高中数学课程
均值不等式
(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
(2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
[新知初探]
1．均值定理
如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥ab.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式．
对任意两个正实数a，b，数a＋b2称为a，b的算术平均值(平均数)，数ab称为a，b的几何平均值(平均数)．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
[点睛] (1)“a＝b”是a＋b2≥ab的等号成立的条件．若a≠b，则a＋b2≠ab，即a＋b2＞ab.
(2)均值不等式a＋b2≥ab与a2＋b2≥2ab成立的条件不同，前者a＞0，b＞0，后者a∈R，b∈R.
2．利用均值不等式求最值
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 预习课本P69～71，思考并完成以下问题 高中数学课程
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立( )
(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤a＋b22( )
解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．
(2)错误．只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立．
(3)正确．因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知f(x)＝x＋1x－2(x＞0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最小值为－2 D．最小值为2
答案：B
3．对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )
3.1 不等关系与不等式(共2课时)
教学内容 3.1.2 不等式的性质 课时 2
教学过程 教学要点及教师活动 学生活动
教
学
引
入 教学引入：
1、不等式的概念
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等的式子叫做不等式．
2、比较两个实数a，b大小的依据
（1）如果a＞b，那么a－b是正数； a>b⇔a－b>0
（2）如果a＜b，a－b是负数； a
（3）如果a＝b，那么a－b等于0. a＝b⇔a－b＝0
教学过程 教学要点及教师活动 学生活动
新
课
教
学
1、不等式的性质:
(1)对称性：a>b⇔b
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： a>bc>d⇒a＋c>b＋d.
(4)可乘性： a>bc>0⇒ac>bc； a>bc<0⇒ac
推论(同向同正可乘性)： a>b>0c>d>0⇒ac>bd.
(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)．
(6)正数开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)．
[例题典析]
题型一：不等式性质应用
例1：已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：ea－c＞eb－d.
新
课
教
学
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜1a－c＜1b－d.
又∵e＜0，∴ea－c＞eb－d.
题型二：已知a、b范围求代数式范围
例2：(1)已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．(2)在本例条件下，求ab的取值范围．
解：∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，
∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
年 级： 高 二 学 科： 数 学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：3.1 不等关系与不等式（2）
制单人：田志龙 审核人：高二数学组
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__
一. 自主学习
1学习目标
1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
3. 会将一些基本性质结合起来应用.
2学习指导
阅读教材P72-74,回答下面问题：
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
3自学检测
1、比较大小：
（1）2(32) 626；
（2）2(32) 2(61)；
（3）152 165；
（4）当0ab时，12loga_______12logb
2、变式：比较(3)(5)aa与(2)(4)aa的大小.
二. 合作交流
1已知1260,1536,aababb求及的取值范围.
2. 已知x>0，求证112xx.
三. 拓展延伸
1、已知41,145abab，求9ab的取值范围.
四、当堂训练
1. 若2()31fxxx，2()21gxxx，则()fx与()gx的大小关系为（ ）.
A．()()fxgx B．()()fxgx
C．()()fxgx D．随x值变化而变化
2. 已知0xa，则一定成立的不等式是（ ）.
A．220xa B．22xaxa
C．20xax D．22xaax
3. 已知22，则2的范围是（ ）.
A．(,0)2 B．[,0]2
1 3.1不等关系与不等式
学习目标
1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；
2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；
3.熟悉不等式的性质。
学习过程
一、新课导学
※ 探索新知
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为14℃，明天白天的最高温度23℃；
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
1.不等式的定义：
2.2≥2，这样写正确吗？ “≥“的含义是什么？
a≥b、a≤b表示什么?
题型1.建立不等关系
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.
建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换.它们之间的关系如下表.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 至多
小于 至少
大于等于 不少于
小于等于 ≤ 不多于 ≤
变式：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
