第九章 电力网络稳态行为特性计算(4)

(0) 0.5 (0) 解得： x x1(0) x 2 0.5 0 0.5 0.5 (1) (0) (0) x x x 0 0.5 0.5 这样迭代下去直到满足 收敛要求。如 10 牛顿法的缺点： 每次迭代要求 J。但现在采用计算机， 这个问题 已经不存在了。
四 非线性代数方程的迭代计算
非线性方程的解法 经假设条件线性化后再计算
迭代法求解（数值解）
随着计算机的使用和发展，使数值迭代技 术有很大的发展，可以达到非常精确的结果。因 此本节及后几节主要讨论利用计算机计算潮流的 基本理论和方法。
我们按历史的发展介绍三种最常见的迭代 计算方法：雅可比迭代法、高斯－赛德尔法、牛 顿－拉夫逊法。


f1 x 1 f 2 x1 f n x1
f1 x2 f 2 x2 f n x2
f1 xn x1k 0 f 2 x k 0 2 xn x k 0 f n n xn k
f
(0) ' (0) (0) (0) ' (0) (0)
(0)
，上式是修正量
x 的线性方程式，称为修 正方程式。
由修正方程很容易求得 。但是由于修正方程 是略去了高次项的简化式，因而求得的修正量
是近似值。修正量与初始值x(0)之和不是真正 解，但它已向真正解逼近了一步。
(0)
x
(0)
x
即x(1)＝ x(0)＋ x(0)
为了便于理解牛顿法的基本概念，我们先从一维 非线性方程来阐明它的定义和推导过程，然后将其推广 到一般n维的情形。 设一维非线性方程为：f(x)=0 我们的任务是求得x，使其满足上述方程。 设其解的初值为x(0),这与真正的解之间肯定有误差。 若能找到这一差值 x(0)，并将其加到初值x(0)上，使其等 于真正的解。 x= x(0)+ x(0) x(0))=0。
x
(k )

k
函数f(x)在x(k)点的一阶导数就是x(k)点处曲线 f(x)切线的斜率。
f (x)

(0)
f (x )
(0)
(0)
x x x
( 2 ) (1)
x
(1)
xx
( 2) (0)
x
牛顿法的几何意义：选一初始值x(k)，在x(k)点作曲 线f(x)的切线与横坐标交于x(k＋1)，在x(k＋1)点再作 切线得到x(k＋2)，以次类推。
Pi jQi ei j f i Gij jBij ei j f i 0
n j 1
i 1,2, n
将实部与虚部分开写有 ： Pi ei Gij e j Bij f j f i Gij f j Bij e j 0
n j 1 n
是近似解 x(k)引起的误差。
' (k)
f x x
可看作
当 f x x 趋于0时， x(k)成为非线性方程的真 正解，此时迭代终止。
这就是一维非线性方程用牛顿法解的全过程。
下面用图形说明牛顿法的几何意义。
由修正方程可得： f
'
x
(k )
f
x tg
(k )
1
x1 , x2 x2 ,, xn xn
(0) (0) (0) ( 0)
(0)
0
f
n
x

(0) (0) ( 0)

( 0) ( 0) ( 0)
1
x1 , x2 x2 , , xn xn 0
对以上n个方程式在初值附近展 开成泰勒级数，并略 去由 x1 , x2 , , xn 所组成的二次项和更高 项
(0) (0) (0)
后，可得：
f1 x1 , x2 , xn

0
0
0

f1 f1 0 f1 0 0 0 x1 0 x2 0 xn 0 x2 xn x1 f 2 f 2 0 f 2 0 0 0 x1 0 x2 0 xn 0 x2 xn x1 f n f n 0 f n 0 0 0 x1 0 x2 0 xn 0 x2 xn x1
再以x(1)作为初始值，代入修正方程求得修正量 x(1)，然后再对初始值进行修正，即
x(2)＝ x(1)＋ x(1)
x(2)比x(1)更接近于真正解。这样继续下去直到第 k次迭代，这时修正方程式为
f
x f x x
(k) ' (k)
(k)
(k)
0
' (k) (k)
若x(k)是第k次迭代的近似解，


