北京市丰台区2015年高三一模数学理试题[1]

北京丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{20}A x x x =--≤，{1,2,3}B =，那么AB =(A) {1,0,1,2,3}-(B) {1,0,3}-(C) {1,2,3}(D) {1,2}2．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是(A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等(D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，7=b ，3=c ，6π=B ，那么a 等于(A) 1(B) 2 (C) 4(D) 1或45．已知函数log ()b y x a =-（b >0且b ≠1s i n y a b x =+的图象可能是(A)(B)(C)(D) 6．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种(B)218218A A 种(C)281031810A A A 种(D)2020A 种7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是(A)(B)(C)(D)8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) {1，3} (B) {0，1，3} (C) {0，1，3，4} (D) {0，1，2，3，4}第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别是A ，B （如图所示），则复数12z z 的值是 ． 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 1=2，a 3+a 5=22，那么S 3等于 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．侧视图俯视图12．若变量x，y满足条件210,0,,x yx yy k+-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩且z x y=+的最大值是10，则k的值是．13．过点)M y作圆O：221x y+=的切线，切点为N，如果0=0y，那么切线的斜率是；如果6OMNπ∠≥，那么y的取值范围是．14．设函数()y f x=的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x D∈，都有()()f x T T f x+=⋅，则称函数()y f x=是“似周期函数”，非零常数T为函数()y f x=的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x=的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数()f x x=是“似周期函数”；③函数-()2xf x=是“似周期函数”；④如果函数()cosf x xω=是“似周期函数”，那么“,k kωπ=∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有．．满足条件的命题序号）二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数2())cos()2cos()1444f x x x xπππ=+++--，x∈R．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值及相应的x 的值．16. （本小题共13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率） 17. （本小题共14分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA =AB =AC =2，BC =（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角M -AB -C 的大小；（Ⅲ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB的值．18.（本小题共13分）已知函数()e 1xf x x -=+-．（Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F，点1()2M 在椭圆C 上．D（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为||42||AB OP λ+（λ为实数），求λ的值．20.（本小题共13分）已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a λ-=+，(1λ≠，2n ≥且*)n ∈N ． （Ⅰ）求证：当0λ≠时，数列1{}1n a λ+-为等比数列； （Ⅱ）如果2λ=，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（Ⅲ）如果[]n a 表示不超过n a 的最大整数，当1λ=时，求数列{[(1)]}n a λ-的通项公式．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．15 11．2012．5 13．2±；011y -≤≤ 14． ①③④ 注：第13题第一个空2分；第二个空3分。

2015北京高考数学各区一模试题汇编--解析几何--目录Always a new start 项目及名称页码42长度与韦达定理的弦长与面积问题45多出一两条直线的中点与垂直问题50考察图像与方程的单动点消元问题53利用斜率与向量的定点与定值问题58以上四类常规问题的答案弦长与面积问题19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.中点与垂直问题（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F-，离心率为3．过焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于,A B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于,M N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF为矩形时，求直线l的方程．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.单动点消元问题已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>离心率2e=，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．定点与定值问题已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M（1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设点F为椭圆22221(0)x yE a ba b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，已知椭圆E的离心率为1 2 .（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记ABP∆三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值.2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF=+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大. ............... ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN 的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN 面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为(2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PFPF =+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=，由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C 的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以4k =±, ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=， 解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥． 整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以00y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当0y =12MF F ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k=．所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k=-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k +==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t ty x t =+=+，26(2)23N N t t y x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）．设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=， 即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。

