江苏省梁丰高级中学2009届摸底考试数学试题(苏教版)_551

2009年江苏省高考数学模拟试卷及解答
刘风
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2009(000)004
【摘要】@@ 一、填空题(本题共14题,每题5分,共70分)rn1.已知R为实数集,M={x∣x2-2x<0},N={x∣x≥1},则M ∩(CRN)=____.rn2.如果复数2-bi/1-2i(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于____.
【总页数】3页(P44-46)
【作者】刘风
【作者单位】江苏省阜宁县东沟中学,224426
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2024年江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列各式中，运算正确的是（）A +=B ．6=C 7=-D ．155=2、（4分）下列根式中，最简二次根式是()A ．B C D ．3、（4分）如图，将ABC 沿直线AB 向右平移后到达BDE 的位置，连接CD 、CE ，若ACD △的面积为10，则四边形ACED 的面积为（）A ．15B ．18C ．20D ．244、（4分）如图，菱形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若5BC =，6AC =，则EF 的长为()A ．4B ．2C ．5D ．5、（4分）如图，直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x +b 相交于点（1，﹣1），则不等式k 1x ＜k 2x +b 的解集是（）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣16、（4分）若不等式组1++9+1+1-123x a x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是()A ．a ＜－36B ．a ≤－36C ．a ＞－36D ．a ≥－367、（4分）一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是()A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞28、（4分）关于x 的方程()()231210ax a x a -+++=有两个不相等的实根1x 、2x ，且有11221x x x x a -+=-，则a 的值是（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AB=2，则CD 的长为_____.10、（4分）如果43m n =，那么m nn -的值是___________．11、（4分）用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________．12、（4分）如图，在矩形ABCD 中，不重叠地放上两张面积分别是25cm 和23cm 的正方形纸片BCHE 和AEFG .矩形ABCD 没被这两个正方形盖住的面积是________；13、（4分）如图.△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D ．F,BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E,已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是_____三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，已知带孔的长方形零件尺寸（单位：mm ），求两孔中心的距离．15、（8分）某中学七、八年级各选派10名选手参加知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分选手人数分别为a ，b ．（1）请依据图表中的数据，求a ，b 的值．（2）直接写出表中的m =，n =．（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．16、（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF =b -a S 四边形ADCB =21122ADC ABC S S b ab+=-+S 四边形ADCB =211()22ADB BCD S S c a b a +=+-∴221111()2222b ab c a b a +=+-化简得：a 2+b 2=c 2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 217、（10分）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克．（1）若将这种水果每千克的售价降低x 元，则每天销售量是多少千克？（结果用含x 的代数式表示）（2）若想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？18、（10分）2020年初，“新型冠状病毒”肆虐全国，武汉“封城”．大疫无情人有情，四川在做好疫情防控的同时，向湖北特别是武汉人们伸出了援手，医疗队伍千里驰援、社会各界捐款捐物．某运输公司现有甲、乙两种货车，要将234吨生活物资从成都运往武汉，已知2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资；3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资．（1）求每辆甲车和每辆乙车一次分别能装运多少吨生活物资？（2）从成都到武汉，已知甲车每辆燃油费2000元，乙车每辆燃油费2600元．在不超载的情况下公司安排甲、乙两种车共10辆将所有生活物资运到武汉，问公司有几种派车方案？哪种方案所用的燃油费最少？最低燃油费是多少？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）是同类二次根式，那么a=_______20、（4分）函数y ＝﹣6x +5的图象是由直线y ＝﹣6x 向_____平移_____个单位长度得到的．21、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AC ，DF ⊥BC ，当△ABC 满足条件_______时，四边形DECF 是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）22、（4分）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是__________．23、（4分）已知一组数据含有20个数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，如果分成5组，那么64.5～66.5这一小组的频数为_________，频率为_________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在每年五月第二个星期日的母亲节和每年六月第三个星期日的父亲节这两天，很多青少年会精心准备小礼物和贺卡送给父母，以感谢父母的养育之恩．某商家看准商机，在今年四月底储备了母亲节贺卡A 、B 和父亲节贺卡C 、D 共2500张．（1）按照往年的经验，该商家今年母亲节贺卡的储备量至少应定为父亲节贺卡的1.5倍，求该商家今年四月底至多储备了多少张父亲节贺卡．（2）截至今年6月30日，母亲节贺卡A 、B 的销售总金额和父亲节贺卡C 、D 的销售总金额相同．已知母亲节贺卡A 的销售单价为20元，共售出150张，贺卡B 的销售单价为2元，共售出1000张；父亲节贺卡C 的销售单价比贺卡A 少m%，但是销售量与贺卡A 相同，贺卡D 的销售单价比贺卡B 多4m%，销售量比贺卡B 少m%，求m 的值．25、（10分）已知a b 、满足2223210a b a b ab +-+++=．（1）求()324b a a b ⋅⋅的值；（2）求224a b +的值．26、（12分）“五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租费是30元．（1）设租用时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为y 1元，租用乙公司的车所需费用为y 2元，其图象如图所示，分别求出y 1，y 2关于x 的函数解析式；（2）请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；利用分母有理化对D进行判断．【详解】A与不能合并，所以A选项错误；B、原式B选项错误；C、原式=7，所以C选项错误；D、原式=155，所以D选项正确，故选D．本题考查了二次根式的运算，涉及了二次根式的加减法，二次根式的化简，分母有理化，正确把握相关的运算法则是解题的关键.2、D【解析】试题解析：最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式2x.只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故选D.3、A【解析】根据平移的性质和平行四边形的判定条件可得四边形BDEC是平行四边形，得到四边形BDEC的面积为△ABC面积的2倍，即可求得四边形ACED的面积．【详解】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE且BC=DE，∴四边形BDEC 是平行四边形，∵平行四边形BDEC 和△ABC 等底等高，∴=2=10BDEC ABC S S ，∴S 四边形ACED =+=10+5=15BDEC ABC S S ．故选：A ．本题考查了平移的性质和平行四边形的判定，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．4、A 【解析】由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=CO=3，BO=DO ，由勾股定理可求BO=4，可得BD=8，由三角形中位线定理可求EF 的长【详解】解：如图，连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO=3，BO=DO ，∴4BO ==，∴BD=2BO=8，∵点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF=12BD=4，故选：A ．本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，本题中根据勾股定理求OB 的值是解题的关键.5、A由图象得到直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x +b 相交于点（1，﹣1），观察直线y ＝k 1x 落在直线y ＝k 2x +b 的下方对应的x 的取值即为所求．【详解】.解：∵直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x +b 相交于点（1，﹣1），∴当x ＞1时，k 1x ＜k 2x +b ，即k 1x ＜k 2x +b 的解集为x ＞1，故选：A ．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6、C 【解析】1 911123x a x x +⎧⎪⎨+++≥-⎪⎩＜①②，解不等式①得，x<a-1，解不等式②得，x ≥-37，因为不等式组有解，所以-37<a-1，解得：a>-36，故选C.7、C 【解析】由图象可知，直线与x 轴相交于（1，0），当y ＞0时，x ＜1．故答案为x ＜1．8、B【解析】根据根的判别式及一元二次方程的定义求得a 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求得1212x x x x +、的值，再利用11221x x x x a -+=-列出以a 为未知数的方程，解方程求得a 值，由此即可解答.∵关于x 的方程()()231210ax a x a -+++=有两个不相等的实根1x 、2x ，∴△=（3a+1）2-8a （a+1）=（a-1）2＞0，1212312(1),a a x x x x a a +++==，a≠0，∴a≠1且a≠0，∵11221x x x x a -+=-，∴312(1)1a a a a a ++-=-，解得a=±1，∴a=-1.故选B.本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式，利用根的判别式确定a 的取值及利用根与系数的关系列出方程求得a 的值是解决问题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，∴CD=12AB=1，故答案为：1．本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10、13【解析】由43m n =得到43m n =再代入所求的代数式进行计算.【详解】∵43m n =，∴43m n =，∴4133n n m n n n --==，故答案为：13.此题考查分式的求值计算，根据已知条件求出m 与n 的等量关系是解题的关键.11、四边形中所有内角都是锐角．【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．故答案为：四边形中所有内角都是锐角．本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．12、)23cm -【解析】先根据正方形的面积求出正方形纸片BCHE 和AEFG 的边长，求出长方形的面积，然后用长方形的面积减去两个正方形纸片的面积即可.【详解】∵正方形纸片BCHE 和AEFG 的面积分别为25cm 和23cm，∴，cm ，)253=3cm -.故答案为：)23cm -.