第二十一章二次根式测试题(A)

第二十一章〔二次根式〕单元测试〔A 卷〕 班级： 姓名： 成绩：一、选择题〔每题2分，共20分〕1、 以下格式中一定是二次根式的是〔〕A B C 、12+x D2x 应满足的条件是〔〕A 、52x = B 、52x < C 、x ≥52 D 、x ≤523、当x=3时，在实数范围内没有意义的是〔〕A B C D4得〔〕A 、-B 、C 、18D 、65=A 、1a ≥-B 、1a ≤C 、1<1a -≤D 、11a -≤≤6、以下各式计算正确的选项是〔〕A 、=B 、=C 、=D 、=7、假设A =A 、23a +B 、22(3)a +C 、22(9)a +D 、29a +8等于〔〕A 、152 B 、2± C 、52 D9=A 、0x ≥B 、<1xC 、0<1x ≤D 、0x ≥且1x ≠10、当3a <-A 、32a +B 、32a --C 、4a -D 、4a -一、填空题〔每题2分，共20分〕1x 的取值范围是 。

2、假设<0n = 。

3= ，= 。

4= ，= ，= 。

5、计算= 。

6、126=，那么a = 。

7m = 。

8、2-的倒数是 ，= 。

92a =-成立的条件是 。

10、假设<n m = 。

三、解答题1、分别指出x 取哪些实数时，式子有意义。

〔每题3分，共6分〕〔1 〔22、 计算：〔每题3分，共18分〕〔1 〔2((•；〔3〕 〔4(-〔5〕( 〔6>)m n3、 计算〔每题3分，共9分〕1〕 2〕〔3〕、(4(3-4、 5x y +=，3x y •=〔5分〕5、 实数,,a b c 2|1|440b c c ++-+=，求1001003a b c ++的值。

〔5分〕6、 假设1a b -=，ab =，求代数式(1)(1)a b +-的值。

〔5分〕7、A B ==求1111A B +--的值。

〔6分〕8、 11a a +=-221a a +的值。

九年级上册数学第二十一章二次根式测试一时间：120分钟 分数：120分温馨提示：带着愉悦的心情，载着自信与细心，凭着沉着与冷静，迈向理想的彼岸！一、选择题（每小题3分，共30分）1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤33．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=34．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．25．（2005·岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．b aD ．44+a6．如果)6(6-=-•x x x x ，那么（ ）A ．x ≥0B ．x ≥6C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数7．（2005·湖南长沙）小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⨯；③a aa a a =•=112；④a a a =-23。

做错的题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．（2005·青海）若最简二次根式a a 241-+与是同类二次根式，则a 的值为（ ）A ．43-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 9．（2005·江西）化简)22(28+-得（ ）A ．—2B ．22-C ．2D ． 224-10．（2005·湖北武汉）已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -二、填空题（每小题3分，共30分）11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。

12．二次根式31-x 有意义的条件是 。

13．若m<0，则332||m m m ++= 。

学校班别座号姓名人教版九年级数学上册第二十一章二次根式测试试卷（时间120分满分120分）一、填空题（每小题2分，共20分）1．在a、2a b、1x+、21x+、3中是二次根式的个数有______个．2. 当x= 时，二次根式1+x取最小值，其最小值为。

3. 化简82-的结果是_____________4. 计算：23·=5. 实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a-+-=．6. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm2,则此边的高线长．7.若()22340a b c-+-+-=，则=+-cba．8. 计算：20102010)23()23(+-=9. 已知2310x x-+=，则2212xx+-=10. 观察下列各式：111233+=，112344+=，113455+=，……，请你将猜想到的规律用含自然数(1)n n≥的代数式表示出来是．二、选择题（每小题3分，共24分）11. 下列式子一定是二次根式的是（）A．2--x B．x C．22+x D．22-x 题号一二三总分19 20 21 22 23 24 25 26得分密线封1-012a12. 下列二次根式中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ）A ．2－xB ．x+2C ．x －2D ．1x －213. 实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，式子①0b c +>②a b a c +>+③bc ac >④ab ac >中正确的有（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个14. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y - D. 25ab 15. 下列各式中，一定能成立的是（ ）A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a =C ．1122-=+-x x xD ．3392-∙+=-x x x16．设42-的整数部分为a ，小数部分为b ，则1a b-的值为（ ） Ａ．212-Ｂ．2 Ｃ．212+Ｄ．2-17. 把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -18. 若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =三、解答题（76分） 19. (12分)计算：(1) 21418122-+- (2) 2)352(-2- 1- 0 1 2 3 c b a(3) 14510811253++- (4)284)23()21(01--+-⨯-20. （8分）先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．21. （8分）已知：3x 22x y --+-=，求：4y x ）（+的值。