高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（ ）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（ ）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（ ）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（ ）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（ ）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ）A. B.1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.【答案】A【解析】解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.【答案】A【解析】解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.【答案】6【解析】解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.【答案】12【解析】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．根据分步计数原理即可求出．本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.【答案】4【解析】解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.【答案】π -【解析】解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.【答案】2 1【解析】解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：P 0 1 2XE（X）=2×．（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．解：（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．【解析】（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），x≥1时，x-1≥0，令h（x）=e x-ax，则h′（x）=e x-a≥0，故h（x）在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=e-a≥0，故x≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（1，+∞）递增，x＜1时，x-1＜0，h′（x）=e x-a＞0，h（x）＞h（1）=e-a＞0，故x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，1）递减，故x=1是函数f（x）的极小值点．【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行【解析】（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.【答案】解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n ），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．【解析】（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥(B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)3434．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 236．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =(A)(B) (C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是(A) 30(B) 40 (C) 47.5(D) 52.5俯视图正视图8．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4(B)(C) (D) 8第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是 ．11．已知函数21()sin 22f x x x =+，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ． 12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，则PA =_____，AC = ．14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______； （ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A A B C D-中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ； （Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ，当cos θ=CM 的长．18.（本小题共13分）OMD 1C 1B 1A 1DCBAA 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,1log ,21n a n n n k a a n k --⎧==⎨-+=+⎩*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）写出3a ，4a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S 的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10．50x y +-= 11．π；1-12．212213．4； 14．{6}；32 注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 二、解答题：15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ． 因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD ∠==……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(91113202437)196+++++=， 由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时； B 班样本数据的平均值为1(111221252736)226+++++=， 由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分 （Ⅱ）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是13， 所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为12124()()339P C =⨯=． ……………………5分 （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．252)0(26262324===C C C C P ξ， 7526)1(2626131324231214=+==C C C C C C C C P ξ， 7531)2(26261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ， 7511)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ， 751)4(26262322===C C C C P ξ． ξ的分布列是：2263111150123425757575753E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面 O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分 （Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．