控制原理01-03

图3.1.1 质量-弹簧系统模型
k
m
Fcost
将式(3.1.4)代入式(3.1.1)，有
( m 2 k )Y cos t F cos t ,
Y
式中， / n
于是，式(3.1.1)的完全解为:
F 1 , (315) .. 2 k 1
F 1 y(t ) A sin nt B cos nt cost , 2 k 1
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机械工程控制基础课程
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电子教案
第三章 时间响应分析
Chapter 3 Time Responses Analysis
武汉科技大学
流体传动及控制研究所
第三章 时间响应分析
Chapter 3 Time Responses Analysis
时间响应分析—— 研究系统在输入等作用下， 输出随时间变化 的规律。
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3.2 典型输入信号
TYPIC INPUT SIGNAL
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3.2 典型输入信号 TYPIC
INPUT SIGNAL
系统的输入信号随系统的工作要求而不同，对系统进行分析 或试验，按理最好是输入信号与实际要求的相同，但实际上由于: 1. 实际信号存在着不确定性; 2. 不规则的输入信号对两个相同系统的输出的比较、评价变 得复杂; 对相同传递函数的两不同系统也是如此。 3. 对正在工作的系统，输入测试信号时，必须不能影响系统 的正常工作，这就要求外加的测试信号的强度须足以激励系统的 信息，其形式须便于分辨。 因此，选择典型的输入信号就成为必要。通常，典型信号选 为: 1.单位阶跃函数 4.单位抛物线函数 2.单位脉冲函数 5.正弦函数(或余弦函数) 3.单位斜坡函数 6.随机函数
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 时域响应分析 典型输入信号 一阶系统时间响应 二 阶 系 统时间响应 高阶系统的响应分析 系统误差分析与计算 δ函数在时间响应中的应用
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3.1 时间响应及其组成
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3.1 时间响应及其组成
Y(t) 如图3.1.1所示，质量为m，弹簧 刚度为k 的简单振动系统，在外力(输 k m Fcost 入) Fcosωt的作用下，系统动力学方 程为如下的微分方程: m(t ) ky(t ) F cost. (3.1.1) y 图3.1.1 质量-弹簧系统模型 上式按微分方程解的结构理论可知: y(t ) y1 (t ) y2 (t ) , (3.1.2) y 式中， 1 (t )是齐次微分方程的通解; y2 (t )是其一个特解。 y1 (t ) A sin nt B cos nt ; (3.1.3)
定 义
自 由 响应——系统初始状态引起的自由输出 强 迫 响应——外加输入引起的输出 零输入响应——无输入时系统初态引起的输出 零状态响应——系统在输入作用前，初始状态为零仅由输入引起的输出
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3.1 时间响应及其组成
对一般情形的系统动力学方程: an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) a0 y (t ) x(t ). 其解为:
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电子教案
3.3 一阶系统时间响应
武 汉 科 技 大 学
流体传动及控制研究所
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3.3 一阶系统
ONE ORDER SYSTEM
一阶系统是仅用一阶微分方程就可描述完全的系统。 一阶 系统传递函数为: X ( s) 1 G ( s) 0 T——时间常数 X i ( s) Ts 1
W ( s ) G ( s)
即，一阶系统在理想的单位脉冲函数作用下，其响应函数等于系 统的传递函数的Laplace逆变换，即:
1 t / T 1 , w(t ) L G ( s) L w(t ) e (t 0) T Ts 1 式(3.3.1)只有瞬态项，没有强迫响应B(t) 。 表3.3.1给出了一阶系统单位脉冲响应的数值表。
对图31和图32，输入Xi(t)的作用点不同，但传递函数相同。
xi(t) k xo(t) k c xo(t) m=0
c
m=0
xi(t)
图31 阻尼-弹簧系统模型 A
图32 阻尼-弹簧系统模型 B
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3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
Responses with Unit Impulse Input For One Order System 当系统输入信号Xi(t)是理想的单位脉冲函数δ(t)时，系统的输 出Xo(t) 称为单位脉冲响应函数(简为单位脉冲响应) 记w(t) W ( s) X o ( s) G ( s) X i ( s), X i ( s) L (t ) 1,
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3.1 时间响应及其组成
