广东省汕头市2016-2017学年高二上学期期中考试理科数学试卷
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1 广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试
理科数学试卷
命题人：李勇
第一部分选择题（共60分）
一、(本大题共12小题，每小题5分，四选一项．)
1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．12＋42 B．18＋82 C．28 D．20＋82
2．用斜二侧法画水平放置的ABC的直观图，得到如图所示等腰直角ABC.已知点'O是斜边BC的中点，且1AO，则ABC的BC边上的高为
A．1 B．2 C．2 D．22
3．设,,lmn是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列判断正确的是
A．若lm,mn，则//ln B．若,，则//
C．若,,m则//m D．若,//mm，则
4．设l为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若//l,//l,则// B．若l,l,则//
C．若l,//l,则// D．若,//l,则l
5.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和BC上的点，若AE:EB=CF:FB=1:2,则AC和平面DEF的位置关系是
A.平行 B.相交 C.在平面内
D.不能确定
6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到
图2所示的几何体，则该几何体的左视图为
y'x'O'C'B'A'
2 7．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，2ABBCAC，2PA，,EF分别是,PBBC的中点，则EF与平面PAB所成的角等于
A．30 B．45 C．60 D．90
8.圆2240xy与圆22450xyx的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
9．直线12:210,:(1)0lxaylaxay，若12//ll，则实数a的值为
A．32 B．0 C．32 或 0 D．2
10．直线1ykx与圆221xy相交于,AB两点，且3AB，则实数k的值等于
A．3 B．1 C．3或3 D．1或1
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点
的轨迹方程是
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
12.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与
A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直
C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13.点)2,1(到直线xy的距离是_________.
14.若点P在直线03:1yxl上，过点P的直线2l与曲线22:(5)16Cxy相切于点M，则PM的最小值为_________.
15.两圆相交于两点(1,3)A和(, )Bmn，且两圆圆心都在直线20xy上，则mn的值是_________.
16.在ABC中，2,6,2ACBC，M为AB中点，将ACM沿CM折起，使,AB之间的距离为22，则三棱锥ABCM的外接球的表面积为_________.
三、解答题（共6大题，共计70分）
17.（本题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝cos 2B，2cos2B2－1，且m∥n.
（Ⅰ）求锐角B的大小；
3 EBPCAD（Ⅱ）如果b＝2，求S△ABC的最大值．
18．(本小题满分12分)设数列na的前n项和为nS，设na是nS与2的等差中项, 数列nb中，11b，点1(,)nnPbb在直线2yx上.
（Ⅰ）求,nnab；
（Ⅱ）若数列nb的前n项和为nB，比较nBnnBB)1(322121与1的大小．
19．（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD， //ABCD，
90BAD，3AD，22DCAB，E为BC中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?
若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．
20.（本题满分12分）直三棱柱111ABCABC中，
平面1ABC侧面11AABB，且12AAAB．
（Ⅰ） 求证：ABBC；
（Ⅱ） 若直线AC与平面1ABC所成的
角为6，求锐二面角1AACB的大小．
21．（本题满分12分）若定义域内的某一数0x，使得00)(xxf，则称0x是)(xf的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2abxbaxxf。
（Ⅰ）当1a，2b时，求函数)(xf的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b，函数)(xf恒有两个不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若)(xfy图象上两个点BA,的横坐标是函数)(xf的不动点，且BA,的中点C在函数145)(2aaaxxg的图象上，求b的最小值。
22．（本题满分12分）圆M：22224xyy ，直线l：11yx， B A1
C A B1 C1
4 l上一点A的横坐标为a,过点A作圆M的两条切线1l,2l, 切点为CB,.
（Ⅰ）当0a时，求直线1l , 2l的方程；
（Ⅱ）是否存在点A，使得2ABAC？若存在，
求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.
（Ⅲ）求证当点A在直线l运动时，直线BC过定点0P。
附加题：问：第（Ⅲ）问的逆命题是否成立？
（若考生正确作答，可加5分，但总分不超过150分。）
广东金山中学2016-17学年高二级（上)期中测试
数学试卷参考答案(文理)
一、选择题（每题5分，共60分）
D D D B A B B B C C C B
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 322； 14. 4； 15. 4 ； 16. 16
三、解答题（共6大题，共计70分）
17.（本题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－3)，n＝cos 2B，2cos2B2－1且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
解 (1)∵m∥n，∴2sin B2cos2B2－1＝－3cos 2B，
∴sin 2B＝－3cos 2B，即tan 2B＝－3.
又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝2π3，∴B＝π3 …………5分
(2)∵B＝π3，b＝2，由余弦定理cos B＝a2＋c2－b22ac，
得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，
得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
S△ABC＝12acsin B＝34ac≤3
(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为3 .……10分 yxAMBCO
5 EBPCAD18．(本小题满分12分)设数列na的前n项和为nS，设na是nS与2的等差中项, 数列nb中，11b，点1(,)nnPbb在直线2yx上.
（Ⅰ） 求,nnab；
（Ⅱ） 若数列nb的前n项和为nB，比较nBnnBB)1(322121与1的大小．
解：（1）由题意得22nnaS，即111222aSa，所以12a
因为1122,22nnnnSaSa，所以1112()nnnnnaSSaa，即12nnaa，所以数列na是以2为公比、首项12a的等比数列，即2*nnanN
因为点1(,)nnPbb在直线2yx上，所以12nnbb，即12nnbb，所以数列nb是以2为公差、首项11b的等差数列，即21*nbnnN ……6分
（2）212nnBbbbn，所以
1111)1(1321211)1(322121nnnBnnBBn…12分
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD， //ABCD， 90BAD，3AD，
22DCAB，E为BC中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?
若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）连接DB，
在RtDAB中，22(3)12DB， …………1分
又E为BC中点，2DC
DEBC …………………………………………2分
PD平面ABCD，BC平面ABCD,
PDBC， ………………………………………3分
PDDED， BC平面PDE，
…………4分
又BC平面PBC，平面PBC⊥平面PDE……5分
（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且13PFPC时，PA∥平面BDF.…………… 6分
证明如下： OFDACPBE
6 连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作//OFPA，则交PC于F……7分
又OF平面BDF，PA平面BDF ………………………………………8分
∴PA∥平面BDF ……………………………………………………………9分
四边形ABCD， //ABCD，22,DCAB
∴12AOABOCDC ………………………………………………………………10分
∵//OFPA，∴12PFAOFCOC ……………………………………………………11分
∴当13PFPC时，PA∥平面BDF …………………………………………………12分
20. （理科：本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB，且12AAAB．
（Ⅰ） 求证：ABBC；
（Ⅱ） 若直线AC与平面1ABC所成的角为6，求锐二面角1AACB的大小．
解：（1）证明：
如右图，取1AB的中点D，连接AD，
因1AAAB，则1ADAB
由平面1ABC侧面11AABB，
且平面1ABC侧面11AABB1AB，
得1ADABC平面，又BC平面1ABC，
所以ADBC.
因为三棱柱111ABCABC—是直三棱柱， B A1
C A B1 C1
B A1
C A B1 C1
D E
