甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(理)专题训练：选择填空限时练(三)Word版含答案

甘肃省武威市某某区2014届高三数学下学期第一次诊断考试试题理 新人教B 版一．选择题:〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.〕1.假设非空集合A={x|2135a x a +≤≤-},B={x|3≤x ≤22},如此能使A ⊆B,成立的实数a 的集合是A.{a|6≤a ≤9} B ．{a|1≤a ≤9} C ．{a|a ≤9} D ．∅2.设1z i =+(i 是虚数单位),如此22z z+= A ．1i --B ．1i +C ．1i -D ．1i -+3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,6,2105==S S ,如此=++++2019181716a a a a a A ．54B ．48C ．32D ．164.：b a ,均为正数，241=+ba ，如此使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是 9.,2A ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(]1,0C ．(]9,∞-D ．(]8,∞-5．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为A ．9B ．10C ．45D ．55 6.假设()0210=+⎰dx mx x，如此实数的值为A ．31-B ．32- C ．1- D ．2- 7．假设x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－y －≤＋－≥如此x ＋2y 的最大值为A ．132B ．6C ．11D ．10 8．某几何体的三视图如下列图，如此它的侧面积为 A ．24 B ．242C ． 125 D ．1239、函数)sin()(ϕω+=x A x f 〔0,>ωA 〕的图象如右图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图象，可以将)(x f 的图象 A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移125π个单位长度C.向左平移12π个单位长度 D.向左平移125π个单位长度10．如下函数中，在(0,)2π上有零点的函数是A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =-D ．22()sin f x x x π=-11 ．假设抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,如此点P 的坐标为 A ．12(,)44±B ．12(,)84± C ．12(,)44D ．12(,)8412．双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F,假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,如此此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2]B ．(1,2)C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)第2卷(90分)二、填空题:〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分〕 13．在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20092007220092007S S -=,如此数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是__________｡14．点O 为ABC ∆的外心，且2,4==AB AC ,如此=•BC AO ____________． 15．圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=6,如此圆C 的方程为___________.16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．假设AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，如此球O 的外表积为____________．三、解答题：〔本大题共6小题，总分为70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.〕 17.(此题总分为12分)函数()R x x x x f ∈-+-=,cos 21)322cos()(2π． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；〔2〕ABC ∆的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，假设3(),1,22B f b =-=3,c = 且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 18．〔本小题总分为12分〕为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进展百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ) 设,x y 表示样本中两个学生的百米测试成绩，[)[],13,1417,18x y ∈求事件“2x y ->〞的概率；〔Ⅱ〕 根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用一样的达标标准,如此男女生达标情况如附表 ：附表:根据附表数据，请通过计算说明能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关〞？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.〔本小题共12分〕如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿的位置，使得AD C B '⊥． ⑴求证：AD AC '⊥；⑵假设，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．20．〔本小题总分为12分〕圆心为F 1的圆的方程为22(2)32x y ＋＋＝，F 2〔2，0〕，C 是圆F 1上的动点，F 2C 的垂直平分线交F 1C 于M ． 〔1〕求动点M 的轨迹方程；〔2〕设N 〔0，2〕，过点P 〔－1，－2〕作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．21. 〔本小题总分为12分〕函数()1ln f x a x x=+〔a 为参数〕 〔1〕假设1a =，求函数()f x 单调区间； 〔2〕当(]0,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分性别是否达标男女合计达标 24a = b =___ _____ 不达标 c =___ 12d = _____合计____________50n =DCBA NMCA C ′22．〔本小题总分为10分〕如图,AB 是⊙O 的直径,弦BD 、CA 的延长线相交于点E,EF 垂直BA 的延长线于点F. 求证:(1)DFA DEA ∠=∠;(2)AB 2=BE •BD-AE •AC.23.直线l 的参数方程为〔t 为参数〕，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值．24．〔本小题总分为10分〕设关于x 的不等式2log (|||4|)x x a +-> (1)当3a =时,解这个不等式;(2)假设不等式解集为R ,求a 的取值范围;某某区2014届高三年级第一次诊断考试数 学 试 卷〔理〕答案一、选择题 ABDAD BCCBD BC 二、填空题 13．1+n n 14.6 15.()18122=++y x 16. 16π………………6分∵0πC <<，∴π3C =或2π3。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 D解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.2．已知z1－i＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i答案 A解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．4．若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400答案 B解析∵{1b n}为“调和数列”，∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，b4＋b6＝20，b4·b6≤100.5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()A ．0B ．2 012C ．2 011D ．1答案 D解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C的一条渐近线，则C 的方程为 ( )A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝1 答案 A解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴ab＝2，① 4a 2－1b 2＝1；②解得a 2＝2，b 2＝1.