B设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-． 所以08081=++-=⋅．所以1AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．又因为cos 25θ=， 所以2cos ,25m n<>=，即125m nn m⋅==解得3h =或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为110a =，所以110222a a ==，1032221log 1log 29a a =-+=-+=，942512a ==． ……………………3分（Ⅱ）当n 为奇数时，221221log 1log 21n a n n n a a a ---=-+=-+=-，即21n n a a --=-．所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列． 所以当n 为奇数时，1121()(1)22n n na a --=+⋅-=． 当n 为偶数时，121(1)1122222n n n n a a ----===，所以 112*2,2,(N )21,2 1.2nn n k a k n n k -⎧=⎪=∈⎨-⎪=-⎩ ……………………10分 （Ⅲ）因为偶数项11220n n a -=>，奇数项212n na -=为递减数列， 所以n S 取最大值时n 为偶数． 令2210k k a a -+≥(*N k ∈)， 即112121202kk --++≥． 所以11211k k -≥-．得11k ≤．所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，所以1c =． 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b =2a ．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，所以PTS STN PST ∠=∠=∠． 又因为S 为PM 的中点，所以12PT PS PM ==．0142x =-．因为点P 在椭圆C 上，所以2203(1)4x y =-，代入上式可得 202(1)(1)0x t t -+-=．因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ， 所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立． 所以21010t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =． 所以存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，此时定点T 的坐标为(1,0)． ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．因为ln 1()ax f x x +=， 所以2ln ()axf x x -'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当 1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1x a=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分 由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-，……11ln1k k k k++<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 又因为1lnln 22k k +<， 所以当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2015年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数7+i3+4i对应的点的坐标为（）A (1, −1)B (−1, 1)C (1725,−1) D (175,−1)2. 在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A −2B 1或−2C 1D 1或23. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为(2, 0)，则双曲线C的方程为()A x22−y26=1 B x26−y22=1 C x2−y23=1 D x23−y2=14. 当n＝5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A 7B 10C 11D 165. 在极坐标系中，曲线ρ2−6ρcosθ−2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A √3B 2√3C 2√15D 46. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A 3√2B 3√3C 4D 57. 将函数y=cos(12x−π6)图象向左平移π3个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A y=cos(x+π6) B y=cos14x C y＝cosx D y=cos(14x−π3)8. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90∘，AB＝AC＝4，那么O，A两点间距离的（）A 最大值是4√2，最小值是4B 最大值是8，最小值是4C 最大值是4√2，最小值是2 D 最大值是8，最小值是2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. ∫π(x+cosx)dx＝________．10. 已知二项式(x+2x)n的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝________，展开式中的常数项是________．11. 若变量x，y满足约束条件{y−4≤0x+y−4≤0x−y≤0则z＝2x+y的最大值是________．12. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2−2x，如果函数g(x)＝f(x)−m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．13. 如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB＝8，BC＝1，则CD＝________；AD＝________．14. 已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d(P, A)．如果集合A＝{(x, y)|x+y＝1(0≤x≤1)}，点P的坐标为(2, 0)，那么d(P, A)＝________；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D＝{P|0<d(P, A)≤1}所表示的图形的面积为________．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数f(x)＝cos2ωx2+√3sinωx2cosωx2−12(ω>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．16. 甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A:80≤R<150，B:150≤R<250，C:R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310．(Ⅰ)求p ，q 的值；(Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率；(Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X ，求X 的分布列．17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA // BE ，AB ＝PA ＝4，BE ＝2．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAD ；(Ⅱ)求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB 的值；如果不存在，说明理由．18. 设函数f(x)＝e x −ax ，x ∈R ．(Ⅰ)当a ＝2时，求曲线f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：f(x)>0；(Ⅲ)当a >1时，求函数f(x)在[0, a]上的最大值． 19. