固体物理-第一章 晶体结构

《固体物理学》习题解答

( 仅供参考 )

参加编辑学生

柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），

陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），

秦丽丽（第七章）

指导教师

黄新堂

华中师范大学物理科学与技术学院 2003 级

2006 年 6 月 第一章 晶体结构

1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出

这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。

解：

氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成 的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ 原子组成的Ｃ原子对。

由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：

a1  a2 ( j  k)

a 2  a2 ( k  i)

 a 3  a ( i 

j)  2

相应的晶胞基矢都为：

a  ai, b  aj,

c  ak.

2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 a1 , a 2,

a 3与 a4 ,如图所示。试写出 O A1 A3 、

A1 A3 B3 B1 、 A2 B2 B5 A5 、 A1 A2 A3 A4 A5 A6 这四个 晶 面所属晶面族的晶面指数 h k l m。

解：

(1)．对于 OA1 A3 面，其在四个原胞基矢上的 截

矩分别为：１，１， 1 ，１。所以，其晶 面 2  

指数为 1121 。

(2)．对于 A1 A3 B3 B1 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，  12 ，  。

所以，其晶面指数为 1120。

(3)．对于 A2 B2 B5 A5 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１， 1，  ，  。

第一章 晶体的结构

简单回答下面的问题：

1 a原胞与单胞有什么不同？何谓布拉菲格子？何谓倒格子？

以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的

一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶

格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相等．

为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或

布喇菲原胞．

晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分

布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。布拉菲格子：由基元代表点（格点）在空间中的周期性排列所形成的晶格。

倒格子*（Reciprocal Lattice ，Reciprocal有相互转换的含意）

已知有正格子基矢 ，定义倒格矢基矢 为:

； ； .

其中 为正格子原胞体积。

由 平移操作所产生的格点叫倒格点： 为倒格矢;

倒格点的总体叫倒格子， 叫一组倒格基矢。

由 与 所决定的点阵为互为倒格子

b晶体的宏观对称性可以概括为多少点群？晶体中有几种基本对称素？多少个

晶系？这些晶系分别包括哪些布拉菲格子？

晶体学中共有32种点群 八种基本对称素C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、CS (m)

和 S4

七大晶系十四种布拉菲格子

c什么是晶体、准晶体和非晶体？ 晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性

非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或次近邻原子间的键合：如配位数、

键长和键角等具有一定的规律性），无长程周期性

准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周

期性

2试推导面心和体心立方点阵的x射线衍射的系统消光规律

3多晶体与单晶体的x射线衍射图有什么区别？多晶（衍射环对应一个晶面）；

单晶（衍射点对应一个晶面）

第一章习题参考解答

解答：设立方晶格的边长为a，一个晶胞中的

原子数为n，原子球半径为R，晶胞体积为V，

则致密度(或叫填充率)K为：

VRnK334•ch1.1 题略334

3

===0.52(2)6RKR

(1) 简单立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球

半径为R，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R，体积为(2R)3，所以

VRnK334•（2）体心立方晶胞内有2个原子，n=2，原子球半

径为R，晶胞边长为a，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以



83

)3

4

(342,34

33RRKR

=0.68

83

)34(342,34

33RRKRa（3）面心立方晶胞内有4个原子，晶胞的面对角

线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，

立方体边长为a，



62

)2

4

(344

33RRK

=0.74,24Ra

（4）六角密排原胞内中含2个原子，正四面体四个顶点处的原子球相切，边长为a，六角柱高h=0.7462322]

321)2[(342

23•aRRKhs

斜边2R=a

[(2R)2-[(2Rsin60)х2/3]2=(h/2)2

底边竖直边



163834

33aRK

=0.34(5)金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原

子最近邻长度2R为体对角线1/4长，体对角

线为,38aR

证明1：设六角层内最近邻原子间距为a，相邻两层间的最近邻为d，则

633.13

/

8,

])2()3[(,])2()3[(

21222122



accaaadcad

由此解出此时有构，时构成理想的密堆积结当ch1.2 题略

ad证明

2：设六角层内最近邻原子间距为a，相邻两层间的最近邻为d，则

adch1.3 题略

解

：对于体心立方，原胞基矢为：

对于体心立方原胞体积为：1.3

)(21kjaa)(22ikaa)(23jiaa对于面心立方，原胞基矢为：根据倒格子基矢定义，并将体心原胞基矢代入计算之，可得：

第一章 晶体结构

 布拉菲点阵概念

 惯用晶胞（单胞）概念

 初基晶胞（原胞）概念

 Wigner-Seize晶胞

 晶体结构

基元+点阵=晶体结构

 简单的晶体结构

（1）sc，bcc，fcc结构的特征

（2）金刚石结构

（3）六角密堆积结构

（4）NaCl结构

（5）CsCl结构

 晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距

晶面指数（hkl)的定义和求法

方向指数[abc]的定义和求法

 对称操作

 7种晶系和14种布拉菲点阵

1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心

立方晶体中的原子数之比。

2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交

3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点

面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面

的面间距

4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）

晶面和[122]

5晶体中可以独立存在的8种对称元素是： 、 、

、 、 、 、 、 。

 布拉格定理

 倒易点阵初基矢量公式

 布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）

 实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）

 倒易点阵矢量和晶面指数间的关系

1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点

阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明

两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为

2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，

X-射线波长=1.54Å。试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方

结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？

答案：a）a=2.91Å；b）=27.28º

3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初 基矢量；（b）计算倒易点阵的初基矢量；（c）画出第一、