江苏省2014届一轮复习数学试题选编9：正余弦定理(教师版)

§1.2 余弦定理(二)一、基础过关1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为________．3．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C ＝________.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形是________三角形．5．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·CA →＝________.6．已知△ABC 的内角B ＝60°，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .8．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．二、能力提升9．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是________．10．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 为________三角形．11．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 三、探究与拓展13．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由．答案1.π62.13 3．120° 4．等腰 5.－326. 3 7．解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 8．解 (1)由cos C ＝255，得sin C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝ACsin B·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2， BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝ 1＋18－2×1×32×22＝13. 9．(5，3) 10.直角 11.－2 312．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<∠C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<∠C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝26，∴⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧ b ＝26，c ＝4.13．解 设高线113，111，15分别对应的边为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，S ＞0，则由S ＝12×a ×113得a ＝26S ，由S ＝12×b ×111得b ＝22S ，由S ＝12×c ×15得c ＝10S . ∵b 2＋c 2－a 2＝(22S )2＋(10S )2－(26S )2＝4S 2(112＋52－132)＜0， ∴能做出这样的三角形，且为钝角三角形．。

正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° 解析 由正弦定理知BCsin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°. 答案 C2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案 C3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 解析：直接根据正弦定理可得asin A ＝bsin B，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴s in A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=ba c c abc b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A.答案 A 二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2.答案29. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________. 解析：根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得a sin A ＝c32，∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3. 答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得x ＋2＋y 2＝ 2x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动， 所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2.答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tanC tan B＝4.法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c2a 2＋b 2－c 2＝4.答案 4 三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，法一 如图(1)，图(1)a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.。

第6讲正弦定理和余弦定理A级基础演练（时间：30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别是a,b，c，若a2－b2＝错误!bc，sin C＝23sin B，则A＝( ）．A．30° B．60° C．120° D．150°解析由a2－b2＝错误!bc，sin C＝2错误!sin B，得a2＝错误!bc＋b2，错误!＝2 3.由余弦定理,得cos A＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!，所以A＝30°，故选A.答案A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin ∠CED＝( ）．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析依题意得知，CD＝1，CE＝错误!＝错误!，DE＝错误!＝错误!,cos∠CED＝CE2＋ED2－CD22CE·ED＝错误!，所以sin∠CED＝错误!＝错误!,选B.答案B3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b，c，若角A，B，C依次成等差数列,且a＝1,b＝错误!，则S△ABC＝( )．A. 2 B。

错误! C.错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．（2012·湖南)在△ABC中,AC＝错误!，BC＝2,B＝60°，则BC边上的高等于( ）．A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!解析设AB＝c,BC边上的高为h。

由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B二、填空题（每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2）·tan B＝错误!ac,则角B的值为________．解析由余弦定理，得错误!＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝错误!,∴sin B＝错误!,∴B＝错误!或错误!。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编9：正余弦定理填空题 1 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知O 为ABC △的外心,若51213OA OB OC +-=0u u u r u u u r u u u r,则C ∠等于_____.【答案】3π4; 2 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设(11)A -，,B ,C 是函数1(0)y x x=>图象上的两点,且△ABC 为正三角形,则△ABC 的高为____.【答案】2 3 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若点G 为ABC ∆的重心,且AG⊥BG,则Csin 的最大值为________.【答案】354 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）在锐角ABC ∆中,若B A 2=,则ba的取值范围是____________. 