概率论章节2-4

作 [ , ] 记 X~Ua b
x < a, 0, x − a F ( x) = , a ≤ x < b, b − a x ≥ b. 1,
f ( x)
a F( x)
b
x
a
b
x
注:
1 d x =d−c =∫ ( , ), ( ∀c,d)⊂(ab Pc<X<d) c b−a b−a 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的概率与小 即 X 落在 内任何长为 区间的位置无关, 只与其长度成正比. 区间的位置无关 只与其长度成正比
（2）数学期望和方差 ）
EX = µ , DX = σ 2
E( X ) = ∫ x ⋅
−∞ ∞ ( x − µ )2 2σ 2
1 2π σ
e
−
dx
t2 − 2
x−µ 令 =t σ
=
1 ∞ ∫− ∞ ( µ + σt )e 2π
t2 − 2
dt
t2 − 2
=µ
1 ∞ =µ ∫−∞e 2π
σ ∞ dt + ∫−∞te 2π
) 0 x (3)当 (3)当x < 0时，-x > 0, 则有 Φ(x +Φ(− )=1 0
Φ 0 ( − x ) = ∫ ϕ 0 ( t )dt = − ∫ ϕ 0 ( − y )dy = ∫ x ϕ 0 ( t )dt
−∞
+∞
−x
x
+∞
= 1 − Φ0 ( x)
注： ）Φ (0) = P{ X ≤ 0} = 0.5; （1 0
1 2 由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫3 3 d x = 3 ,
5
表示3次独立观测中观测值大于 的次数, 次独立观测中观测值大于3的次数 设Y 表示 次独立观测中观测值大于 的次数 2 则 Y ~ b 3, . 3 因而有 2 3 2 P {Y ≥ 2} = C 3 2 ⋅ 1 + C 3 2 = 20 . 3 3 3 27 3
∞
/ . x ⋅ λ e − λx d x =1 λ
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2
= ∫0 x ⋅ λ e2∞来自− λxd x −1/ λ
2
2
= 2/ λ −1/ λ =
2
1
2 λ
单位:小时 例 设某类日光灯管的使用寿命 X (单位 小时 单位 小时) 服从指数分布，已知平均寿命为 小时。 服从指数分布，已知平均寿命为2000小时。 小时 (1)任取一只这种灯管 求能正常使用 任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 任取一只这种灯管 小时以 上的概率. 上的概率 (2) 有一只这种灯管已经正常使用了 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 求还能使用1000小时以上的概率 小时以上的概率. 上,求还能使用 求还能使用 小时以上的概率
P{ X < b} = 2Φ 0 (b ) − 1 = 0.9242
1 Φ 0 (b ) = (1 + 0.9242) = 0.9621 2
查表可得
b ≈ 1.78
由 于 P { X ≤ c } = 0.2981 < 0.5, 所 以 c < 0, 根 据 对 称 性 , 有 Φ 0 ( − c ) = 1 − Φ 0 ( c ) = 0.7019
= Φ 0 (1.96) − Φ 0 ( −1.96) = 2Φ 0 (1.96) − 1 = 0.95
P{−1 < X ≤ 2} = Φ 0 (2) − Φ 0 ( −1)
= Φ 0 (2) + Φ 0 (1) − 1 = 0.97725 + 0.8413 − 1 = 0.81855
(2)直接查表可得 a = 0.53 直接查表可得
P{ X > r + s X > s} = P{ X > r }
练习：某元件的寿命 服从指数分布 服从指数分布,已知其 练习：某元件的寿命X服从指数分布 已知其 平均寿命为1000h ,求3个这样的元件使用 平均寿命为 求 个这样的元件使用 1000h,至少已有一个损坏的概率． 至少已有一个损坏的概率． 至少已有一个损坏的概率
注：如乘客在公共汽车站等车的时间, 某些元件或设备 如乘客在公共汽车站等车的时间 的使用寿命等服从指数分布。 的使用寿命等服从指数分布。
f ( x)
0 F( x) 1
x
0
x
（2）数学期望和方差 ）
1 1 E = ,D = 2 X X
λ
∞
λ
E ( X ) = ∫ xf ( x )d x =
−∞
∫0
ϕ ( x) =
1 2π σ
e
−
( x − µ )2 2σ 2
, −∞ < x < +∞
Carl Friedrich Gauss
