一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系

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1 第01讲一元二次方程、二次函数的图像与性质及一元二次不等式的求解

课程要求：

1、掌握用十字相乘和公式法求一元二次方程；

2、掌握二次函数的图像及性质；

3、掌握利用一元二次方程和二次函数解一元二次不等式。

十字相乘法

一、复习相关知识：

1、计算：（1）23xx （2）23xx

（3）23xx （4）23xx

（5）xaxb

思考：1、在xa与xb相乘时，二次项、一次项、常数项分别是怎样产生的？是什么运算？

2、根据分解因式和乘法的互逆关系，能把多项式2xabxab分解因式吗？

二、例1．把下列各式分解因式：

（1）232xx （2）276xx

（3）2421xx （4）2215xx

三、方法总结：将二次三项式2xpxq分解因式，关键是选择a和b，使 q， p

（1）q为正数时，a、b ，且与 同号；

（2）q为负数时，a、b ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与p同号；

（3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数 学 则 优 教 育 尊重个性 乐学求真

第2章 《不等式》（教学设计） 1 课题 2.2.1二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

教学

目标 知识目标 理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集.

能力目标 培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想.

情感目标 培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.

教学

重点 正确理解三个二次之间的关系. 教学

难点 探索三个二次之间关系的过程.

教法

学法 讲授法、讨论法.

课后

反馈

教学环节及内容 设计思路

一、知识回顾

一般地，我们把含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．

其一般形式为

20axbxc或20axbxc

其中,,abc为实数，且0a.

能使一元二次不等式成立的未知数x值的集合叫作一元二次不等式的解集．

二、探索新知

1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

观察二次函数223yxx的图像(如图).

复习一元二次不等式的定义，教师提问，学生回忆口答.

第2章 《不等式》（教学设计） 2 当1x或3x时，函数图像在x轴上方，0y；

当1x或3x时，函数图像在x轴上，0y；

当13x时，函数的图像都在x轴下方，0y.

(1)方程2230xx的解是二次函数223yxx的图像与x轴交点的横坐标，即11x，23x.

(2)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴上方部分的点的横坐标x值的范围，即,13,.

(3)不等式2230xx的解集是二次函数223yxx的图像位于x轴下方部分的点的横坐标x值的范围，即1,3.

一般地，当0a时，函数2yaxbxc，方程20axbxc，不等式20axbxc，20axbxc之间的关系如表所示.

- 1 - 二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别

二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。

首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。

其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。

最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。

综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。

2022年暑假 数学 初升高衔接

专题资料

08 三个“二次”的关系

◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇

知识链接01 一元二次不等式

形如20(0) (0)axbxca或的不等式称为关于x的一元二次不等式．

知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1

x1＝x2＝－b2a 没有实数根

一元二次方程

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 xx2 x≠x1 全体实数

一元二次方程

ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 x1< x

知识链接03 一元二次不等式的解法

（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式

ax2＋bx＋c>0 (a>0)或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．

（2）求出相应的一元二次方程的根． [

（3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．

知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为 (0)axba的形式．

（1）当0a时，不等式的解为：bxa；

（2）当0a时，不等式的解为：bxa；

（3）当0a时，不等式化为：0xb；

① 若0b，则不等式的解是全体实数；

② 若0b，则不等式无解．

◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇

典例剖析01 解下列不等式：

（1）2320xx ； （2）2654xx；

（3）2320xx； （4）2210xx；

（5）24410xx； （6）2530xx．