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第1章行列

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第一章行列式第一讲

第一章行列式第一讲
1 2 1 2 Dn Dn1 ( Dn1 Dn 2 ) Dn Dn1 ( Dn1 Dn 2 ) 继续递推下去则有： Dn Dn1 n -2 ( D2 D1 ) Dn Dn1 n -2 ( D2 D1 )
（2）消去变换法：通过行列的加减使大部分元素变为零，然后进行计算。 例：计算 1 2 3 n x 1 2 n 1 D得
1 x 0 0 D 0 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 1 1 1
a00
a00
....
a00
1 1 1 1 k 1 k .... a1k x1 a1k x2 a1k xn1 k k 0 k 0 k 0 D .... .... .... . n 1 n 1 n 1 n 1 k n 1 k .... an1k xnn 1 k an1k x1 an1k x2 k 0 k 0 k 0 1 1 x1 x2 n 1 ai0 .... .... i0 x1n 1 x2n 1 .... .... .... 1 xn n 1 a (x x ) . i i 0 j 0 1 j i n i .... xnn 1
令右下角的元素1=x+(1-x)将行列式表示为两个行列式之和得
1 x 1 1 0 1 x 0 0 1 x D 0 0 0 x x x
0 1 x 1 1 0 0 1 x 0 0 0 1 x 0 1 x 0 0 0 0 x 1 x x x x
的第i列，则有
三、行列式的计算
（1）提公因子法：将行列式某行(列)的公因子提出来，再进行计算。 例：计算

《第一章行列式》

《第一章行列式》

第一章 题型1.1利用行列式的性质和按行（列） 行列式展开定理计算行列式例1 （1996年，1, 2） 4阶行列式 (A) a 1a 2a 3a 4 — b 1b 2b 3b 4(C) aE-0b 2 a 3〉4 也屁 a 1 0 0 0 a2 b 2 0 b3 a 3 b4 0 0 (B) a 1a 2a 3a 4(D) (a 2a 3 -a 4 bi 0 0 b^bAb 2bs a 〔a 4 -bib4 答案：D 分析：考虑到行列式的零元素比较多，可根据行（列） 开计算 详解：按第一行展开得 展开定理直接按第一行展a 2b 2 0 原式=a 1 b 3 a 3 0 -b 〔 0 0 a 40 0 b 4 a 2 b 3 0 b 2 a 3 0 a 2 =a 〔a 4 b 3 b 2 a 3 - bma 2b 2b 3 a 3 题型1.2利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式 例 1 （1988 年，1）设 4 阶矩阵 A=（a,「2,r 3,r 4 ）B =伊，「2,「3,「4）,其中 a,B,r 2,r 3,r 4均为四维歹0向量，且已知行列式|A=4, 答案：40 A + B=[a +、2?2,2?3,2*],于是仕+目= =8。

戏,匕,丫3尸4详解因为 =8(|「，2, 3, 4 评注1应当注意矩阵运算与行列式运算的差异, 评注2作为解题技巧，本题也可令A = 一4 〔0 0 _0 1 0 0 足题设条件，丁是同样可得到正确答案，即 I T ：, 2, 3, 4。

+0,2夺4| |) =8(| A + B|) = 40 般来说 #|A+|B 0 0 1 0 01 0 0 1 一1 I 。

0 -0 0 1 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 ，则A,B 满 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 00 2=40例2 （2005年，1）设«1«2«3均为三维列向量，记矩阵 1,・ 2, A = (%,C (2,C (3 ), B =(% +a 2 +0(3,% 十夕2 + 40(3,0(1 十四2+ 弘3),如果 A =1 ,一2 =a21、：1 ■ 322上2, a 2n 、：n , ：m =a m1：1 ' a m1： 2’a mn 「n ，A +B 彳=.答案：3 详解： A + B 「=A （B+A 」）B [ = |A|A 4 + B ||B"1=3题型1.3利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式例1 （1995年，1）设A 是n 阶矩阵，满足AA 「= E （E 是n 阶单位矩阵,A 是A 的转置矩阵），A <0 ,求A + E分析：已知矩阵等式 AA 「=E 求抽象矩阵A + E 的行列式，自然想到要利用此等那么B =答案：2 分析 即可 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算 详解 B =(：• 1 r 2 y 3, ； 1 • 2； 2- 4 3, 1 3 2 ' 9-3) 1 1 1 1 2 3 1 4 9_ 由题设，有 / 、（：1,： 2,： 3）丁是有B = A • =1 2 =2 详解 用行列式性质对列向量组化简得 B = ：、•「2 •「3,；1 2- 2 4「3,；1 3： 2 9 3 =E +c （2 +c （3,a 2 03,2^3 =2%,叫华 1本题相当丁矩阵B 的列向量组可由矩阵 股地，若 〜+为+幺户2+83*2+女=2评注 将其转化为用矩阵乘积形式表示。