U i2 U i2 ei2 f i 2 0 i 1,2, n


设网络有n个节点，节点编号的划 分如下，即 1 2、 、m －－P Q节点，其中S为平衡节点 、 m 1 、n －－PV节点 、 则有功不平衡量方程有 1 )个，除S节点 (n 无功不平衡量方程有 －1 )个，P Q节点 (m 电压不平衡量方程有 m)个，P V节点 (n
(0)
， xn ，并对初值进行修正：
( 0)
x x x 再将 x 、 x x 、 x
(1) 1 (1) 1
(1) (1) 2
1
x1 x1
(0) (0)
(0) (0)
x2 x2 xn xn
(0) (1) (1)
(1) n
(0)
(1) 2
、 、 n 作为初值，代入修正方 x 程求得 、 、 xn ，然后对初值修正，这 样重
对n维变量的非线性方程， 设其初值为x1 ， 2 ， ， n ， x x 且令 x1 ， x2 ， ， xn 是其修正量，则有：
(0) (0) (0)
(0)
(0)
( 0)
f x f x
1 2
(0)
1 (0)
x1 , x2 x2 ,, xn xn 0
(0) (0) (0) (0) (0)
f 2 x1 , x2 , xn

0
0
0

f n x1 , x2 , xn

0
0
0
这是修正量 x1 ， ， xn 的一组线性方程组或线
( 0) ( 0)
性化了的方程组，与一 维方程一样，它也称为 牛顿法的 修正方程式。 对此线性方程可用高斯 消去法或三角分解法解 x1 ， 得


Pi Pi ei Gij e j Bij f j f i Gij f j Bij e j 0
n j 1


Qi Qi f i Gij e j Bij f j ei Gij f j Bij e j 0
n j 1
2(n 1 )个方程中有2(n 1 )个变量，因为平衡节点 电压 U s es j f s 给定，不必求，而其注 入功率事先不知道，从 而 不能写成相应的 Ps，Qs。 很明显，这2(n 1)个方程是关于节点电压U s es j f 的非线性方程。将它们 在初始点按泰勒级数展 开，并略去二 次项与高次项，可得修 正方程式：
则x一定能满足方程，即f(x)=f(x(0)+
下面将上式在x(0)附近展开成泰勒级数：
f
x
(0)
x
(0)
式中 f
'
x ， ，f x 分别是函数f ( x)在 x
(0) n (0)
x f x f x x f x 2! x(0) 0 f x
3 牛顿－拉夫逊法
牛顿－拉夫逊法是目前求解潮流方程最成功的 一种方法，它不仅在多数情况下没有发散的危险， 而且较前两种方法收敛得快，因而可以大大地节 约计算时间。
牛顿－拉夫逊法的实质是将非线性方程的求解过 程转化成相应线性方程的求解过程，即通常称为 逐次线性化过程。
非线性方程
逐次线性化

线性方程求解
－3
五 牛顿－拉夫逊法潮流计算
关于牛顿－拉夫逊法的一般概念，前节已详 细作了介绍。现在应用它来计算电力系统潮流， 只需把节点功率方程改变成为修正方程的形式， 即可进行迭代计算。
前述结点电压方程：
Y *U * 0 Pi jQi U i ij j

j 1
n
i 1,2,n

(0) ' ( 0) ( 0) ''
(0)
2
(0)
n
n
(0)
n!
(0)
处的一阶
导数， ，n阶导数。
下面就要进行近似，即线性化。 若x(0)与真正解较接近，则 x(0)很小，那么泰勒展开
式中 x(0)的二次项及高次项可略去不计，即
x f x x 0 上式中f x f x 均已知，求 x 、
给定功率减去由U i 求得的功率＝功率不平 衡量 我们的任务：找出 使功率不平衡量趋于零 U 。
i
1 直角坐标形成的修正方程式
Y *U * 0 Pi jQi U i ij j
j 1 n
i 1,2,n
令 代入
Ui ei j fi , Yij Gij jBij


Qi f i Gij e j Bij f j ei Gij f j Bij e j 0
j 1


上式Pi、Q i 给定（PQ节点），对PV节点U i 给定， 求ei jf i，写成 U i2 ei2 f i 2 0 潮流计算一般将方程写 成如下形式：