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，右顶点A 是抛物线y 2＝8x 的焦点．直线l:y ＝k(x −1)与椭圆C 相交于P ，Q 两点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如果AM →=AP →+AQ →，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值． 20. 如果数列A:a 1，a 2，…，a m (m ∈Z ，且m ≥3)，满足：①a i ∈Z ，−m2≤a i ≤m 2(i ＝1, 2,…,m)；②a 1+a 2+...+a m ＝1，那么称数列A 为“Ω”数列．(Ⅰ)已知数列M:−2，1，3，−1；数列N:0，1，0，−1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；(Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；(Ⅲ)如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．2015年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. B3. C4. C5. B6. B7. C8. A9. π2210. 4,2411. 612. (−1, 0)13. 3,12√10514. 1,6+π15. （1）f(x)＝cos2ωx2+√3sinωx2cosωx2−12=1+cosωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6)．因为T=2π|ω|=π，ω>0，所以ω＝2．因为f(x)＝sin(2x+π6)，x∈R，所以−1≤sin(2x+π6)≤1．所以函数f(x)的最大值为1，最小值为−1．（2）令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−2π3≤2x≤2kπ+π3，k∈Z，所以kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．16. 所以甲、乙选择不同车型的概率是35．(Ⅲ)X 可能取值为7，8，9，10． P(X ＝7)=15×14=120，P(X ＝8)=15×34+25×14=14，P(X ＝9)=25×14+25×34=25； P(X ＝10)=25×34=310． 所以X 的分布列为：17. （1）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ． 因为PA // BE ，且PA ＝4，BE ＝2， 所以BE // AG 且BE ＝AG ，所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG // AB ，且EG ＝AB ．因为正方形ABCD ，所以CD // AB ，CD ＝AB ， 所以EG // CD ，且EG ＝CD ．所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE // DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE // 平面PAD ．（2）如图建立空间坐标系，则B(4, 0, 0)，C(4, 4, 0)， E(4, 0, 2)，P(0, 0, 4)，D(0, 4, 0)，所以PC →=(4, 4, −4)，PE →=(4, 0, −2)，PD →=(0, 4, −4)． 设平面PCE 的一个法向量为m →=(x, y, z)， 所以{m →⋅PC →=0m →⋅PE →=0 ，可得{x +y −z =02x −z =0 ． 令x ＝1，则{y =1x=1z =2，所以m →=(1, 1, 2)．设PD 与平面PCE 所成角为α， 则sinα＝|cos <m →，PD →>|＝|m →⋅PD →|PD →||m →|=√6×4√2=√36．． 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是√36．(Ⅲ)依题意，可设F(a, 0, 0)，则FE →=(4−a,0,2)，DE →=(4, −4, 2)． 设平面DEF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅DE →=0n →⋅FE →=0⇒{2x −2y +z =0(4−a)x +2z =0 ． 令x ＝2，则{y =a2x=2z =a −4 ，所以n →=(2, a2, a −4)． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以m →⋅n →=0，即2+a2+2a −8＝0，所以a =125<4，点F(125,0,0)．所以AFAB=35．18. （1）当a ＝2时，f(x)＝e x −2x ，f(0)＝1， f′(x)＝e x −2，即有f(x)在点（0, f(0)）处的切线斜率为f′(0)＝e 0−2＝−1， 即有f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −1＝−(x −0)， 即为x +y −1＝0；（2）证明：f′(x)＝e x −2，令f′(x)＝0，解得x ＝ln2，当x <ln2时，f′(x)<0，f(x)递减，当x >n2时，f′(x)>0，f(x)递增．即有x ＝ln2处f(x)取得极小值，也为最小值，且为e ln2−2ln2＝2−2ln2>0， 即有f(x)>0；(Ⅲ)由于f(x)＝e x −ax ，f′(x)＝e x −a ， 令f′(x)＝0，解得x ＝lna >0，当a >1，令M(a)＝a −lna ，M′(a)＝1−1a =a−1a>0，M(a)在(1, +∞)递增，又M(1)＝1−ln1＝1，M(a)＝a −lna >0， 即有a >1，a >lna ，当0<x <lna 时，f′(x)<0，f(x)递减， lna <x <a 时，f′(x)>0，f(x)递增． 即有x ＝lna 处f(x)取得最小值； f(0)＝e 0−0＝1，f(a)＝e a −a 2， 令ℎ(a)＝f(a)−f(0)＝e a −a 2−1， a >1时，ℎ′(a)＝e a −2a >0，ℎ(1)＝e −1−1＝e −2>0，ℎ(a)＝e a −a 2−1>0， 当a >1时，f(a)>f(0)，则有当a >1时，f(x)在[0, a]上的最大值为f(a)＝e a −a 2． 19. （1）抛物线y 2＝8x ，所以焦点坐标为(2, 0)，即A(2, 0)， 所以a ＝2． 又因为e =ca =√32，所以c =√3．所以b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 因为AM →=AP →+AQ →，所以AM →=(x 1+x 2−4, y 1+y 2)，所以M(x 1+x 2−2, y 1+y 2)．由直线l:y ＝k(x −1)与椭圆C 联立，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4＝0， 得x 1+x 2−2=−24k 2+1，y 1+y 2=−2k4k 2+1， 即M(−24k 2+1, −2k4k 2+1)．设N(0, y 3)，则MN 中点坐标为(−14k 2+1, −k4k 2+1+y 32)，因为M ，N 关于直线l 对称， 所以MN 的中点在直线l 上， 所以−k4k 2+1+y 32=k(−14k 2+1−1)，解得y 3＝−2k ，即N(0, −2k)．由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以−2k4k2+1−(−2k)−2 4k2+1−0⋅k=−1，解得k＝±√22．20. （本小题共1（1）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．（2）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+...+a m＝1得a1+am=2m∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．(Ⅲ)将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和(n∈Z且1≤n≤m)，任取大于0的一项作为第一项，则满足−m2+1≤S1≤m2，假设当2≤n≤m时，−m2+1≤S n−1≤m2若S n−1＝0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证−m2+1≤S n≤m2，若S n−1≠0，则剩下的项必有0或与S n−1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n−1异号的一项作为第n项，可以保证−m2+1≤S n≤m2．如果按上述排列后存在S n＝0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[−m2+1, m2]内的非0整数，因为区间[−m2+1, m2]内的非0整数至多m−1个，所以必存在S i＝S j(1≤i<j≤m)，那么从第i+1项到第j项之和为S i−S j＝0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．。