第二^一章二次根式测试题（A ）、选择题（每小题4分，共40 分） 1 、下列各等式成立的是（2A : | \ 5 5B : .,1-3 = -3C ::」4 =4D : .. x ? = xx 的取值范围是（3、已知，=三兰，则a 的取值范围是（F 列根式中属于最简二次根式的是（A:a 2 1 B5、下列计算中正确的是（一3 八36、若二次根式..2a 二4与.2是同类二次根式，则a 的值为（A ： 5B : 6 .2m -1，n 2 ■ 4 =4n ，贝U n m 的值为(— 1A:2 B :-4长是（A: 2 .5+5 B : 4 5 -3 C:4、5 5 D : 453、实数a,b 在数轴上的位置如图, 那么化简a-b -£'a 2的结果是a 010、若 a 0 且 ~2a ：：： x ：：： -a ，则化简 xx 2 - 2ax a 2 2 x 2a 的结果为（A ： 4aB : 6x — 2aC : 2x + 2aD : 2a — 2x 二、填空题（每小题4分，共 40分）11、若.2a -6，x 「1有意义，则x 的取值范围是A: x _2 B : x 乞2 C : x 2：x .^2A ： a 乞0B : a ：：：0 C0 ::: a _127xA: • m 2 亠• n 2 = m 2 亠n 2B: .a 2 -b 27、已知m,n 是实数,、若三角形的三边分别是a,b,c ,且(a —2 •. 5)2 丁 J a —b 「1 " |c —4 =0 ，则这个三角形的周A : 2a — bB : bC : - bD : -2a + b2、若二次根式在实数范围内有意义，则12、 比较大小： £7 _______ -6 . 5 （填或“=”） 13、 计算： 2 .8二 ____________ ；14、 已知 a -b =2. 3 _1,ab = 3，贝U （a - 1）（b _1）二 ___________ 15、 若.祐是整数，则正整数 a 的最小值是 __________________ ; 16、 计算：（1 • ..2） 2008（1 -.、2）20°9 二 _________ ； 计算：-1 —.』4 •(二 _3)° - 2 -18、使等式.(x • 2)( _x • 2) = . x 2 . -x • 2成立的条件是 19、观察分析下列数据，寻找规律： 0,..3,、.6,3,2 .3,.、15,3 2川那么第10个数据是 _______ ；20观察下列等式:①；1 >2 ；「2-1) " 一1，②./-.2 =(.^2)^^2^ "3_ '2 ；③——' 二34-3 ；……从计算结果中寻找规律，并利用这一规•.4 •、. 3 （ .4 • . 3）（ 4 - .3）律计算：(2 1 3：2 .…200/ 2001)( 2002 1)=三、解答题（共70 分）21、计算（每小题5分，共30 分）17、 •、2 -1 (1)2a. 27a 6a 3a (2) 3 9x —(2xJ它）(4) ■. 0.5 、32—1(5) (3.8 1 50 —4. 2)“ 32(6) (3- 2 ■一3-”5)(3.. 2'-$3 •、. 5)22、（10分）先化简，再求值：2 2 2 2-4 4亠（1-？-），其中 a =2 3,b=2_..3。