选A.7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )答案 C解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.8． (2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种答案 D解析 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种， 所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是 ( )A.2B.2C ．2 2D ．1－2 答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1，所表示的平面区域D 的面积为2π，区域D 内曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为 S ＝ʃ5π4π4(sin x －cos x )d x ＝22，概率P ＝2π. 11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)答案 C解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π， 1)D ．(π，10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根， 需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －2－ 3解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝12.故sin α＝32，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概率是________． 答案2332解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×3242＝2332. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案 75% 71解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。

某某省某某市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(三)理(推荐时间：60分钟)1．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝(x －2)(x ＋a )x(x >0)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)x，f ′(1)＝－2， ∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝(x －2)2x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当－a <2，即－2<a <0时，∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；－a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；③当－a >2，即a <－2时，∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2.由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立，令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )＝x －2a x－2≥0， 即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意， 其X 围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝⎛⎭⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值X 围．解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，由题意，直线l 的斜率不可能为0，故可设直线l ：x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4， 由S ∈⎝⎛⎭⎫35，45，解得1<m 2<6，即m ∈(－6，－1)∪(1，6)．因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，所以y 0＝y 1＋y 22＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m 2. 故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝⎛⎭⎫－64，－14∪⎝⎛⎭⎫14，64. 3．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的的取值X 围．解 (1)∵f ′(x )＝a 1＋x＋2x －10， ∴f ′(3)＝a 4＋6－10＝0，故a ＝16. (2)由(1)，知f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ＝2(x －1)(x －3)1＋x. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间是[1,3]．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0.所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21.所以在f (x )的三个单调区间(－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)上，当且仅当f (3)<b <f (1)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，如图所示．因此，b 的取值X 围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1,0)，∴椭圆的一个焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又∵c a ＝22，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知A (0,1)．当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20 ＝12≠14，不合题意． 故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ，并代入椭圆方程，整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0，②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2， 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0， 2(4k 2－1)(m 2－1)1＋2k 2－16k 2m (m －1)1＋2k 2＋4(m －1)2＝0， 整理得(m －1)(m －3)＝0，又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0,3)．。

某某省某某市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(四)文(推荐时间：60分钟)1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值X 围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值X 围；若不是，请说明理由． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0. 解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是[－2，2]．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立．即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立． 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. ∴y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． ∴y <(1＋1)－11＋1＝32.∴a ≥32. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的，故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝12得c a ＝12，即a ＝2c ，∴b ＝3c . 由右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为d ＝217， x a ＋y b＝1化为一般式： bx ＋ay －ab ＝0得|bc －ab |a 2＋b 2＝217，解得a ＝2，b ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 斜率存在时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1，联立消去y 整理可得 (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0.