人教A版高中数学选修4-2-1.3.1 线性变换的基本性质-课件(共20张PPT)

Aξ2 = λ2 ξ2 = λ2 λ1ξ1 = λ λ2 ξ1 .
∴ λ λ1ξ1 = λ λ2 ξ1 .
即：λ(λ1－λ2)ξ1 = 0.
λ ≠0且 λ1 ≠λ2，∴λ(λ1－λ2) ≠0，∴ξ1 = 0.
与ξ1 是矩阵A的特征向量矛盾！所有假设不成立.
∴向量ξ1与ξ2不共线.
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。

2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合：作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)

������ = 0, ������ = 1,
-������ = 0, 解得 -������ = -1.
������ = 0, ������ = 2,
������ = 1,
10
故变换对应的矩阵为
.
21
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
22
应用 2 把矩阵
2
-
2 2
2 2 2
专题四 转化与化归思想的应用 转化与化归是一种重要的数学思想方法,它是从运动、变化、联 系、发展的观点来看待问题,“转化”的目的是将问题转化为我们较 熟悉的,或者较容易解决的问题.在本讲中,几类特殊的线性变换、 二阶矩阵与平面向量的乘法等,都用到了转化思想.
知识建构
综合应用
真题放送
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01
知识建构
综合应用
真题放送
20
解:设 P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点 P(x0,y0)在矩阵
01
x'0
2 0 ������0
对应的变换下变为点P'(x'0,y'0),则有
=
,即
y'0
0 1 ������0
������'0 ������'0
= =
2������0, ������0,
所以
������0 ������0
= =
������'0 2
,
������'0.
又因为点P
在椭圆上,故
4������02
+
������02
=
1,
从而(x'0)2+(y'0)2=1,所以曲线 F 的方程是 x2+y2=1.

0 2
2 0
0 2
1
1
1 1
0 0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
1 0 0
1
0
0 1
0 0
1 0
0
1
例题：已知
x2
A
0
yx 1
z 7
5
，
3x z 1 z 7
B
0
x
z
1
，且 A B ，
求 x, y, z 的值。
x 2 3x
关 系 式
y x z 1 1 x
a11x1 a12x2 ...... a1n xn b1 设有线性方程组 a21x1 a22x2 ...... a2n xn b2
am1x1 am2 x2 ...... amn xn bm
a11 a12 ......a1n
a21
a22 ......a2n
......
如 0 ... 0
0
0
0
0 0
0
0
0 00
0
0
0
等……
●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的
元素都为0的方阵，简记作 。
0 0
0
2
2 0 0
0
0
0
0 0 9
a1 0
0
a2
0 0
0
0
an
等……
●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，
简记作 En。如：
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
称为m×n 矩阵. 也可以记成 (aij ), (aij )mn

d 2.
2
2

1
1 2


x 0



4 y
,2xxy4, ,
x

2,
y

2.
【互动探究】试求在本例中矩阵M的变换作用下,点P(1,1)变
成的点P′的坐标.
【解析】由本例解答可知
M


2 1
1 2

,
则
2 1
,B Nhomakorabea
a2 c2
b2 d2

,
A=B,则_a_1_=_a_2,_b_1=_b_2_,_c_1=_c_2_,_d_1_=_d_2 .
(3)二阶矩阵与向量的乘积
ax by
设
A


a c
b d

,α


x y

,
则 Aα
=___c_x__d_y___
【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量 的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M. (2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方 程组求x,y.
【规范解答】
1 设M