本题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意求出矩形的面积是解题关键.13、由AF=BF 得到F 为AB 的中点，又DF 垂直平分AC ，得到D 为AC 的中点，可得出DF 为三角形ABC 的中位线，根据三角形中位线定理得到DF 平行于CB ，且DF 等于BC 的一半，由BC 的长求出DF 的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE 与EB 垂直，ED 与DC 垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE 为矩形，在直角三角形ADF 中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF 的长，求出AD 的长，即为DC 的长，由矩形的长BC 于宽CD 的乘积即可求出矩形BCED 的面积．【详解】∵AF=BF ，即F 为AB 的中点，又DE 垂直平分AC ，即D 为AC 的中点，∴DF 为三角形ABC 的中位线，∴DE ∥BC,DF=12BC ，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE ⊥DE ，DE ⊥AC ，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE 为矩形，∵BC=2,∴DF=12BC=1，在Rt △ADF 中,∠A=30°，DF=1，∴tan30°=DF AD ,即，∴则矩形BCDE 的面积S=CD ⋅故答案为此题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于求出四边形BCDE 为矩形三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、50mm连接两孔中心，然后如图构造一个直角三角形进而求解即可.【详解】如图所示，AC即为所求的两孔中心距离，∴AC==50.∴两孔中心距离为50mm本题主要考查了勾股定理的运用，根据题意自己构造直角三角形是解题关键.15、（1）a=5，b=1；（2）m=6，n=20%；（3）答案见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到关于a、b的方程组，从而可以求得a、b的值；（2）根据表格可以得到m和n的值；（3）根据表格中的平均数和中位数进行说明即可解答本题．试题解析：解：（1）由题意和图表中的数据，可得：10111131671819110 6.710a ba b+=----⎧⎪⨯++⨯+⨯+⨯+⎨=⎪⎩，即661040a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：51ab=⎧⎨=⎩；（2）七年级的中位数m=6，优秀率n=2÷10=20%；（3）八年级队成绩比七年级队好的理由：①八年级队的平均分比七年级队高，说明八年级队总成绩比七年级队的总成绩好．②中位数七年级队是6，八年级队是7.5，说明八年级队半数以上的学生比七年级队半数以上的成绩好．点睛：本题考查条形统计图、中位数、方差，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16、见解析.【解析】首先连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b-a ，表示出S 五边形ACBED ，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF =b -a ，∵S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABE +S △ADE =12ab +12b 1+12ab ，又∵S 五边形ACBED =S △ACB +S △ABD +S △BDE =12ab +12c 1+12a （b -a ），∴12ab +12b 1+12ab =12ab +12c 1+12a （b -a ），∴a 1+b 1=c 1．此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED 的面积是解本题的关键．17、（1）每天销售量是(100200)x +千克；（2）水果店需将每千克的售价降低1元．【解析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量⨯每千克利润=总利润列出方程求解即可．【详解】解：（1）每天的销售量是100201002000.1xx +⨯=+（千克）．故每天销售量是(100200)x +千克；（2）设这种水果每斤售价降低x 元，根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：10.5x =，21x =，当0.5x =时，销售量是1002000.5200260+⨯=<；当1x =时，销售量是100200300+=（斤)．每天至少售出260斤，1x ∴=．答：水果店需将每千克的售价降低1元．考查了一元二次方程的应用，本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．18、（1）每辆甲车一次能装运18吨生活物资，每辆乙车一次能装运26吨生活物资；（2）公司有3种派车方案，安排3辆甲车，7辆乙车时，所用的燃油费最少，最低燃油费是1元．【解析】（1）设每辆甲车一次能装运x 吨生活物资，每辆乙车一次能装运y 吨生活物资，根据“2辆甲车和3辆乙车可运送114吨物资；3辆甲车和2辆乙车可运送106吨物资”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该公司安排m 辆甲车，则安排（10−m ）辆乙车，根据10辆车的总运载量不少于234吨，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数即可得出各派车方案，设总燃油费为w 元，根据总燃油费＝每辆车的燃油费×派车辆数，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】解：（1）设每辆甲车一次能装运x 吨生活物资，每辆乙车一次能装运y 吨生活物资，依题意得：23114{32106x y x y ++＝＝，解得：1826x y ⎧⎨⎩＝＝，答：每辆甲车一次能装运18吨生活物资，每辆乙车一次能装运26吨生活物资；（2）设该公司安排m 辆甲车，则安排（10−m ）辆乙车，依题意得：18m ＋26（10−m ）≥234，解得：m≤134，又∵m 为正整数，∴m 可以为1，2，3，设总燃油费为w元，则w＝2000m＋2600（10−m）＝−600m＋26000，∵k＝−600，∴w随m的增大而减小，∴当m＝3时，w取得最小值，最小值＝−600×3＋26000＝1（元），答：公司有3种派车方案，安排3辆甲车，7辆乙车时，所用的燃油费最少，最低燃油费是1．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、3【解析】分析：根据同类二次根式的被开方式相同列方程求解即可.详解：由题意得，3a+4=25-4a，解之得，a=3.故答案为：3.点睛：本题考查了同类二次根式的应用，根据同类二次根式的定义列出关于a的方程是解答本题的关键.20、上1．【解析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．【详解】解：函数y=-6x+1的图象是由直线y=-6x向上平移1个单位长度得到的．故答案为：上，1．21、AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．22、m>-6且m≠-4【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．试题解析：分式方程去分母得：2x+m=3（x-2），解得：x=m+6，根据题意得：x=m+6＞0，且m+6≠2，解得：m＞-6，且m≠-4.考点:分式方程的解．23、80.4【解析】频数是指某个数据出现的次数，频率是频数与总数之比，据频数、频率的定义计算即可.【详解】解：在64.5～66.5这一小组中，65出现5次，66出现3次，出现数据的次数为5+3=8次，÷=，故其频率为0.4.故其频数为8，8200.4故答案为：(1).8(2).0.4本题考查了频数与频率，依据两者的定义即可解题.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）该商家四月底至多储备1000张父亲节贺卡（2）m的值为：37.1【解析】（1）设储备父亲节贺卡x张，母亲节贺卡的储备量至少应定为父亲节贺卡的1.1倍，得出不等式解答即可．（2）根据题意列出等式：20×110+2×1000＝20（1﹣m%）×110+2（1+4m%）×1000（1﹣m%），算出结果．解：（1）设储备父亲节贺卡x 张，依题知2100﹣x ≥1.1x ，∴x ≤1000，答：该商家四月底至多储备1000张父亲节贺卡．（2）由题意得：20×110+2×1000＝20（1﹣m%）×110+2（1+4m%）×1000（1﹣m%）令t ＝m%，则8t 2﹣3t ＝0，∴t 1＝0（舍），t 2＝0.371，∴m ＝37.1答：m 的值为：37.1．本题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．25、（1）83；（2）13【解析】先根据绝对值和平方的非负性可得a+2b=3，ab=-1，（1）先根据幂的性质进行化简，整体代入可解决问题；（2）配方后整体代入可解决问题．【详解】由题得：223(1)0a b ab +-++=23,1a b ab ∴+==-（1）2138(3)2432323a b a b ab a b +-==⨯=（2）22224(2)434(1)13a b a b ab +=+-=-⨯-=本题考查了绝对值和平方的非负性、完全平方公式及幂的性质，利用整体代入的思想解决问题是本题的关键．26、（1）y 1=15x+80（x≥0），y 2=30x （x≥0）；（2）当租车时间为163小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＜30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【详解】（1）由题意设y1=k1x+80，把点（1，95）代入得95=k1+80解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0），设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=16 3；当y1＞y2时，15x+80＞30x解得x＜16 3；当y1＜y2时，15x+80＞30x解得x＞16 3；答：当租车时间为163小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．本题为函数实际应用问题，综合考察了待定系数法、一元一次方程和不等式和通过临界点比较函数值大小．。

梁丰高级中学2009届高三数学第二学期期初考模拟练习（一）一．填空题： 1．已知数集{}x lg 10，，中有三个元素，那么x 的取值范围为 ． 2. 函数[]π，，02cos ∈=x x y 的增区间为 ．3.已知,13,57,3,1A a B C D b -（）,（）,（）,（）是菱形ABCD 的四个顶点，则=+b a ．4. 一个算法如下：第一步：s 取值0，i 取值1第二步：若i 不大于12，则执行下一步；否则执行第六步 第三步：计算S ＋i 并将结果代替S 第四步：用i ＋2的值代替i 第五步：转去执行第二步 第六步：输出S则运行以上步骤输出的结果为 ． 5．已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m = ▲ . 6．一个总体中的80个个体编号为0，l ，2，……，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数为i +k （当i ＋k <10）或i +k －10（当i ＋k ≥10）的号码．在i =6时，所抽到的8个号码是 ．7．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD x A B =，AE yAC =，0xy ≠，则11x y+的值为 ． 8．曲线2a y y x x ==和在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a 的值是 ．9.椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）与圆222=+y x 的位置关系是 ．10．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,,m l A A m l m αα⊂=∉点则与不共面；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若,,,//,//,//.l m l m A l m ααββαβ⊂⊂=点则 其中为真命题的是 ． 11．若方程ln 620x x -+=的解为0x ，则不等式0x x ≤的最大整数解是 ． 12.复数i c c z z i z )62(,0,43321-+==+=在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC ∠ 是钝角，则实数c 的取值范围为 ． 13．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是 ．14．数列012a a a ，，，…满足：}{1][310n n n a a a a +==+， （][n a 与}{n a 分别表示n a 的 整数部分和小数部分），则=2008a ．二.解答题：15. (本题满分14分)已知sin(2)3sin ,tan ,tan ,(),x y y f x αββαβ+====设记 （1）()f x 求的解析表达式；（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域．