高二数学空间向量的数量积

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。

本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。

一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。

向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。

性质：1.数量积是实数。

2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。

3.数量积满足交换律：a · b = b · a。

4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。

二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。

性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。

2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。

3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。

1.1.2 空间向量的数量积运算一、教学内容及解析（一）教学内容本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量（二）内容解析空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。

二、教学目标及分析（一）教学目标1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题（二）目标分析1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用三、教学重难点1、重点：空间向量数量积的概念及运算律2、难点：用向量的方法解决立体几何问题四、教学过程问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导设计意图：复习旧知，引入新知问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。

第十七讲 空间向量的数量积运算【知识梳理】1、数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.2、空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【考点剖析】考点一 数量积的线性运算【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD→； 【解析】 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD→－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12.规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |.考点二 数量积的相关应用【例题2-1】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A B C ．1 D 【答案】B【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0M x y ，所以()111,,1,,1,12A M x y C E ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，由11A M C E ⊥可得1102x y --+=，即220x y +-=，所以线段AM 的长的最小值为22225512=+． 故选：B ． 【例题2-2】三棱锥P ABC -中，PAB △和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．与D 点位置关系【答案】A【详解】如图所示，取AB 的中点E ，连接,PE CE ，PAB △和ABC 都是等边三角形，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，PE CE E ⋂=，AB ∴⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AB PC ⊥，在APC △中，2AP AC ==，1PC =， 由余弦定理2224141cos 244AP PC AC APC AP PC +-+-∠===⨯， ∴()112142PD PC PA AD PC PA PC AD PC PA PC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：A【跟踪训练1】正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（ ）A B C D 【答案】A【详解】因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为1111322312⨯⨯⨯⨯=. 设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则114113212r ⨯⨯⨯⨯=r =如图，取AD 的中点为E ，则()()PA PD PE EA PE ED ⋅=+⋅+221()4PE PE EA ED EA ED PE =+⋅++⋅=-. 显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球的球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离d ===，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为4d r -==，即当PA PD⋅取得最小值时，点P到AD的距离为32612-.故选：A.【跟踪训练2】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM PN⋅的取值范围为（）A．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】根据题意，以D为坐标原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为2221122++=，所以半径r =1；所以()()PM PN PO OM PO ON =++()()PO OM PO OM =+-22||||PO OM =-2||1PO =- 由P 在长方体表面上运动，所以1||,12PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即21||,14PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以23||1,04PO ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即PM PN ⋅3,04⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【跟踪训练3】如图所示正三棱锥P ABC -中，M 是PC 上一点，2PM MC =，且PB AM ⊥，2AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．22πC ．4πD ．6π【答案】D【详解】 解：以底面中心O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，过O 平行于AC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则323(1,0),(3,0,0),(3A B C -，设(0,0,)P h ， 1112122(3,,)33333933h OM OC CM OC CP OC CO OP OC OP =+=+=++=+=，235(3,0,),(,,)3933h PB h AM =-=， 所以2293h PB AM ⋅=-， 因为PB AM ⊥，所以22093h -=，得63h =， 设外接球的半径为r ，则22262()(3)33r r =-+，解得62r =， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2264462r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【过关检测】1．