【答案】)3,2(5 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）若已知0,,>c b a ,则bcab c b a 2222+++的最小值为____________.【答案】552 6 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在△ABC 中,sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C =______.【答案】41-;7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =1,A =60°,c =33,则△ABC 的面积为_______. 【答案】368 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）已知ABC ∆的三边长a ,b ,c 成等差数列,且22284a b c ++=,则实数b 的取值范围是_______【答案】9 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图,在△ABC 中,∠B =45°,D 是BC 边上一点,AD =5,AC =7,DC =3,则AB 的长为________.【答案】5 6210．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知5=a ,325=b ,4π=A ,则=B cos______. 11．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边的长分别为,,a bc ,且3,sin 2sin a b C A ===,则sin A =____.12．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2220b c a bc +-+=,则∠A=_________.__【答案】120︒ 13．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在△ABC 中,若sin cos ,A BB a b=∠则___________________. 【答案】45︒14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）在△ABC 中,∠A=45o,∠C=105o,则AC的长度为____________. 【答案】115．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知三角形的一边长为5,所对角为60o ,则另两边长之和的取值范围是________.【答案】(]10,5 ;16．（2010年高考（江苏））在锐角三角形ABC,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,6cos b aC a b+=,则tan tan tan tan C CA B+=__________ 【答案】4 解答题ABDC（第9题）17．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且c cos B +b cos C =3a cos B .(1)求cos B 的值;(2)若→BA ⋅→BC =2,求b 的最小值.【答案】解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B , 由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B , 即sin(B +C )=3sin A cos B又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2 18．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知ABC △的面积为S ,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,32AB AC S =u u u r u u u r g .⑴求cos A 的值;⑵若,,a b c 成等差数列,求sin C 的值.【答案】⑴由32AB AC S =u u u r u u u r g ,得31cos sin 22bc A bc A =⨯,即4sin cos 3A A =代入22sin cos 1A A =+,化简整理得,29cos 25A =由4sin cos 3A A =,知cos 0A >,所以3cos 5A =⑵由2b a c =+及正弦定理,得2sin sin sin B A C =+, 即2sin()sin sin A C A C =++,所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++.①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =,得4sin 5A =, 代入①,整理得4sin cos 8CC -=.代入22sin cos 1C C =+,整理得265sin 8sin 480C C --=,解得12sin 13C =或4sin 5C =-.因为(0,)C ∈π,所以12sin 13C =19．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231.(Ⅰ) 求sin B 的值; (Ⅱ) 求cos C 的值.【答案】20．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,在ABC ∆中,4B π=,角A的平分线AD 交BC 于点D ,设BAD α∠=,5sin α=. (1)求sin BAC ∠和sin C ;(2)若28BA BC =u u u r u u u rg ,求AC 的长.D AB C【答案】21．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知△ABC的内角A的大小为(1)若AB =求△ABC 的另外两条边长;(2)设O 为△ABC 的外心,当BC ,求AO BC ⋅uuu r uu u r的值.【答案】【解】(1)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,1sin 2bc A =,所以bc =4因为c AB ==,所以b CA ==.由余弦定理得BC a ==(2)由BC =22421b c ++=,即2216170b b +-=,解得1b =或4 设BC 的中点为D ,则AO AD DO =+uuu r uuu r uuu r,因为O 为△ABC 的外心,所以0DO BC ⋅=uuu r uu u r ,于是()()22122b c AO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r所以当1b =时,4c =,221522b c AO BC -⋅==-uuu r uu u r ;当4b =时,1c =,221522b c AO BC -⋅==uuu r uu u r 22．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）在△ABC ,已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1) 求角A 值;(2) 求C B cos sin 3-的最大值.【答案】⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=, 由正弦定理,得()()3a b c b c a bc +++-=,所以222b c a bc +-=,所以2221cos 22b c a A bc +-==,因为(0,)A ∈π,所以3A π=⑵ 由3A π=,得23B C π+=,cos B C -2cos()3B B π=--1(cos )2B B B --sin()6B π=+,因为203B π<<,所以666B ππ5π<<+,当62B ππ=+,即3B π=时cos B C -的最大值为123．（2011年高考（江苏卷））在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边分别为c b a ,,(1)若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值;(2)若1cos ,33A b c ==,求C sin 的值.【答案】【命题立意】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(1)由题设知,A A A cos 26sincos 6cossin =+ππ.从而A A cos 3sin =,所以0cos ≠A ,3tan =A .因为π<<A 0,所以3π=A .(2)由c b A 3,31cos ==及A bc c b a cos 2222-+=,得222c b a -=.故ABC ∆是直角三角形,且2π=B .所以31cos sin ==A C . 24．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1a =,2b =,12CA CB =u u u r u u u r g. ⑴求边c 的长; ⑵求()C A -cos 的值.