高等数学(下)练习1答案

练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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习题1-61. 计算下列极限:(1)xx x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2s i n l i m 2s i n s i n 2l i m s i n 2c o s 1l i m 0200===-→→→x x xx x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx n n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 10)1(lim -→;解11)(10)1()(1010})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x . (2)xx x 10)21(lim +→;解 22210221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x xx =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→. (4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明 仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时,A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ),所以 A -ε<f (x )<A +ε,即 |f (x )-A |<ε,因此A x f x x =→)(lim 0.证明 仅对x →x 0的情形加以证明.因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0, 所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ),所以 A -ε<f (x )<A +ε,即 |f (x )-A |<ε,因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ; 证明 因为nn 11111+<+<, 而 11l i m =∞→n 且1)11(lim =+∞→nn , 由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn . (2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1l i m 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(l i m 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界. 再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增. 因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim 0=+→n x x ; 证明 当|x |≤1时, 则有1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n ,从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-.因为 1|)|1(lim |)|1(lim 00=+=-→→x x x x , 根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x . (5)1]1[lim 0=+→xx x . 证明 因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-x x x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→x x x .。

《高等数学》期末练习题1答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 452．答案：平面y x =上的所有点。

3．答案：-16xy4．答案：2220().d f r rdr πθ⎰⎰5．答案：1201611+-三、计算（8小题，共48分）1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}距离为d P P n n n==⋅=Prj ||/||12152．答案：cos cos αβ==22∂∂∂∂z xzy==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1x e y x y xx y yx sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨⎩220240，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215-=-在边界x y 2225+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2222241025λ()由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪⎩⎪2220242025022λλλ得x y =±=525, ，(()zz 5251510552515105-=--=+比较后可知，函数z 在点(,)12-处取最小值z (,)1215-=-在点(-525,处取最大值()5101552,5+=-z 。

5．解：原式1212001==⋅=⎰⎰⎰⎰dx xydy xdx ydy 6．解：212321xxI dx dy x y zdz=⎰⎰⎰2221027112168516xdx xy dy x dx ===⎰⎰⎰7．解：消z 后，可得L 的参数方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z t y t x sin 21sin 21cos 0t2πt t t t t s d d cos 21cos 21sin d 222=++=，故⎰Lsxyz d 61sin 21sin 21cos 2=⋅⋅=⎰πtdt t t 8．答案：()41122lim lim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n ∴级数的收敛半径41=R 四、判断（2小题，共12分）1．解：设f x x x()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1221，于是()ln ()ln f x x x=-+22取极限lim ln ()lim ln()lim x x x f x x x xx →∞→∞→=-+=-+202222=0故lim ()x f x →∞=1，从而有lim n nn →∞+⎛⎝⎫⎭=12121，故而12211n nn +⎛⎝ ⎫⎭⎪=∞∑发散。

第一章函数的极限与连续【基本要求】1、熟练掌握基本初等函数的表达式、图形及主要性质；2、了解初等函数的概念，了解极限的直观概念（一种变化趋势），无穷小量、无穷大量的概念；3、熟练掌握函数极限四则运算法则和无穷小量的性质，掌握求极限的各种方法；4、掌握两个重要极限，会用它求有关极限问题；5、理解函数的连续性和连续函数的概念，会判断一、二类间断点，知道闭区间上连续函数的性质．第一节函数【知识要点】邻域、函数、基本初等函数、初等函数、复合函数、分段函数的概念；求定义域、值域的方法；建立函数关系．【基本训练】x+<的中心是2吗？1、邻域21答案：-22、确定函数的两要素是定义域和值域吗？答案：不是。