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定【答案】B【详解】 如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.2．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与ABD ．PA 与CD【答案】A【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形， A ：AD ⊂面ABCD ，则PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，则DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DA PA A =，则AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 故选：A.3．在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--，点N 满足()1DN DA DB λλ=--，当AM DN 、最短时，·AM MN =（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】A【详解】()1AM xAB yAC x y AD =++--，()1DN DA DB λλ=--，∴ ()()AM AD x AB AD y AC AD -=-+-，()DN DB DA DB λ-=-，即:DM xDB yDC =+，BN BA λ=； M ∴∈平面BCD ，N ∈直线AB ，所以当AM 、DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，DN AB ⊥，M ∴为BCD 的中心，N 为线段AB 的中点，如图：又正四面体的棱长为1，AM ∴=AM ⊥平面BCD ， ∴2cos 60AM AB AM AB AM ⋅=⋅︒=， ∴AM MN ⋅()AM AN AM =⋅-12AM AB AM ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭212AM AM AM =⋅-212AM =-161293=-⨯=-．4．已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角为（ ） A ．60° B ．120° C ．30° D ．90°【答案】B【详解】()()221212112212132212,22a b e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-⋅-=-⨯-=-()222212112221a a e e e e e e ==+=+⋅+=+=()22221211222441b b e e e e e e ==-=-⋅+=-=所以312cos ,32a b a b a b -⋅===-．所以,120a b =︒．故选：B5．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ） A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能【答案】A【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直．故选: A6．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A B C D ．4【答案】C 【详解】3a b →→+===.故选：C7．若向量()0,1,1a =-，()1,1,0b =且()a b a λ+⊥，则实数λ=（ ）A ．2BC ．2-D ．【答案】C 【详解】因为()a b a λ+⊥所以()0a b a λ+⋅=即0a a b a λ⋅+⋅=，所以()()0110100λ+++++= 得2λ=-故选：C 8．在正方体''''ABCD A B C D -中，棱长为2，点M 为棱'DD 上一点，则AM BM ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--， 则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，AM BM ⋅的最小值为4.故选：D.9．在正四面体P ABC -中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PC PD ⋅的值为（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+， ()()1122PC PD PC PC C PA PB PA B P P ⋅=⋅⋅=+⋅+，因为几何体为正四面体，故PA 与PC 夹角为60°，同理PB 与PC 夹角为60°，111cos 602P PA PB C PC ⋅⋅==⨯⨯︒=，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：D 10．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，1111,2,3AB AD AA A AD A AB π===∠=∠=，则1AC =（ ）A ．23B ．4C ．32D 15【答案】D【详解】()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++ ()2221112AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()144201215=+++++=.故选：D11．如图所示，已知P 是ABC 所在平面外一点，,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ABC 的垂心．【详解】∵,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，∴0PC PA ⋅=，0PB PC ⋅=，0PA PB ⋅=，PA ⊥平面PBC ，∴0PA BC ⋅=．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴0PH BC ⋅=，0PH AB ⋅=，0PH AC ⋅=，∴()0AH BC PH PA BC PH BC PA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=，∴AH BC ⊥．同理可证BH AC ⊥，CH AB ⊥．∴H 是ABC 的垂心．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠BAD ＝120°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6．求PC的长．【详解】解：因为PC PA AD DC=++，所以22222=++=+++⋅+⋅+⋅PC PA AD DC PA AD DC PA AD PA DC AD DC()222222=+++⨯⨯⨯︒=，643243cos12049PC=．所以7故PC的长为7．13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．【详解】=-，BC AC AB∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>cos,cos,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴24162cos ,85OA BCOA BC OA BC ⋅-<>===⨯⋅3225- 故答案为：3225- 14．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅；（5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．【详解】四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ， 又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.。