初三数学第二十一章二次根式测试题（A ）时间：45分钟 总分：100分 姓名：一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x2．若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b >3B ．b <3C ．b ≥3D ．b ≤33．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．m =0B ．m =1C ．m =2D ．m=34．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．baD ．44+a 6．如果)6(6-=-∙x x x x ，那么（ ）A ．x ≥0B ．x ≥6C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数7．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⨯；③a aa a a=∙=112； ④a a a =-23．做错的题是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011B ．33030C ．30330D ．11309．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ）A ．43-=aB ．34=a C ．a =1 D ．a =—110．化简)22(28+-得（ ）A ．—2B ．22-C ．2D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分）11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( ． 12．二次根式31-x 有意义的条件是 ．13．若m<0，则332||m m m ++= ． 14．1112-=-∙+x x x 成立的条件是 ．15．比较大小：16．=∙y xy 82 ，=∙2712 ． 17．计算3393aa a a-+= ． 18．23231+-与的关系是 ．19．若35-=x ，则562++x x 的值为 ．20．化简⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+1083114515的结果是 ．三、解答题（第21-22小题各12分，第23小题24分，共48分）21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x1-22．化简：（1）)169()144(-⨯- （2）22531- （3）5102421⨯-（4）n m 21823．计算：（1）21437⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）225241⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）)459(43332-⨯ （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-126312817（5）2484554+-+（6）2332326--四、综合题（每小题6分，共12分） 24．若代数式||112x x -+有意义，则x 的取值范围是什么？25．若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值．初三数学第二十一章二次根式测试题（B ）时间：45分钟 分数：100分一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列说法正确的是（ ）A ．若a a -=2，则a<0B ．0,2>=a a a 则若C ．4284b a b a =D ．5的平方根是5 2．二次根式13)3(2++m m 的值是（ ）A ．23B ．32C ．22D ．0 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -4．若ba是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号C ．a ≥0，b>0D ．0≥ba5．已知a<0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 6．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -7．下列各式中，一定能成立的是（ ）． A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．122+-x x =x -1 D ．3392+⋅-=-x x x8．若x +y=0，则下列各式不成立的是（ ）A ．022=-y x B ．033=+y x C ．022=-y x D ．0=+y x9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ） A ．2 B ．22C ．55D ．510．已知1018222=++x xx x，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4二、填空题（每小题2分，共20分） 11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 ．12．已知a<2，=-2)2(a ．13．当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 ． 14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483( ．15．若一个长方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm ．16．若433+-+-=x x y ，则=+y x ．17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 ． 18．若3)3(-∙=-m m m m ，则m 的取值范围是 ．19．若=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=y x y x 则,432311,132．20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+ = ．三、解答题（21-25每小题4分，第26小题6分，第27小题8分，共44分） 21．21418122-+- 22．3)154276485(÷+-23．x xx x 3)1246(÷- 24．21)2()12(18---+++25．)13(27132--+- 26．已知：132-=x ，求12+-x x 的值．27．已知：的值。

九年级数学（上）《二次根式》测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、使式子1-x 2+x 有意义X 的取值范围是（ ）A 、X ≤1B 、X ≤1且X ≠-2C 、X ≠-2D X ＜1且X ≠-22、若代数式x x -+212有意义，则x 的取值范围是（ ）A 、21->x B 、4±≠x C 、0≥x D 、40≠≥x x 且 3、下列运算正确的是（ ） A 、15.05.15.05.122=-=-B 、15.025.02=⨯= ≥C 、5)5(2-=-x xD 、x x x 22-=-4、下列根式中，最简二次根式是( )A 、a 25B 、22b a +C 、2aD 、5.05、已知：直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为（ ）A 1B 19C 19D 296、若ｘ＝－3,则 ︳1-(1+X 2) ︳=（ ）A 1B －1C 3D -37、24ｎ 是整数，则正整数ｎ的最小值是（ ）A 4B 5C 6D 78、对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是（ ）A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是39、下列说法错误是………………………………（ ） A.962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式 C.22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是410、下列各式中与6是同类二次根式的是 （ ） A.36 B.12 C.32D.18二、填空题（每小题3分，共18分）11、使式子4-X 无意义的ｘ取值是12、已知：X=2．5， 化简（X-2）2+ ︳X-4 ︳的结果是13、10ｘｙ ．30ｙｘ （ｘ＞0，ｙ＞0）= 14、已知4322+-+-=x x y ，则，=xy ． 15、三角形的三边长分别是20 ㎝ 45 ㎝ 40 ㎝，则这个三角形的周长为 16、观察下列各式：322322+=⨯；833833+=⨯；15441544+=⨯；……则依次第四个式子是 ；用)2(≥n n 的等式表达你所观察得到的规律应是 。