2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大................ ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k+=+． 因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.所以 2a =，b = ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=,所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k ++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以k = ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=，解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥．整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以003y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当03y =时，△12MF F 面积有最大值3． ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a a ===，得224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k =-+-++-． 21(1)(2)m m k =---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k+==-+，23134E E y kx k =+=+∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分2015房山一模理科19题 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t t y x t =+=+，26(2)23N N t ty x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y += 所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=．所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--最新整理. 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++ 2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。

丰台区2015年度初三毕业及统一练习数学试卷2015.5 学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值为2的数对应的点是A．点A与点C B．点A与点DC．点B与点C D．点B与点D2．南水北调工程是迄今为止世界上规模最大的调水工程. 2015年3月25日，记者从北京市南水北调办获悉，北京自来水厂每日利用南水约1 300 000立方米.将1 300 000用科学记数法表示应为A．70.1310⨯B．71.310⨯C．61.310⨯D．51310⨯3. 下面平面图形中能围成三棱柱的是A B C D4．如图，AB∥CD，AB与EC交于点F，如果EA EF=，110C∠=︒，那么E∠等于A．30︒B．40︒C．70︒D．110︒5. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是A．23xx-⎧⎨⎩≥＞B．23xx-⎧⎨⎩＜≤C．23xx-⎧⎨⎩＜≥D．23xx-⎧⎨⎩＞≤6. 关于x的一元二次方程2210mx x--=有两个实数根，那么字母m的取值范围是A．1m≥-B．1m＞-C．10m m≠≥-且D．10m m≠＞-且7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频DCBA021-2-1EACBDF频率0.251331224率，绘制了下边的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是 A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别， 从中随机地取出一个球是黄球C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 8. 代数式245x x -+的最小值是A ．-1B ．1C ．2D ．5 9. 为增强居民的节水意识，某市自2014年实施“阶梯水价”. 按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y （元）与用水量x （立方米）的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭2014年全年上缴水费1180元，那么该家庭2014年用水的总量是 A ．240立方米B ．236立方米C ．220立方米D ．200立方米10．如图，一根长为5米的竹竿AB 斜立于墙MN 的右侧，底端B 与墙角N 的距离为3米，当竹竿顶端A 下滑x 米时，底端B 便随着向右滑行y 米，反映y 与x 变化关系的大致图象是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：2mx 2－4mx ＋2m = ．12. 某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：一周在校的体育锻炼时间（小时）5 6 7 8 人数2562那么这15名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是 小时． 13．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，如果∠AOB ＝80°，那么∠ACB = °．14．请写出一个图象经过点（11-，），并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而 x （立方米）y （元）14609002601800NM BAOC增大的函数的表达式： ．15．如图，O 为跷跷板AB 的中点，支柱OC 与地面MN 垂直，垂足为点C ，且OC =50cm ，当跷跷板的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度为 cm.16．右图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口 A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB ，BC ，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系是 ．(用“＞”、“＜”或“=”连接)三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF ＝CE ，AC ＝DF ，且AC ∥DF . 求证：∠B =∠E .18. 计算：0-112sin60(3.14π)12()2+--+．19．解分式方程： 112x x x -=-.20．如果21m m -=，求代数式21)(1)(1)2015m m m -++-+（的值．21．如图，一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （2，m ）．xAyOBCFDECB ANMBCAO555035302030CB Ax 2x 1x 3（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，如果点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于6，请直接写出点P的坐标．22．列方程或方程组解应用题：中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成.新馆的展厅总面积与原两馆大楼的总建筑面积相同，成为目前世界上最大的博物馆.已知原两馆大楼的总建筑面积比原两馆大楼的展览面积的3倍少0.4万平方米，新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大4.2万平方米，求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，联结DB，BE，EF，FD.（1）求证：四边形DBEF是矩形；（2）如果∠A＝60 ，菱形ABCD的面积为38，求DF的长．24．根据某市统计局提供的2010～2014年该市地铁运营的相关数据，绘制的统计图表如下：2010～2014年某市地铁运营的日均客流量统计表2014年某市居民乘地铁出行距离情况统计图F EDCBA根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出“2014年某市居民乘地铁出行距离情况统计图”中m 的值；（2）从2010年到2014年，该市地铁的日均客流量每年的增长率近似相等，估算2015年该市地铁运营的日均客流量约为____________万人次；（3）自2015年起，该市地铁运营实行了新票价：乘地铁5公里内(含5公里)收费2元，乘地铁5～15公里（含15公里）收费3元，乘地铁15公里以上收费4元.