高考数学(文)二轮复习(全国通用)训练：专题五 解析几何 第3讲 Word版含解析

第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。

（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。

第3讲 立体几何中的计算 课时训练1. 已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．答案：5解析：由正四棱锥底面边长为42，则底面正方形对角线的一半长为4，再由体积公式得四棱锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5.2. (2017·镇江期末)若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．答案：6π解析：因为圆锥的母线长为l ＝22＋（5）2＝3，所以其侧面积为π×2×3＝6π.3. (2017·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶2解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.4. (2018·启东调研)高为63的正四面体的表面积为________．答案：3解析：由正四面体的高为63，得正四面体的棱长为1，表面积为4×34＝3.5. (2017·南通一调)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1­A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：VD 1A 1BD ＝VBA 1DD 1＝13×3×12×3×1＝32(cm 3)．6. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________．答案：5解析：三个圆锥的底面周长分别为53π，103π，5π，则它们的半径r 1，r 2，r 3依次为56，53，52，则r 1＋r 2＋r 3＝5. 7. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案：96π解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6 cm ，此圆锥的高为8 cm ，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π(cm 3)．8. (2018·南通中学练习)如图，在正三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥M ­ AB 1C 的体积是________．答案：233解析：在正三棱柱中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VMAB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AC ×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.9. (2018·常熟期中)已知正三棱锥的体积为9 3 cm 3，高为3 cm ，则它的侧面积为________cm 2.答案：183解析：设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则V ＝13×34a 2×3＝93，a ＝6(cm),底面等边三角形的高为32×6＝33(cm)，底面中心到一边的距离为13×33＝3(cm)，侧面的斜高为32＋（3）2＝23(cm), S 侧＝3×12×6×23＝183(cm 2)．10. (2018·南通一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案：210解析：由题意，六角螺帽毛坯体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，即V 正六棱柱－V圆柱＝(S 正六边形－S 圆)h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6×34×42－93×4＝603(cm 3)，因为正三棱柱的体积与六角螺帽毛坯的体积相等，设正三棱柱的底面边长为a ，所以34a 2·6＝603，解得a ＝210(cm)．11. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积． 解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r . 因为S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2， 所以r ＝S6π， 所以内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r ，所以V ＝S 底·h ＝(2r )2·2r ＝4r 3＝S 6πS9π2.12. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .(1) 求证：平面ACFE ⊥平面ABCD ；(2) 若∠EAG ＝60°，求三棱锥F ­ BDE 的体积．(1) 证明：连结EG . ∵ 四边形ABCD 为菱形， ∴ AD ＝AB ，BD ⊥AC ，DG ＝GB . 在△EAD 和△EAB 中，AD ＝AB ，AE ＝AE ，∠EAD ＝∠EAB ，∴ △EAD ≌△EAB ， ∴ ED ＝EB ，∴ BD ⊥EG . ∵ BD ⊥AC ，AC ∩EG ＝G ， ∴ BD ⊥平面ACFE . ∵ BD ⊂平面ABCD ， ∴ 平面ACFE ⊥平面ABCD .(2) 解：连结FG ，∵ BD ⊥平面ACFE ，FG ⊂平面ACFE ，∴ FG ⊥BD . 在△EAG 中，AE ＝AG ＝3，且∠EAG ＝60°， ∴ △EAG 为正三角形， ∴ ∠EGA ＝60°. 在△FCG 中，CG ＝FC ＝3，∠GCF ＝120°， ∴ ∠FGC ＝30°，∴ ∠EGF ＝90°，即FG ⊥EG . 又BD ∩EG ＝G ， ∴ FG ⊥平面BDE ，∴ 点F 到平面BDE 的距离为FG ＝3. ∵ S △BDE ＝12×BD ·EG＝12×2×3＝3，∴ 三棱锥FBDE 的体积为13×3×3＝3.13. 在矩形ABCD 中，将△ABC 沿其对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面ACD 上的射影O 恰好落在边AD 上，如图所示．(1) 求证：AB 1⊥平面B 1CD ； (2) 若AB ＝1，BC ＝3，求三棱锥B 1­ABC 的体积．(1) 证明：因为B 1O ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以B 1O ⊥CD . 又CD ⊥AD ，AD ∩B 1O ＝O ， 所以CD ⊥平面AB 1D .因为AB 1⊂平面AB 1D ，所以AB 1⊥CD . 因为AB 1⊥B 1C ，且B 1C ∩CD ＝C ， 所以AB 1⊥平面B 1CD .(2) 解：因为AB 1⊥平面B 1CD ，B 1D ⊂平面B 1CD ， 所以AB 1⊥B 1D . 在Rt △AB 1D 中，B 1D ＝AD 2－AB 21＝2. 由B 1O ·AD ＝AB 1·B 1D ， 得B 1O ＝AB 1·B 1D AD＝63，所以VB 1ABC ＝13S △ABC ·B 1O ＝13×12×1×3×63＝26.。

后记答题模板【范例赏析】后记答题模板(本讲对应学生用书第48~49页) 范例赏析典例如图，已知A，B分别为曲线C：22xa+y2=1(y≥0，a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标.(2)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(典例)【规范解答】(1)当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧AB的三等分点，得∠BOT=60°或120°.2分①当∠BOT=60°时，∠SAB=30°.又AB=2，故在△SAB中，有SB=AB·tan 30°=23，所以S231⎛⎝⎭，. 4分②当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为(1，).综上，点S 的坐标为S1⎛ ⎝⎭或S (1，2). 6分(2)切入点一：从点“T ”入手设点T (a cos θ，sin θ)(sin θ≥0)，则直线AT 的方程为y=sin cos a a θθ+(x+a )， 8分令x=a ，得点S 2sin cos 1a θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以k OS =2sin (cos 1)a θθ+.又B (a ，0)，所以k TB =sin cos -a a θθ. 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.所以k OS ·k TB =sin cos -a a θθ·2sin (cos 1)a θθ+=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以. 15分经检验，当时，O ，M ，S 三点共线.故存在，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点二：从点“S ”入手设点S (a ，m )，则直线SA 的方程为y=2m a (x+a )，联立方程组2221()2x y a m y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，化简得(m 2+4)x 2+2m 2ax+m 2a 2-4a 2=0.8分设点T (x T ，y T )，因为A (-a ，0)，所以x T ·(-a )=2222-44m a a m +，得x T =224-4a m am +，y T =244m m +，所以k TB =-2ma . 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.12分又因为k OS =m a ，所以k OS ·k TB =m a ·2-ma ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以a=2.15分经检验，当a=2时，O ，M ，S 三点共线.故存在a=2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点三：从直线AS 的斜率入手 假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线. 由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.8分显然，直线AS 的斜率k 存在且k>0，可设直线AS 的方程为y=k (x+a ).由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得(1+a 2k 2)x 2+2a 3k 2x+a 4k 2-a 2=0. 10分设点T (x T ，y T )，所以x T ·(-a )=42222-1a k a a k +.