第21章二次根式章节复习（难点练）一、单选题1．（2021·四川省遂宁市第二中学校九年级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.A．BCD【答案】A【详解】根据最简二次根式的意义，可知=，不是最简二次根式.故选A.2．（2021·上海九年级专题练习）当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．3【答案】A=--=1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．3．（2021·浙江九年级期末）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦、O e ⑥、等腰直角三角形②和都含45°角的角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤组成，已知2AB BC AI ==．如图2，在矩形PQMN 内，这个智力七巧板恰好能拼成一个滑滑梯，若O e 的直径是2，则矩形PQMN 的周长为（ ）A ．32B ．28+C ．22+D ．24+【答案】C【分析】根据勾股定理得出AI ，BG ，进而利用四边形的周长解答．【详解】解：如图，2AI ==Q ，2BG ==，2AB AI ==，4c \=，4a \==-28PQ a \=++=+，123PN =++=+，\四边形PQMN 的周长2()16622PQ PN =´+=+++=+，故选：C ．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质利用勾股定理解答．4．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为（ ）A ．4＋＋B ．2＋＋C ．4＋D ．2＋＋【答案】A【分析】分别求出∠ABF 和∠FCG 的度数，再利用正方形与等边三角形的性质，证明△ABF ≌△FCG ，可得AF =FG ，同理AF =AG BG =，设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N 可得△AKG 为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG ，然后即可求得四边形AFGD 的周长．【详解】解： Q 正方形ABCD 边长为2，等边三角形BCF 、CDG 、2,90,60,AB BC BF FC CD CG ABC FBC \======Ð=°Ð=° 150,15,ABF BAF BFA \Ð=°Ð=Ð=°同理可得：360906060150,FCG Ð=°-°-°-°=° 所以△ABF ≌△FCG ，∴AF =FG ．设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N同理AF =AG ,BG = 则,GK AB ^ ,GK CD ^ 1,1,DN CN AK BK ==== 2,KN BC ==\ △AKG 为直角三角形，由三角形DCG 为等边三角形，则2,DG CG DC ===GN \==∴2KG =+由勾股定理得：AG ====+四边形AFGD 的周长为：AF +FG +GD +DA =2+2´故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的运算等知识点，此题有一定难度，属于难题．二、填空题5．（2021·湖北武汉市·九年级专题练习）化简并计算：...++=________．（结果中分母不含根式）【详解】解：原式=--==．．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．6．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，在△ABC 中，D 是AC 边的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BD C ¢，联结AC ¢．若AD ＝AC ¢＝2，BD ＝3，则点D 到BC ¢的距离为 __________．【分析】连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，BD 垂直平分CC ¢，证△ADC ¢为等边三角形，利用解直角三角形求出DM =1，C M ¢=，BM =2，在Rt △BMC ¢中，利用勾股定理求出BC ¢的长，在△BDC ¢中利用面积法求出DH 的长，则可得出答案．【详解】解：如图，连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，∵AD AC ¢==2，D 是AC 边上的中点， ∴DC =AD =2，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，,,DC DC BC BC ¢¢\==\ BD 垂直平分CC ¢，∴2,,DC DC CM C M ¢¢===∴2AD AC DC ¢¢===， ∴△ADC ¢为等边三角形，∴60,ADC AC D C AC ¢¢¢Ð=Ð=Ð=° ∵DC DC ¢=， ∴16030,2DCC DC C ¢¢Ð=Ð=´°=° 在Rt △C DM ¢中， 30,2,DC C DC ¢¢Ð=°=∴1,DM C M ¢=== ∴BM =BD -DM =3-1=2，在Rt △BMC ¢中，BC ¢==∵11,22BDC S BC DH BD C M ¢¢¢==V g g3=∴DH =∴点D 到BC'．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，二次根式的乘除运算等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．7．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在边AB 上，点N 在对角线AC 上，连接DM ，DN ．若AM ＝CN ，则(DM ＋DN )2的最小值为____．【答案】8+【分析】过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，由题意易得∠NCH =∠MAD =90°，进而可得△NCH ≌△MAD ，然后可得DM =NH ，要使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，AB =2，∴∠MAD =∠DCB =90°，∠DCA =45°，AD =CH =AB =CD =2，∴∠NCH =∠MAD =90°，∵AM =CN ，∴△NCH ≌△MAD （SAS ），∴DM =NH ，若使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN 的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，如图所示：∴∠DCA =∠ECH =45°，∴△CEH 为等腰直角三角形，∴CE EH ===，∴2DE DC CE =+=+，∴在Rt △DEH 中，()(22222228DH DM DN DE EH =+=+=+=+∴()2DM DN +的最小值为8+；故答案为8+．