由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即：(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217(为定值)． 当直线AB 斜率不存在时，可求出直线AB 方程为x ＝±2217. 则点O 到直线AB 的距离为2217(定值)． 3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶 点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，且AB ⊥AF 2，如图所示．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l ′与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值X 围；如果不存在，说明理由．解 (1)设B (x 0,0)，则F 2(c,0)，A (0，b )，由AB ⊥AF 2，可知△ABF 2是以点A 为直角顶点的直角三角形，由BF 1→＝F 1F 2→，可知F 1为BF 2的中点，且|BF 2|＝2|F 1F 2|＝4c .∴|AF 1|＝12|BF 2|＝2c ，而|AF 1|＝a ，故有a ＝2c . ∴椭圆的离心率e ＝12. (2)由(1)，知c a ＝12，得c ＝12a . 于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，B ⎝⎛⎭⎫－32a ，0， △ABF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝12|F 2B |＝a ， ∴⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (3)由(2)，知F 2(1,0)，l ′：y ＝k (x －1)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1.整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由于菱形的对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，即(x 2－x 1)[x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)]＝0.故k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，则k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件，知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，14.4．已知向量m ＝(e x ，ln x ＋k )，n ＝(1，f (x ))，m ∥n (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，F (x )＝x e x f ′(x )．(1)求k 的值及F (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )＝－x 2＋2ax (a 为正实数)，若对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，某某数a 的取值X 围．解 (1)由已知可得：f (x )＝ln x ＋k e x， ∴f ′(x )＝1x －ln x －k e x， 由已知，f ′(1)＝1－k e＝0，∴k ＝1， ∴F (x )＝x e x f ′(x )＝x ⎝⎛⎭⎫1x －ln x －1＝1－x ln x －x ，∴F ′(x )＝－ln x －2，由F ′(x )＝－ln x －2≥0⇒0<x ≤1e 2， 由F ′(x )＝－ln x －2≤0⇒x ≥1e 2. ∴F (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤0，1e 2，减区间为⎣⎡⎭⎫1e 2，＋∞. (2)∵对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，∴g (x )max <F (x )max .由(1)知，当x ＝1e 2时，F (x )取得最大值F ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1＋1e 2. 对于g (x )＝－x 2＋2ax ，其对称轴为x ＝a ，当0<a ≤1时，g (x )max ＝g (a )＝a 2，∴a 2<1＋1e 2，从而0<a ≤1. 当a >1时，g (x )max ＝g (1)＝2a －1，∴2a －1<1＋1e 2，从而1<a <1＋12e 2. 综上可知：0<a <1＋12e 2.。

⑴本试卷分an 卷｛逢捧迺、flwi 【卷t 菲遶择題,两部対.满分 已対』脣试时间 ⑹対种.（2?s 题桩，母生先格自比雄唯碧证号砂a 写満漆； （3 > SJW 总阿注 页頤 0” 和TS > T®SS ；t 专> |旻持卡面港卷，不鼻折歪，不要轟頤.弄蛤> 了谁儈用涂改At SiJifiTJ .第I 卷（选择题才共60分）一、选择题：本丈题共強他 每小题厅分.共60分.在每水题给出的四个选项中.丈有一项是符&题目娈求的-l.GSnM 合B = (x\y = h(l-J ；'))t ^iAf]B=( )A (Q2]氐〔V 厂DUQ+Q C,[-1F 1)a ㈠0UCQ2)4.下列判断错误的是（A. “ am 2 ：：bm 2 ”是“B. 命题“ -x • R,x 3 -x 2C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 £小襦昭懸琴如盘軀目的刃窮內ITS.柑岀吾匹^1 _ J3i 2.已知复数z=A.1 C.4 D.3 .已知等比数列｛a n ｝的公比为正数，且a 5 a ? =4a 2，a 2 =1 叵C •丘21 4则 a i =()a <b ”的充分不必要条件-1乞0”的否定是“ x R,x 3 -2x -1 0C 3,4 ,D 4,5，则y与x之间的回归直线方程为（）开始输入pA . y=x1B . y=x2C . y =2x 1D . y=x-16.执行如图所示的程序框图，若输出的 k=5，则输入的整数p 的 最大值为() A. 7B. 15C. 31D. 637 .已知 x = log 23— log 2 3, y = log 0.5 n , z = 0.9 -1.1，则()A. x v y v z B . z v y v x C. y v z v x D . y v x v z12 .已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1) = 1,且f (x )的导数f '(x )在R 上恒有f ' (x )1x21v 2,则不等式f (x 2) v - + 2的解集为(二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位 置)2 28 .已知双曲线乂 打=a bF 1F 2在F 1P 上的投影的大小恰好为Ff 且它们的夹角为二，则双曲线的离心率e 为() _厂 6A .21B .31C. 3 12a ■ 0,b ■ 0)的左,右焦点是F1, F2,设P 是双曲线右支上一点,9.设实数x,y 满足约束条件:B .3123x - y - 6 兰 0x - y •2 _ 0，若目标函数 x _0,y _0z = ax by(a 0,b 0)的32最大值为12,则3- 2的最小值为(a bA. 4B. 2C.D.210 . 一个几何体的三视图如图所示, 的外接球的表面积为( )8兀A.B.其中正视图是正三角形，则几何体16 48二 335 211.若(2x-3)5 =a ° a 〔x a^2 ()C.3 34:pxa 3x a 4x A.8B. -1C. 10D.164 D.35，则 a ' 2a 2 3a 3 ■ 4a 4 ■ 5a 5 等于A . (1 , +0)B . ( —O , — 1) C.(—1, 1) D . ( —3— 1) U (1 , +OO第口卷非选择题(共 90 分)13.已知等差数列｛a n｝的公差为正数，且a3 • a?=—12, a4 + a6= —4,则S2。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13. (3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(二)理(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，那么用阴影部份表示A ∩B 正确的选项是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，应选A.2． i 为虚数单位，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝ ( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1. 3． 设{a n }是等比数列，那么“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，假设a 1<a 2<a 3，那么q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，因此数列{a n }为递增数列；反之，假设数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，因此a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．