故x T =3222-1a a k a k +，从而y T =k (x T +a )=2221ak a k +，亦即T 322222-211a a k ak a k a k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 12分方法一：因为B (a ，0)，所以BT u u u r =322222-2211a k aka k a k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以OS u u u r =(a ，2ak ).由BT ⊥OS ，可得BT u u u r ·OS u uu r =422222-241a k a k a k ++=0，即-2a 4k 2+4a 2k 2=0. 因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分方法二：因为B (a ，0)，所以k BT =-TT y x a =-21a k ，故k SM =a 2k.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以直线SM 的方程为y-2ak=a 2k (x-a ).O ，M ，S 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即-2ak=a 2k (-a ).因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分【总结提升】解题几何中的多动点问题，一直是学生难以逾越的障碍，究其原因：“多且动”，大有牵一发而动全身的感觉，各个点都丝丝相连，环环相扣.而恰恰正是点多且动，反而给我们一个启发，多且动的点中肯定有一个“核心点”，正是这个点牵动了其他点，使其他点始终围绕这个“核心点”运动.例题正是这类问题，其中点M 即为“核心点”，只要把握好这个“核心点”在圆上具有的性质，以其他的点或线为切入点，就可从多途径入手，让每个动点都可“一显身手”，以达到多解的目的.【拓展训练】拓 展 训 练变式 (2015·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22x a+22y b =1(a>b>0)的离心率为2，直线l ：y=12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB=25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.(1)求a ，b 的值；(2)求证：直线MN 的斜率为定值.(变式)【解答】(1)因为e=c a =2，所以c 2=12a 2，即a 2-b 2=12a 2，所以a 2=2b 2，故椭圆E 的方程为222x b +22y b =1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由22221212y x x y b b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得A233⎫⎪⎪⎝⎭，. 又AB=5，所以5，即43b 2+13b 2=5，解得b 2=3.故a=6，3.(2)由(1)知椭圆E 的方程为26x +23y =1，从而A (2，1)，B (-2，-1).①当CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB =00-1-2y x ·0012y x ++=2020-1-4y x =202031--16-4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=20202-2-4x x =-12，所以k CB =-112k .同理k DB =-212k .于是直线AD 的方程为y-1=k 2(x-2)，直线BC 的方程为y+1=-112k (x+2).由1211-(2)2-1(-2)y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，，解得12112122124-4-221-2-41.21k k k x k k k k k y k k ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，从而点N 的坐标为12112212124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为12212112124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k +++，.所以k MN =12212112121211221212-2-41-2-41-21214-4-24-4-2-2121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=12214(-)4(-)k k k k =-1.即直线MN 的斜率为定值-1.②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，-1).仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB =-212k .此时CA ：x=2，DB ：y+1=-212k (x+2)，它们的交点坐标为M 222-1-k ⎛⎫⎪⎝⎭，.由BC ：y=-1，AD ：y-1=k 2(x-2)，它们交点N 222--1k ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而k MN =-1也成立. 由①②可知，直线MN 的斜率为定值-1.。

第3讲 圆锥曲线的综合应用[考情考向·高考导航]1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与X 围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或拋物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．[真题体验]1．(2019·卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．解析：(1)因为椭圆的右焦点为(1,0)，c ＝1；因为椭圆经过点A (0,1)，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t t ≠1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＞0，x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t 1＋2k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k2.直线AP ：y －1＝y 1－1x 1x ，令y ＝0得x ＝－x 1y 1－1， 即|OM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 1y 1－1； 同理可得|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2y 2－1.因为|OM ||ON |＝2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 1y 1－1⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2y 2－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2y 1y 2－y 1＋y 2＋1＝2；⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－1t 2－2t ＋1＝1，解之得t ＝0，所以直线方程为y ＝kx ，所以直线l 恒过定点(0,0)． 答案：(1)x 22＋y 2＝1 (2)见解析2．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .[主干整合]1．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|(k ≠0)，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝y 1＋y 22－4y 1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 2．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有：①|OP |≥a ；②|PF 1|≥c －a . (3)拋物线中的最值点P 为拋物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF |≥p2；②A (m ，n )为一定点，则|PA |＋|PF |有最小值． 3．拋物线焦点弦的几个重要结论直线AB 过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，交拋物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p . (4)弦长|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． (5)以AB 为直径的圆与准线相切．热点一 圆锥曲线中的X 围、最值问题数学 运算 素养数学运算——圆锥曲线问题的核心素养以圆锥曲线问题为载体，借助相关知识，通过式的变形考查运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.构造函数求最值[例1－1] (2019·全国Ⅱ卷)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线．(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．[审题指导] (1)利用斜率公式及k AM ·k BM ＝－12求动点M 的轨迹方程．(2)①根据点P 在第一象限的特征，画出满足题意的几何图形，初步判断出△PQG 中∠QPG 是直角．设出直线PQ 的斜率和方程，再结合x E ＝x P 及点P ，Q 关于原点对称，求出直线QG 的斜率和方程，联立直线QG 和曲线C 的方程，求出点G 的坐标，最后求出直线PG 的斜率，即可证明k PQ ·k PG ＝－1.②根据△PQG 是直角三角形，建立S △PQG 关于直线PQ 的斜率k 的关系式求最值． [解析] (1)由题设得yx ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y22＝1得x ＝±21＋2k2.设u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2x －u ，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0. 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u 3k 2＋22＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2，从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u 3k 2＋22＋k2－u ＝－1k. 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k 1＋k 21＋2k 22＋k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k 2. 