16. (本题满分14分) 如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB的中点．求证：（1）⊥AB 平面CDE ； （2）平面CDE ⊥平面ABC ．（3）若G 为ADC ∆的重心,试在线段AE 上确定一点F,使得GF 平面CDE ．17.(本题满分14分) 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P （元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费而这 （Ⅰ）写出每天销售收入y （元）与时间x （天）的函数关系式)(x f y =；（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P 定为多少元为好？（结果精确到1元）A ED B C18．(本题满分16分)有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的 两条切线，切点为 A 、B.（1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积19. (本题满分16分)已知函数()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+(其中0a >) ,点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+.（1） 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；（2）求证：ABC ∆是钝角三角形；（3）试问：ABC ∆能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值；若不能,请说明理由．20．（本题满分16分）已知函数2()31,()2f x x g x x =+=，数列{}n a 满足对于一切*n N ∈有0n a >，且13(1)()()2n n n f a f a g a ++-=+．数列{}n b 满足lo g nn a b a =，设*11,,,1313k l k l N b b l k∈==++． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列，并指出公比；（Ⅱ）若5k l +=，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若0k l M +=（0M 为常数），求数列{}n a 从第几项起，后面的项都满足1n a >．附加题1．（本小题满分10分）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． （Ⅰ）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 2.已知A 是曲线ρ=3cos θ上任意一点，求点A 到直线ρcos θ=1距离的最大值和最小值 3.某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．4. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

第13题图 江苏省梁丰高级中学届高三数学摸底考试试题（苏教版）考试时间150分钟一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上） 1、已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R .2、若复数iiz -=1，则=|z | . 3、已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则,m n 与1三者的大小关系是 .4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 .5、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 .6、已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60º，那么| a +3b |等于 .7、如图（下面）已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 是 .8、已知函数|lg |||,(0)()0,(0)x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则方程0)()(2=-x f x f 的实根共有 .9、如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2 ，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的方差为 ．10、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 . 11、设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-．若函数，2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是 .12、考察下列一组不等式：,525252,525252,52525232235533442233⋅+⋅>+⋅+⋅>+⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .14、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，则当n m >（+∈N n ）时，有_____n n S a （填“>”、“<”、“=”）..俯视图y答题试卷 班级 姓名 学号一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 11.12.13． 14. 二、解答题（本题6大题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知：(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）. (1) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(2) 若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）证明CD AE ⊥；（2）证明PD ⊥平面ABE ；18、（本小题满分14分） 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a . (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72n T <.A BC DP E某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？已知函数22()ln (0),f x x a x x x=++> (1) 若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2) 若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式12121[()()]()22x x f x f x f ++≥成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的“凹函数”. 试证当0a ≤时，()f x 为“凹函数”.高三数学模拟试题 班级 姓名 学号附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）21．（本题10分）1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22.（本题10分）已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=.试求实数a 的取值范围. 23．（本小题满分10分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 24．（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积．11数学试题参考答案和评分标准一、填空题（每题5分，共70分）1.{|01}x x <<2.22 3. 1＜n ＜m 4. 334 5. 垂直 6. 13 7. 33 8. 7个 9. 9S 2 10.4 11. 2t ≤-或0t =或2t ≥12. ()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数）.注：填m n n m n m nm 525252+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分； 若填m m m m 52525211⋅+⋅>+++或m m m m b a b a b a ⋅+⋅>+++11可给3分. 13．10k ≤. 14．<二、解答题（共90分）15. 解：(1)2()cos 2cos 21f x x x x m =++-……………………………………………………2分2cos 22x x m =++ ………………………………………………………………………………………………4分2sin(2)26x m π=++. …………………………………………………………………………………………………………6分()f x ∴的最小正周期是π. …………………………………………………………………………………………………7分(2) ∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x …………………………………………………………………8分∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m . ………………………10分∵512=-m ，∴3=m . …………………………………………………………………………………………………12分16.解析：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；………………………………………………………………6分（2）由条件可知a=5，椭圆221259x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为y-1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在，Q 的坐标为412(,)55.…………………………………………14分17. （1）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A C D ⊥． AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（1）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． ABCDPEM而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ． （3）（课后加）：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得32PA a AD PD AE ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则a PA AD AM PD ===··．在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==．所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 18. 解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =. 21222()b b b =-+，则229b =. ……………………………………………………………………………………2分 当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.即113n n b b －＝. …………………………………………………………………………………………………………………………4分 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. …………5分（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n . ………………7分从而n n n n n b a c 31)13(2⋅-=⋅=. ……………………………………………………………………………………8分∴].31)13(31)43(315312[231],31)13(318315312[213232+⋅-+⋅-++⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T n T ……………10分 ∴]31)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T . …………………11分 从而2733127271<-⋅-=-n n n n T . …………………………………………………………………………14分19．解：（1）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，又由已知条件，2242k =·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．（2）根据（1），我们有2'．故12x =时，()f x 301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大． 20.