三角函数讲义

个性化教案 GFJW0901

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三角函数讲义（1）

——任意角及任意角的三角函数，基本关系与诱导公式，两角和与差公式

【高考会这样考】

1．考查三角函数的定义及应用．

2．考查三角函数值符号的确定．

3．考查同角三角函数的基本关系式．

4．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．

5．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．

6．利用三角公式考查角的变换、角的范围

基础梳理

1．任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．

(3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

⑤弧长公式：l＝|α|r，

扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2. 个性化教案 GFJW0901

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

3．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT

为正切线

4．同角三角函数的基本关系

5．诱导公式

6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

7．二倍角的正弦、余弦、正切公式及降幂公式

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8．辅助角公式

函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，

可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

考向探究

题型一：角的集合表示及象限角的判定

【例题1】下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)

【例题2】若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．

A．第一或第三象限 B．第一或第二象限

C．第二或第四象限 D．第三或第四象限

【变式1】若是第二象限的角，则2所在的象限是( )

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第二、四象限 D．第二、三象限

题型二：三角函数的定义

【例题3】已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．

A．－55 B.255 C．－255 D．－12

【变式2】已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝24 m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

题型三：弧度制的应用 个性化教案 GFJW0901

【例题4】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【变式3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

题型四：三角函数线及其应用

【例题5】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：sin α≥32；

【例题6】下列不等式中正确的是( )

A．π74sinπ75sin B．7πtanπ815tan

C．6πsin5πsin D．π49cosπ53cos

【变式4】求函数的定义域：y＝2cos x－1；

【变式5】若2ππ24ππ2kk，k∈Z，则sin与cos的大小关系是( )

A．sin＞cos B．sin＜cos

C．sin≥cos D．sin≤cos

题型五：利用同角三角函数关系化简与求值

【例题7】已知sin45并且是第二象限的角,那么tan的值等于( ) 个性化教案 GFJW0901

A.43 B.34 C.34 D.43

【变式6】已知tan13计算:

sin2cos(1)5cossin; 21(2)2sincoscos.

题型六：利用诱导公式化简与求值

【例题8】.如果sin(1)2那么cos3()2等于 ( )

A.12 B.12 C.32 D.32

【例题9】已知cos(π6－θ)＝a(|a|≤1)，则cos(56π＋θ)的值是________．

【变式7】已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αsinπ2＋αtanπ＋α，求f31π3.

题型七：诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

【例题10】已知sin3()25则cos(2)等于( )

A.725 B.2425 C.725 D.2425

【变式8】记cos(-80)=k,那么tan100等于( )

A.21kk B.21kk

C.21kk D.21kk

题型八：和差角公式的运用

【例题11】计算sin105( )

A．624 B．624 C．624 D．624 个性化教案 GFJW0901

【例题12】计算cos18cos42cos72cos48( )

A．12 B．12 C．32 D．32

【例题13】已知,(,)4，3sin()5，12sin()413，则cos()4 .

【变式9】已知1tan3，5cos,5,(0,),则tan()的值等于 .

题型九：二倍角公式的运用

【例题14】化简1sin8( )

A．sin4cos4 B．sin4cos4 C．sin4 D．cos4

【例题15】已知3sin(),45x则sin2x的值为（ ）

A.1925 B.1625 C.1425 D.725

【变式10】已知(,0)2x，4cos5x，则x2tan（ ）

A．247 B．247 C．724 D．724

【变式11】cos10cos80sin20 .

题型十：“22sincossin()abab”的应用

【例题16】函数3sin4cos5yxx的最小正周期是（ ）

A.5 B.2 C. D.2 个性化教案 GFJW0901

【例题17】函数xxycos3sin在区间0,2上的最小值为 ．

【变式12】函数2sincos3cos3yxxx的图象的一个对称中心是（ ）

A.23(,)32 B.53(,)62C.23(,)32 D.(,3)3

巩固训练

1.角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．

A．α＝－β

B．α＝180°＋β

C．α＝k·360°＋β(k∈Z)

D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)

2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

3．把405°化为弧度为( )

A．π3683 B．π47 C．π613 D．π49

4．已知＝2rad，则是第( )象限角

A．一 B．二 C．三 D．四

5.(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )．

A．－45 B．－35 C.35 D.45

6．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.

7.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.