专题1.1.2 空间向量的数量积运算10种常见考法归类（70题）题型一 空间向量的夹角题型二 空间向量的运算律题型三 空间向量数量积的运算题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状题型五 空间向量数量积的最值问题题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)题型八 利用空间向量的数量积求夹角（一）求两个向量的夹角（二）求异面直线所成角（三）根据夹角求参数题型九 利用空间向量的数量积求投影向量题型十 新定义问题1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作OA a =，OB b =，则么叫做向量的夹角，记,a b <>r r.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）2、范围：[],0,a b p <>Îr r ．特别地，（1）如果,2a b p<>=r r ，那么向量,a b r r 互相垂直，记作a b ^r r ．(3)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为p ，故a,b 0<>=r r(或a,b p<>=r r )//a b Ûr r (,a b r r为非零向量)．(4)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0r 与任何向量a r都是共线的，即0a r r ．两非零向量的夹角是唯一确定的．3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b r r所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为q ，(1)向量夹角的范围是0<<,a b r r ><p ，异面直线的夹角q 的范围是0<q <2p，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b q =<>r r ；当两向量的夹角为2p时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b q p =-<>r r.题型一 空间向量的夹角1．（2024·高二课时练习）如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求向量AC uuu r 分别与向量A B ''uuuu r ，B A ''uuuur ，AD 'uuuu r ，CD'uuuu r ，B D ''uuuur 的夹角．2．（2024·高二课时练习）在正四面体ABCD 中，BC uuu r 与CD uuu r的夹角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．（2024·高二课时练习）如图，在长方体ABCD A B C D -''''中：(1)哪些棱所在直线与直线AA '互为异面直线且互相垂直？(2)若1AB AA '==，分别求向量BA ®'与CC ®'，D C ®''，B C ®''的夹角.定义已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;性质①a ⊥b ⇔a ·b ＝0②a ·a ＝a 2＝|a |2运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∈R .②a ·b ＝b ·a (交换律)．③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律).2.空间向量数量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在a r方向上的投影||cos ,b a b <>r r r 的乘积或等于b r 的长度||b r 与a r 在b r方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积.注：题型二 空间向量的运算律4．【多选】（2024·高二课时练习）设a r ，b r为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）A ．22a a =r r B ．a b ba a a ×=×r r rr r rC ．()222a b a b ×=×r r r r D ．()2222a b a a b b-=-×+r r r r r r 5．（2024·高二课时练习）对于任意空间向量a r ，b r ，c r，下列说法正确的是（ ）A ．若//ab r r 且//bc r r，则//r r a cB ．()a b c a b a c×+=×+×r r r r r r r C ．若a b a c ×=×r r r r ，且0a ¹r r，则b c=r r D ．()()a a cb bc ×=×r r r r r r 6.（23-24高二上·北京·期中）设a 、b 、c 是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）A ．a 、b 一定共面B ．a 、b 、c 一定不共面C ．a ⋅b =b ⋅aD ．a ⋅b +c =a ⋅b +a ⋅c7．（2024·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设a r ，b r ，c r都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）A ． ()()a b c a b c++=++r r r r r r B ． ()+×=×+×r r r r r r r a b c a c b cC ． ()()a b c b c a××=××r r r rr r D ． ()()()2||a b a c a b c a b c+×+=++×+×r r r r r r r r r r 题型三 空间向量数量积的运算解题策略：1.求空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．8.（2023春·高二课时练习）已知空间向量,a b r r 满足||2,1a b ==r r ∣，且a r 与b r 的夹角为3p ，则a b ×=rr __________．9.（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量,a b r r 的夹角为π,||2,||33a b ==r r ，则(3)a a b ×+=r r r．10．（2024·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu g rg g 等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定11.（2023·全国·高二专题练习）正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ×=uuu r uuu r______．12.（23-24高二上·陕西渭南·期末）在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ×uuu r uuu r的值为（ ）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．1213．（2024·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ×uuuu r uuu r=_______.14．【多选】（2024·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，体对角线1AC 与1BD ，相交于点О，则（ ）A ．111AB A C ×=uuu r uuuu r B ．1AB AC ×=uuu r uuuu rC ．12AB AO ×=uuu r uuu r D ．11BC DA ×=uuu r uuu u r 15．（2024·全国·高三专题练习）如图，PA ^面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC uuu r 与BDuuu rB ．PB uuu r 与DAuuu rC ．PD uuu r 与ABuuu r D ．PA uuu r 与CDuuur 16．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为2的四面体ABCD 中 CE uuu r =ED uuu r，AFuuu r 2=FD uuu r，则向量BE CF ×=uuu r uuu r （ ）A ．