（1）由()22ln f x x a x x=++，得()'222a f x x x x =-+ ……………………………………2分若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a x x x-+≥在[1,)+∞上恒成立. 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.……………………………………………………………………………………………………………………………4分令22()2x x x ϕ=-，上述问题等价于max ()a x ϕ≥，而22()2x x xϕ=-为在[1,)+∞上的减函数，则max ()(1)0x ϕϕ==，于是0a ≥为所求. …………………………………………………………6分（2）证明：由()22ln f x x a x x=++ 得()()()()1222121212111ln ln 222f x f x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()2212121212x x x x a x x +=+++ ……………………………………………………………………………7分 2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………8分而()()2222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+≥++= ⎪⎣⎦⎝⎭① ………………………………………10分又()()2221212121224x x x x x xx x +=++≥， ∴1212124x x x x x x +≥+ ② …………11分 122x x +≤∴12ln ln 2x x +≤， ∵0a ≤ ∴12ln2x x a a +≤ ③ ……………………………………………………………………13分 由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分21．解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（2）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．22.解：由柯西不等式得，有()()2222111236236bc d b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d ++≥++，由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤==时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =，211,,33b c d ===时，min 1a =. 故所求实数a 的取值范围是[]1,2.（学生只求范围，不写出等号成立不扣分）23．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===， 所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．24．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥． 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ．11A 2作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m =，0BC m =得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AACC 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30．1x。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合A={1，t}中实数t的取值范围是__________．2．若不等式x2﹣3x≤0的解集为M，函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为N，则M∪N=__________．3．如果p和q是两个命题，若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的__________条件．4．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为__________．5．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为__________．6．若tanα=3，则=__________．7．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为__________．8．函数的单调减区间为__________．9．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是__________．10．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为__________．11．在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是__________．12．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有，则的值是__________．13．若数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则a n=__________．14．已知a，b，c＞0，则的最小值为__________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．16．如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若的值；（2）若的值．17．某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？18．（16分）已知函数f（x）=x2ln|x|，（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．19．（16分）若数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列．（2）设是S n数列{a n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数，（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．四、加试部分21．已知M=，，计算M5β．22．已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．23．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．24．设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合A={1，t}中实数t的取值范围是{t|t≠1}．考点：集合的确定性、互异性、无序性．专题：计算题．分析：根据集合元素的互异性及已知中集合A={1，t}，及分析出实数t的取值范围，写成集合形式即可．解答：解：∵集合A={1，t}由集合元素的互异性可得t≠1故实数t的取值范围是{t|t≠1}故答案为：{t|t≠1}点评：本题考查的知识点是集合元素的互异性，熟练掌握集合元素的性质并真正理解，是解答的关键．2．若不等式x2﹣3x≤0的解集为M，函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为N，则M∪N=（﹣∞，3]．考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．专题：不等式的解法及应用．分析：分别解不等式可得集合M，N，由并集的定义可得答案．解答：解：由不等式x2﹣3x≤0可得0≤x≤3，故M={x|0≤x≤3}；由1﹣x＞0可得x＜1，故N={x|x＜1}所以M∪N={x|0≤x≤3}∪{x|x＜1}=（﹣∞，3]故答案为：（﹣∞，3]点评：本题考查集合并集的运算，解对不等式正确写出集合M，N是解决问题的关键，属基础题．3．如果p和q是两个命题，若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：转化思想．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是p的必要不充分条件，进而根据充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是p的必要不充分条件，是解答的关键．4．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系．5．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，代值计算即可．解答：解：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，而=cos=故答案为：点评：本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题．6．若tanα=3，则=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的关系，弦化切，利用tanα=3，即可求得结论．解答：解：==∵tanα=3，∴==∴=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的关系，考查学生的计算能力，利用同角三角函数的关系，弦化切是关键．7．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：化约束条件为不等式组，进而作出其对应的平面区域，变形目标函数经平移直线得最优解，代值得答案．解答：解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z=x+2y，变形可得y=，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z=x+2y取最大值2故答案为：2点评：本题考查简单线性规划，画出满足条件的可行域及确定最优解是解决问题的关键，属中档题．8．函数的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：函数的定义域x≠﹣1，由于函数===，对函数求导可得＜恒成立，从而可求函数的单调递减区间解答：解：函数的定义域x≠﹣1∵函数===＜恒成立函数f（x）=的单调递减区间为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）点评：本题主要考查了函数单调区间的求解，利用了函数的导数的知识求解，本题还可以利用函数的单调性的定义或结合反比例函数y=的单调区间的求解．9．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是﹣1≤a＜0．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：对于小于零型的一元二次不等式，它的解集应该在两根之间．而对于题中不等式的解集为，是两根之外，说明原不等式不是标准型，与标准型相差了一个负号．故可得a＜0且，联解这两个不等式可得实数a的取值范围．解答：解：由题意，实数a不为零，不等式（ax﹣1）（x+1）＜0可化为：而不等式的解集为说明一方面a＜0，另一方面解之得﹣1≤a＜0∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜0故答案为：﹣1≤a＜0点评：本题以一元二次不等式的解集为例，考查了一元二次方程与不等式的联系等知识点，属于基础题．10．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），∴=∴S2013的值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．11．在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有，则的值是6．考点：函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，知f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣=n，f（n）=2，所以n+=2，解得n=1，由此能求出f（）=6．解答：解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）=n+，且f（n）=2．再令x=n可得 n+=2，解得n=1，因此f（x）=1+，所以f（）=6．故答案为：6．点评：本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．13．若数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式的意义即可得出．解答：解：∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，化为a n=．当n=1时，a1=．∴a n=，故答案为：，点评：本题考查了递推式的应用，属于基础题．14．已知a，b，c＞0，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：注意到分母只有ab，bc，拆分分子为+，利用基本不等式性质即可得出．解答：解：，当且仅当，取等号．∴的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．