设t ＝k ＋1k，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1，S 取得最大值，最大值为169.因此，△PQG 面积的最大值为169.最值问题的2种基本解法几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如拋物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法)(如本例)等寻找不等关系解X 围问题[例1－2] (2018·全国Ⅲ卷，节选)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．证明：k <－12.[审题指导] 利用点差法将k 转化为含m 的表达式，求解m 的取值X 围，进而证明结论．[证明] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得 x 21－x 224＋y 21－y 223＝0 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12.解决圆锥曲线中的X 围问题的常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值X 围． (2)利用已知参数的X 围，求新参数的X 围，关键是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系(如：点在椭圆内)建立不等式，从而求出参数的取值X 围． (4)利用求函数的值域或求函数定义域的方法将待求量表示为其他变量的函数或其他变量的自变量，从而确定参数的取值X 围．(2020·山师附中模拟)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题巧妙消元证定值[例2－1] (2019·某某三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆E 的方程．(2)设椭圆过右焦点F 的弦为AB 、过原点的弦为CD ，若CD ∥AB ，求证：|CD |2|AB |为定值．[审题指导] (1)要求椭圆方程，只要由原点到直线的距离等于半短轴长，求b 即可． (2)要证明|CD |2|AB |为定值，只要利用弦长公式计算化简即可．[解析] (1)依题意，原点到直线x －y ＋6＝0的距离为b ， 则有b ＝612＋－12＝ 3.由a 2－b 2a ＝12，得a 2＝43b 2＝4.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，易求|AB |＝3，|CD |＝23， 则|CD |2|AB |＝4. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意k ≠0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，直线CD 的方程为y ＝kx . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2 ＝121＋k 23＋4k2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ，整理得x 2＝123＋4k2， 则|x 3－x 4|＝433＋4k2.|CD |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝4 31＋k23＋4k2. 所以|CD |2|AB |＝481＋k 23＋4k2·3＋4k2121＋k2＝4. 综合①②，|CD |2|AB |＝4为定值．解答圆锥曲线的定值问题的策略定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．巧引参数寻定点[例2－2] (2020·某某模拟)已知以点C (0,1)为圆心的动圆C 与y 轴负半轴交于点A ，其弦AB 的中点D 恰好落在x 轴上．(1)求点B 的轨迹E 的方程；(2)过直线y ＝－1上一点P 作曲线E 的两条切线，切点分别为M ，N .探究直线MN 是否过定点？请说明理由．[审题指导] (1)利用直接法求轨迹方程．(2)设P 点坐标(6，－1)，先求M 、N 处的切线方程再建立直线MN 的方程(用参数t 表示)，从而求定点．[解析] (1)设B (x ，y )，y ＞0，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0， ∵C (0,1)，连接DC ，∴DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，1，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y .在⊙C 中，DC ⊥DB ，∴DC →·DB →＝0，∴－x 24＋y ＝0，即x 2＝4y (y ＞0)，∴点B 的轨迹E 的方程为x 2＝4y (y ＞0)． (2)由(1)可得曲线E 的方程为x 2＝4y (y ＞0)． 设P (t ，－1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵y ＝x 24，∴y ′＝x2，∴过点M ，N 的切线方程分别为y －y 1＝x 12(x －x 1)，y －y 2＝x 22(x －x 2)，由4y 1＝x 21，4y 2＝x 22，上述切线方程可化为2(y ＋y 1)＝x 1x,2(y ＋y 2)＝x 2x .∵点P 在这两条切线上，∴2(y 1－1)＝tx 1,2(y 2－1)＝tx 2，即直线MN 的方程为2(y －1)＝tx ，故直线MN 过定点C (0,1)．过定点问题的常用解法(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，其代入直线方程y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(3)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．(2019·全国Ⅰ卷)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径．(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.由已知得|AO |＝2，又MO →⊥AO →，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值， 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2，由于MO →⊥AO →，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x ，因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .限时60分钟 满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 分别是椭圆C 的上顶点、右顶点，点P 是椭圆C 在第一象限内的一点，直线AP ，BP 分别交x 轴，y 轴于点M ，N ，求四边形ABMN 面积的最小值．解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由离心率及c 2＝a 2－b 2得a ，b 的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P 的坐标，得到直线AP ，BP 的方程，从而表示出点M ，N 的坐标，进而得到|AN |·|BM |，最后利用S 四边形ABMN＝S △OMN －S △OAB 及基本不等式求面积的最小值．(1)由椭圆的离心率为32得，c a ＝32，又c 2＝a 2－b 2，∴a ＝2b .又椭圆C 经过点(2,1)，∴44b 2＋1b2＝1，解得b 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)由(1)可知，A (0，2)，B (22，0)，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜22，0＜y 0＜2)，则直线AP ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，从而M ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 0y 0－2，0. 直线BP ：y ＝y 0x 0－22(x －22)，从而N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22y 0x 0－22.∵x 208＋y 202＝1，∴|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22y 0x 0－22·⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2x 0y 0－2＝2x 0＋2y 0－222x 0－22y 0－2＝2x 20＋4y 20＋4x 0y 0－42x 0－82y 0＋8x 0y 0－2x 0－22y 0＋4＝8.∴S 四边形ABMN ＝S △OMN －S △OAB ＝12(|OM |·|ON |－|OA |·|OB |) ＝12(2|BM |＋22|AN |＋8) ＝22(|BM |＋2|AN |)＋4 ≥4＋22·22|AN |·|BM | ＝4＋42(O 为坐标原点)，当且仅当|BM |＝4，|AN |＝2时取得最小值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，上顶点M 到直线3x ＋y ＋4＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(4，－2)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值．解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．(1)由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32|b ＋4|2＝3a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)易知直线l 的斜率恒小于0，设直线l 的方程为y ＋2＝k (x －4)，k ＜0且k ≠－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k x －4x 216＋y24＝1，得(1＋4k 2)x 2－16k (2k ＋1)x ＋64k (k ＋1)＝0，则x 1＋x 2＝16k2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝64k k ＋11＋4k2， 因为k MA ＋k MB ＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝kx 1－4k －4x 2＋kx 2－4k －4x 1x 1x 2， 所以k MA ＋k MB ＝2k －(4k ＋4)×x 1＋x 2x 1x 2＝2k －4(k ＋1)×16k 2k ＋164k k ＋1＝2k －(2k ＋1)＝－1(为定值)．3．