1.3 第一章 行列式 第三节 行列式的主要性质

1.3 第一章 行列式 第三节 行列式的主要性质

r4
5 4
r3
1 0 0
3 2 0
1 1 8
2 1 10
40
r4 8r2 0 0 10 15
00 0
5 2
（化三角形法）
例2、计算n阶行列式
a b b b
例例例1例1、、
b a b b D b b a b
b b b a
解:将第2、3、……、n列都加到第一列
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
1 5 3 3
解:
c1 c2
D
1 1 0
3 1 2 r2 r1 1 3 1 2
5 2
3 1
4 1
r4 5r1
0 0
8 2
4 1
6 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2 r2r3 0 2 1 1
0 8 4 6 0 16 2 7
13
r2 r3
0
2
0 0 r3 4r2
1 1 8
2 1 10
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
特别：若行列式中某一行（列）的所有元素全为零时，行列式的值为零.
推论2：行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式值等于零.
即：
a11 a12 ... a1n
... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain D ... ... ... ... 0
第三节 行列式的主要性质
★对称性 ★换行（列）变换变号性 ★单行（列）数乘性 ★单行（列）可加性 ★倍法变换不变性
性质1：一个行列式和它的转置行列式相等.（对称性）

线性代数第1章第4节行列式按行展开

线性代数第1章第4节行列式按行展开
a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij

0

0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j

a n , j 1
i j

ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann

厦门理工学院线性代数第一章行列式参考答案

厦门理工学院线性代数第一章行列式参考答案

第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题一．选择题1．若行列式x52231521 = 0，则=x [ C ]（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组ôóôòñ=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是根的个数是 [ C ]（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有”的有 [ AD ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负；，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正；，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题二、填空题 1．行列式1221--k k 0¹的充分必要条件是的充分必要条件是3,1k k ¹¹- 2．排列36715284的逆序数是的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为应取的符号为 负 。

第1章行列式

第1章行列式

a11 # # an1
a12 # # an 2
"
a1n # # ann
a11 # # an1
a12 " a1n # # b2 " # # an 2 " ann
a11 # # an1
a12 " a1n # # c2 " cn # # an 2 " ann
b1 + c1 b2 + c2 " bn + cn = b1 "
§2 排列
定义 2.1 由 1, 2,..., n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列(permutation). Example. 41253,12345, 65412, 22314 Remark. n 级排列共有 n ! 个. 定义 2.2 一个排列中如果一个大数排在一个小数前面， 则称这两个数构成一个逆序； 一 个排列中逆序的总数称为逆序数. 记排列 j1 j2 " jn 的逆序数为 τ ( j1 j2 " jn ) . 逆序数为奇 数的排列称为奇排列，为偶数的排列称为偶排列. 例 1 排列 43251 的逆序数 τ (43251) 例 2 计算 τ (123" n),τ (n(n − 1)" 21) Remark. 123" n 称为自然排列. 将某两个数码 j p , jq 的位置互换， 其余数码的位 定义 2.3 在一个 n 级排列 j1 j2 " jn 中， 置不变，则这样的一个变换称为对换(transposition). 定理 2.1 对换改变排列的奇偶性. 推论 2.1 在全部的 n ! 个 n 级排列中，奇偶排列各半. Problem. 考查三阶行列式的定义中关于排列的问题.

09级第1章行列式n阶行列式


证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
跳转到第一页
1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
跳转到第一页
*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答


(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，

第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质

第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。

特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。

2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。

第一章行列式概念、定理辨析

行列式概念、定理辨析判断下列命题的真假，并说明理由。

此处假定矩阵皆为方阵。

（1） 若2阶方阵A 的行列式非零，则行列式两列成比例。

【答案】：假命题 。

【提示】：例如122034=-≠但它的两列不成比例。

（2） 若3阶方阵A 的两行相同，则det A=0。

【答案】：真命题。

【提示】：由行列式的性质：行列式中有两行对应相等则行列式的值为零。

（3） 若A 是3阶方阵，则det 5A=5det A.。

【答案】：假命题 。

【提示】：由行列式的性质有 det5A=53detA 。

（4） 若A 和B 是n 阶方阵。

且det A=2,det B=3,则det (A+B)=5。

【答案】：假命题。

【提示】：例如()12112222,det 1214142828A B A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5） 若A 是n 阶方阵，且det A=2，则det A 3=6.【答案】：假命题 。