考点：对数函数的值域与最值；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用对数函数的单调性求对数函数的值域A，解指数不等式求出B，再根据A⊆B 可得﹣＞1，由此求得实数a的取值范围．（2）解分式不等式求得C，对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），由D⊆C，分D=∅和D≠∅两种情况，分别求出实m的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：（1）因为f（x）在[，4]上，单调递增，∵f（）==﹣2，f（4）=log44=1，所以，A=[﹣2 1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由关于x的不等式可得（2）﹣3x﹣a＞2x，﹣3x﹣a＞x x＜﹣，所以，B=（﹣∞，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣又A∪B=B，∴A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，﹣＞1，a＜﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为，所以有，所以﹣1＜x≤5，所以，C=（﹣1，5]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），若D⊆C，有：①当m+1≥2m﹣1时，即 0＜m≤2时，D=∅，满足 D⊆C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当 m+1＜2m﹣1 时，即 m＞2时，D≠∅，所以有：，解得﹣2＜m≤3，又 m＞2，2＜m≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上：由①②可得：实m的取值范围为（0，3]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查利用对数函数的单调性求值域，指数不等式、分式不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．16．如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若的值；（2）若的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）将k=tanB=代入，利用余弦定理求出sinB；利用三角形的内角和为π、三角函数的诱导公式、二倍角公式求出值（2）将直线方程与圆方程联立，消去y，利用韦达定理得到A，B的横坐标的关系，利用单位圆中的三角函数的定义，将sin（α+β）用A，B的坐标表示，求出值．解答：解：（1）变式得：，原式=；（2）点评：在解三角形时，若已知条件中有边的平方一般思路考虑余弦定理；注意在单位圆中，角的正弦、余弦值是角终边与单位圆交点的坐标．17．某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表达式，进而表示出AD，则总路程S与α的关系可得．（2）对函数S进行求导，令S'=0求得cosα的值，进而根据导函数判断函数的单调性的方法，可推断出当时，当和当函数的单调性和函数的最小值，进而求得总路程最小时AD的长．解答：解：（1）在△BCD中，∵，∴，．则．，其中．（2）令S'=0，得．当时，S'＜0，S是α的单调减函数；当时，S'＞0，S是α的单调增函数．∴当时，S取得最小值．此时，，=．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．18．（16分）已知函数f（x）=x2ln|x|，（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，求得f（﹣x），看f（x）与f（x）的关系式，进而判断函数的奇偶性．（Ⅱ）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}f（﹣x）=（﹣x）2ln|﹣x|=x2lnx=f（x）∴f（x）为偶函数（Ⅱ）当x＞0时，若，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，则f'（x）＞0，f（x）递增．递增区间是和；递减区间是和．（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）显然，a=1满足（*）而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．19．（16分）若数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列．（2）设是S n数列{a n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意，可利用根与系数的关系得出a n+a n+1=2n，观察发现a n+1=﹣（a n），由此方程可以得出数列是等比数列；λ＜，对任意正偶数n都成立，求出，的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在．解答：解：（1）∵a n+a n+1=2n，∴a n+1﹣•2n+1=（2n﹣a n）﹣•2n+1=﹣a n+2n（1﹣）=﹣（a n），∴数列是首项为a1﹣=，公比为﹣1的等比数列．（2）由（1）得a n=[2n﹣（﹣1）n]，∴S n=a1+a2+…+a n=[（2+22+…+2n）﹣（（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n）] =[﹣]=[2n+1﹣2﹣]=又b n=a n•a n+1=[2n﹣（﹣1）n][2n+1﹣（﹣1）n+1]=[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]∵b n﹣λs n＞0，∴[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ[2n+1﹣2﹣]＞0，∴当n为奇数时，[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ（）＞0，∴λ＜（2n+1）对∀n∈{奇数}都成立，∴λ＜1；当n为偶数时，[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ（﹣）＞0，∴λ＜（2n+1+1）对∀n∈{偶数}都成立，∴λ＜，综上所述，λ的取值范围为λ＜1．点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律．20．（16分）已知函数，（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．考点：指数函数综合题；二次函数的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）令2x=t，则有0＜t＜2a，f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，分离参数可得在t∈（0，2a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当x＜a 时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围．解答：解：（1）因为x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，所以令2x=t，则有0＜t＜2a，所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，即在t∈（0，2a）上恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．令，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以在（0，2a）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以，所以有：．所以，所以（2a）2≤5，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．①当，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．②当，∴﹣4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在单调递减，在单调递增，所以．所以由①②可得：当x≥a时有：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），则，③当，∴22a＞2，∴时，h（t）在单调递减，在上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．④当，∴22a≤2，∴时，h（t）在（0，2a）单调递减，h（t）∈（h（2a），h（0））=（4a﹣4，0）所以，此时，h（t）在（0，2a）上无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以由③④可得当x＜a时有：当时，；当时，无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以，由①②③④可得：当时，因为，所以函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当时，因为4a﹣4＜0＜1，函数f（x）无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当﹣4≤a＜0时，，函数f（x）无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．综上所述，当时，函数f（x）有最小值为；当时，函数f（x）无最小值．所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）．点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题．四、加试部分21．已知M=，，计算M5β．考点：几种特殊的矩阵变换；特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：分别求出特征值所对应的特征向量，然后将向量用两特征向量线性表示，根据公式M5=M5（4﹣3）=4（M4）﹣3（M5）=4﹣3，进行求解即可．解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣3）（λ+1）由f（λ）=0，得λ1=3，λ2=﹣1，从而求得对应的一个特征向量分别为=，=．令所以求得m=4，n=﹣3．M5=M5（4﹣3）=4（M5）﹣3（M）=4﹣3=4×﹣3（﹣1）5=．点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．22．已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．23．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是2015届高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．21。

（第8题）2009年江苏省高考调研考试试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．计算()41i +（其中，i 为虚数单位）的结果是 ．2．函数()ln f x a x x =+（R a ∈）在1x =处取到极值，则a 的值为 ．3．定义在R 上的函数()f x 是奇函数又是以2为周期的周期函数，则()()()147f f f ++等于 ． 4．“3πθ=-”是“tan 2cos()2πθθ=-”的 条件．（填写“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5．若点（x ，y ）在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≤≤≥所表示平面区域内运动，则t x y =-取值范围是6.设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥I ，垂足分别为,B D ，若增加一个条件，就能推出BD EF ⊥．现有①AC β⊥； ②AC 与,αβ所成的角相等； ③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF ．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是 ． 7．若直线1yx +=（,R a b ∈）通过点(cos ,sin )M αα（R α∈），则a 、b 必须满足关系 ．（用含a ，b 的式子表示）8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 ．9．若函数2()12xx k f x k -=+⋅（a 为常数）在定义域上为奇函数，则k = ．10．面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 ．（第6题）βαAEFBDC男生女生 9 8 7 6 5 3 0 3 3 6 6 6 2 0 0 1 5 6 5 3 6 2 8 77（第10题）11．已知集合{}(,)2||2A x y x y x y =∈Z ||≤，≤，，，集合{}22()(2)(2)4B x y x y x y =-+-∈Z ，≤，，，在集合A 中任取一个元素p ，则p ∈B 的概率是 ．12．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则y x u =-的取值范围是 ．13．已知约瑟夫规则如下：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．则按照此规则，当65n =时，剩余的一个数为 ． 14．设[]x 表示不超过x 的最大整数，对于给定的*N n ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+L L ，[1,)x ∈+∞，则当)3,3x ⎡∈⎢⎣时，函数8x C 的值域是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．已知向量()()()cos ,sin ,cos ,cos ,1,0a x x b x x c ==-=-r r r．（1）若6x π=，求向量,a c r r 的夹角；（2）已知()21f x a b =⋅+r r ，且9,28x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 时，求x 的值． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD DC CB a ===，60ABC ∠=o ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？写出结论，并加以证明．17．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160、第二组[)160,165；…第八组[]190,195，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依此构成等差数列。