确定函数的两要素是定义域和对应法则。

3、函数有哪几种表示方法？答案：解析法、图示法、表格法。

4、我们常用什么方法研究函数？答案：图示法。

f x=?5、函数()答案：是y=是否为初等函数？6、函数x答案：是。

7、你能举出一个既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 答案：()0f x =．8、奇函数的图形以（ ）对称；偶函数的图形以（ ）对称． 答案：原点；y 轴． 【能力提高】 一、单项选择题：1、C2、C3、B4、C5、D 二、确定下列函数的定义域：(1)y = (2) lg(1)y x =-+答案：[)(]2112,,- 答案：()11,- (3) x y cos = （4）21arcsin 5x y +=答案：2222k ,k ,k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦答案：[]22,- （5）ln(sin )y x = (6) ⎩⎨⎧<<-<≤--=20301x x x x y ，，答案：()2(21)k ,k ,k Z ππ+∈ 答案：[)()1002,,- 三、下列各题中()f x 和()g x 是否相同？(1) 3223()()()f x x ,g x x == (2) 2()()f x x,g x == 答案：不同 答案：不同(3) 22()1()sin cos f x ,g x x x ==+ (4) ()()f x x ==答案：相同 答案：相同四、已知()210201113x x f x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，求：(05)(0)(2)f .,f ,f -． 答案：(05)1(0)2(2)1f .,f ,f -=-==五、已知1(1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x >，求()f x ． 答案：令1u x =，1x u=． ()1111f u u u ⎛⎛=+=+ ⎝⎝= ()f x =六、已知()f x =[]1()f ,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭．答案：11f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；[]()f f x ==．七、确定下列函数的奇偶性：(判定奇偶性,先要求定义域) (1) ()4cos f x x x = (2) ()1cos xf x e=答案：偶函数 答案：偶函数 (3) ()1lg1xf x x-=+ (4) ()ln f x x = 答案：奇函数 答案：非奇非偶函数八、下列各题的函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) ()21sin 2xf x =答案：21()2,sin u f u u v ,v w,w x==== (2) ()2sin (cos3)f x x =答案：()2,sin cos ,3f u u u v,v w w x ====(3) ()f x =答案：()21ln(sin 1)2f x x =+，()21ln 1sin 2f u u,u v ,v x ==+=(4) arctan y =答案：22,arctan 1y u u v,v x ===-九、在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h EBC设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((22hS R h R =+=+第二节 数列的极限【知识要点】数列概念、数列极限存在的定义． 【基本训练】 1、数列是函数吗？ 答案：是2、如何在数轴上和平面直角坐标系上表示数列？3、下列做法是否改变数列的敛散性？（1）任意改变数列的有限项； 不会 （2）各项同取绝对值；会 （3）各项乘以同一常数k ； 会 （4）去掉所有偶数项．会 4、如果数列{}n x 极限存在，lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，则a 与b 相等吗？答案：是5、收敛的数列一定有界吗？ 答案：是6、无界的数列会收敛吗？ 答案：否7、有界的数列一定收敛吗？ 答案：不一定 【能力提高】观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限：（1）1(1)nn x n+-= 答案：0（2）(1)nn x n =+- 答案：不存在（3）1sinn x n = 答案：0 （4）sin n nx n= 答案：0（5）sin n x n π= 答案：0 （6）sin(2)2n x n ππ=+ 答案：1(7) cos n x n π= 答案：不存在 （8）1n x = 答案：不存在（9）2121n n nx n n-⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩ 答案：2第三节 函数的极限【知识要点】函数极限、左右极限的概念、函数极限存在与左右极限的关系． 【基本训练】1、在讨论函数极限时自变量x 的变化趋势大体分为哪两种情况？ 答案：0x ,x x →∞→2、数列极限和函数极限的区别是什么？3、函数()f x 在点0x 处无定义，则函数()f x 在点0x 处一定无极限吗？ 