【答案】⑴由12CA CB =u u u r u u u r g ,得1cos 2ab C =因为1a =,2b =,所以1cos 4C =,所以2222cos 1414c a b ab C =-=-=++, 所以2c =⑵因为1cos 4C =,(0,)C π∈,所以215sin 1cos C C -=,所以15sin 154sin 2a C A c ===, 因为a c <,所以A C <,故A 为锐角,所以27cos 1sin 8A A -=, 所以71151511cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -==⨯=+25．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---. (1)求角B 的大小;(2)设222sin sin sin T A B C =++,求T 的取值范围. 【答案】解:(1)在△ABC 中,222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b ---====----, 因为sin 0C ≠,所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-,所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=, 因为sin 0A ≠,所以1cos 2B =,因为0πB <<,所以π3B =(2)222131sin sin sin (1cos2)(1cos2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()371171πcos2sin 2cos 24222423A A A =--=-+因为2π03A <<,所以4π023A <<,故ππ5π2333A <+<,因此()π11cos 232A -+<≤,所以3924T <≤ 26．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若222b c a bc +=-.(1)求角A 的大小;(2)若8AC AB ⋅=-u u u r u u u r,求ABC ∆的面积.【答案】解:(1)由题意,得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===- 所以23A π=(2)因为1cos 82AC AB AC AB A bc ⎛⎫⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以16bc = 所以113sin 164322ABC S bc A ∆==⨯⨯=27．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-, 且C =120°. (1)求角A ;(2)若a =2,求c .【答案】解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sin B=sinA ∴ B=A=30°a=2,则b=2c²=a²+b²-2abcosC=4+4-2×2×2×(-12)=12 ∴ c=2328．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）某观测站C 在城A 的南偏西25°的方向上,由A 城出发有一条公路,走向是南偏东50°,在C 处测得距C 为123km 的公路上B 处,有一人正沿公路向A 城走去,走了12 km 后,到达D 处,此时C 、D 间距离为12 km,问这人还需走多少千米到达A 城?【答案】解:根据题意得,BC=123km,BD=12km,CD=12km,∠CAB=75°, 设∠ACD=α,∠CDB=β 在△CDB 中,由余弦定理得2222221212(123)1cos 2212122CD BD BC CD BD β+-+-===-⋅⋅⨯⨯,所以120β=o于是45α=o在△ACD 中,由正弦定理得122sin 12(31)()sin sin 752CD AD km A α=⋅=⋅=-o 答:此人还得走12(31)-km 到达A 城29．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.(1)若cos(A+)=sinA,求A 的值; (2)若cosA=,4b=c,求sinB 的值. 【答案】 30．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）如图,在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了A 、B 两个报名点,满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A 、B 两点),然后乘同一艘游轮前往C 岛.据统计,每批游客A 处需发车2辆,B 处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠α=CDA ,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元.⑴写出S 关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;A BCD250 500⑵问中转点D 距离A 处多远时,S 最小?【答案】解: (1)由题在ACD ∆中,2,,10,333CAD ADC AC ACD πππα∠=∠==∠=-. 由正弦定理知102sin sin sin 33CD AD ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭,得210sin 533sin CD AD πα⎛⎫- ⎪⎝⎭==260340sin 348121248080sin S AD BD CD CD AD παα⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴=++=-+=+3cos 220360sin 33x αππα-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)'213cos 203sin S αα-=令'0S =,得1cos 3α=当1cos 3α>时,'0S <;当1cos 3α<时,'0S >,∴当1cos 3α=时S 取得最小值此时2253cos 5sin 56sin 5AD ααα+===+∴中转站距A 2056+千米时,运输成本S 最小 31．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知函数()23sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.(1)求)(x f 的最小正周期;(2)在ABC ∆中,c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,若4)(=A f ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值.【答案】解:(1)2()322cos 2f x x x =++32cos 232sin(2)36x x x π=++=++.22ππ==∴T(2)由4)(=A f ,43)62sin(2)(=++=∴πA A f ,.21)62sin(=+∴πA 又ABC A ∆为Θ的内角,πππ613626<+<∴A ,ππ6562=+∴A ,.3π=∴A23=∆ABC S Θ,1=b ,23sin 21=∴A bc ,2=∴c32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ,.3=∴a 32．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且A ,B ,C 成等差数列.(1)若32BA BC =u u u r u u u r g ,b =,求a c +的值;(2)求2sin sin A C -的取值范围.【答案】33．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231. (Ⅰ) 求sin B 的值; (Ⅱ) 求cos C 的值.【答案】34．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,且a cos C +c cos A =2b cos B .(1)求角B 的大小;(2)求sin A +sin C 的取值范围.【答案】解:(1)方法一:由a cos C +c cos A =2b cos B 及余弦定理,得a ×a 2＋b 2－c 22ab +c ×b 2＋c 2－a 22bc =2b ×a 2＋c 2－b 22ac化简,得a 2+c 2-b 2=ac .所以cos B =a 2＋c 2－b 22ac =12因为B ∈(0,π), 所以B =π3方法二:由a cos C +c cos A =2b cos B 及正弦定理,得 sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B 即sin(A +C )=2sin B cos B ,因为A +B +C =π,所以sin(A +C )=sin B ≠0,所以cos B =12因为B ∈(0,π), 所以B =π3(2)sin A +sin C =sin A +sin(2π3-A )=32sin A +32cos A=3sin(A +π6)因为0<A <2π3,所以π6<A +π6<5π6,所以12<sin(A +π6)≤1,所以sin A +sin C 的范围是(32,3] 35．