高三数学模拟试卷1.若[]2,5x ∈“或{}14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的取值范围是 ．[)12，2. 设向量a =（12，sin a ）的模为22，则cos 2a = 32 ．3. 若,53)2sin(=+θπ则θ2cos 的值为 ．4. 若a2ai +=，则a 等于 ▲ ．5.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为2y x =±，且该双曲线与椭圆13622=+yx有共同的焦点，则双曲线的方程为 ．6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 ▲ ．7. 已知cos(α－7π6＝－45，α∈(0，π2)，则cos(α＋π6)－sin α的值是________．－3358. 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//；③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）________．①④9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =_____12±__．10. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合{321,123}A =---，，0,，， 中的元素，则此点正好落在抛物线21y x =-上的概率为 ．44911. 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2xm ＜1212. 已知一个正六棱锥的左视图如图所示(单位：cm)，则此正六棱台的体积等于_______cm 3．64 313. 已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,⋅⋅⋅则该数列前2009项的和2009s =400714. 在圆周上均匀的放着4枚围棋子，作如下操作：若原来相邻的两枚棋子是同色，就在其间放一枚黑子；若是异色，就在其间放一枚白子，然后将原来的4枚棋子取走，以上算一次操作。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为__________．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=__________3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=__________．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是__________．5．定义运算a b=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是__________．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为__________．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=__________．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有__________条．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是__________．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是__________．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有__________个零点．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是__________．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=__________．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n 和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为__________．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（04）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．已△知△ABC三边长分别为a，b，c且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用a2+b2﹣c2=ab，代入到余弦定理中求得cosC的值，进而求得C解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==∴C=60°故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．3．设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．解答：解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．4．若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由已知中不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，我们分别讨论2m=m﹣1时，2m＜m﹣1时，2m＞m﹣1时满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案解答：解：∵设不等式＜0的解集为A∵不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则（，）⊊A①当2m=m﹣1时，A=∅，不成立；②当2m＜m﹣1，即m＜﹣1时，不等式解为A=（ 2m，m﹣1），不符合条件，舍去；③当2m＞m﹣1时，不等式解为A=（m﹣1，2m），则m﹣1≤且2m≥，解得≤m≤，即m取值范围是≤m≤．故答案为：≤m≤点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于m的不等式组，是解答本题的关键5．定义运算a b=ab2+a2b，则sin15°cos15°的值是．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：新定义．分析：先根据题中的运算定义表示出sin15°cos15°，然后利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值得到即可．解答：解析：依题意，可知sin15°cos15°=sin15°cos215°+sin215°cos15°=sin15°cos15°（cos15°+sin15°）=×2sin15°cos15°（sin45°cos15°+cos45°sin15°）=sin30°sin（15°+45°）=．故答案为点评：考查学生会利用题中规定的新运算法则进行化简求值，会利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式进行化简，会利用特殊角的三角函数值进行求值．学生做题时会变换角是解题的关键．6．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：若f（x）=是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x=1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a 的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a的不等式组，是解答的关键．7．已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=﹣14．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，C（0，0），A（3，0），B（0，4），设D（x，0），E（0，y）．则=（x，﹣4），=（3，0），=（﹣3，y），=（0，4）．∵•=6，•=8，∴3x=6，4y=8，解得x=2，y=2．则•=（﹣3，2）•（2，﹣4）=﹣6﹣8=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题．8．已知曲线S：y=3x﹣x3及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有3条．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求函数的导数，设切点为M（a，b），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．解答：解：∵y=3x﹣x3，∴y'=f'（x）=3﹣3x2，∵P（2，2）不在曲线S上，∴设切点为M（a，b），则b=3a﹣a3，f'（a）=3﹣3a2则切线方程为y﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（x﹣a），∵P（2，2）在切线上，∴2﹣（3a﹣a3）=（3﹣3a2）（2﹣a），即2a3﹣6a2+4=0，∴a3﹣3a2+2=0，即a3﹣a2﹣2a2+2=0，∴（a﹣1）（a2﹣2a﹣2）=0，解得a=1或a=1，∴切线的条数为3条，故答案为：3．点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．注意点P不在曲线上，所以必须单独设出切点．9．已知函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则实数ω的范围是．考点：三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正切型函数的图象，要使函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，则ω＜0且函数y=tanωx的周期T≥2π．解答：解：∵函数y=tanωx在（﹣π，π）内是减函数，∴ω＜0，||≥2π解得：．故答案为：．点评：本题考查了正切型函数的图象与性质，解题时要根据函数在（﹣π，π）内是减函数，先判断ω的正负，再利用周期求ω的范围．10．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．11．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数f（x）在[0，6]上有7个零点．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：探究型．分析：先求出方程f（x）=0在区间[0，2）上的根的个数，再利用其周期为2的条件即f（x+2）=f（x），即可判断出所有根的个数．解答：解：当0≤x＜2时，令f（x）=x3﹣x=0，则x（x﹣1）（x+1）=0，解得x=0，或1；已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在区间[0，6]上，方程f（x）=0共有7个根，∴函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故答案为7．点评：正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键．12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．考点：简单线性规划；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．解答：解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．13．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f 的值为=0．考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：证明题．分析：根据题意得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）即函数的周期为3．