答案：不一定4、函数()f x 在点0x 处有定义，且函数()f x 在0x 处极限存在，则极限值一定为0()f x 吗？ 答案：不一定5、函数()f x 在点0x 处左右极限一定相等吗？如果函数()f x 在点0x 处极限存在，它在点0x 处左右极限一定相等吗？答案：不一定；是6、如果函数()f x 在点0x 处左右极限存在且相等，函数()f x 在点0x 处极限存在吗？ 答案：存在n 为奇数n 为偶数【能力提高】一、从函数的图形观察极限是否存在，若有极限等于多少？ (1) 0lim cos x x →=（ 1 ）， 2l i m c o s x x π→=（ 0 ）， lim cos x x →+∞=（ 不存在 ）， l i m c o s x x →-∞=（不存在 ）；（2）0lim arctan x x →=（ 0 ）， 1l i m a r c t a n x x →=（4π）， lim arctan x x →+∞=（2π ）， l i m a r c t a n x x →-∞=（2π- ），l i m a r c t a n x x →∞=（不存在 ）；（3）()x f x a = (1)a >当03x ,x ,x ,x →→→+∞→-∞时； 答案：0lim 1xx a →=，33lim xx a a →=，lim xx a →+∞=+∞，lim 0xx a →-∞=．（4）当111x ,x ,x -+→→→时，2211()311x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩ 的极限．答案：21lim (21)1x x -→-=，1lim (31)4x x +→+=，11lim ()14lim ()x x f x f x -+→→=≠=,1lim ()x f x →不存在．二、单项选择题： 1、C 2、D 3、B三、设函数20()0x x a x f x ex ⎧+<=⎨>⎩ 在0x →时极限存在，求常数a 的值．答案：2lim ()lim 1xx x x a a,e -+→→+==，因为函数在0x →极限存在,故左极限和右极限相等,得1a =．四、设函数1121()21xxf x -=+，讨论函数在0x →时极限是否存在．答案：11112121lim 1lim 12121xxx x xx,-+→→--=-=++，0lim ()x f x →不存在．第四节 无穷小量与无穷大量【知识要点】无穷小量、无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的关系． 【基本训练】 1、零是无穷小量吗？ 答案：是2、若lim ()x af x A →=，则在x a →时，()f x A -是无穷小量吗？答案：是3、有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量吗？ 答案：是4、无穷小量的商一定是无穷小量吗？ 答案：不一定5、无穷小量与有界函数之积仍然为无穷小量吗？ 答案：是6、无穷大量乘任意常数一定是无穷大量吗？ 答案：不一定7、无穷大量与无穷大量之差一定是无穷小量吗？ 答案：不一定8、当2x →时，下列函数中不是无穷小量的是（ C ）． A. 38x -B. 2sin(4)x -C. 2x e- D. ln(3)x -【能力提高】一、下列函数在什么情况下是无穷小量？什么情况下是无穷大量？ （1）xe -； （2）ln x ； 答案：x →+∞,xe -为无穷小; 答案：1x →,ln x 为无穷小；x →-∞,xe -是无穷大 0x +→，x →+∞,ln x 为无穷小（3）21x x +-； （4）23x x-； 答案：2x →-，21x x +-为无穷小 答案：3x →,23x x-为无穷小1x →,21x x +-为无穷大 0x →,23x x-为无穷大（5）51x -； （6）115x -． 答案：0x →，51x -为无穷小 答案：0x →，115x -为无穷小 x →+∞,51x -为无穷大x →-∞,115x -为无穷大二、当x →∞时，将()f x 表示为一个常数与无穷小量之和．（1）3321()1x f x x -=+；答案：3321lim 21x x x →∞-=+，33()21f x x =-+,在x →∞,331x -+为无穷小(2) 21()31x f x x -=+． 答案：212lim313x x x →∞-=+，25()33(31)f x x =-+,在x →∞,53(31)x -+为无穷小第五节 函数极限的运算【知识要点】函数极限的四则运算法则、两个重要极限及应用、无穷小量的比较． 【基本训练】1、下面的解法对吗？为什么？0011lim sinlim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅= 答案：错2、下面的解法对吗？为什么？221111212lim lim lim 01111x x x ()x x x x→→→-=-=∞-∞=---- 答案：错3、当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是更高阶的无穷小量？ 答案：当0x →时，23x x -是比22x x -更高阶的无穷小量4、当1x →时，无穷小量1x -与（1）31x -，（2）21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 答案：3111lim13x x x →-=-，当1x →时，无穷小量1x -与31x -是同阶无穷小量。