(2019·某某三模)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，直线4x ＋3y －5＝0与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A 为椭圆C 的下顶点，M ，N 为椭圆C 上异于A 的两点，直线AM 与AN 的斜率之积为1.①求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标； ②若O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值X 围． 解析：(1)由题意可得离心率e ＝c a ＝63， 又直线4x ＋3y －5＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， 所以b ＝|－5|42＋32＝1，结合a 2－b 2＝c 2，解得a ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为y 23＋x 2＝1.(2)①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意知A (0，－3)，又直线AM 与AN 的斜率之积为1，所以y 1＋3x 1·y 2＋3x 2＝1， 即有x 1x 2＝y 1y 2＋3(y 1＋y 2)＋3， 由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0， 设直线MN ：y ＝kx ＋t (k ≠0)，代入椭圆方程，消去y 可得(3＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－3＝0，所以x 1x 2＝t 2－33＋k 2，x 1＋x 2＝－2kt3＋k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t －2k 2t 3＋k 2＝6t3＋k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝k 2·t 2－33＋k 2＋kt ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kt 3＋k 2＋t 2＝3t 2－3k 23＋k 2，所以t 2－33＋k 2＝3t 2－3k 23＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫6t 3＋k 2＋3， 化简得t 2＋33t ＋6＝0，解得t ＝－23(－3舍去)， 则直线MN 的方程为y ＝kx －23，即直线MN 恒过定点，该定点的坐标为(0，－23)．②由①可得OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝t 2－33＋k 2＋3t 2－3k 23＋k 2＝4t 2－3－3k 23＋k 2＝45－3k 23＋k2，由(3＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－3＝0，可得Δ＝4k 2t 2－4(t 2－3)(3＋k 2)＝48k 2－36(3＋k 2)＞0，解得k 2＞9.令3＋k 2＝m ，则m ＞12，且k 2＝m －3， 所以45－3k 23＋k 2＝45－3m －3m ＝54m －3， 由m ＞12，可得－3＜54m －3＜32.则OM →·ON →的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.4．(2019·某某卷)如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ΔABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标． 解：(1)由题意得p2＝1，即p ＝2.所以，抛物线的准线方程为x ＝－1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x c ，y c )，重心G (x G ，y G )．令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2.由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－2t 2－1ty－4＝0，故2ty B ＝－4，即y B ＝－2t，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又由于x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )及重心G 在x 轴上，故2t －2t ＋y C ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0. 所以，直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)． 由于Q 在焦点F 的右侧，故t 2＞2.从而 S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y c | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 4－2t 2＋23t 2－1·|2t |⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －2t ＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1. 令m ＝t 2－2，则m >0，S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12 m ·3m＋4＝1＋32.当m ＝3时，S 1S 2取得最小值1＋32，此时G (2,0)． 5．(2019·卷)已知拋物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求拋物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过拋物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交拋物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．(1)将点(2，－1)代入抛物线方程：22＝2p ×(－1)可得：p ＝－2， 故抛物线方程为：x 2＝－4y ，其准线方程为：y ＝1. (2)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，设直线方程为y ＝kx －1，与抛物线方程x 2＝－4y 联立可得：x 2＋4kx －4＝0.故：x 1＋x 2＝－4k ，x 1x 2＝－4.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－x 224，则k OM ＝－x 14， k ON ＝－x 24，直线OM 的方程为y ＝－x 14x ，与y ＝－1联立可得：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 1，－1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2，－1， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋2x 2，－1，圆的半径为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 1－2x 2，且：2x 1＋2x 2＝2x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 1－2x 2＝2×x 1＋x 22－4x 1x 2|x 1x 2|＝2k 2＋1，则圆的方程为：(x －2k )2＋(y ＋1)2＝4(k 2＋1)，令x ＝0整理可得：y 2＋2y －3＝0，解得：y 1＝－3，y 2＝1， 即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0，－3)，(0,1)．高考解答题·审题与规X(五) 解析几何类考题重在“巧设”思维流程1.解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．2.在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.真题案例审题指导审题方法 (12分)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆的圆与直线AB 相切，切点为线段AB 的中点，求四边形ABCD 的面积.(1)设点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，根据导数的几何意义确定切线DA ，DB 的斜率，利用方程的同解性得出直线AB 的方程，进而证明直线过定点．(2)联立直线AB 与拋物线的方程，求出AB 的弦长及点D ，E 到直线AB 的距离，建立四边形ADBE 的面积表达式，再利用直线与圆相切的条件求出参数的值，进而可求四边形ADBE 的面积. 审方法 数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍.规X 解答评分细则[解析] (1)设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.1分①由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.2分②设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.3分③ 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.4分④所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125分⑤(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x2－2tx －1＝0.6分⑥于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1).7分⑦设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.9分⑧ 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.11分⑨当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.12分⑩。