由函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称得到f （﹣﹣x）=f （x+），所以可得函数f （x）是偶函数．结合奇偶性、周期性可得答案．解答：解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f =0；故答案为0．点评：解决此类问题的关键是周期利用函数的对称性与周期性得到函数是偶函数，再结合着函数的三个性质求解问题，2015届高考经常考查这种周期性、单调性、奇偶性、对称性相结合的综合问题．14．设首项不为零的等差数列{a n}前n项之和是S n，若不等式对任意a n 和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：等差数列{a n}中，首项不为零，前n项和S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，整理得++≥λ；若设t=，求函数y=t2+t+的最小值，得λ的最大值．解答：解：在等差数列{a n}中，首项不为零，即a1≠0；则数列的前n项之和为S n=；由不等式，得a n2+≥λa12，∴a n2+a1a n+a12≥λa12，即++≥λ；设t=，则y=t2+t+=+≥，∴λ≤，即λ的最大值为；故答案为．点评：本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的基础题目．二、解答题.15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是2015届高考中的常考内容，要认真掌握．16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π﹣B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据余弦定理表示出b2=a2+c2﹣2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，∴S△ABC=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴△ABC的面积最大值为．点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．17．已知向量（1）求的最大值（2）若，且，求cosβ的值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题．分析：（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．解答：解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有||=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由，得，即．∴，于是．…．点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．考查计算能力．18．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==，当v＞50时，=，由此能将y表示成速度v的函数关系式．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由导数求得当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．解答：解：（1）由题意，当0＜v≤50时，y==30•=，当v＞50时，==，∴．（2）当0＜v≤50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v＞50时，，由==0，得v=100．当50＜v＜100时，y′＜0，函数单调递增，∴当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于3150＞2400，所以，当v=100时，y取得最小值．答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．（16分）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，A n，…，和点B1，B2，…，B n…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OA n|及点A n的坐标；（2）用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标；（3）写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．考点：数列与解析几何的综合；数列递推式．专题：计算题．分析：（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|B n B n+1|及点B n的坐标．（3）由，写出四边形A n A n+1B n+1B n的面积关于n的表达式S（n），并求出S （n）的最大值．解答：解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4时，S（n）单调递减．又，．∴n=2或3时，S（n）取得最大值…（18分）点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=ax3+|x﹣a|，a∈R．（1）若a=﹣1，求函数y=f（x）（x∈[0，+∞）的图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，试讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出图象在x=1处的切线方程；（2）若g（x）=x4，方程等价于x=a或或，分类讨论，即可讨论方程f（x）=g（x）的实数解的个数；（3）确定函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0，对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞），即可得出结论．解答：解：（1）当a=﹣1，x∈[0，+∞）时，f（x）=﹣x3+x+1，从而f′（x）=﹣3x2+1．当x=1时，f（1）=1，f′（1）=﹣2，所以函数y=f（x）（x∈[0，+∞））的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0．…（2）f（x）=g（x）即为ax3+|x﹣a|=x4．所以x4﹣ax3=|x﹣a|，从而x3（x﹣a）=|x﹣a|．此方程等价于x=a或或…所以当a≥1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，﹣1；当﹣1＜a＜1时，方程f（x）=g（x）有三个不同的解a，﹣1，1；当a≤﹣1时，方程f（x）=g（x）有两个不同的解a，1．…（3）当a＞0，x∈（a，+∞）时，f（x）=ax3+x﹣a，f′（x）=3ax2+1＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，且f（x）＞f（a）=a4＞0．所以当x∈[a，a+2]时，f（x）∈[f（a），f（a+2）]，∈[，]，当x∈[a+2，+∞）时，f（x）∈[f（a+2），+∞）．…因为对任意的x1∈[a，a+2]，都存在x2∈[a+2，+∞），使得f（x1）f（x2）=1024，所以[，]⊆[f（a+2），+∞）．…从而≥f（a+2）．所以f 2（a+2）≤1024，即f（a+2）≤32，也即a（a+2）3+2≤32．因为a＞0，显然a=1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．…（16分）点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、附加卷21．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是．（Ⅰ）求点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标；（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．考点：逆变换与逆矩阵；逆矩阵的简单性质（唯一性等）．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先写出时针旋转的旋转变换矩阵M1，再利用矩阵的乘法，求出点P'的坐标；（Ⅱ）先求M=M2M1，再求点的变换，从而利用函数y=x2求出变换的作用下所得曲线的方程解答：解：（Ⅰ），所以点P（2，1）在T1作用下的点P'的坐标是P'（﹣1，2）．…（Ⅱ），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是{，，即，所以，所求曲线的方程是y﹣x=y2点评：本题以变换为载体，考查矩阵的乘法，考查点在变换下点的坐标的求法，属于中档题22．[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值解答：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2又由消t，得x﹣y﹣m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．点评：本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为S n”．（1）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意知变量的可能取值是1，3，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量对应的概率和分布列，做出期望和方差．（2）本题要求的概率是答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，包括若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；和若第一题正确和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题，两种情况，写出概率．解答：解：（1）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又；∴，．∴ξ的分布列为：∴Eξ=1×+3×=；Dξ==（2）当S 8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．此时的概率为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年2015届高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．24．设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a n}．（1）写出数列{a n}的前三项；（2）求a36．考点：组合及组合数公式；有理数指数幂的运算性质；数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：（1）由于r，s，t为整数，且0≤t＜s＜r，下面对r进行分类讨论：r最小取2时，符合条件的数a有一个，当r=3时，符合条件有的数a有3个，由此求得数列{a n}的前三项．（2）同理可得r=4时，r=6时，r=7时，分别算出符合条件的数a的个数，最后利用加法原理计算即得．解答：解：（1）∵r、s、t为整数且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此时符合条件的数a有=1；…当r=3时，s，t 可在0，1，2中取，符合条件有的数a有=3；…故数列{a n}的前三项为：20+21+22=7，20+21+23=11，20+22+23=13．（2）同理，r=4时，符合条件有的数a有=6；…r=5时，符合条件有的数a有=10；…r=6时，符合条件有的数a有=15；…r=7时，符合条件有的数a有=21；…因此，a36是r=7中的最小值，即 a36=20+21+27=131．…点评：本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念，既要会合理分类，又要会合理分步，一般是先分类，后分步．21。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．与=（1，2）共线的单位向量为__________．2．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是__________．3．已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是__________．（答案用区间表示）4．设α∈（π，2π），若，则的值为__________．5．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是__________6．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=__________．7．已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n和B n，若，则使为整数的正整数的个数是__________．8．已知=（λ，2λ），=（3λ，2），如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________．9．在等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a6|=__________．10．