应选C.4． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，那么|a ＋2b |的值为( )A.3B ．23C ．4D ．12答案 B解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×c os 60°＋4＝12， 因此|a ＋2b |＝23.5． 已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，那么函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x2， 记g (x )＝2x 3＋ln x －1，那么函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0， 函数g (x )在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0， e －2<x 0<1，g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln－xx，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环，i ＝1，a ＝2； 第二次循环，i ＝2，a ＝5； 第三次循环，i ＝3，a ＝16； 第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7． 设函数f (x )和g (x )别离是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项别离为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立． 8． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的核心为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos∠AFB 等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 方式一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方式二 由方式一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos∠AFB ＝FA →·FB→|FA →|·|FB →|＝3×0＋4×－25×2＝－45.9． 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，假设点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，那么OA →·OM→的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性计划问题． 10．已知一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.65π cm 3B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析 由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)． 11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如下图．为了取得g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，能够将f (x )的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析 由图象知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点A ，那么点A落在区域D 内的概率是( )A.4π2 B.4π3 C.2π2 D.2π3答案 B解析 结合图形可得，D 区域面积为2ʃπ0sin x d x ＝2⎝⎛⎭⎫|－cos x π0＝4，由几何概型可得概率为4π·π2＝4π3.二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案 －142解析 将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142.14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，那么m ＝________.答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0. 因此a m ＝2，那么S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，因此m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，假设对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>2恒成立，那么a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞) 解析 由k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2知f ′(x )＝a x＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.因此a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且知足AP →＝2PM →，那么AP →·(PB →＋PC →)＝________.答案 49解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心， 因此PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。

(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3， 所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ， BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1， 又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1， 所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC . 又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF . 又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. 由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a . 由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3. ∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3.(2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π， ∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6. ∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6， ∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响． (1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13. 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P 2＝C 1213·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.则P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 1213·23⎝⎛⎭⎫232＋C 1213·23⎝⎛⎭⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎫C 1213·232＝1681.所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3． 如图，几何体ABCD －B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝a ，面B 1C 1D 1∥面ABCD ，BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，且BB 1＝2a ，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：△DEB 1为等腰直角三角形；(2)求二面角B 1－DE －F 的余弦值．(1)证明 连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，所以BD ＝a ， 因为BB 1、CC 1都垂直于面ABCD ，所以BB 1∥CC 1，又面B 1C 1D 1∥面ABCD ，所以BC ∥B 1C 1.