第3讲　圆锥曲线的综合问题年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ直线与椭圆的位置关系·T 19卷Ⅱ直线与抛物线的位置关系、弦长问题·T192018卷Ⅲ直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题·T 20卷Ⅰ椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系·T 20卷Ⅱ点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题·T 202017卷Ⅲ直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T 20卷Ⅰ定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题·T 20卷Ⅱ直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T 202016卷Ⅲ证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T 20解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系．(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解．(3)轨迹方程及探索性问题的求解. 定点问题(综合型)[典型例题]已知椭圆＋＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等x 2a 2y 2b2差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.PM → MQ → PN → NQ →(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．【解】　(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为＋y 2＝1.x 23(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由＝λ1，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，PM → MQ →所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，所以λ1＝－1.m y1同理由＝λ2知λ2＝－1.PN → NQ →m y2因为λ1＋λ2＝－3，所以－1＋－1＝－3，m y 1my2所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立{x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ），)得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②且有y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，③2mt 2t 2＋3t 2m 2－3t 2＋3③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．圆锥曲线中定点问题的2种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[提醒]　(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若为常量，则直线恒过点.b k (－bk，0)(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组即得定点坐标．　{f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，)[对点训练]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－，求证：直线AB 过x 轴上一定点．12解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p ＝2.所以抛物线Cp2的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ，B .(t 24，t )(t 24，－t )因为直线OA ，OB 的斜率之积为－，12所以·＝－，化简得t 2＝32.t t24－t t 2412所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组{y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，)消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得y A y B ＝，4bk因为直线OA ，OB 的斜率之积为－，12所以·＝－，即x A x B ＋2y A y B ＝0.y A x A y B x B 12即·＋2y A y B ＝0，y 4y4解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝＝－32，即b ＝－8k ，4bk所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8，0)． 定值问题(综合型)[典型例题](2018·沈阳教学质量监测(一))设O 为坐标原点，动点M 在椭圆＋＝1上，过Mx 29y 24作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足＝.NP → 2NM →(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1，0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1，0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：＋为定值．1|AB |1|CD |【解】　(1)设P (x ，y )，易知N (x ，0)，＝(0，y )，NP →又＝　＝，所以M ，NM → 12NP →(0，y 2)(x ，y 2)又点M 在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.x 29(y2)24x 29y 28所以点P 的轨迹E 的方程为＋＝1.x 29y 28(2)证明：当直线l 1与x 轴重合时，|AB |＝6，|CD |＝，163所以＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴垂直时，|AB |＝，|CD |＝6，163所以＋＝.1|AB |1|CD |1748当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，则直线l 2的方程为y ＝－(x －1)，1k设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，联立直线l 1与曲线E 的方程{y ＝k （x －1），x 29＋y 28＝1，)得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，可得{Δ＝（－18k 2）2－4（8＋9k 2）（9k 2－72）＝2 304（k 2＋1）>0，x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，)所以|AB |＝·＝，1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 248（1＋k 2）8＋9k 2联立直线l 2与曲线E 的方程得x 2－x ＋－72＝0，{y ＝－1k （x －1），x 29＋y 28＝1，)(8＋9k 2)18k 29k 2同理可得|CD |＝·＝.1＋1k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 448（1＋k 2）9＋8k 2所以＋＝＋＝.1|AB |1|CD |8＋9k 248（k 2＋1）9＋8k 248（k 2＋1）1748综上可得＋为定值．1|AB |1|CD |求定值问题常见的2种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关．这符合一般与特殊的思维辩证关系．简称为：特殊探路，一般论证．(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．[对点训练]已知椭圆C ：＋＝1，A 为椭圆C 上的一点，其坐标为，E ，F 是椭圆C 上的x 24y 23(1，32)两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值．解：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋(k ≠0)，32联立消去y ，{x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）＋32)得(4k 2＋3)x 2＋(12k －8k 2)x ＋4－12＝0，(32－k )2则x E ＝＝，①4(32－k )2－12（4k 2＋3）x A 4k 2－12k －34k 2＋3又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，故以上k 用－k 代替得x F ＝，②4k 2＋12k －34k 2＋3所以k EF ＝y F －y Ex F －xE＝[－k （x F －1）＋32]－[k （x E －1）＋32]x F －x E＝.－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E把①②两式代入上式，得k EF ＝，为定值．12 最值和范围问题(综合型)[典型例题]命题角度一　构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆＋＝1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，x 2a 2y2b2直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A ，B 两点．记λ＝·，x 2a 2y 2b2OA → OB →且≤λ≤.2334(1)求椭圆的方程；(2)求k 的取值范围．【解】　(1)由题意知2c ＝2，即c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，故所求椭圆方程为＋y 2＝1.x 22(2)由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，得m 2＝k 2＋1.由得(1＋2k 2)x 2＋{y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1)4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，λ＝·＝x 1x 2＋－4km 1＋2k 22m 2－21＋2k 2OA → OB →y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝.k 2＋11＋2k 2由≤λ≤，得≤k 2≤1，即k 的取值范围是∪.233412[－1，－22][22，1]先通过直线与圆相切得到k ，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系≤λ≤，结2334合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k ，m 的不等式，再由k ，m 的关系，消元，得到关于k的不等式，通过解不等式达到目的．　方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知A 是椭圆E ：＋＝1(t >3)的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两x 2t y 23点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【解】　(1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.