【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．三、解答题8．（2021·全国九年级专题练习）阅读下面的解答过程，然后作答：化简，若你能找到两个数 m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a+2可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m+n ）2化简．例如：∵=2+）2=）2请你仿照上例将下列各式化简（1，（2．【答案】（1）；（2-.【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵22241(1+=++=+，1=（2）∵2227-=-=，==.9．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：24211326x x x x -+æö-¸ç÷++èø，其中1x =..【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+æöæö¸=×=ç÷ç÷+++--èøèø.将1x =+=【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.10．（2021·全国九年级专题练习）阅读材料，请回答下列问题材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S …①（其中a ，b ，c 为三角形的三边长，S 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S p ＝2a b c++）材料二：对于平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）公式逆用可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，例：a 2﹣（b +c ）2＝（a +b +c ）（a ﹣b ﹣c ）（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.【分析】（1）根据材料，代入公式即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．【详解】解：（1）设a ＝3，b ＝4，c ＝5，∵32+42＝25，52＝25，∴a 2+b 2＝c 2，a 2b 2＝144，∴S ＝3452++＝6；∵p ＝2a b c++＝3452++＝6，p ﹣a ＝6﹣3＝3，p ﹣b ＝6﹣4＝2，p ﹣c ＝6﹣5＝1，S＝6．∴三角形的面积为6．（2）∵14[a 2b 2﹣（2222a b c +-）2]＝14[2244a b ﹣2222()4a b c +-]＝116[（a+b ）2﹣c 2][c 2﹣（a ﹣b ）2]＝116（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a+c ﹣b ）（b+c ﹣a ）＝116×2p•（2p ﹣2c ）（2p ﹣2b ）（2p ﹣2a ）＝p （p ﹣a ）（p ﹣b ）（p ﹣c ）【点睛】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．11．（2021·上海九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积是S =．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为a b c d ,,,，记2a b c dp +++=，那么四边形的面积是S =其中，A 和C 表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形ABCD ，已知8AB =，12AD =，10BC =10CD =+，75B °Ð=，45D °=∠．求出这个零件平面图的面积．【答案】（1）；（2）【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；【详解】(1)p=46892++=，∴三角形的面积是：S ====(2) 75,45B D °°Ð=Ð=Q ，∴2222754511coscos cos 60()2224B D Ð+а+°==°==，8,12,1010AB AD BC CD ===-=+Q ，∴20p ==，∴()()()()p p a p b p c p d ----20(208)(2012)(2010=---´(2010172800--=，又21cos812(10216024A C abcd +=´´´=，∴S ==，∴这个零件平面图的面积是．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．12．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：2222421121a a a a a a a ---¸+--+，其中1a =-．【答案】21a +【详解】解:原式222(2)21(1)(1)(1)a a a a a a a --=-¸++--222(2)(1)1(1)(1)2a a a a a a a --=-×++--22(1)11a a a a -=-++2=1a +，把1a =代入，原式==13．（2021·黄山市黄山第二中学九年级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接CD ，CE ．（1）求证：AB=CD ；（2）若BC=10，∠ABC=45°，连接BE ，求△BCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）-50【分析】（1）结合题意，根据旋转的性质得AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，从而得到△ACE是等边三角形、∠AED=∠CED=30°；再通过证明△AED≌△CED，得AD=CD，结合AD=AB，即可完成证明；（2）过点A作AF⊥BC于点F，设BF=x，根据∠ABC=45°，AF⊥BC，得BF=AF=x；根据∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC得CF；根据BF+CF=BC=10，列方程并求解，即可得到CE，经计算从而得到答案．【详解】（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，∴AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=CE，∠ACE=∠AEC=60°，∴∠AED=∠CED=30°又∵DE=DE，AE=CE，∴△AED≌△CED（SAS），∴AD=CD又∵AD=AB，∴AB=CD（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F设BF=x∵∠ABC=45°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠BAF=45°，∴BF=AF=x∵∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC，∴∠BCE=∠ACB +∠ACE =90°，AC=2x，∴==x∴CE=AC=2x．