所以四边形BCC 1B 1为平行四边形，则B 1C 1＝BC ＝a ，因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，所以DB 1＝DB 2＋BB 21＝a 2＋2a 2＝3a ，DE ＝DC 2＋CE 2＝a 2＋a 22＝6a 2， B 1E ＝B 1C 21＋C 1E 2＝a 2＋a 22＝6a 2， 所以DE 2＋B 1E 2＝6a 2＋6a 24＝3a 2＝DB 21， 所以△DEB 1为等腰直角三角形．(2)解 取DB 1的中点H ，因为O ，H 分别为DB ，DB 1的中点，所 以OH ∥BB 1.以OA ，OB ，OH 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－32a ，0，22a ，B 1⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， F ⎝⎛⎭⎫34a ，a 4，0， 所以DB 1→＝(0，a ，2a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，22a ，DF →＝⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，0. 设面DB 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DB →1＝0，n ·DE →＝0，即ay 1＋2az 1＝0且－32ax 1＋a 2y 1＋22az 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(0，－2，1)设面DFE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DF →＝0，n 2·DE →＝0即34ax 2＋34ay 2＝0 且－32ax 2＋a 2y 2＋22az 2＝0， 令x 2＝1，则n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－33，263， 则cos 〈n 1，n 2〉＝63＋2633×1＋13＋83＝22， 则二面角B 1－DE －F 的余弦值为22. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b n m .(1)求数列{a n}和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .＝3×2n 2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n .若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ，∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67. 方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n . 由b m n ＝b n m 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ，∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018)＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(四)理(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，那么A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}答案 B2． 复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，因此在复平面上对应的点位于第二象限，选B. 3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 由α＝2k π－π4(k ∈Z )可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k ∈Z )，应选A.4． 一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是( )A ．112B ．80C ．72D ．64答案 B解析 依题意得，该几何体的下半部份是一个棱长为4的正方体，上半部份是一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥，故该几何体的体积为43＋13×4×4×3＝80.应选B. 5． 将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采纳系统抽样的方式抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( ) A ．20,15,15 B ．20,16,14 C ．12,14,16D ．21,15,14答案 B解析 依照系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .第353号被抽到，因此第二营区应有16人，因此三个营区被抽中的人数为20,16,14.6． 要取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要取得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即取得y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7． 设数列{a n }是等差数列，假设a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝28.8． 某程序的框图如下图，那么运行该程序后输出的B 值是( )A ．5B ．11C ．23D ．47答案 C解析 第一次循环：B ＝2×2＋1＝5，A ＝4； 第二次循环：B ＝2×5＋1＝11，A ＝5； 第三次循环：B ＝2×11＋1＝23，A ＝6； 第四次循环：输出B ＝23，选C.9． 已知概念在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如下图，那么以下表达正确的选项是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析 依照函数f (x )的特点图象可得：f (c )>f (b )>f (a )．10．假设实数x ，y 知足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22答案 C解析 可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.11．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，∵|BC |＝2|BF |， ∴由抛物线的概念可知∠BCD ＝30°， |AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，∴p ＝|FF ′|＝12|EA |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x .12．已知函数y ＝f (x )是概念在R 上且以3为周期的奇函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，那么函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，f (x )＝－f (－x )＝－ln(x 2＋x ＋1)；则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32上有3个零点(在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32上有2个零点)．依照函数周期性，可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92上也有3个零点，在⎝ ⎛⎦⎥⎤92，6上有2个零点．故函数f (x )在区间[0,6]上一共有7个零点． 二、填空题13．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为________．答案 －160解析 T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x3－r . 因此常数项为T 4＝C 36(－2)3＝－160.14．向量a ＝(－1,1)在向量b ＝(3,4)方向上的投影为________．答案 15解析 设向量a ＝(－1,1)与b ＝(3,4)的夹角为θ，那么向量a 在向量b 方向上的投影为|a |·cos θ＝a ·b|b |＝－1，1·3，432＋42＝15. 15．某中学从6名品学兼优的同窗当选出4名去进行为期三天的环保知识宣传活动，每人一天，要求礼拜天有2人参加，礼拜五、礼拜六各有1人参加，那么不同的选派方案的种数有________． 答案 180解析 第一步，从6人当选出4人有C 46种不同的方式，第二步，从选出的4人当选2人安排在礼拜天有C 24种不同的方式，第三步，安排剩余的两人有A 22种不同的方式， 因此共有C 46C 24A 22＝15×6×2＝180种不同的选派方案． 16．下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，那么使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”；④假设函数f (x )是概念在R 上的奇函数，那么f (x ＋4)＝f (x )，那么f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0.。