类不变子空间与不变子空间的关系

类不变子空间与不变子空间的关系

古雯;倪军娜

【摘 要】给出了\"类不变子空间\"的定义,研究了可逆线性变换和一般线性变换的类不变子空间与不变子空间的关系:利用向量空间的理论,证明了对于可逆线性变换,类不变子空间与不变子空间是等价的;进一步证明对于非可逆的线性变换,类不变子空间是不变子空间,反之不成立.

【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2019(051)004

【总页数】4页(P100-103)

【关键词】类不变子空间;不变子空间;线性变换;向量空间

【作 者】古雯;倪军娜

【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631

【正文语种】中 文

【中图分类】O15

近30余年，学者们讨论了特殊空间的不变子空间[1-3]、特殊方程的不变子空间[4-6]和特殊矩阵的不变子空间[7-8]等问题，如：研究多圆盘的加权Bergman空间上的不变子空间和约化子空间，给出了一类解析Toeplitz算子Tzi(1≤i≤n)的不变子空间的Beurling型定理[1];结合压力变换和不变子空间方法中的等价变换，给出了一般非齐次非线性扩散方程的等价方程的高维不变子空间[4]. 另外，“不变子空间问题”作为算子理论中的重要问题，许多学者做了相关研究[9-17].

本文基于不变子空间的定义，给出了“类不变子空间”的定义，并利用向量空间有关理论，探讨类不变子空间的性质，研究类不变子空间与不变子空间的关系.

1 预备知识

定义1[18] 令V是数域F上的向量空间，σ是V的线性变换，W是V的子空间，当σ(W)⊆W,称W是σ的不变子空间，也就是说，若αW,则σ(α)W,称W是σ的不变子空间.

引理1[18] 若α1,α2,…,αr是n维向量空间V中一组线性无关的向量，则总可以添加n-r个向量αr+1,…,αn,使得{α1,α2,…,αr,αr+1,…,αn}作为V的一个基. 特别地，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以作为V的基.

引理2[18] 若W1和W2都是数域F上向量空间V的有限维子空间，则W1+W2也是有限维的，且

dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1∩W2).

引理3[18] 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩r小于其未知量的个数n.

2 主要结果

首先，在定义1的基础上给出类不变子空间的定义:

定义2 令V是数域F上的向量空间，σ是V的线性变换，W是V的子空间. 如果满足：对于任意的αV，若σ(α)W，有αW，则称W是σ的类不变子空间.

下面探讨类不变子空间的性质，研究不同情形下“类不变子空间”与不变子空间的关系.

2.1 可逆线性变换的类不变子空间

定理1 令V是数域F上的向量空间，σ是V的可逆的线性变换，W是V的子空间，则W是σ的类不变子空间当且仅当W是σ的不变子空间.

证明 先证必要性. 设W是σ的类不变子空间，即∀αW,σ-1(α)W, 则W是σ-1的不变子空间，因此σ-1(W)⊆W，即W⊆σ(W). 下证:σ(W)=W.

设{α1,α2，…,αr}是向量空间W的一个基，ξ=k1α1+k2α2+…+krαrW. 因为σ(ξ)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+krσ(αr),所以σ(W)=(σ(α1),σ(α2),…,σ(αr))，故dim

σ(W)≤r. 又因为σ(W)⊇W，dim σ(W)≥dim W=r，所以dim σ(W)=dim W=r.

又W⊆σ(W)，有σ(W)=W，则σ(W)⊆W. 故W是σ的不变子空间.

再证充分性. 设W是σ的不变子空间，设{α1,α2，…,αr}是向量空间W的基，则易证σ(α1),σ(α2),…,σ(αr)线性无关. 又由于

σ(W)=(σ(α1),σ(α2),…,σ(αr))，

则dim σ(W)=r=dim W. 因为W是σ的不变子空间，σ(W)⊆W，所以σ(W)=W.

∀αW，由于σ(W)=W，故α σ(W). 因此，存在βW,使得σ(β)=α，从而有σ-1(α)=σ-1(σ(β))=β W,故W是σ的类不变子空间. 证毕.

2.2 一般线性变换的类不变子空间

对于双射情形下，类不变子空间与不变子空间是等价的，下面研究一般情形下的类不变子空间. 设V是数域F上的向量空间，σ是V的线性变换，W是V的子空间.

由于W中一定包含零向量，则由定义2可知Ker(σ)⊆W. 因此，在一般线性变换的情形下，有以下定理.

定理2 设V是数域F上的向量空间，且dim V=n，σ是V的线性变换，若W是σ的类不变子空间，则W一定是σ的不变子空间.

证明 (1)若Ker(σ)={0}，即σ是可逆的线性变换. 则由定理1，可得W是不变子空间.

(2)若Ker(σ)≠{0}，设dim Ker(σ)=m，分以下2种情形讨论.

①若dim W=dim Ker(σ)=m，由于Ker(σ)⊆W, 则有W=Ker(σ)，显然Ker(σ)是V的不变子空间，因此W是不变子空间.

②若dim W>dim Ker(σ)=m，由引理1，Ker(σ)的一个基{α1,α2,…,αm}可以扩充为W的基{α1,α2,…,αm,αm+1,…,αq},并进一步扩充到V的基{α1,α2,…,αm,αm+1,…,αq,αq+1,…,αn}.

任取ξW,设

ξ=k1α1+k2α2+…+kmαm+km+1αm+1+…+kqαq，

因为σ是线性变换，所以

σ(ξ)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+kmσ(αm)+

km+1σ(αm+1)+…+kqσ(αq).