因为t ＝4，所以A (－2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程E ：＋x 24＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－，所以M ，N ，y 2327(－27，127)(－27，－127)则△AMN 的面积为××＝.12247(－27＋2)14449(2)由题意知t >3，k >0，A (－，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋)代入＋＝1得(3＋t t x 2t y 23tk 2)x 2＋2tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.设M (x 1，y 1)，则x 1·(－)＝，即x 1＝，故|AM |＝t t t 2k 2－3t3＋tk 2t （3－tk 2）3＋tk 2|x 1＋|＝.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－(x ＋)，故同理可得|AN |＝t 1＋k 26t （1＋k 2）3＋tk 21k t .由2|AM |＝|AN |得＝，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝时上式不成立，6k t （1＋k 2）3k 2＋t 23＋tk 2k 3k 2＋t 32因此t ＝.3k （2k －1）k 3－2由t >3，得>3，所以＝<0，即<0.3k （2k －1）k 3－2k 3－2k 2＋k －2k 3－2（k －2）（k 2＋1）k 3－2k －2k 3－2由此得或解得<k <2.因此k 的取值范围是(，2)．{k －2>0，k 3－2<0){k －2<0，k 3－2>0，)3232(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题．(2)本题通过已知条件2|AM |＝|AN |得到新参数k 与已知参数t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件t >3建立关于k 的不等式．　方法三：利用判别式构建目标不等式已知点F 为椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构x 2a 2y 2b2成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .x 4y2(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线＋＝1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，x 4y2若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．【解】　(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝c ，3则椭圆E 为＋＝1.x 24c 2y 23c2由消去y ，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.{x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1)因为直线＋＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，x 4y2所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1，所以椭圆E 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由(1)得M ，(1，32)因为直线＋＝1与y 轴交于P (0，2)，x 4y2所以|PM |2＝，54①当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋)×(2－)＝1，33所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝，45②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由消去y ，{y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0)整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，k 2>.43＋4k 214所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋＝λ，13＋4k 254所以λ＝，45(1＋13＋4k 2)因为k 2>，所以<λ<1.1445综上所述，λ的取值范围是.[45，1)此题抓住直线l与椭圆E 交于不同的两点A ，B 这一条件，利用判别式Δ>0构建关于k的不等式，从而求得λ的取值范围．　方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－平分，设弦MN12的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．【解】　(1)设抛物线的顶点为G (x ，y )，则其焦点为F (2x －1，y )，由题意可知点A 到直线x ＝1的距离为2，则|AF |＝2，所以＝2，所以轨迹C 的方程为x 2＋＝1(x ≠1)．4x 2＋y 2y 24(2)设弦MN 的中点为P ，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的(－12，y 0)点，可知4x ＋y ＝4，4x ＋y ＝4，两式相减，2M 2M 2N 2N 得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，①将x M ＋x N ＝2×＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，＝－，(－12)y M －y N x M －x N 1k 代入①式得k ＝－.y 02又点P 在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－k ＋m ，所(－12，y 0)12以m ＝y 0＋k ＝y 0.1234由点P 在线段BB ′上(B ′(x ′B ，y ′B )，B (x B ，y B )为直线x ＝－(－12，y 0)与椭圆的交点，如图所示)，所以y ′B <y 0<y B ，即－<y 0<.所以－<m <，且m ≠0.1233334334故m 的取值范围为∪.(－334，0)(0，334)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式．　命题角度二　构建函数模型求最值或范围若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．方法一：构建二次函数模型已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，x 2a 2y 2b233过F 2的直线l 与C 相交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为4.3(1)求椭圆C 的方程；(2)设＝λ，T (2，0)，若λ∈[－3，－1]，求|＋|的取值范围．F 2A → F 2B → TA → TB →【解】　(1)由离心率e ＝，可知＝，由△F 1AB 的周长为4，得4a ＝4，所以a ＝33c a 3333，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆C 的方程为＋＝1.3x 23y 22(2)当直线l 的斜率不存在，即λ＝－1时，设A 在x 轴上方，则A ，B ，(1，233)(1，－233)又T (2，0)，所以|＋|＝＝2.TA → TB →|(－1，233)＋(－1，－233)|当直线l 的斜率存在，即λ∈[－3，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，{y ＝kx －k ，x 23＋y 22＝1)则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝，y 1y 26k 22＋3k 23k 2－62＋3k 2－4k 2＋3k 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝.－4k 22＋3k 2因为＝λ，F 2(1，0)，所以＝λ，λ<0.F 2A → F 2B → y 1y2易知λ＋＋2＝＝＝，由λ∈[－3，－1)，得λ＋∈，1λ（y 1＋y 2）2y 1y 2(－4k2＋3k 2)2－4k 22＋3k 2－42＋3k21λ[－103，－2)即λ＋＋2∈，1λ[－43，0)故－≤<0，解得k2≥.43－42＋3k 213因为＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，TA → TB →所以＋＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)TA → TB →＝，(－6k 2＋82＋3k 2，－4k 2＋3k 2)故|＋|2＝＋＝＝＝TA → TB → (－6k 2＋82＋3k 2)2 (－4k 2＋3k 2)236k 4＋112k 2＋64（2＋3k 2）24（2＋3k 2）2＋643（2＋3k 2）＋163（2＋3k 2）24＋·＋·.64312＋3k 2163(12＋3k 2)2令t ＝，因为k 2≥，所以0<≤，即t ∈，所以|＋|2＝4＋t ＋t 2＝12＋3k 21312＋3k 213(0，13]TA → TB → 643163(t ＋2)2－∈，163523(4，31627]所以|＋|∈.TA → TB →(2，22379]综上，|＋|的取值范围为.TA → TB →[2，22379]本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等．其中难点是代数化后，目标函数比较复杂，若直接计算则相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数中有相同的式子，此时可把式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而将函数转化成一个12＋3k 212＋3k 2简单的二次函数．　方法二：构建双曲线型函数y ＝a ＋(b ≠0)bx已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b2F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －ab ＝0相切．3(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为4，求·2F 2P →的最大值．