如果2015年该市居民乘地铁出行距离情况与2014年基本持平，估算2015年该市地铁运营平均每日票款收入约为____________万元.25．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ，联结PD .（1）判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）联结CO 并延长交⊙O 于点F ，联结FP 交CD 于点G ，如果CF =10，4cos 5APC ∠=，求EG 的长.26．阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍 的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ,b ， 斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形.a b c cac bac b GO PABCD E F由图1可以得到22142a b ab c +=⨯+（）， 整理，得22222a ab b ab c ++=+． 所以222a b c +=．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ， 整理，得 ， 所以 .五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.28．在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G. （1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE 的值； 图1图24444123123321213xOy（2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）29. 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为 ； （2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是 ； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值.丰台区2015年度初三毕业及统一练习参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BCA B DC DB CA二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11 12 13 1415 16 答案22(1)m x -7401y x=- ， 答案不唯一100312x x x >>三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ．……1分21．（1）一次函数122y x =+的图象经过点A （2，m ）， 图1图2图34444123123321213xO y∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ．……2分 ∵AC ＝DF ，∴ △ACB ≌△DFE ．……4分 ∴∠B =∠E ．……5分18．解：原式=3212322⨯+-+…4分 =33-....5分19．解：去分母得：2(2) 2.x x x x --=-…1分222 2.x x x x -+=-……2分2.x =-…….3分经检验，2x =-是原方程的解.…….4分所以，原方程的解是 2.x =-…….5分20. 解：原式=222112015m m m -++-+…1分=2222015m m -+……2分 =22()2015m m -+…….3分∵21m m -=， ∴原式=2017. …….5分∴3m =．∴点A 的坐标为(2，3). ………1分反比例函数ky x=的图象经过点A (2，3)， ∴6k =………2分∴反比例函数的表达式为6.y x=……3分（2）(3,2)(3,2).P P --，………………5分22. 解：设新馆的展厅总面积为x 万平方米，原两馆大楼的展览面积为y 万平方米，根据题意列方程得：…1分4.2,30.4.x y x y =+=-⎧⎨⎩………3分 解得： 6.5,2.3.x y ==⎧⎨⎩ ………4分答：新馆的展厅总面积为6.5万平方米，原两馆大楼的展览面积为2.3万平方米. ………5分 23．（1）证明： ∵CE ＝CD ，CF ＝CB ，∴四边形DBEF 是平行四边形．.…….1分 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ．.…….2分 ∴CE ＝CF ，∴BF ＝DE ，∴四边形DBEF 是矩形．.…….3分23.（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，∴∠DGC ＝90°． ∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60︒，∴∠BCD ＝60°． 在Rt △CDG 中，cos ∠BCD ＝12CG CD =， ∴设CG ＝x ，则CD ＝BC ＝2x ，DG ＝3x . ∵菱形ABCD 的面积为38，∴83BC DG ⋅=.∴2383x x ⋅=，得2x =±（舍负），∴DG ＝23．.……. 4分 ∵CF ＝CD ，∠BCD ＝60°，∴∠DFC ＝30°. ∴DF ＝2DG ＝43．.…….5分24．（1）15；…1分（2）483；…2分（3）1593.9．…2分25．（1）PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 1分 证明：联结OD∵在⊙O 中，OD OC =，AB CD ⊥于点E ， ∴12∠=∠． 又∵OP OP =，∴OCP ∆≌ODP ∆． ∴OCP ODP ∠=∠．又∵PC 切⊙O 于点C ，OC 为⊙O 半径， ∴OC PC ⊥．.……. 2分∴090OCP ∠=．∴090ODP ∠=．∴OD PD ⊥于点D ． ∴PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 3分 （2）作FM AB ⊥于点M ．∵090OCP ∠=，CE OP ⊥于点E ，∴03490∠+∠=,0490APC ∠+∠=．∴3APC ∠=∠． ∵4cos 5APC ∠=，∴Rt △OCE 中，4cos 35CE OC =∠=．∵10CF =，∴152OF OC CF ===．∴4CE =，3OE =．.……. 4分 又∵FM AB ⊥，AB CD ⊥，∴090FMO CEO ∠=∠=．ABCDEFG M3421FE D CBAPO G5BCAxO yD x =1y =2x -2y =2x 2-4x -2-13-2-4∵51∠=∠,OF OC =，∴OFM ∆≌OCE ∆．∴4FM CE ==,3OM OE ==． ∵在Rt △OCE 中，4cos 5PC OP APC =∠=，设4,5PC k OP k ==，∴3OC k =． ∴35k =,53k =．∴253OP =．∴163PE OP OE =-=,343PM OP OM =+=． 又∵090FMO GEP ∠=∠=，∴FM ∥GE ．∴PGE ∆∽PFM ∆．∴GE PE FM PM =，即1633443GE=．∴3217GE =．.……. 5分26.22142ab b a c ⨯+-=（），.…….3分 22222ab b ab a c +-+=，.……. 4分 222a b c +=．.……. 5分五、解答题27 . 解：（1）∵抛物线22y x mx n =++过点 A （-1，a ），B （3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分把A （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分11 / 1228.（1）①作图.……. 1分ADE ∆（或PDE ∆）.…….2分②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，.…….3分∴CPM CAB ∠=∠．∵∠CPE =12∠CAB ，∴∠CPE =12∠CPN ．∴∠CPE =∠FPN ．∵PF CG ⊥，∴∠PFC =∠PFN =90°．∵PF =PF ，∴PFC ∆≌PFN ∆．∴CF FN =．.…….4分 由①得：PME ∆≌CMN ∆．∴PE CN =．∴12CF CF PE CN ==．.…….5分 （2）1tan 2α．.…….7分29. （1）4；.…….2分（2）①直线21y x =+记为l ，过点M 作MH l ⊥，垂足为点H ，设l 与,x y 轴的交点分别为,E F ，则1(,0)(0,1)2E F -，．∴52EF =．.…….3分 ∵EOF MHE ∆∆∽∴MH ME OF EF =，即72152MH=．∴755MH =．∴点M 到直线21y x =+的距离为755．.…….4分 ②135a =±．.…….6分（3）3b =-或374b =．.…….8分GF EBC（P ）A DG F EC D A PBN MM 3—121H yOxEF y =2x +112 / 12。