【提示】：()333det det 28.A A === （6） 若交换A 中两行得B ，则det A=det B 。

【答案】：假命题 。

【提示】：由行列式的性质有det det A B =-（7） 若A 的第3行乘5得到B ，则det B=5det A 。

【答案】：真命题 。

【提示】：由行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.（8） 若将其余行的线性组合加到某一行上得到B ，则det A=det B 。

【答案】：真命题 。

【提示】：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.（9） 任意包含n 个变量，n 个方程的线性方程组都用克莱姆法则求解。

【答案】：假命题 。

【提示】：n 个变量，n 个方程的线性方程组若系数行列式不为零才能用克莱姆法则求解.（10） 若2,,det[,]10,u v R u v ∈=则坐标系中以0,,u v 为顶点的三角形的面积是10。

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可以做
所以
故，方程组(1.4)的解是惟一的。
证明完毕。
例1用克拉默法则解线性方程组
解该方程组的系数行列式为
因为 ，所以该方程组有惟一解。
又由于
所以
， ， ，
克拉默法则给出了线性方程组的解与其系数、常数项之间的重要关系。但它只适用于方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。
当线性方程组(1.4)的常数项全为零时，有
4．x1=0，x2=1，x3=2
5．(1) (2)
6．当 时， ，此时方程组有非零解。且非零解为
例2计算行列式
解通过观察发现行列式的第2行恰为第1行与第3行之和，所以
1
1.3.1
定义1.8在n阶行列式中，划去元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置不变构成的行列式称为 的余子式，记作 。
在 前面冠以符号 后，称为 的代数余子式，记作 。
即
例1设
求出元素 ， 的余子式和代数余子式。
解元素 的余子式和代数余子式分别为
称为三阶行列式，它代表
这一算式，即
(1.3)
它由三行三列的32个元素组成。其中从左上角到右下角这条对角线称为主对角线，从右上角到左下角这条对角线称为次对角线(或副对角线)。
由此可以看出，对于二阶行列式的值，恰好为主对角线上两元素之积减去次对角线上两元素之积。
三阶行列式如图1.1所示。
图1.1 三阶行列式
由推论1与性质2可得：
推论3如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。
性质4如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分成两个行列式之和。而且这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样。
即
性质5如果以数k乘以行列式中的某一行(列)的所有元素然后加到另一行(列)的对应元素上去，所得行列式的值不变。
即
说明今后在进行行列式计算时，为了简明的表达解题过程，也为了便于检查，我们约定，用
(1) 表示第 行。
(2) 表示第 列。
(3) 表示将第 行(列)乘以k加到第 行(列)上去。
(4) 表示将第 行(列)与第 行(列)交换位置。
例1计算行列式
解通过观察发现行列式的第2列与第3列对应元素成比例，由性质3的推论3可知
例2讨论下列方程组解的情况
解因为
所以，当 时， ，此时方程组有非零解；当 时， ，此时方程组有惟一的零解。
1.5
1．二阶、三阶行列式的定义及其计算
二阶行列式：
三阶行列式：
学习中要掌握对角线算法，进行二阶、三阶行列式的运算。
2．n阶行列式的定义
称为n阶行列式，它是由n行n列的n2个元素组成，用字母 表示该行列式，则
证明(1)解的存在性
首先，以行列式 为基础构造一个新的n+1阶行列式
显然， ，将 按第一行展开，可得
所以有
即
(i=1，2，…，n)
因此，方程组(1.4)至少存在一组解：
， ，…，
(2)解的惟一性
假设(e1，e2，…，en)也是方程组(1.4)的一组解，那么
(i=1，2，…，n)
为了证明
(j=1，2，…，n)
每条实线上的三个元素之积前加正号，每条虚线上的三个元素之积前加负号，最后各项相加就是三阶行列式的值。
这种计算方法称为对角线法。
例1计算行列式：
(1) (2)
解(1) =
(2)
1.1.2
从三阶行列式(1.3)的形式可以看出该式右端各项的行标均为1，2，3，而列标的情况恰为1，2，3三个数的各种排列情况，有 个。另一方面，每一乘积项前面都带有一定的符号，而这符号又是由什么所决定的呢？为解决这一问题首先引入排列与逆序数的概念。
元素 的余子式和代数余子式分别为
定理1.1拉普拉斯(Pierre-simon Laplace，法国，1749~1827)展开定理
n阶行列式 等于其任意一行(列)中的各元素与其代数余子式的乘积之和。即
(i=1，2，…，n)
或
(j=1，2，…，n)
(证明略)。
这个定理称为拉普拉斯定理，利用此定理可以进行降阶运算。但在计算行列式时，直接利用此定理进行行列式展开并不一定能简化运算，而当行列式中某一行或某一列中含有较多零时，运用此定理将会非常简便。