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）ABC ∆中,3AC =,三个内角,,A B C 成等差数列.(1)若6cos 3C =,求AB ; (2)求BA BC ⋅u u u r u u u r的最大值.【答案】解:(1)∵ ,,A B C 成等差数列,∴ 2B A C =+, 又A B C π++=,∴ 3B π=,又6cos C =,∴ 3sin C =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=, 所以3sin 2sin 33BC AB C A =⨯=⨯=; (2)设角,,A B C 的对边为,,a b c ,由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-,即2223a c ac =+-,又222a c ac +≥,当且仅当a c =时取到等号,所以229a c ac ac =+-≥所以1922BA BC ac ⋅=≤u u u r u u u r ,所以BA BC ⋅u u u r u u u r 的最大值是9236．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin sin tan cos cos A B C A B+=+.(1)求角C 的大小;(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求22a b +的取值范围.【答案】解:(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B +=+,所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=-所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π=(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦αααππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤,故223342a b <+≤本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等.讲评时,应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用,例如两边之和大于第三边,sin (A +B )=sinC ,面积公式及等积变换等. (2)法一:由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦.ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤,故223342a b <+≤.法二:由正弦定理得:2sin c R C ==. 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-,故2234a b ab +=+.因为0,0a b >>,所以2234a b +>.又222a b ab +≤,故2222342a b a b +++≤,得2232a b +≤.因此,223342a b <+≤.37．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）如图,现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ,用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA ),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA =1km,∠AOB =π3.求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围.【答案】解:设∠AOC =θ,设渔网的长度为f (θ).由CD ∥OA ,∠AOB =π3,∠AOC =θ,得∠OCD =θ,∠ODC =2π3,∠COD =π3-θ.在ΔOCD 中,由正弦定理,得CD =23sin(π3-θ),θ∈(0,π3)所以,f (θ)=θ+1+23sin(π3-θ)∵ f ′ (θ)=1-23cos(π3-θ),因为θ∈(0,π3),所以π3-θ∈(0,π3),令f ′ (θ)=0,得cos(π3-θ)=32,所以π3-θ=π6,所以θ=π6.答:所需渔网长度的取值范围是(2,π＋6＋236]38．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设a R ∈,()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间;O ABO ABCD养殖区域Ⅰ养殖区域Ⅱ(Ⅱ)设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a ccb a bc a -=-+-+2222222,求)(x f 在(]B ,0上的值域.【答案】解:(Ⅰ)22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,3222a f f a π-=-⋅+=-=得解得因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-令Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ故函数)(x f 的单调递增区间)(3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ(Ⅱ)由余弦定理知:c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222 即C b B c B a cos cos cos 2=-,又由正弦定理知:()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+= 即21cos =B ,所以3π=B 当⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx 时,⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ,()(]2,1-∈x f故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1-39．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且ac c a b -+=222,1=b .(1)若)tan tan 1(33tan tan C A C A +=-,求c ; (2)若c a 2=,求ABC ∆的面积.【答案】40．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在ABC ∆中,已知角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ,且cos 2cos C a cB b-=, (1)求B; (2)若tan()74A π+=,求cos C 的值.【答案】41．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知ABC ∆,内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,且满足下列三个条件:①ab c b a +=+222 ; ②C c sin 143=;③13=+b a .求 (1) 内角C 和边长c 的大小; (2) ABC ∆的面积.【答案】解:(1) 由ab c b a +=+222,所以1cos 2C =, ∵0πC <<, ∴π3C =, ∵C c sin 143=, ∴πsin 33c =,∴7c =(2) 1πsin 23ABC S ab ∆=由ab c b a +=+222,得403)(492=⇒-+=ab ab b a , 故1πsin 10323ABC S ab ∆== 42．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知△ABC 的面积为S ,且AB AC S ⋅=u u u r u u u r.(1)求tan 2A 的值;(2)若4B π=,3CB CA -=u u ur u u u r ,求△ABC 的面积S .【答案】解:(1)设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. ΘAB AC S ⋅=u u u r u u u r ,A bc A bc sin 21cos =∴,A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A 34tan 1tan 22tan 2-=-=∴AA A (2)3CB CA -=u u u r u u u r ,即3==c AB , 20,2tan π<<=A A Θ,55cos ,552sin ==∴A A ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+== 由正弦定理知:5sin sin sin sin =⋅=⇒=B C cb B b Cc ,35523521sin 21=⋅⋅==A bc S【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查运算变形和求解能力.。