F 2Q →【解】　(1)由题意知＝c ，|－3ab |a 2＋4b 2则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以a 2＝2c 2，所以e ＝.22(2)因为△PQF 2的周长为4，2所以4a ＝4，即a ＝.22由(1)知b 2＝c 2＝1，故椭圆方程为＋y 2＝1，x 22且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ，Q ，(－1，22)(－1，－22)＝，＝，故·＝.F 2P →(－2，22)F 2Q → (－2，－22)F 2P → F 2Q → 72②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由消去y ，得(2k 2＋{y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2)1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1所以·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋F 2P → F 2Q →x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)＋(k 2－1)＋k 2＋1＝＝－，2k 2－22k 2＋1(－4k 22k 2＋1)7k 2－12k 2＋17292（2k 2＋1）令t ＝2(2k 2＋1)，则·＝－(t >2)，所以·∈.F 2P → F 2Q → 729t F 2P → F 2Q →(－1，72)结合①②，得·∈，所以·的最大值是.F 2P → F 2Q → (－1，72]F 2P → F 2Q →72本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到·的目标函数，F 2P → F 2Q →然后分离参数，构建y ＝a ＋(b ≠0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围．注意当目bx标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理．　方法三：构建双曲线型函数y ＝ax ＋(ab ≠0)b x已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，x 2a 2y 2b2直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值．【解】　(1)由题意，得解得故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.{a ＝2b ，|4b ＋6|5＝a ，){a ＝2，b ＝1，)x 24(2)由题意得直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为0，又A (－2，0)，故可设l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－y －2.1m由得(m 2＋4)y 2－4my ＝0，所以M .{x ＝my －2，x 2＋4y 2－4＝0，)(2m 2－8m 2＋4，4m m 2＋4)同理N .(2－8m 24m 2＋1，－4m4m 2＋1)①当m ≠±1时，k MN ＝，l MN：y ＝·，此时直线MN 过定点.5m 4（m 2－1）5m 4（m 2－1）(x ＋65)(－65，0)②当m ＝±1时，l MN ：x ＝－，此时直线MN 过点.65(－65，0)综上，直线MN 恒过定点.(－65，0)(3)设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则S △AMN ＝×|y M －y N |＝＝8124525|4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1||m 3＋m 4m 4＋17m 2＋4|＝＝8|m ＋1m|4(m ＋1m )2＋9令t ＝，则S△AMN ＝，且t ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号．|m ＋1m |84t ＋9t又y ＝4t ＋在[2，＋∞)上单调递增，所以S △AMN ≤，当且仅当m ＝±1时取等号．故(S △9t 1625AMN )max ＝.1625本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以m 2，然后同时除以，再进行换元就可以看出其分母|m ＋1m|为双曲线型函数结构y ＝4t ＋，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二定9t三相等”，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值．　[对点训练]1．(2018·豫南九校联考)设椭圆＋＝1(a >)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－|OF |x 2a 2y 233＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝，又|OA |－|OF |＝1，所以a －＝1，解得a ＝2，a 2－3a 2－3所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e ＝＝.x 24y 23c a 12(2)设M (x M ，y M )，易知A (2，0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y≤x ＋y ，化简得x M≥1.2M 2M 2M 设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由{x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝.8k 2－64k 2＋3由题意得x B ＝，从而y B ＝.8k 2－64k 2＋3－12k 4k 2＋3由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，则＝(－1，y H )，＝.FH → BF → (9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3)由BF ⊥HF ，得·＝0，即＋＝0，解得y H ＝，BF → FH →4k 2－94k 2＋312ky H 4k 2＋39－4k 212k 所以直线MH 的方程为y ＝－x ＋.1k 9－4k 212k 由消去y ，得x M ＝.{y ＝k （x －2），y ＝－1kx ＋9－4k 212k )20k 2＋912（k 2＋1）由x M ≥1，得≥1，解得k ≤－或k ≥，所以直线l 的斜率的取值范围为20k 2＋912（k 2＋1）6464∪.(－∞，－64][64，＋∞)2．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ，B ，抛物线上的点P (x ，y )(－12，14)(32，94)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(－12<x <32)(1)求直线AP 的斜率的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．解：(1)由题可知P (x ，x 2)，－<x <，所以直线AP 的斜率k ＝＝x －∈(－1，1)，1232x 2－14x ＋1212故直线AP 的斜率的取值范围是(－1，1)．(2)由(1)知P (x ，x 2)，－<x <，1232所以＝.PA →(－12－x ，14－x 2)①当直线AP 的斜率为0时，P ，Q ，|PA |·|PQ |＝1.(12，14)(32，14)②当直线AP 的斜率不为0时，设直线l AP ：y ＝kx ＋k ＋，l BQ ：y ＝－x ＋＋，由＝k ，12141k 32k 9414－x 2－12－x 整理得x ＝k ＋，12联立直线AP 、直线BQ 的方程可得Q (3＋4k －k 22k 2＋2，)Error!，故＝，又＝(－1－k ，－k 2－k )，PQ → (1＋k －k 2－k 31＋k 2，－k 4－k 3＋k 2＋k 1＋k 2)PA →故|PA |·|PQ |＝·＝＋＝(1＋k )3(1－k )(－1<k <1，且AP → PQ → （1＋k ）3（1－k ）1＋k 2k 2（1＋k ）3（1－k ）1＋k 2k ≠0)．令f (x )＝(1＋x )3(1－x )，－1<x <1，且x ≠0，则f ′(x )＝(1＋x )2(2－4x )＝－2(1＋x )2(2x －1)，由于当x ∈(－1，0)和x ∈时f ′(x )>0，f (x )(0，12)单调递增，当x ∈时f ′(x )<0，f (x )单调递减，(12，1)所以f (x )max＝f ＝，(12)2716故|PA |·|PQ |的最大值为.2716综上，|PA |·|PQ |的最大值为.2716 存在性问题(综合型)[典型例题]命题角度一　点、线的存在性问题(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左顶点与x 2a 2y 2b2上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB |＝2.3(1)求椭圆C 的方程；(2)Q 是椭圆C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．【解】　(1)由题意得A (－a ，0)，B (0，b )，可设P (c ，t )(t >0)，所以＋＝1，解得t ＝，即P ，c 2a 2t 2b 2b 2a (c ，b2a)由AB ∥OP 得＝，即b ＝c ，b a b 2ac所以a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，①又AB ＝2，所以a 2＋b 2＝12，②3由①②得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 28y 24(2)假设存在D (m ，0)使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为定值，设Q (x 0，y 0)(y 0≠0)，则＋＝1，③x 8y4设k QA ×k QD ＝k (常数)，因为A (－2，0)，2所以×＝k ，④y 0x 0＋22y 0x 0－m由③得y ＝4，⑤20(1－x 8)将⑤代入④，得k ＝.8－x2[x ＋（22－m ）x 0－22m ]所以所以m ＝2，k ＝－，所以存在点D (2，0)，使得k QA×k QD ＝－.{22－m ＝0，22m ＝8，)212212命题角度二　字母参数值的存在性问题已知动圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0外切，与圆x 2＋y 2－2x －24＝0内切．(1)试求动圆圆心C 的轨迹方程．(2)过定点P (0，2)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与(1)中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由．