-13B ．13C ．-12D ．1217.（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，,,AB AC M N ^分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，1224AB AC AA ===，则AG MN ×=uuu r uuuu r（ ）A ．4B ．5C ．6D ．818．（2024·全国·高三对口高考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ×uuu r uuu r的值为（ ）A ．2a B ．212aC ．214aD 219．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60o，求1AC BD ×uuuu r uuu r 的值是__________．20．（2024·高二课时练习）如图, 在直三棱柱111ABC A B C - (即1A A ^平面ABC ),1AC AB AA ===22BC AE ＝＝ , 求 1×uuu r uuurAE A C题型四 利用空间向量的数量积判断图形的形状21．（2024·高三课时练习）已知四边形ABCD 满足0AB BC ×>u ur uu r u u ，0BC CD ×>uuu r uuu r ，0CD DA ×>uuu r uuu r ，0DA AB ×>uuur uuu r ，则该四边形为（ ）．A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形22．（2024·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足，0AD AC ×=uuu r uuu r ，0AB AD ×=uuu r uuu r，点M 为BC 的中点，则AMD V 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定23．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r满足,,OA OB OB OC OC OA ^^^uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则ABC V 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或锐角三角形24．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体ABCD 中，设,,CA a CB b CD c ===uuu r uuu r uu r u r r r.(1)若2,3BE BC F =uuu r uuu r 是AD 的中点，用,,a b c r r r 表示EF uuu r ；(2)若,,CA CB CD uuu r uuu r uuu r两两垂直，证明：ABD △为锐角三角形.题型五 空间向量数量积的最值问题25．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知点P 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，则PA PB×uuu r uuu r的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．926.（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥-P ABC 中，PAB V 和ABC V 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD CD ×uuu r uuu r的最小值是 ．27.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ^，PA ^平面ABC ，AE PB ^于点E ，M 是AC 的中点，1PB =，则EP EM ×uuu r uuuu r的最小值为______．28.（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ×+uuu r uuur uuuu r的最小值为（ ）A ．32-B ．1-C ．D ．12-29.（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO 的底面半径为2，点P 为底面圆周上任意一点，点Q 为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP OQ ×uuu r uuu r的取值范围为（ ）A ．()4,4-B ．[]4,4-C ．()2,2-D ．[]22-,设r a ，r b 是非零向量，re 是单位向量，则①cos ,×=×=r r r r r r ra e e a a a e ；②0^Û×=r r r ra b a b ；③若a r 与b r 同向，则a b a b ×=r r r r ；若a r 与b r反向，则a b a b ×=-r r r r ．特别地，a a ×r r④cos ,×=×r rr r r r a b a b a b； ⑤×£×r r r r a b a b2、空间向量数量积性质的应用(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系．(2)利用公式||a =r;(3)利用公式cos ,||||a ba b a b ×<>=r rr r r r 可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;(4)|b |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |，此结论可用于求空间中的距离问题．题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题解题策略：1.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路(1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．2.利用向量法证明垂直关系的步骤第一步：将已知的几何问题转化为向量问题；第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量；第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0；第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论．30．（2024·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知1e u r ，2e u u r 为单位向量，且12e e ^u r u u r，若1223a e e =+r u r u u r，124a ke e =-r u r u u r ，a b ^r r ，则实数k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－331．（2024·江苏·高二专题练习）已知空间向量a r ，b r ，1a =ra b -r r 与a r 垂直，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．60oB ．30oC ．135oD ．45o32．（2024·高二课时练习）已知：如图，OB 是平面α的斜线，O 为斜足，AB a ^，A 为垂足，CD a Ì，且CD OA ^．求证：CD OB ^．33.（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，12CC =，1160C CB BCD C CD ÐÐÐ===o(1)求线段1CA 的长；(2)求证：111CA B D ^．34．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD pÐ=Ð=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；(3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ^．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体OABC 的棱长为2，点G 是OBC △的重心，点M 是线段AG 的中点.