由于{α1,α2，…,αm}是Ker(σ)的一个基，故σ(α1)=σ(α2)=…=σ(αm)=0.

若要证W是不变子空间，即要证σ(ξ)W,即证km+1σ(αm+1)+…+kqσ(αq)W,故只需证σ(αm+1),σ(αm+2),…,σ(αq)W. 首先证明σ(αm+1)W(用反证法).

若σ(αi)W (i>q)，由于W是类不变子空间，故可得αiW (i>q). 显然αiW (i>q)，矛盾. 故σ(αi)W (i>q). 从而可得σ(αi)W (i=q+1,q+2,…,n).

若σ(αm+1)W,由于W是类不变子空间，故对于V中的每个向量ξ，设

ξ=k1α1+k2α2+…+kmαm+km+1αm+1+…+kqαq+

kq+1αq+1+…+knαn.

若满足σ(ξ)=t1α1+t2α2+…+tmαm+tm+1αm+1+…+tqαq,必然可得到ξ W，即kq+1=kq+2=…=kn=0.

令W′=(σ(αm+1),σ(αq+1),σ(αq+2),…,σ(αn)),设ηW′∩W,由于ηW′,设

η=km+1σ(αm+1)+kq+1σ(αq+1)+…+kq+2σ(αq+2)+…+

knσ(αn)W，

其中,km+1,kq+1,kq+2,…,knF，可得kq+1=kq+2=…=kn=0. 否则，若ki≠0

(i≥q+1)，此时存在 ξ=k1α1+…+kmαm+km+1αm+1+0αm+2+…+0αq+

kq+1αq+1+…+kiαi+…+knαn,

σ(ξ)=km+1σ(αm+1)+kq+1σ(αq+1)+…+kiσ(αi)+…+

knσ(αn)W.

但由于ki≠0 (i≥q+1)，不满足kq+1=kq+2=…=kn=0,与定义1矛盾，则kq+1=kq+2=…=kn=0,从而有km+1σ(αm+1)W. 而σ(αm+1)W，则km+1=0，因此η=0. 故W′∩W={0}.

而对于子空间W′，设

km+1σ(αm+1)+kq+1σ(αq+1)+kq+2σ(αq+2)+…+knσ(αn)=0，

即σ(km+1αm+1+kq+1αq+1+…+knαn)=0. 由于{α1,α2，…,αm}是Ker(σ)的基，故可设

km+1αm+1+kq+1αq+1+…+knαn=k1α1+k2α2+…kmαm.

由于{α1,α2,…,αn}是V的基，则k1=k2=…=km=km+1=kq+1=…=kn=0，故σ(αm+1),σ(αq+1),…σ(αn)线性无关，即dim W′=n-q+1.

根据前面的证明可得：W+W′⊆V，且W∩W′={0}. 由引理2，有

dim(W+W′)=dim W+dim W′-dim(W∩W′)=

q+n-q+1-0=n+1>n=dim V，

这与W+W′⊆V矛盾. 故σ(αm+1)W.

同理可证，σ(αm+2)W,σ(αm+3)W,…,σ(αq)W. 证毕.

由定理2可知：对于一般的线性变换，类不变子空间一定是不变子空间. 但反之不成立. 例如：令Fn(x)表示数域F上一切次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向量空间，σ: f(x)→ f ′(x). 易证σ是Fn(x)的线性变换，而且不是可逆线性变换. 由定义2可知，若W是V的类不变子空间，由于0W,则Ker(σ)⊆W,从而有

{f(x)=a0|a0F}⊆W, {f(x)=a1x+a0|a1,a0F}⊆W,

{f(x)=a2x2+a1x+a0|a2,a1,a0F}⊆W,

⋮

{f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0|aiF,

i=0,1,2,…,n}⊆W,

则W=Fn(x),故Fn(x)只有1个类不变子空间，也就是它本身，显然Fn(x)是它本身的不变子空间. 但是，一般情形下，类不变子空间与不变子空间并不是等价的. 例如Fn-1(x)作为Fn(x)的子空间，根据不变子空间与类不变子空间的定义，易发现Fn-1(x)是Fn(x)的不变子空间，但不是Fn(x)的类不变子空间.

下面着重研究σ不是V的可逆的线性变换的情况.

定理3 设V是数域F上的向量空间，且dim V=n，σ是V的线性变换，且不可逆，若W是V的类不变子空间，则σ(W)≠W.

证明 根据定理2，若W是V的类不变子空间，则W是V的不变子空间，即σ(W)⊆W，下证σ(W)≠W.

由引理1，W的基{α1,α2,…,αr}可以扩充为V的基{α1,α2,…,αn}，令(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A,其中A为线性变换σ在V中的基{α1,α2,…,αn}下的矩阵. 设α=m1α1+m2α2+…+mnαn，令σ(α)W，不妨设σ(α)=k1α1+k2α2+…+krαr. 由定义2可得αW，即mr+1=mr+2=…=mn=0.

而由于

σ(α)=m1σ(α1)+m2σ(α2)+…+mnσ(αn)=

(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))(m1,m2,…,mn)T=

(α1,α2,…,αn)A(m1,m2,…,mn)T,

则类不变子空间的定义可转变一种表达形式：由

(α1,α2,…,αn)A(m1,m2,…,mn)T=(α1,α2,…,αn)(k1,k2,…,kr,0,0,…,0)T