基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

篇一：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

一、知识结构

二、重点叙述

1. 基本不等式模型 一般地,如果a>0,b>0,则

立。 我们常把

叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,

,或

,当且仅当a=b时等号成

即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。 拓展:

若a、b∈R,则

2. 基本不等式证明方法

,当且仅当a=b时等号成立。

3.基本不等式的应用

①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。 三、案例分析

案例1：(1)（2009天津·理）设

的最小值为

A8B4C 1D (2) （2007海南、宁夏·理7）已知 ，

，

成等差数列，

若

成等比数列，则

Ａ．

Ｂ．

的最小值是（）

Ｃ．

Ｄ．

分析：（1）由是与的等比中项，得

。用“1代换法”，把

看成，进而利用基本不等式求得最小值。

（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数

转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用

特殊值法解决。 解：（1）∵

是

与

的等比中项，∴ ，得

。

∴，

当且仅当即时，“=”成立。故选择C。 成等差数列，

成等比数列，

（2）（直接法）∵

∴

∴，

∵，，∴，∴，当且仅当时，等号

成立。 ∴

。故选D。

成等差数列，

成等比数列分别都为

另解：

（特殊值法）令

，则

，故选D。

案例2：(1) （2009重庆·文）已知A．2

B．

，则C．4

的最小值是（ ） D．5 (2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则

的最小值为________________.

分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。

(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。 (1)C；（2）8

解：(1)因为，

当且仅当(2)∵函数

。

∵点A在直线

，且，即时，取“=”号。故选C。的图象恒过定点A，∴

的坐标为

上，∴。

∵m，n＞0，∴，

当且仅当，且，即时，等号成立。

所以的最小值为8。

的最大值。

，求ab的取值范围。

案例3：(1)求函数(2)已知正数a、b满足 (3)已知a,b＞0，，求的最大值。

分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 不等式

转化为

是a与b的和与积的等式，利用基本

的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范

围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基

本不等式，可求得存在性。 解：(1)∵函数∴

的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立的

的定义域为

，

，∴。

当且仅当所以函数(2)∵∵∴∴∵

，∴

，即时，等式成立。∵

的最大值是

。

，∴。

，∴

，令

，解得，即 ，。

，当且仅当

，则。

，当且仅当

时，等号成立。 。

时，等号成立。

所以ab的取值范围是

(3) ∵a,b＞0，且，

∴，

当且仅当，且，

即时，取得最大值。

所以的最大值为。

案例4：（2009湖北·文17）

围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。分析；画图，理解题意，建立总费用的函数

，显然 篇二：基本不等式及应用

基本不等式及应用

一、考纲要求：

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法．

a＋b222

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤((a，b∈R)

2a＋ba＋b2ba(3)≥()(a，b∈R)(4)≥2(a，b同号且不为零)

22ab上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b. 四、算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的

2算术平均数不小于它们的几何平均数．

2

2

2ab

四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+

： ?

a?b当且仅当a＝

b时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．

a?b

??2

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P. 12

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值

.

4

强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.

2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）

3想一想:错在哪里？

(x?2)，２．已知函数f(x)?x?1 x?2１．已知函数f(x)?x?，求函数的

最小值和此时x

的取值．x求函数的最小值．

3 解：f(x)?x??21x?2 解:f(x)?x?x?2?2

?x?2

当且仅当x?1即x??1时函数? 当且仅当?3即x?3时，函数xx?? x?2?

取到最小值

2.

的最小值是6大家把x?2?最小值？

入看一看，会有

什么发现？用什么方法求该函数的

11

3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋＋)的最小值为________．

xy

111

解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.

axy2＋xy－2xy2

解二：z＝xy)－2≥2

xyxy

22

2

xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2－1)． xy

【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

2

111yx1?x＋y?－2xy2

【正确解答】 z＝(x)＝xy＋＋xy＋＋＋xy－2，

xyxyxyxyxyxy

x＋y212112

令t＝xy，则0 x＝yz有最小值.

424

误区警示：

(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3

的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x

x26.

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 课堂纠错补练：

π4

若0 2sinx

π4

解析：令sinx＝t,0 2t答案：5

考点1 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

例1：（1）已知a,b,c均为正数，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)

（2）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：ab(a?b)?bc(b?c)?ac(c?a)?6abc

2

2

22

2

2

11

（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋4.

ab

【证明】 (1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋2＋

ababab≥2＋ba1

·4(当且仅当a＝b＝时等号成立)． ab2

11

∴4.∴原不等式成立． ab