a

c
b
d

,
则由
a c
b d


1 2



2 6



7 18
,
Aβ


5

3
1 2 4

4 2

章末整合提升
自主探究 自我检测 重难点拨 思悟升华
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1
2
3
4
5
2.已知 A= A. C. 7 1 11 5
1 0
2 3 2 ,α= ,β= ,则 A(α+β)等于( 1 1 0 B. D. 5 1 5 3
)
解析:∵ α+β= ∴ A(α+β)= 答案:A
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1.平面列向量的性质与我们以前学过的平面行向量的性质是一致 的. 2.对线性变换性质的理解 (1)所有二阶非零矩阵对应的变换都是线性变换; (2)通常情况下,矩阵所对应的线性变换把平面上的直线变成直线, 只有特殊的变换,如直线 y=ax 在关于直线 y=- x 的投影变换后变成了一 个点.
������' , 2 ������' , 4
������ ������' ∴ 变换 =A·2 ������ 将直线 y=kx+b 变成了直线 y=2kx+4b. ������'
������' ������' y=kx+b,得 =k· +b,即 4 2
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(一) 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1. 旋转变换 问题 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 内任一点 P(x, y) 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 180 后得到点 P(x, y), 点 P 与点 P 是怎样的对称? 两点的坐标有 什么关系? y P(x, y) 点 P 与点 P 关于原点 O 成 中心对称. x O x= -x, ① P (x, y) y= -y. ① 式称为旋转角为180的旋转变换表达式. 我们 称 P 是 P 在这个旋转变换作用下的像.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋 转变换. (1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A; (2) 试写出这个旋转变换的表达式. y P(x, y) 解: (2) 设平面内任一点 P(x, y), P(x, y) 旋转变换为 P(x, y). ∴x= |OP|cos(q +30) q x O 于是得这个旋转变换的表达式为 = |OP|(cosq cos30 - sinq sin30) 3 1 3 = x = x- x y, 1 y, 2 22 2 |sin(q +30) y= |OP y = 1 x + 3 y. |(sin 2 q cos30 2 +cosq sin30) = 1 x + 3 y. = |OP 2 2
像这样, 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表 a b 称为二阶矩阵, 数 a, b, c, d 称为矩阵的元素. c d 在二阶矩阵中, 横的叫行, 从上到下依次称为矩阵的 第一行、第二行; 竖的叫列, 从左到右依次称为矩阵
的第一列、第二列. B, C, … 表示.
矩阵通常用大写的英文字母 A,

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。

1 0
0 1
1 0
.
y 1 j
O i1 x
y 1 j
1 O i1 x
1
3. 切变变换
（1） 平行于 x 轴的切变变换公式为:
x y
x y.
ky,
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 k . 01
O i1 x
① k1 时的切变:
Ai
1 0
1 1
1 0
1 0
，
Aj
1
0
1 1
0 1
1 1
.
y 1 j
O i1 x
分别把下列矩阵
（1） 0 1
1 0;
（2）20
0 1;
（3）10
0 2
.
对应的线性变换作用在该单位圆上。试分别写出所得
曲线的方程，并画出图形。
解: （3）对应的变换公式为
x y
x, 2
y.
用 x，y 表示 x，y 得
变换后的图形是双曲线。
y 入圆的方程得
x2
y2 4
1.
y
y
1
cosa sina Ra sina cosa
1
O
1x
a
O
1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形
（3） 切变变换
y 1
y
A 1 k 01
1
O
y
O
1
x
A 1 0
1
k1
O
1x 1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形 y
（4） 反射变换
1
y
A 1 0 0 1
1
Oi
x

精选课件
13
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第一节 线性变换的定义
主要内容
引入 定义 举例 性质
精选课件
1
一、引入
上二一、章定我义们 看 到 ， 数 域 P 上 任 意 一 个 n 维 线
空 间定都义与 1P n线同性构空，间因V之的，一个有 变限换维 A线 称性 为空线间性的 结 可变以换认，为如果是对完于全V清中楚任了意.的线元性素空 ,间 是和数某域类 P事中物 从 的任方意数面 的k ，一都个有抽 象 . 我 们 认 识 客 观 事 物 ， 固 然 要 清 它 们 单 个A的(和+ 总 )体= 的A(性 )质+ ，A(但 )是, 更 重 要 的 是 研 究 它 们 之 间A的( k各 种) =各k A样(的)联. 系 . 在 线 性 空 间 中 ， 物之间的联系就反映为线性空间的映射. 线性空
A( - ) = - A( ) .
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性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式
不变. 换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性
组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ),
A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合：
xycsions csoinsxy
精选课件
4
来计算的. 同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线 性变换. 如图 7 - 1 所示.
y
y
= ( x , y )
y
O x
=(x,y)
x
x
图7-1