并不是每个都能对⾓化的.退⼀步，对应于准对⾓形也好；虽然⽐对⾓形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要⽤到不变⼦空间的概念. ⼀、定义与例⼦1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变⼦空间W ?是V 的⼦空间，且,W ∈?ξ有W ∈)(ξσ.

简称σ-⼦空间. （注意：与线性变换有关）2.例⼦：设)(n V L ∈σ，则下列⼦空间W 都是σ的不变⼦空间：

1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -⼦空间.

⼆、线性变换在不变⼦空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变⼦空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.

【意义】缩⼩了线性变换的范围，从⽽简化线性变换.因此，如果V 可分解为若⼲-σ⼦空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个⼦空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作⽤结果⼀样，但作⽤范围不同.即

σξξσξ=?∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ??⽆意义.

三、不变⼦空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）

设V 可分解为若⼲个σ-⼦空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，

在每个不变⼦空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的⼀组基，则在这组基下，σ的矩阵具有

准对⾓形 s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵.

进⼀步的，我们有：*四、不变⼦空间的直和分解

定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成⼀次因式：S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变⼦空间的直和：

§7 不变子空间

◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.

已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.

一、定义与例子

1.定义：)(nVL，W是的不变子空间W是V的子空间，且,W有W)(.

简称-子空间. （注意：与线性变换有关）

2.例子：设)(nVL，则下列子空间W都是的不变子空间：

1）0W 2）VW 3）)0(1W 4）)(VW 5）0)(|0VVW

例1若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间.

二、线性变换在不变子空间上的“限制”

1.定义：设W是)(nVL的不变子空间，可只在W中考虑，记为W|.

【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干子空间iW的直和，那么对V的线性变换的研究就归结为对各个子空间iW的直和研究.

2.区别：W|与的作用结果一样，但作用范围不同.即

)|(WW；)|(WW无意义.

三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）

设V可分解为若干个-子空间的直和：sWWWV21，在每个不变子空间iW中取基kiii,,,21，si,2,1，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，的矩阵具有准对角形sAA1，其中iA，si,2,1是iWA|在对应基下的矩阵.

进一步的，我们有：

*四、不变子空间的直和分解

定理12：设线性变换)(nVL的特征多项式)(f可分解成一次因式：

SrSrrf)()()()(2121,则V可以分解成不变子空间的直和：