【解】　(1)由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，由x 2＋y 2－2x －24＝0得(x －1)2＋y 2＝25，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则|CF 1|＝R ＋1，|CF 2|＝5－R ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝6，根据椭圆的定义可知，点C 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，所以c ＝1，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以动圆圆心C 的轨迹方程为＋＝1.x 29y 28(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE ⊥MN ，由得(8＋9k 2)x 2＋36kx －36＝0，{y ＝kx ＋2，x 29＋y 28＝1，)x 1＋x 2＝－，所以x 0＝，36k9k 2＋8－18k 9k 2＋8y 0＝kx 0＋2＝，169k 2＋8因为AE ⊥MN ，所以k AE ＝－，1k即＝－，所以m ＝＝，169k 2＋8－0－18k 9k 2＋8－m 1k －2k 9k 2＋8－29k ＋8k 当k >0时，9k ＋≥2＝12，所以－≤m <0；8k 9×82212当k <0时，9k ＋≤－12，所以0<m ≤.8k 2212因此，存在点A (m ，0)，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m 的取值范围为∪.[－212，0)(0，212]存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．　[对点训练]已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝，一动圆与直线x ＝－相切且与圆C 外切．1412(1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程．(2)若经过定点Q (6，0)的直线l 与曲线T 交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的平行线与曲线T 相交于点N ，试问是否存在直线l ，使得NA ⊥NB ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，分析可知：动圆的圆心不能在y 轴的左侧，故x ≥0，因为动圆与直线x ＝－相切，且与圆C 外切，12所以|PC |－＝，所以|PC |＝x ＋1，(x ＋12)12所以＝x ＋1，（x －1）2＋y 2化简可得y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线l 与y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋6，联立并消去x ，可得y 2－4my －24＝0，{x ＝my ＋6，y 2＝4x)显然Δ＝16m 2＋96>0，由根与系数的关系可知①{y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，)又因为x 1＋x 2＝(my 1＋6)＋(my 2＋6)，所以x 1＋x 2＝4m 2＋12，②因为x 1x 2＝·，所以x 1x 2＝36，③y 4y4假设存在N (x 0，y 0)，使得·＝0，NA → NB →由题意可知y 0＝，所以y 0＝2m ，④y 1＋y 22由N 点在抛物线上可知x 0＝，即x 0＝m 2，⑤y4又＝(x 1－x 0，y 1－y 0)，＝(x 2－x 0，y 2－y 0)，NA → NB →若·＝0，则x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x ＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y ＝0，NA → NB → 2020由①②③④⑤代入上式化简可得：3m 4＋16m 2－12＝0，即(m 2＋6)(3m 2－2)＝0，所以m 2＝，故m ＝±，2363所以存在直线3x ＋y －18＝0或3x －y －18＝0，使得NA ⊥NB .661．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B x 22两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .解：(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为或.(1，22)(1，－22)所以AM 的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.222222(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<，x 2<，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝＋.22y 1x 1－2y 2x 2－2由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝.2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）将y ＝k (x －1)代入＋y 2＝1得x 22(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝＝0.4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .2．(2018·福州模拟)已知F 为椭圆C ：＋＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．x 24y 23(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－，证明：M ，N34两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝，所以c ＝ ＝1，3a 2－b 2所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则＋＝1，x 4y3所以|MF |2＝(x M －1)2＋y ＝(x M－1)2＋3－x ＝x －2x M ＋4＝(x M －4)2，2M 342M 142M 14又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9，所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得消去y ，得{x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），)(3＋4k )x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k x －8k 1x P y P ＋4y －12＝0，21212P 2P 由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝，8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 所以x M ＝－x P ＝，8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 4kx P －8k 1y P －3x P3＋4k 同理可得x N ＋x P ＝，8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k又k 1·k 2＝－，34故x N ＋x P ＝＝＝，8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k8(－34k 1)(－34k 1x P －y P)3＋4(－34k1)26x P＋8k 1y P4k ＋3则x N ＝－x P ＝－＝－x M ，6x P ＋8k 1y P 4k ＋34kx P －8k 1y P －3x P3＋4k 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之x 2a 2y 2b2和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若PA ，PB 交直线x ＝6于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以＝，bc b 2＋c 2ca解得b ＝1，故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)由题意知直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0.设k PA ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝·＝＝＝－，得k PB ＝－，y 0x 0＋2y 0x 0－2y x －41－x 4x －41414k 直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6，8k )；直线PB 的方程为y ＝－(x －2)，令x ＝6，得y ＝－，故N .14k 1k (6，－1k)因为y M ·y N ＝8k ·＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为G ，H ，(－1k)并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·＝8，|－1k |因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝2，2从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－2，0)，H (6＋2，0)．224．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：＋＝1交于A ，B 两点，x 24y 23线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－；12(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差FP → FA → FB → FA → FP → FB →数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1，＋＝1.x 4y 3x 4y3两式相减，并由＝k 得＋·k ＝0.y 1－y 2x 1－x2x 1＋x 24y 1＋y 23由题设知＝1，＝m ，于是k ＝－.①x 1＋x 22y 1＋y 2234m由题设得0＜m ＜，故k ＜－.3212(2)由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝，从而P ，||＝.34(1，－32)FP → 32于是||＝＝＝2－.FA → （x 1－1）2＋y （x 1－1）2＋3(1－x 4)x 12同理||＝2－.FB → x 22所以||＋||＝4－(x 1＋x 2)＝3.FA → FB → 12故2||＝||＋||，即||，||，||成等差数列．FP → FA → FB → FA → FP → FB →设该数列的公差为d ，则2|d |＝|||－|||＝|x 1－x 2|FB → FA → 12＝.②12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2将m ＝代入①得k ＝－1.34所以l 的方程为y ＝－x ＋，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋＝0.7414故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，代入②解得|d |＝.12832128所以该数列的公差为或－.3212832128。