【新导学案】高中数学人教版必修四：2.1《平面向量的实际背景及基本概念》

2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2．1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

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2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2．1 平面向量的实际背景及基本概念

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2．1 平面向量的实际背景及基本概念

[教材研读]

预习课本P74～76，思考以下问题

1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?

3．两个向量（向量的模）能否比较大小？

4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别?

5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？

［要点梳理］ 2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2．1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

1．向量的概念和表示方法

（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示

2.向量的长度（或称模）与特殊向量

（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．

（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。

(3）特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0；

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

3．向量间的关系

（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a＝b。

（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2．1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

柏梓中学高二数学圆锥曲线导学案

蒋红伟

1 §2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案

【学习要求】 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别． 2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．

3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

【学法指导】

本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.

【知识要点】

1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．

2．向量的几何表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作____.

3．向量的有关概念：

（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .

（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量．

（3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．

（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于b，记作 .

②规定：零向量与 平行.

【问题探究】

探究点一 向量的概念和几何表示

（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．

例如，已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有 ，是向量的有 .

向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．

（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB→的长度就是向量AB→的长度(简称模)，记作|AB→|；有向线段AB→箭头表示向量AB→的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模．

NO.1 平面向量的实际背景及基本概念

【课标要求】由平面向量的实际背景引出其基本概念，让学生理解向量的模及向量的共线.

【学习目标】（1）平面向量的基本概念；（2）向量的模及向量的共线.

【重难点】向量的模与向量共线的判定.

【知识回顾】

1、我们把既有大小又有方向的量叫做向量，把那些只有大小，没有方向的量叫做数量.

2、带有方向的线段叫做有向线段，例如以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面，这就是向量的表示方法，同时，我们也可以用一个小写字母来表示向量AB，例如a、b、c等.

3、有向线段，即向量包括三个要素：起点，方向，长度。向量的长度也就是有向线段的长度。向量是可以平行移动的，所以当我们用有向线段表示向量的时候，起点可以随意取，一旦确定了向量的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定了.

4、向量AB的大小，也就是向量AB的长度，称为模，记作AB，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，与向量a同向的单位向量可表示为aa.

5、长度相等且方向相同的有向线段表示相等向量，例如ba，那么一定有ba，且两向量的方向相同.

6、我们把通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线，如果向量的基线平行或重合，那么就称这这些向量共线或平行，例如向量a与b平行，则记作ba∥.

7、规定：零向量与非零向量都是平行的.

【随堂练习】

1、把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( )

A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个孤立的点 D．一个圆

2、把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( )

A．同一个圆上 B．同一个点上 C．同一条直线上 D．以上都有可能 3、如图，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )

A．DA→与BC→ B．DC→与AB→ C．DC→与BC→ D．DC→与DA→

高中数学必修4

第二章平面向量导学案

2.1平面向量的实际背景及基本概念

【知识梳理】

1．向量和数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段

的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点

的有向线段记作AB

.

(2)有向线段包含三个要素：、、

3．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时用a→

，b→

，c→

…

表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，

例如，AB

，CD

.

4．向量的模及两个特殊向量

(1)向量的长度(模)：向量AB

的大小，也就是向量AB

的长度(或模)，记作|AB

|.

(2)两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；

零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．

②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

5．相等向量与共线向量

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．

(2)平行向量：

①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b.

②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a.

③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向

量．题型一、向量的有关概念

【例1】下列说法正确的是()

A．向量AB

与CD

是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量AB

与向量BA

是两平行向量