∵BF+CF=BC=10，∴x=10，∴，∴，∴△BCE的面积=12BC×CE=12´10´（）．【点睛】本题考查了旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的性质，从而完成求解．14．（======请回答下列问题：（1=______；（2）利用上面的解法，请化简：+++×××++（3【答案】（1-21-；（3>，见解析【分析】（1）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1-=-=<【详解】解：（1=（2+×××+)1=+++×××++1=-+++×××+1=-（3）由（1）的方法可得，-==<>>．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．15．（2021·全国九年级专题练习）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|1x+1y+1z|．|12+13+()15-|＝1930请解决下列问题：（1的值．（2）设S S的整数部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz+|1x﹣1y﹣1z|取得最小值时，求x的取值范围．【答案】（1）712；（2）2019；（3）0＜x≤13【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将原式进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|13x+|+|13x-|，再根据|13x+|+|13x-|取最小值时，确定x的取值范围．【详解】解：（1＝|12+14+16-|＝712；（2）S，＝|1+1﹣12|+|1+12﹣13|+…+|1+12019﹣12020|，＝1+1﹣12+1+12﹣13+1+13﹣14+ (1)12019﹣12020，＝2019+2019 2020，故整数部分为2019；（3）由题意得，+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1x+1y+1z|+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1y zx yz++|+|1y zx yz+-|，又y+z＝3yz，原式＝|13x+|+|13x-|，因为|13x+|+|13x-|取最小值，所以﹣3≤1x≤3，而x＞0，因此，0＜x≤13，答：x的取值范围为0＜x≤13．【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．16．（2021·北京九年级专题练习）已知x =，y =，求22x y y x +的值．【答案】970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【详解】解：∵5x ===-，5y ===+∴原式===+245240245240=--++++970=．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．17．（2021·全国九年级专题练习）阅读下列解题过程：；；＝；…解答下列各题：（1＝ ；（2＝ ．（3+）×+1）．-；（2+；（3）2020【答案】（13【分析】（1-，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．-3-；3==++（3×+1）1+-）×+1）-）×+1）1-＝20211＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．18．（2021·北京九年级二模）如图，在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是CA 延长线上一点，点E 是AB 延长线上一点，且AD ＝BE ，过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G（1）依题意补全图形；（2）当∠AED ＝α，请你用含α的式子表示∠AGC ；（3）用等式表示线段CG 与AD 之间的数量关系，并写出证明思路【答案】（1）见解析；（2）45AGC Ð=°-a ；（3）CG =，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先证45ABC ACB Ð=Ð=°，再根据90ADE AED Ð+Ð=°与90ADE DAF Ð+Ð=°可得DAF AED a Ð=Ð=，则DAF CAG a Ð=Ð=，又因为45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°可得45AGC Ð=°-a ；（3）在AE 上截取AM AD =，连接DM ．先证BAC V 与ADM △是等腰直角三角形，接下来证ACG EMD △≌△，所以可得DM CG =，则可求CG DM ==．【详解】（1）根据题意补全图形如下：过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G ．（2）证明：当AED a Ð=时，45AGC Ð=°-a ．推理如下：AB AC =Q ，90BAC Ð=°，45ABC ACB \Ð=Ð=°．90EAD Ð=°Q ，90ADE AED \Ð+Ð=°AF DE ^Q ，90DFA \Ð=°，90ADE DAF \Ð+Ð=°DAF AED a \Ð=Ð=，DAF CAG a \Ð=Ð=，45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°Q 45AGC a \Ð=°-．（3）CG =．证明：在AE 上截取AM AD =，连接DM ．∵=AM AD ，90BAC а＝∴ADM △是等腰直角三角形∴45AMD Ð=°∴180********DME AMD Ð=°-Ð=°-°=°∵=AB AC ，90BAC а＝∴BAC V 是等腰直角三角形∴45ACB Ð=°∴180********ACG ACB Ð=°-Ð=°-°=°∴135ACG DME Ð=Ð=°∵=AD BE ∴=AM BE∴+=+AM BM BE BM 即=AB EM ∵=AB AC ∴=EM AC∵FG DE ^，90BAC а＝∴90FAE E Ð+а＝,90FAE CAG Ð+а＝∴CAG EÐ=Ð又∵=AB EM ，135ACG DME Ð=Ð=°∴ACG EMD △≌△∴DM CG=又∵90BAC а＝ ，=AD AM∴利用勾股定理可得：DM ===∴DM CG ==．【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．。