(1)用,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示OM uuuu r，并求出||OM uuuu r ；(2)求证：OM BC ^.题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)解题策略：求空间两点间的距离或线段长的方法(1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |推广为|a ±b |(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题．注：利用空间向量的数量积求距离(1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．(2)应牢记并能熟练地应用公式|a ＋b ＋c |36．（2024·安徽·高二校联考开学考试）已知,a b r r均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，则2a b +=r r ______．37.（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量,,a b c r r r两两夹角为60°，且1a b c ===r r r ，则2a b c -+=r r r．38．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（ ）A ．2BC D 39．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AD BD AA ===，AD BD ^，145A AB °Ð=，160A AD °Ð=，则线段1BD 的长为______.40．（2024·天津·高二统考期末）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5AB =，4=AD ，3AA '=，60BAD BAA DAA ''Ð=Ð=Ð=°，则AC '的长为_______．41．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD Ð=Ð=°，线段1AC 的长度为，则cos DAB Ð=______．42．（2024·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB Ð=°，1160BAA DAA Ð=Ð=°，()112AE AC AC =+uuu r uuu r uuuu r，则AE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．43．（2024·高一课时练习）如图，二面角l a b --的平面角为120°，ÎA l ，B l Î，AC a Ì，BD b Ì，AC l ^，BD l ^，若1AB AC BD ===，则CD 长为（ ）A B C ．2D 44．（2024·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角AB a b --中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．45．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C --的大小为45o ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）A B C D 46．（2024·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD 中，60BAC Ð=°，45BAD CAD Ð=Ð=°，AD ，3AB AC ==.(1)求BC BD ×uuu r uuu r的值；(2)已知F 是线段CD 中点，点E 满足2EB AE =uuu r uuu r，求线段EF 的长.47.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体ABCD ，E 、F 分别为AB 、AC 中点，G 为靠近D 的三等分点．记a AB =r uuur ，b AC =r uuu r ．(1)c a tb =+r r r ，R t Î，求c r的最小值；题型八 利用空间向量的数量积求夹角（一）求两个向量的夹角解题策略：利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |求cos 〈a ，b 〉，最后确定〈a ，b 〉．48.（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知,a b r r是两个空间向量，若||2,||2a b ==r r ，||a b -r r ，则cos ,a b áñr r ＝ .49.（23-24高二上·广东东莞·月考）已知空间向量a r ，b r ，c r 满足0a b c -+=r r r r ，||,||,||a b c ===12r r ra r 与a b -r r的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°50.（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC pÐ=Ð=，则cos ,OA BC uuu r uuu r的值是（ ）A ．12B C ．12-D ．051．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为a ，设,,AB a AD b AA c '===uuu r uuu r uuur，则,A B B D '''=uuur uuuu r（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°52．（2024·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =uuuu r uuu r______．53．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB Ð=Ð=Ð=°，则1C AB Ð的余弦值是________.54.（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1AC AB AA ===22BC AE ==，则向量AE uuu r 与1AC uuur的夹角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°55．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥ABCD 中，E F ､分别在棱AB AD ､上，::1:2AE EB AF FD ==，且0CE BF ×=uuu r uuu r，则BAC Ð的余弦值为___________.（二）求异面直线所成角解题策略：注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．56．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA Ð=Ð=°，90BAD Ð=°，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（ ）A ．BC ．D 57.（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求1BD uuuu r 与AC uuu r所成角的余弦值.58．（2024·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，1160BAA CAA Ð=Ð=°，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．13C D （三）根据夹角求参数59．（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量,,2,1,,60a b a b a b °===r r r r r r ，则使向量a b l +r r 与2a b l -r r的夹角为钝角的实数l 的取值范围是____________．（1）向量a 在向量b 上的投影向量如图①，在空间，向量a r 向向量b r 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面a r内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b r 共线的向量c r ，cos ,bc a a b b=<>rr r r r r ，向量c r 称为向量a r 在向量br 上的投影向量。