当 µ = 0, σ 2 = 1时 ， 即 X ~ N 0，）称 X 服 从 （ 1, 标 准 正 态 分 布 , 其 密 度 函 数 记 作 ϕ 0 ( x ), 即
ϕ0 ( x) =
d
（2）数学期望和方差 ）
a+b EX = , 2
( b − a )2 DX = 12
上服从均匀分布, 例 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布 现 上服从均匀分布 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 大于 的概率 1 , 2 ≤ x ≤ 5, 解 X 的概率密度函数为 f ( x ) = 3 0, 其它. 表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
1 2π
e
x2 − 2
正态概率密度函数的几何特征
呈钟形：中间大，两头小， 呈钟形：中间大，两头小，左右对称
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(2) 当x = µ时, ϕ ( x )取得最大值 1 2 πσ ;
(3) 当 x → ±∞ 时, ϕ ( x ) → 0, 即以 x 轴为渐近线;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
1
e
(x 2 2 +) − 9
1 X~e ( ) , 20 00
1 x − 2000 1 − e , F ( x) = 0,
解
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000}
= 1 − F (1000 ) = e
−
1 2
≈ 0.607.
( 2) P{ X > 2000 X > 1000}
例2.23 设 X ~ N (0, 1),
(1)求 P { X ≤ 1.96}, P { X ≤ − 1.96} P { X ≤ 1.96}, P { − 1 < X ≤ 2}. ( 2)已 知 P { X ≤ a } = 0.7019, P { X < b } = 0.9242 P { X ≤ c } = 0.2981, 求 a , b , c .
P X>2 0 X>1 0 }=P X>1 0 } { 00 00 { 00
--------指数分布的无记忆性 指数分布的无记忆性 指数分布的
（3）无记忆性 ）无记忆性------指数分布的特征性质 指数分布的特征性质 定理 非负连续型随机变量 X 服从指数分布 的充要条件是:对任何正实数 和 的充要条件是:对任何正实数r和s,有
各元件的寿命是否超过1000h是独立的，于是３个元 是独立的，于是３ 各元件的寿命是否超过 是独立的 e −3 , 件使用1000h都未损坏的概率为 件使用 都未损坏的概率为
从而至少有一个损坏的概率为1 − e −3 .
3. 正态分布 或高斯分布) 正态分布(或高斯分布
（1）概率密度函数 ）
X~N µσ2) σ>0 − <µ<+ ( , , ∞ ∞
(5) 当固定 σ, 改变 µ 的大小时,
ϕ( x) 图形的形状不变, 只是沿
着 x 轴作平移变换;
(6) 当固定 µ, 改变 σ 的大小时,
ϕ ( x) 图形的对称轴不变, 而形状
在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大,图形越矮越胖.
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、 测量误差 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 正常情况下生产的产品尺寸 直径、长度、重量 直径 高度等都近似服从正态分布. 高度等都近似服从正态分布
P { X > 2000, X > 1000} P{ X > 2000} = = P { X > 1000} P { X > 1000}
1 1 − P{ X ≤ 2000} 1 − F ( 2000) − = = = e 2 ≈ 0.607. 1 − P { X ≤ 1000} 1 − F (1000)
练习：已知ξ ~ U [−9, 6], 则关于x的一元二次方程 x − ξ x + 4 = 0有实根的概率为
2
7 1 5
2. 指数分布
X~e λ ( )
−λ x
（1）概率密度函数与分布函数 ）
λ e , x ≥ 0, f ( x) = λ > 0 为常数 x < 0, 0, −λ x 1 − e , x≥0 F ( x) = x < 0, 0,
即 EY = E[aX + b] = aEX = b = a µ + b DY = D[aX + b] = D(aX ) = a 2 DX = a 2σ 2