如：4213中，4排在2的左边，因而构成一个逆序，同样4与1；4与3；2与1也都构成逆序，于是4213的逆序数为4。排列j1j2…jn的逆序数记为
定义1.5逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
如：4213是一个偶排列，321是一个奇排列。
下面分析一下每个乘积项所带符号与该乘积项元素的列标排列情况的关系，如表1.1所示。
当 时，有
(1.2)
现在来分析一下这两个结果的分子与分母，分母 正好是原方程组中两未知量的系数的乘积之差，即①式中第一个未知量的系数与②式中第二个未知量的系数之积减去①式中第二个未知量的系数与②式中第一个未知量的系数之积。写成数表的形式，即为
由此，引入行列式的概念。
定义1.1符号
称为二阶行列式，它代表 这个算式，即
推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。
推论2如果行列式中有一行(列)全为零，那么该行列式等于零。
推论3如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。
性质4如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分成两个行列式之和。而且这两个行列式除这一行(列)以外全与原行列式的对应元素一样。
定义1.7设有n阶行列式
将 的第1，2，…，n行依次变为第1，2，…，n列，得到的新行列式称为 的转置行列式，记为 ，即
显然 。
性质1行列式经转置以后其值不变，即 。
此性质说明在行列式中行与列具有相同的地位，凡是有关行的性质，对于列也同样成立。
性质2交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式改变符号。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
3．证明下列等式：
(1) (2)
4．求解下列方程：
5．求解下列线性方程组：
(1) (2)
6．当 为何值时，齐次线性方程组
有非零解？
1.7
1．(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
2．(1) (2) (3) (4)
(5) (提示：按第一列展开)(6)
3．证明略。
例2求下列行列式的值：
(1) (2)
解
(1)
=5×1×1×1×1=5
(2)
=
例3解方程
解因为
所以
方程的解为
x1，2=0，x3=2，x4=-2
1
我们已经知道二元线性方程组的解与行列式有着密切相关的联系，本节主要介绍n元线性方程组的解的公式，这是行列式理论的一个非常重要的应用。
设含有n个未知量，n个方程的线性方程组为
5．了解克拉默法则，了解线性方程组解的情况及其判定。
注意运用克拉默法则时有以下两个前提条件：
(1)方程个数与未知量个数相等。
(2)系数行列式不等于零。
当一个线性方程组满足这两个条件时，它的解存在且是惟一的。
1．用对角线算法计算下列行列式：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2．计算下列行列式：
定义1.3由n个数字1，2，3，…，n所排成的任一有序数组，称为一个n级排列。
如：4213是一个4级排列，321是一个三级排列。
常用j1j2…jn表示一个n级排列，其中j1是该排列的第1个数，jn是该排列的第n个数。由排列知识可知，n级排列的总数为n!个。
定义1.4在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为该排列的逆序数。
表
乘 积 项
列标所成排列
排列的奇偶性
乘积项前的符号
符号与逆序数的关系
123
0
偶
＋
( 1)0
231
2
偶
＋
( 1)2
312
2
偶
＋
( 1)2
321
3
奇
－
( 1)3
213
1
奇
－
( 1)1
132
1
奇
－
( 1)1
从此表中可以看出，乘积项 前的符号与列标 排列有关，即 前的符号为 。
因此三阶行列式(1.3)可以写成
即上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积。
与此相类似，下三角形行列式(此类型的行列式主对角线上侧的元素全为零)
作为特例，可得对角形行列式
n阶行列式的计算是一个重要的问题，当n较大时，n！是一个相当大的数，直接利用定义来计算行列式几乎是不可能的。本节将继续讨论行列式的性质，利用其性质来简化行列式的计算。
由于行列式中很多元素为零，所以展开式中有很多项为零。显然，如果 ，则 ，从而相应乘积项为零，因此只须考虑 对应的项，同理可知，也只有 ， ， 时所对应项才不为0，故行列式中不为零的项只有一项。
即
＝
例3计算上三角形行列式(此类型的行列式主对角线下侧的元素全为零)
解从1至n行依次取a11，a12，…，ann做成连乘积 ，且此项 为正。其余的所有项中每一项至少含有一个零项，故乘积均为零。所以
推论如果行列式中有两行(列)的对应元素完全相同，那么该行列式等于零。
如
性质3把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k乘以该行列式。
即
由性பைடு நூலகம்3可得以下推论：
推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。
当性质3中的 ＝0时，就有