一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x2．若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=34．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．2 5．（2005·岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．baD ．44+a 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011B ．33030C ．30330D ．11309．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 10．（2005·江西）化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分）11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。

12．二次根式31-x 有意义的条件是 。

16．=∙y xy 82 ，=∙2712 。

17．计算3393aa a a-+= 。

18．23231+-与的关系是 。

19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。

20．化简⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+1083114515的结果是 。

11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 。

12．已知a<2，=-2)2(a 。

13．当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。

14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483( 。

16．若433+-+-=x x y ，则=+y x 。

试求：（1）671+的值； （2）17231+的值；下列方程中是一元二次方程的是( ). A.xy ＋2＝1 B. 09212=-+xx C. x 2＝0 D.02=++c bx ax 1.配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=2.若1762+--x x x 的值等于零，则x 的值是( ) A 。

第二十一章（二次根式）单元测试（A 卷）班级： 姓名： 成绩： 一、选择题（每题2分，共20分）1、 下列格式中一定是二次根式的是（） ABC 、12+x D2x 应满足的条件是（） A 、52x =B 、52x <C 、x ≥52D 、x ≤523、当x=3时，在实数范围内没有意义的是（） ABCD4A、- B、 C 、18 D 、65= A 、1a ≥- B 、1a ≤ C 、1<1a -≤ D 、11a -≤≤ 6、下列各式计算正确的是（）A、= B、= C、= D、=7、若A =A 、23a + B 、22(3)a + C 、22(9)a + D 、29a +8A 、152 B、 C 、52 D9=A 、0x ≥B 、<1xC 、0<1x ≤D 、0x ≥且1x ≠10、当3a <-A 、32a +B 、32a --C 、4a -D 、4a -一、填空题（每题2分，共20分）1x 的取值范围是 。

2、若<0n= 。

3=，= 。

4=，=，= 。

5、计算= 。

6、已知1264=，则a = 。

7m = 。

8、2的倒数是，= 。

92a =-成立的条件是 。

10、若<n m= 。

三、解答题1、分别指出x 取哪些实数时，式子有意义。

（每小题3分，共6分） （1（22、 计算：（每小题3分，共18分） （1（2((∙；（3） （4(-（5）( （6>)m n3、 计算（每小题3分，共9分） 1）2）61356（3）、(4(3-4、 已知5x y +=，3x y ∙=（5分）5、 已知实数,,a b c2|1|440b c c ++-+=，求1001003a b c ++的值。

（5分）6、若1a b -=，ab =，求代数式(1)(1)a b +-的值。

（5分）7、已知A B ==求1111A B +--的值。

（6分）8、已知11a a +=-+221a a+的值。