高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域 。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域 。

（3）xxy +-=11的反函数 。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

《高等数学》期末练习题1答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 452．答案：平面y x =上的所有点。

3．答案：-16xy4．答案：2220().d f r rdr πθ⎰⎰5．答案：1201611+-三、计算（8小题，共48分）1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}距离为d P P n n n==⋅=Prj ||/||12152．答案：cos cos αβ==22∂∂∂∂z xzy==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1x e y x y xx y yx sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨⎩220240，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215-=-在边界x y 2225+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2222241025λ()由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪⎩⎪2220242025022λλλ得x y =±=525, ，(()zz 5251510552515105-=--=+比较后可知，函数z 在点(,)12-处取最小值z (,)1215-=-在点(-525,处取最大值()5101552,5+=-z 。

5．解：原式1212001==⋅=⎰⎰⎰⎰dx xydy xdx ydy 6．解：212321xxI dx dy x y zdz=⎰⎰⎰2221027112168516xdx xy dy x dx ===⎰⎰⎰7．解：消z 后，可得L 的参数方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z t y t x sin 21sin 21cos 0t2πt t t t t s d d cos 21cos 21sin d 222=++=，故⎰Lsxyz d 61sin 21sin 21cos 2=⋅⋅=⎰πtdt t t 8．答案：()41122lim lim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n ∴级数的收敛半径41=R 四、判断（2小题，共12分）1．解：设f x x x()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1221，于是()ln ()ln f x x x=-+22取极限lim ln ()lim ln()lim x x x f x x x xx →∞→∞→=-+=-+202222=0故lim ()x f x →∞=1，从而有lim n nn →∞+⎛⎝⎫⎭=12121，故而12211n nn +⎛⎝ ⎫⎭⎪=∞∑发散。

高等数学A(下)练习题一、填空题1.设k j i a43+-=，k j i b λ++=62，且a b ⊥ ，则λ= 4 ；2.设平行四边形两邻边为222a i j k =++，24b i j k =++ ，则该平行四边形的面积为3.的平面方程为03245轴且垂直于平面过=+-+z y x x 2+40y z = ；4.xoy 平面上的抛物线22y x =绕x 轴旋转生成的旋转抛物面方程为 222y +z x =；5.设y z u x =，则(1,2,3)uy∂=∂ 0 ；6.设222(,,)ln()f x y z x y z =++，则(1,2,2)gradf -= 244(,,)999- ；7.椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的法线方程为 111462x y z ---== ； 8.交换积分次序：10(,)xdx f x y dy =⎰210(,)yyd y f x y d x⎰⎰ ； 9.判别级数1n ∞=的敛散性，结论：该级数是 发散 ；10.级数01(1)(2)n n n ∞=++∑的和为 1 ；11.幂级数1nn ∞=的收敛域是 [)1,1- ；12.微分方程23(1)0dy y x dx++=的通解为 34(1)34y x C +=-+ 。

二、计算题1.()y x f z ,=由方程22222x y z z ++=确定，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。

解：方程为：22222x y z z ++=方程两边对x 求导，得到 242x x x z z z +⋅= 整理得到： ()422x z z x -⋅=-所以： ()1224242x x z x z z --==--- 再两边对y 求导，得到 ()()221424xy y z x z z -=---方程22222x y z z ++=两边对y 求导，得到 242y y y z z z +⋅= 所以 242x y z z -=-，从而 ()()232842164242xy y z x z xy z z ---=-=---2.设22(,)z f x y x y =+，且f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂，xy z ∂∂∂2。