若线性微分方程的输入有导数项，即:
an y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) a0 y (t ) bm x ( m ) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x(t ) b0 x(t ). ( n m) (3.1.13) 对式(3.1.9)两边求导数，有 ( n) ( n1) an y (t ) an1 y 除特别声明外 (t ) a0 y(t ) x(t ) . (t ) a1 y y (t )为输出，此方程的解为方程 显然，若以x (t本教程中的时间响应均指零状态响应 ) 为输入，则 (3.1.9)的解的导数。可见，当x(t)取为x(t)的n阶导数时，方程 (3.1.9)的解由y(t)变为y(t)的n阶导数。故: 对线性系统，如果输入函数等于某一函数的导数，则该输 入的响应函数就等于这一函数的响应函数的导函数。 利用线性系统的叠加原理，可方便求得方程(3.1.13)的解。
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3.3.2 一阶系统的单位阶跃响应
ONE ORDER SYSTEM’S RESPONSES WITH UNIT JUMP INPUT
当系统的输入信号为单位阶跃函数时，系统的时间响应 xou(t)为: 1 1 xou (t ) L1 X o ( s) L1 1 e t / T (t 0). (3.3.2) Ts 1 s 式中表明，xou (t ) 中 et / T 是瞬态项，1 是稳态项B(t)。
u(t) 1
ε
t<00
图3.2.2
-
t>0
t
F ( s) ( s) 1.
单位脉冲函数
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3.2.3 单位斜坡函数
f (t ) t , F ( s) 1 s2 t 0
u(t) 1
t<0
0-
t>0
1
t
图3.2.2
单位斜坡函数
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机械工程控制基础课程
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3.2.1 单位阶跃函数 0, t 0 u( t ) 1(t ) 1 t 0 1 F ( s) s
u(t) 1
t < 0 0- 0+ t > 0
图3.2.1 单位阶跃函数
t
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3.2.2 单位脉冲函数
0, 1 (t ) lim 0 0 tt 0t
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3.1 时间响应及其组成
时间响应还可分为瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应指系统的全部特征根满足条件 Resi < 0 情况下的自由响应。由于Resi < 0 ，因此，瞬态响应 当t→∞时是趋于零的。 稳态响应通常是指强迫响应。 稳态响应可理解为: 在 Resi > 0 时系统输出对输入 的响应。
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(3.3.1)
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3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
Responses with Unit Impulse Input For One Order System 表 3.3.1 w(t) 1 w( t ) w(t) t 斜率 2 T 1/ T2 0 1/T 1 t /T 1 w( t ) e 0.368 0.386/T -0.386/ T 2 T T T 2 2T 0.135/T -0.135/ T 0 T 2T 3T t / T2 4T 0.018/T -0.018 图3.3.1 一阶系统单位脉冲响应 0 0 ∞ 图3.3.3表明，一阶系统的单位脉冲响应函数为一单调下降的 指数曲线。 定义 该曲线衰减到初值的2%之前的过程为过渡过程，则 一阶系统的单位脉冲响应过渡过程时间为4T。
A
xou (t ) 1 e t / T
0
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Tபைடு நூலகம்
2T 3T
t
图3.3.2 一阶系统单位阶跃响应
由图可见，响应曲线 是一条单调上升指数曲线。 曲线上两个重要特征: 1. 在A点对应的时间为t=T xou(t)达到稳态值的63.2%; 2. 在t=0时，xou(t)切线斜率 为1/T。
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3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
过渡过程时间又称为调整 w(t) 1 时间，通常记为ts。 斜率 2 T 在这里，时间常数T愈小， 1 t /T 则过渡过程时间持续愈短。也 0.368 1 w( t ) e T T 就是说，系统的惯性愈小，这 0 T 2T 3T t 系统对输入信号的反映快速性 图3.3.1 一阶系统单位脉冲响应 能愈好。 实际系统中，理想的脉冲信号不可能得到，常用带一定 宽度和有限幅度的脉冲来代替。为了得到近似程度较高的脉 冲响应函数，须要求脉冲信号的脉冲宽度h与系统的时间常数 T相比足够小。一般要求h<0.1T。