在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则=__________．11．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，n∈R），则mn=__________．12．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=__________．13．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为__________．14．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的范围是__________．二、解答题（共2小题，满分0分）15．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．16．设数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列；S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n．（1）求{a n}及{b n}的通项公式a n和b n；（2）f（n）=问是否存在k∈N+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，不等式﹣≤0恒成立，求正数a的取值范围．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（24）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．与=（1，2）共线的单位向量为±（，）．考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：利用单位向量的定义写出与共线的单位向量±并化简．解答：解：与=（1，2）共线的单位向量为±=±=±=±（，）．故答案为：±（，）．点评：本题考查了单位向量的概念与应用的问题，解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．2．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；作图题；数形结合．分析：由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）点评：本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．3．已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．（答案用区间表示）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．解答：解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．4．设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和 cos2α的值，再由=cos cos2α+sin sin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=cos cos2α+sin sin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．5．已知函数f（x）=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：此题可以采用补集思想，先求出f（x）在R上是单调函数时的范围，取其补集即可．解答：解：当函数f（x）在R上为减函数时，有3a﹣1＜0且0＜a＜1且（3a﹣1）•1+4a≥log a1解得当函数f（x）在R上为增函数时，有3a﹣1＞0且a＞1且（3a﹣1）•1+4a≤log a1解得a无解∴当函数f（x）在R上为单调函数时，有∴当函数f（x）在R上不是单调函数时，有a＞0且a≠1且a或a即0＜a或或a＞1故答案为：（0，）∪【，1）∪（1，+∞）点评：本题考查补集思想和分类讨论思想，对学生有一定的思维要求．6．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=n2．考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a n=2n，可得数列首项a1=2，公比q=2，进而可得原式=log2，代入由对数的性质化简可得答案．解答：解：由等比数列的性质可得=a5•a2n﹣5=22n，=（2n）2，∵a n＞0，∴a n=2n，故数列首项a1=2，公比q=2，故log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2a1•a3•…•a2n﹣1=log2====n2，故答案为：n2点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．7．已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n和B n，若，则使为整数的正整数的个数是5个．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先将通项之比转化为前n项和之比，进而再用验证法得解．解答：解：==7+验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数．故答案为：5点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用．8．已知=（λ，2λ），=（3λ，2），如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是或λ＞0且．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得＞0，去除向量同向的情形即可．解答：解：∵与的夹角为锐角，∴=3λ2+4λ＞0，解得或λ＞0，当2λ=6λ2时两向量共线，解得λ=0或λ=，已知当λ=时，向量同向，不满足题意，∴λ的取值范围为：或λ＞0且故答案为：或λ＞0且点评：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题．9．在等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a6|=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据a1=，a4=﹣4求出公比q然后再根据等比数列的通项公式求出每一项再代入即可求出|a1|+|a2|+…+|a6|的值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q∵a1=，a4=﹣4∴=﹣4∴q=﹣2∵∴a2=﹣1，a3=2，a4=﹣4，a5=8，a6=﹣16∴|a1|+|a2|+…+|a6|=+1+2+4+8+16=故答案为点评：本题主要考查了数列的求和，属常考题，较易．解题的关键是求出等比数列{a n}的公比为q！10．在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则=．考点：平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：，带入即可得到，所以三点P，A，C共线，所以可画出图形，根据三角形面积公式并结合图形即可求得．解答：解：；∴；∴；∴P，A，C三点共线，如图所示：∴；∴．故答案为：．点评：考查向量的减法运算，共线向量基本定理，以及三角形的面积公式．11．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，n∈R），则mn=．考点：向量的共线定理．专题：计算题；压轴题；待定系数法．分析：由题意可得===+，结合条件可得m=，n=，从而求得结果．解答：解：∵=2，∴====+．再由可得 m=，n=，故mn=，故答案为：．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，用待定系数法求出m=，n=，是解题的关键．12．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=4096．考点：等比数列的通项公式；导数的运算．专题：计算题．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可．解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′]则f'（0）=a1•a2…a8==84=4096．故答案为：4096．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．13．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把式子中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可．解答：解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴==1+= 7，当且仅当，x+y+y+z=1，即，时，取等号．∴则的最小值为7．故答案为7．点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键．14．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣2）的图象关于（2，0）成中心对称，设s，t满足不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），若﹣2≤s≤2时，则3t+s的范围是[﹣8，16]．考点：简单线性规划的应用；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先确定y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称，再利用函数是增函数，将不等式f （s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），化为具体不等式，利用可行域，即可求得3t+s的范围解答：解：y=f（x﹣2）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了2个单位．又由于y=f（x﹣2）图象关于（2，0）点对称，向左移2个单位，即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称．所以﹣f（4t﹣t2）=f（t2﹣4t）即不等式f（s2﹣4s）≥﹣f（4t﹣t2），等价于f（s2﹣4s）≥f（t2﹣4t）因为函数y=f（x）是增函数，所以s2﹣4s≥t2﹣4t移项得：s2﹣4s﹣t2+4t≥0，即：（s﹣t）（s+t﹣4）≥0得：s≥t且s+t≥4或s≤t且s+t≤4可行域如图所示，则当s=﹣2，t=﹣2时，3t+s有最小值是﹣6﹣2=﹣8当s=﹣2，t=6时，3t+s有最大值是18﹣2=16故3t+s范围是[﹣8，16]故答案为：[﹣8，16]点评：本题考查函数的性质，考查不等式的化简，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（共2小题，满分0分）15．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．16．设数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列；S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n．（1）求{a n}及{b n}的通项公式a n和b n；（2）f（n）=问是否存在k∈N+使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n，不等式﹣≤0恒成立，求正数a的取值范围．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列的通项公式能求出a n=4+n﹣1=n+3，由，能求出b n=2n+1．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=，当k为正奇数时，k+27为正偶数，当k为正偶数时，k+27为正奇数，由此推导出符合条件的正整数k不存在．（3）将不等式变形并把a n+1=n+4，设g（n）=（1+）（1+）（1+）…（1+），由此能求出正数a的取值范围．解答：解：（1）∵数列{a n}是首项为4，公差为1的等差数列，∴a n=4+n﹣1=n+3，∵S n为数列{b n}的前n项和，且S n=n2+2n，∴当n=1时，b1=S1=3，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，当n=1时，上式成立，∴b n=2n+1，n∈N*．（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=，∴当k为正奇数时，k+27为正偶数，由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3），∴2k=43，k=（舍）当k为正偶数时，k+27为正奇数，由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1），即7k=26，k=（舍）因此，符合条件的正整数k不存在．（3）将不等式变形并把a n+1=n+4，代入得a≤（1+）（1+）（1+）…（1+），设g（n）=（1+）（1+）（1+）…（1+），∴===，又∵＜=2n+4，∴＞1，即g（n+1）＞g（n），∴g（n）随n的增大而增大，∴g（n）min=g（1）=，∴0＜a≤．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。